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1、返回第三节第三节 函数的极限函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的一、自变量趋于有限值时函数的极限极限二、自变量趋于有无穷大时函数的二、自变量趋于有无穷大时函数的极限极限三、函数极限三、函数极限的的性质性质四、小结四、小结返回如果当如果当x无限地接近于无限地接近于x0时时 函数函数f(x)的值无限地的值无限地接近于常数接近于常数A 则常数则常数A就叫做函数就叫做函数f(x)当当xx0时的极限时的极限 记作记作 函数极限的的通俗定义函数极限的的通俗定义分析分析:当当xx0时时 f(x)A 当当|x x0|0时时 |f(x) A|0 当当|x x0|小于某一正数小于某一正数 后后 | |f(x)
2、A|能小于给定的正数能小于给定的正数 任给任给 0 存在存在 0 使使当当0 |x x0| 时时 有有|f(x) A| 一、自变量趋向有限值时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限返回注意：注意：返回2.几何解释几何解释:A y=f(x)x0当当0 |x x0| 时时 |f(x) A| 0: : 0: :A-eA+ex0-dx0+d 返回例例1证证例例2证证返回注意：注意：返回xy0f (x)A当当该邻域内所有该邻域内所有点点 x的纵坐标的纵坐标 f(x)落在落在A的的 邻域邻域 内，内，即相应的点即相应的点(x, f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内. A的的 邻域邻域, , x0的空心
3、的空心 邻域邻域,A+ A 返回Axy0函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限.f (x)该邻域内所有该邻域内所有点点 x的纵坐标的纵坐标 f(x)落在落在A的的 邻域邻域 内，内，即相应的点即相应的点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内. A的的 邻域邻域, , x0的空心的空心 邻域邻域,当当返回Axy0函数的极限函数的极限函数的极限函数的极限.f (x)该邻域内所有该邻域内所有点点 x的纵坐标的纵坐标 f(x)落在落在A的的 邻域邻域 内，内，即相应的点即相应的点(x,f(x)落在落在绿色绿色区域内区域内. A的的 邻域邻域, , x0的空心的空心 邻域邻域,当当返回例例3证证函
4、数在点函数在点x = 1处没有定义处没有定义.返回例例4证证返回定理定理1(1(极限的局部保号性极限的局部保号性) )定理定理2 证明证明 就就A 0的情形证明的情形证明 当当0 |x x0| 时时 有有 反证法反证法 极限的局部有界性极限的局部有界性 若函数若函数f (x)在自变量在自变量x某变化趋势之某变化趋势之下有极限，则下有极限，则f (x) 对应变化区间上是有界的。对应变化区间上是有界的。 返回2.单侧极限单侧极限:例例1,例例2，考虑，考虑 当当 x 趋于趋于 0 时的极限时，时的极限时， 则只能考虑则只能考虑 x 从右侧趋于从右侧趋于 0 的情形。的情形。2返回左极限左极限右极限
5、右极限单侧极限单侧极限若当若当xx0 0时时 f(x)无限接近于某常数无限接近于某常数A 则常数则常数A叫叫做函数做函数f(x)当当xx0时的左极限时的左极限 记为记为 或或 f(x0 0)= =A . . 返回xy0f (x)A该邻域内所有该邻域内所有点点x对应对应的曲线上的点的曲线上的点落在落在绿色绿色区域内区域内.函数的函数的左极限左极限 A的的 邻域，邻域， x0的左半的左半 邻域，邻域，A+ A 返回左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例6证证推推论：若函数：若函数f(x)在点在点x0的左、右极限有一个不的左、右极限有一个不存在，或都存在但不相等，存在，或都存在但不相等，则极
6、限极限不存在不存在 返回思考题思考题左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,思考题解答思考题解答返回播放播放二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限返回二二、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限返回二二、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限返回二二、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限返回二二、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限返回二二、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限返回二二、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限返回二二、自变量
7、趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限返回通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:返回返回注意：注意：返回xy0f (x)AX X其相应的曲线上的点其相应的曲线上的点落在落在绿色绿色区域内区域内. A的的 邻域邻域, , X 0,A+ A 对满足对满足 |x| X 的一切点的一切点 x,返回xy0f (x)X XA其相应的曲线上的点其相应的曲线上的点 A的的 邻域邻域, , X 0,.对满足对满足 |x| X 的一切点的一切点 x,落在落在绿色绿色区域内区域内.返回xy0f (x)AX X其相应的曲线上的点其相应的曲线上的点 A的的 邻域邻域, , X 0,.对满
8、足对满足 |x| X 的一切点的一切点 x,落在落在绿色绿色区域内区域内.返回xy0f (x)AX XX XX X其相应的曲线上的点其相应的曲线上的点 A的的 邻域邻域, , X 0,.对满足对满足 |x| X 的一切点的一切点 x,落在落在绿色绿色区域内区域内.返回2.另两种情形另两种情形:返回xy0f (x)AX其相应的曲线上其相应的曲线上的点的点 落在落在绿色绿色区区域内域内.对满足对满足 x X的一切点的一切点 x,( f (x) A的情况的情况)返回xy0f (x)AX.对满足对满足 x X的一切点的一切点 x,( f (x) A的情况的情况)其相应的曲线上其相应的曲线上的点的点 落
9、在落在绿色绿色区区域内域内.返回xy0f (x)AX.( 一般情况一般情况)对满足对满足 x X的一切点的一切点 x,其相应的曲线上其相应的曲线上的点的点 落在落在绿色绿色区区域内域内.返回例例1证证返回三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.有界性有界性2.唯一性唯一性返回推论推论3.不等式性质不等式性质定理定理( (保序性保序性) )返回定理定理( (保号性保号性) )推论推论返回4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定义定义定理定理返回证证返回例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在, ,且相等且相等. .返回例例7证证返回二者不相等二者不相等,返回四、小结四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)返回过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 返回一、填空题一、填空题:练练 习习 题题返回返回练习题答案练习题答案
