《3线性变换的矩阵》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3线性变换的矩阵（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上页 下页 返回 结束 3 3 线性变换的矩阵线性变换的矩阵设V 是数域P上n维线性空间，是V的一组基.A为V的一个线性变换.对于V 中任一向量 可以被基线性表出，即（1）则（2）上页 下页 返回 结束 命题命题1 1设是线性空间V 的一组基，如果线性变换A 与B 在这组基上的作用相同，即则A = B.即一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定即一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定证明：证明：对于设上页 下页 返回 结束 命题命题2 2设是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量一定有一个线性变换A 使证明：证明：我们可以构造出所要的线性变换A.（3）对于任意设定义容易验证：（i）A 确
2、为一个映射，这是显然的；（ii）A 确为一个线性变换，即（iii）A 满足(3)式.（4）上页 下页 返回 结束 定理定理1 1综合命题1，命题2立得设是线性空间V 的一组基，是V中任意n个向量，则存在唯一存在唯一的线性变换A 使注注 今后如要定义V 的某个线性变换，则只需先取V 的一组基，指定这n个基向量的像，再按(4)式线线性延拓性延拓到整个空间V即可.上页 下页 返回 结束 定义定义2 2设是线性空间V 的一组基，A是V的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出用矩阵来表示为其中矩阵A称为A在基在基下的矩阵下的矩阵.上页 下页 返回 结束 例例 设是n (nm)维线性空间V 的子空间W
3、的一组基，将它扩充为V 的一组基定义线性变换A如下：当i =1, 2, , m,当i = m+1, , n.如此确定的线性变换A 称为对子空间W的一个投影投影.不难证明：上页 下页 返回 结束 投影A 在基下的矩阵为m个个上页 下页 返回 结束 定理定理2 2 设是线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式(5)对于一个n阶方阵，这个对应具有以下的性质：1）线性变换的和对应于矩阵的和；2）线性变换的积对应于矩阵的积；3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.上页 下页 返回 结束 即即设A, B 在基下的矩阵为A, B，则1）
4、A+B 在基下的矩阵为A+B；2）AB 在基下的矩阵为AB；3）kA在基下的矩阵为kA；4）A可逆当且仅当A可逆，且A1在基下的矩阵为A1.具体的验证请同学们自行完成.上页 下页 返回 结束 综合上述讨论，设V为数域P上n维线性空间，先性变换的全体Ln(V)到数域P上n阶方阵的全体Pnn的一便可建立从V上所有线从V 中取定一组基个映射：其中矩阵A 为A 在基下的矩阵.上页 下页 返回 结束 这个映射满足：既是单射，又是满射，从而是双射.（1）（2）从而就是一个同构映射，即Ln(V )与Pnn是同构的.（3）线性变换的和对应于矩阵的和线性变换的和对应于矩阵的和线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘
5、积线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积上页 下页 返回 结束 此外，还有（4）（5）若A可逆，则线性变换的积对应于矩阵的积线性变换的积对应于矩阵的积可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆矩阵对应于可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆矩阵对应于逆矩阵逆矩阵由此可见，有时对线性变换的讨论都可转化为数域 P中方阵的研究，矩阵理论成为我们研究线性变换的主要工具.上页 下页 返回 结束 定理定理3 3 设线性变换A在基下的矩阵是 A，向量在基下的坐标是则在基下的坐标可以按公式计算.上页 下页 返回 结束 证明：证明： 由假设，于是故上页 下页 返回 结束 虽然上述讨论告诉我们，对线性变换的讨论可化为对其在某
6、组基下矩阵的讨论，现在，我们就期望用矩阵的性质来刻画线性变换的性质. 这就引起一个问题：同一线性变换在不同基下所对应的矩阵是不同的，也就是说线性变换对应的矩阵与基的选所以要想通过矩阵来讨论线性变换的性质，这些性而线性变换本身显然是与基的选取无关的，取有关.质也应与基的选取无关.于是，首先就要研究同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系.也就是说，只有这些矩阵全体的共性才能反映线性变换的性质.上页 下页 返回 结束 定理定理4 4设线性空间V 中线性变换A在两组基下的矩阵分别为A和B，从基(6)到(7)的过渡矩阵为X，（6）（7）则证明：证明： 已知（这就是这就是同一线性变换同一线性变换在不同基下矩
7、阵之间的关系在不同基下矩阵之间的关系）上页 下页 返回 结束 所以即上页 下页 返回 结束 定义定义3 3设A, B为数域P上两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵 X，使得则称A相似于B，记作AB.命题命题3 3相似关系作为矩阵的一种关系，满足：1.1.反身性：反身性：AA；因为2.2.对称性：对称性：如果AB，则BA；因为3.3.传递性：传递性：如果AB，BC，则AC.因为上页 下页 返回 结束 定理定理5 5线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反之，如果两个矩阵相似，则它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.证明：证明：前一部分已经为定理4证明.下证后一部分.设n级矩
8、阵A和B相似.A可以看作是n维线性空间V中一个线性变换A在基下的矩阵.因为令显然，也是一组基，A 在这组基下的矩阵就是上页 下页 返回 结束 矩阵的相似对于运算的性质矩阵的相似对于运算的性质1 如果则2 如果且 f (x)是数域P上一多项式，则思考思考 性质1中是否可理解为：上页 下页 返回 结束 例例 设V是数域P上一个二维线性空间，是一组基，线性变换A 在下的矩阵是现在来求A 在V 的另一组基下的矩阵，其中由定理4，A 在下的矩阵为上页 下页 返回 结束 显然再利用上面得到的关系上页 下页 返回 结束 即于是上页 下页 返回 结束 上面的例子是利用矩阵的相似关系解决求它的k次幂的问题.但给
9、我们留下一个问题，题中基也就是矩阵 X 的选取十分关键.即若求则可先求可逆阵 X，的k 次幂Bk比较容易求出.很困难，使得再利用求出 Ak.的选取，换句话说，如何选取一组基，使得线性变换在这组基下的矩阵形式上“最简单”？用矩阵语言等价表述为：给定一个矩阵A，如何求可逆阵X，使得X 1AX的形式最简单.上页 下页 返回 结束 当然最简单的矩阵形式应该是对角阵.遗憾的是并不是所有的线性变换都能取到一组基，使得它在这基下的矩阵为对角阵. 换句话说，并不是所有的矩阵都与某个对角阵相似.所以，我们将讨论以下两个问首先，分析线性变换在某组基下的矩阵为对角形的条件.其次，对于不满足上述条件的线性变换，我们将这将在下面的两节加以解决.降低要求，即尽可能的使它的矩阵形式更简单，这就是第八章中的Jordan标准形.题：
