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1、Chap2Chap2气体动理论气体动理论2 222气体分子的统计规律气体分子的统计规律气体分子的统计规律气体分子的统计规律 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .一、统计规律的实验证据伽耳顿板实验大量的偶然性中呈
2、现的规律称统计规律大量的偶然性中呈现的规律称统计规律(statistic law)(statistic law)，证明统计规律存在的实验是伽耳顿板，证明统计规律存在的实验是伽耳顿板(Galton plate)(Galton plate)实实验。验。伽耳顿板(Galton plate)实验表明，每个小球落入哪个狭槽内完全是偶然的，但大量小球按狭槽的分布是确定的和必然的，大量小球按狭槽的分布遵守一定的统计规律。 分布？分布？二、气体分子速率分布规律由表中数据可见，低速和高速的分子所占的比例较少，而具中等速率的分子所占的比例较大，呈现出一定的统计规律性。三、三、Maxwell速率分布规律速率分布规律
3、速率分布函数速率分布函数 一定量的气体分子总数为一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某表示速率分布在某区间区间 vv+dv内的分子数，内的分子数，dN/N表示分布在此区间内表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率（或百分比）。的分子数占总分子数的比率（或百分比）。dN/N 是是 v 的函数，在不同速率附近取相等的区间，的函数，在不同速率附近取相等的区间，此比率一般不相等。此比率一般不相等。当速率区间足够小时（宏观当速率区间足够小时（宏观小，微观大），小，微观大），dN/N还应与还应与区间大小成正比。区间大小成正比。因此有因此有物理意义：速率在物理意义：速率在 v 附近，单位速率区间的
4、分子数占总分附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率。子数的比率。或或f(v):速率分布函数速率分布函数归一化条件是什么物理意义？是什么物理意义？在平衡态下，当气体分子间的相互作在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间用可以忽略时，分布在任一速率区间 vv+dv 的分子数占总分子数的比率为的分子数占总分子数的比率为麦克斯韦麦克斯韦速率分布速率分布函数函数麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 f(v) 称为麦克斯韦速率分布函数（Maxwell speed distribution function）.讨论( () ) 麦克斯韦速率分布规律及分布函数的意义麦克斯韦速率分布
5、规律及分布函数的意义f(vf(v）表示分布在速率）表示分布在速率v v 附近单位速率间隔内附近单位速率间隔内的分子数与总分子数的比率。的分子数与总分子数的比率。 ( () f(v) ) f(v) 与与v v的关系的关系分分布曲线布曲线 ( () ) 麦氏分布是一定温度麦氏分布是一定温度下的稳定分布温度变化，下的稳定分布温度变化，分布也随之变化分布也随之变化vOTf(v)动画：麦氏速率曲线（4 4）速率分布规律满足归一化条件）速率分布规律满足归一化条件（normalization conditionnormalization condition）讨论（5 5）Maxwell Maxwell 速率
6、分布只适用于处于平衡态下的速率分布只适用于处于平衡态下的理想气体。理想气体。（6 6）Maxwell Maxwell 速率分布律只对大量分子组成的体速率分布律只对大量分子组成的体系才成立。由此，若说具有某一确定速率的分子有系才成立。由此，若说具有某一确定速率的分子有多少是根本没有意义的。多少是根本没有意义的。四、分子速率的三种统计平均值：四、分子速率的三种统计平均值：重点重点（掌握（掌握 ）利用利用MaxwellMaxwell速率分布律可计算最概然速率、方均根速率分布律可计算最概然速率、方均根速率、平均速率等物理量。速率、平均速率等物理量。1.最概然速率最概然速率 ：（最可几速率）：（最可几速
7、率）与速率分与速率分布函数极大值对应的速率。布函数极大值对应的速率。讨论讨论讨论讨论（1）物理意义：）物理意义：在温度为在温度为T的平衡态下，的平衡态下， 附近附近单位速率间隔中的分子数占总分子数的比率最大。单位速率间隔中的分子数占总分子数的比率最大。（2） 与温度与温度T的关系（的关系（m一定）一定）曲线的峰值右移曲线的峰值右移, ,由由于曲线下面积为于曲线下面积为1不不变，所以峰值降低。变，所以峰值降低。曲线的峰值左移曲线的峰值左移,由于由于曲线下面积为曲线下面积为1不变，不变，所以峰值升高。所以峰值升高。(3) 与与分子质量分子质量m的关系的关系(T一定）一定）由由和和有：有：2.平均速
8、率：平均速率：大量气体分子速率的算术平均值大量气体分子速率的算术平均值与前面由温度公式得到的方均根速率相同。与前面由温度公式得到的方均根速率相同。3.方均根速率方均根速率4 4. .三种速率的比较三种速率的比较三种速率的比较三种速率的比较三种速率都与三种速率都与 成正比，与成正比，与 成反比。成反比。比较：比较：计算平动动能计算平动动能研究碰撞研究碰撞讨论分布讨论分布温度变化时，速率分布及其各种速率的变化动画：麦克斯韦速率分布曲线随温度的变化讨论同一温度下不同种气体速率分布比较分子质量越小，速率大的分子数越多。分子质量越小，速率大的分子数越多。讨论氢气与氧气的速率分布麦克斯韦麦克斯韦速率速率分
9、布曲线分布曲线五、麦克斯韦速率分布律的验证五、麦克斯韦速率分布律的验证1、Maxwell在在 1859 年从理论上预言了理想气体的年从理论上预言了理想气体的速率分布律。速率分布律。2、60 年后，年后， 1920 年，斯特恩年，斯特恩（O.Stern)首先测出首先测出银蒸汽分子的速率分布银蒸汽分子的速率分布 ，最早验证了麦氏分布率。，最早验证了麦氏分布率。3、中国物理学家葛正权于、中国物理学家葛正权于1934年测定了年测定了铋蒸气分子的速率分布。铋蒸气分子的速率分布。4、密勒、密勒-库士实验：密勒和库士于库士实验：密勒和库士于1956年用钍蒸气原子射线精确验证了麦克斯年用钍蒸气原子射线精确验证
10、了麦克斯韦速率分布率。韦速率分布率。盛有金属汞的恒温箱，汞蒸气分子从箱上小孔喷出，盛有金属汞的恒温箱，汞蒸气分子从箱上小孔喷出，经狭缝形成一束定向的细窄射线，射向两共轴圆盘，经狭缝形成一束定向的细窄射线，射向两共轴圆盘，盘上各开一狭缝，两缝略错开一个盘上各开一狭缝，两缝略错开一个 角，角，实验装置实验装置金属蒸汽金属蒸汽显显示示屏屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵实验装置实验装置金属蒸汽金属蒸汽显显示示屏屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵两盘以角速度两盘以角速度 转动，两圆盘起到粒子选择的转动，两圆盘起到粒子选择的作用，作用， P 为胶片屏，只有一定速度的分子才能通为胶片屏，只有一定速度的分子才能通过狭缝，达
11、到屏过狭缝，达到屏 P。实验装置实验装置金属蒸汽金属蒸汽显显示示屏屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵仅当粒子穿过仅当粒子穿过 前盘达到前盘达到 后盘时，后后盘时，后 盘恰转过盘恰转过 角，该速度角，该速度的粒子才能穿过两盘，到的粒子才能穿过两盘，到达显示屏达显示屏 ，即粒子的速度满足：，即粒子的速度满足：改变改变 或或 l或或 即可选即可选择不同速度的粒子。择不同速度的粒子。令角速度分别为令角速度分别为 1、2，可使不同速率的汞分子通，可使不同速率的汞分子通过而沉积在屏上，用测微光度计测量屏上的沉积厚过而沉积在屏上，用测微光度计测量屏上的沉积厚度，从而可得到不同速率区间的分子数的相对比值，度，从而可得
12、到不同速率区间的分子数的相对比值，测量结果与麦克斯韦分布率相同。测量结果与麦克斯韦分布率相同。结论结论(1) 从统计概念来看，若说速率恰好等于某从统计概念来看，若说速率恰好等于某一值的分子数有多少，是没有意义的。一值的分子数有多少，是没有意义的。(2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各组分分别适用。的混合气体的各组分分别适用。(3) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率分布能很好的符合。麦克斯韦速率分布能很好的符合。例：速率分布函数例：速率分布函数 的物理意义为：的物理意义为： （）具有速率（）具
13、有速率 的分子占总分子数的百分比的分子占总分子数的百分比 （）速率分布在（）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比数占总分子数的百分比 （）具有速率（）具有速率 的分子数的分子数 （）速率分布在（）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子附近的单位速率间隔中的分子数数 （）（） 例：已知分子总数为例：已知分子总数为 ，它们的速率分布函数，它们的速率分布函数为为 ，则速率分布在区间，则速率分布在区间 内的分子内的分子的平均速率为的平均速率为 （A） （C） （B） （D） （B） 例：在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克斯韦例：在平衡状态下，已知理想气
14、体分子的麦克斯韦速率分布函数为速率分布函数为 、分子质量为、分子质量为 、最可几速率、最可几速率为为 ，试说明下列各式的物理意义：，试说明下列各式的物理意义：（）（） 表示表示_； （）（） 表示表示_ 分子平动动能的平均值分子平动动能的平均值 分布在速率区间分布在速率区间 的分子数在总分子数中占的分子数在总分子数中占的百分率的百分率 讨论讨论麦克斯韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？（A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B） 是速率最大的速度值是速率最大的速度值.（C） 是麦克斯韦速率分
15、布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大率最大.1）2） 例例 已知分子数已知分子数 ，分子质量，分子质量 ，分布函数，分布函数 求求 1） 速率在速率在 间的分子数；间的分子数； 2）速率）速率在在 间所有分子动能之和间所有分子动能之和 . 速率在速率在 间的分子数间的分子数 例例 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢气和曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .
16、2000例例: 有有N个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为求求（1）速速率率分分布布曲曲线线（2）由由v0 求求常常数数C （3）粒粒子子的平均速率的平均速率(3)(2)例：导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的例：导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动，故常把导体中的自由电子称运动，故常把导体中的自由电子称“电子气电子气”，设导，设导体中共有体中共有 个自由电子，其中电子的最大速度为个自由电子，其中电子的最大速度为 。已知速率分布在。已知速率分布在 内的电子数与总电子数内的电子数与总电子数的比率为的比率为（1）画出速率分布的函数曲线；（）画出速率分布的函数曲线；（2）
17、确定常量）确定常量 ；（；（3）求出自由电子的最概然速率、平均速率和方）求出自由电子的最概然速率、平均速率和方均根速率。均根速率。（1）画出速率分布的函数曲线；（）画出速率分布的函数曲线；（2）确定常量）确定常量 ；由归一化条件可得由归一化条件可得最概然速率就是在速率分布曲线上与速率分布函数最概然速率就是在速率分布曲线上与速率分布函数的极大值所对应的速率，即为的极大值所对应的速率，即为（3）求出自由电子的最概然速率、平均速率和方均）求出自由电子的最概然速率、平均速率和方均根速率。根速率。1.自由度（自由度（Degree of freedom）举例1六、能量均分原理（Theorem of equ
18、ipartition of energy ） 自由质点自由度的确定一维运动的质点x自由度为1三维运动的质点(x, y, z)自由度为3二维运动的质点(x, y)自由度为2海面上航行的轮船的自由度海面上航行的轮船的自由度举例2xyO海面海面(x, y)Oyx确定质心： (x, y)确定方向：3个自由度举例3空间自由运动的细棒空间自由运动的细棒xyzOOyzx(x, y, z)确定质心：确定质心： (x, y, z)确定方位：确定方位：个个自自由由度度对自由刚体（Free rigid body）xyzb ba ag gq qxOyz用 来决定其质心的位置平动自由度用 来决定其转轴的位置转动自由度用
19、 决定转过的角度转动自由度举例4自由刚体的自由度是，自由刚体的自由度是，其中个平动自由度，其中个平动自由度，个转动自由度个转动自由度气体分子自由度的确定单原子分子自由度为3（i=3），如He、Ne等。确定质心的位确定质心的位置需三个独立置需三个独立坐标；确定两坐标；确定两原子连线的方原子连线的方位需两个坐标位需两个坐标.故刚性双原子故刚性双原子分子自由度为分子自由度为5（i=5）。）。刚性双原子分子动画:分子转动非刚性双原子分子附加一个确定附加一个确定两原子相对位两原子相对位置的相对坐标，置的相对坐标，非刚性双原子非刚性双原子分子的自由度分子的自由度为为6(i=6）非刚性双原子分子非刚性双原子
20、分子*C动画动画:非刚性双原子分子的运动非刚性双原子分子的运动结论结论单原子分子单原子分子 3 0 3双原子分子双原子分子 3 2 5多原子分子多原子分子 3 3 6 刚性分子的自由度刚性分子的自由度分子分子自由度自由度（平动）（平动）(转动转动)(总总) 自由度自由度平动自由度平动自由度转动自由度转动自由度振动自由度振动自由度 2.能量均分原理能量均分原理（Theorem of equipartition of energy ） 在温度为在温度为T T 的平衡态气体中，分子热运动动能平均的平衡态气体中，分子热运动动能平均分配到每个分子的每个自由度上，每个分子的每个分配到每个分子的每个自由度上
21、，每个分子的每个自由度的平均动能都是自由度的平均动能都是 讨论：（1 1）每个气体分子的平均总能量为：）每个气体分子的平均总能量为： ( (重点重点) )对于刚性分子对于刚性分子 S = 0,S = 0,每个刚性气体分子的平均总动每个刚性气体分子的平均总动能为能为: :（2 2）能量均分定理是平衡态下关于热运动的统计规）能量均分定理是平衡态下关于热运动的统计规律，是对大量分子统计平均的结果。律，是对大量分子统计平均的结果。 （3 3）能量均分的成因是大量分子间无规则的碰撞。）能量均分的成因是大量分子间无规则的碰撞。3.理想气体的内能理想气体的内能(Internal energy of idea
22、l gas) ：(重点重点)气体的内能：所有分子的动能和分子间的相互作用势气体的内能：所有分子的动能和分子间的相互作用势能的总和能的总和。理想气体的内能：气体中所有分子热运动动能的总和。理想气体的内能：气体中所有分子热运动动能的总和。1mol 理想气体的内能为：理想气体的内能为：mol 理想气体的内能为：理想气体的内能为：结论：理想气体的内能是温度的单值函数，与热力结论：理想气体的内能是温度的单值函数，与热力学温度成正比，与压强和体积无关。学温度成正比，与压强和体积无关。例：理想气体系统由氧气组成，压强例：理想气体系统由氧气组成，压强P =1atm，温度，温度t = 27oC。 求求（1）单位
23、体积内的分子数；（）单位体积内的分子数；（2）分子的平均）分子的平均 平动动能平动动能 和平均转动动能；（和平均转动动能；（3）单位体积中的内能。）单位体积中的内能。解解:（1） 根据根据（2）（3）例：已知容器中装有例：已知容器中装有 、 的理想气体，其密度的理想气体，其密度 ，此气体，此气体不可燃。求：不可燃。求： 该气体的摩尔质量，并确定是何种气体。该气体的摩尔质量，并确定是何种气体。 分子的平均平动动能和平均转动动能各为多少？分子的平均平动动能和平均转动动能各为多少？ 单位体积内分子的总动能。单位体积内分子的总动能。 解：解： 可知此气体为氮气可知此气体为氮气 （3 3个自由度）个自由
24、度） （2 2个自由度）个自由度） 例：例： 刚性双原子分子理想气体，当温度刚性双原子分子理想气体，当温度为为 时，其内能为时，其内能为 （A） （C） （B） （D） （式中（式中 为摩尔气体常量，为摩尔气体常量， 为玻耳兹曼常量）为玻耳兹曼常量）（C） 例例 ：自由度为：自由度为 的一定量刚性分子理想气体，当其的一定量刚性分子理想气体，当其体积为体积为 、压强为、压强为 时，其内能时，其内能 _ 例：容积为例：容积为 的瓶子以速率的瓶子以速率 匀速运匀速运动，瓶子中充有质量为动，瓶子中充有质量为 的氦气设瓶子突然停的氦气设瓶子突然停止，且气体分子全部定向运动的动能都变为热运动动止，且气体分
25、子全部定向运动的动能都变为热运动动能，瓶子与外界没有热量交换求热平衡后氦气的温能，瓶子与外界没有热量交换求热平衡后氦气的温度、压强、内能及氦气分子的平均动能各增加多少？度、压强、内能及氦气分子的平均动能各增加多少？ 解：定向运动动能为解：定向运动动能为气体内能增量气体内能增量 按能量守恒应有：按能量守恒应有： 例：有例：有 刚性双原子分子理想气体，其刚性双原子分子理想气体，其内能为内能为 （）试求气体的压强；（）试求气体的压强； （）设分子总数为（）设分子总数为 个，求分子的平均平个，求分子的平均平动动能及气体的温度动动能及气体的温度 解解:（）设分子数为（）设分子数为 （）（） （）（） 例
26、例 ：一容积为：一容积为 的电子管，当温度为的电子管，当温度为 时，用时，用真空泵把管内空气抽成压强为真空泵把管内空气抽成压强为 的高真空，的高真空，问此时管内有多少个空气分子？这些空气分子的平均问此时管内有多少个空气分子？这些空气分子的平均平动动能的总和是多少？平均转动动能的总和是多少平动动能的总和是多少？平均转动动能的总和是多少？平均动能的总和是多少？平均动能的总和是多少？ （ ，空气分子可认为是刚，空气分子可认为是刚性双原子分子）性双原子分子）（）（） （）（） 分子的平均平动动能的总和分子的平均平动动能的总和 解：设管内总分子数为解：设管内总分子数为 （）分子的平均转动动能的总和（）分子的平均转动动能的总和（）分子的平均动能的总和（）分子的平均动能的总和（）（） 分子的平均平动动能的总和分子的平均平动动能的总和
