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1、第七章第七章 参数估计参数估计 7.1 7.1 点估计点估计一一. . 问题的提法问题的提法: :二、矩估计法二、矩估计法: : 由辛钦定理可知：样本的原点矩依概率收由辛钦定理可知：样本的原点矩依概率收敛到总体的原点矩，即敛到总体的原点矩，即据此，我们来定义一种参数的估计方法。据此，我们来定义一种参数的估计方法。定义：定义： 样本原点矩样本原点矩依概率收敛于相应的总体依概率收敛于相应的总体原点原点矩矩, , 而样本矩的连续函数依概率收敛于相应的而样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数总体矩的连续函数，所以所有的矩估计都有依，所以所有的矩估计都有依概率收敛这一性质（相合性）。概率收敛
2、这一性质（相合性）。说说明明三、极大似然估计方法三、极大似然估计方法: :说说明明理理理理论论论论依依依依据据据据极大似然估计的求解方法极大似然估计的求解方法: :2 2、直接根据定义计算。、直接根据定义计算。1 1、求解对数似然方程：、求解对数似然方程：若驻点唯一，即为极大似然估计。若驻点唯一，即为极大似然估计。例例8 8、设总体、设总体X X服从服从 0 0 , , 区间上的均匀分布区间上的均匀分布, , 求求 的极大似然估计的极大似然估计。例例9 9、设总体、设总体X X服从服从 , , + +1 1 区间上的均匀分区间上的均匀分布布, ,求求 的极大似然估计的极大似然估计。极大似然估计
3、的性质极大似然估计的性质: :例如，例例如，例8 8中参数中参数的方差的方差DXDX的极大似然估计的极大似然估计为：为：7.2. 7.2. 估计量的评选标准估计量的评选标准 1 1、无偏性、无偏性: :例例1 1、对任何总体、对任何总体X X，EXEX= =， DXDX= =2 2, ,X X1 1, ,X X2 2, , ,X Xn n是来自是来自X X的样本，证明：的样本，证明：例例2 2、X X1 1, ,X X2 2, , ,X Xn n是来自是来自XUXU( (0 0, ,) )的样本，的样本， 证明：证明： 都是都是的无偏估计。的无偏估计。2 2、有效性、有效性: :所有无偏估计中
4、方差最小的无偏估计称所有无偏估计中方差最小的无偏估计称为最小方差无偏估计，或称为有效估计。为最小方差无偏估计，或称为有效估计。上例中，上例中，n1n1时，时，例例3 3、对任何总体、对任何总体X X，EXEX= = ，DXDX= =2 2 , ,X X1 1 ， X X2 2, , , ,X Xn n 是来自是来自X X 的样本，的样本，证明：证明： 比比 有效。有效。3 3、相合性（一致估计）、相合性（一致估计）: :由辛钦定理知：由辛钦定理知：故所有的矩估计都是相合估计。故所有的矩估计都是相合估计。7 7. .3 3 区区间间估估计计 定义定义: :说说明明2 2、置信区间长度越短，估计越
5、精确，所以、置信区间长度越短，估计越精确，所以一般我们是对称的取；可以证明此时的置一般我们是对称的取；可以证明此时的置信区间长度最短。信区间长度最短。1 1、所以置信区间并不唯一。所以置信区间并不唯一。求置信区间的一般思路求置信区间的一般思路（枢轴量法）（枢轴量法）1 1、设法构造一个随机变量、设法构造一个随机变量Z=ZZ=Z( (X X1 1, ,X X2 2, , ,X Xn n; ; ) ), ,除参数除参数 外外, , Z Z不包含其他任何未知参数不包含其他任何未知参数, ,Z Z的分的分布已知布已知( (或可求出或可求出),),并且不依赖于参数并且不依赖于参数 , ,也不也不依赖于其
6、他任何未知参数。（依赖于其他任何未知参数。（Z Z即称为枢轴量）即称为枢轴量）7.4.7.4.正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计一、单个正态总体参数的区间估计一、单个正态总体参数的区间估计: :7.47.4 7.4 正态母体参数的置信区间正态母体参数的置信区间被估 条件 选用 分布 1 的置信区间参数 枢轴量 说说明明1 1、我们讲的都是双侧的置信区间，实、我们讲的都是双侧的置信区间，实际中还有单侧的置信区间，如书上的际中还有单侧的置信区间，如书上的定义。定义。2 2、若函数、若函数g g( (x x) )单调增，则：单调增，则： 若函数若函数g g( (x x) )单调减，则：单调
7、减，则：问问题题举举例例例例1 1：设设某异常某异常区区磁磁场场强强度服从度服从正态正态分布分布，现对该现对该区区进进行磁行磁测测，按，按仪仪器器规规定定其方差不得超其方差不得超过过0.010.01，今抽，今抽测测1616个点，算得个点，算得问问此此仪仪器工作是否器工作是否稳稳定定 ？例例2 2：设设样本样本为为正态正态分布分布的样本的样本，其中，其中 和和为为未知未知参数参数。设设随机随机变变量量 LL是关于是关于 的置信的置信度度为为 1 1的置信区间的的置信区间的长长度，度，求求。例例3 3：设设某种清漆某种清漆的的9 9个个样样品，其干燥品，其干燥时时间间（以小（以小时时计计）分）分别
8、为别为6.06.0、5.75.7、5.85.8、6.56.5、7.07.0、6.36.3、5.65.6、6.16.1、5.05.0设设干燥干燥时时间总体间总体服从服从正态正态分布分布，求求：（1 1） 为为0.60.6时时， 的置信的置信度度为为0.950.95的单的单侧侧置信置信上限。上限。（2 2） 为为未知，未知， 的置信的置信度度为为0.950.95的单的单侧侧置置信信上限。上限。例例4 4：随机地取某种炮：随机地取某种炮弹弹9 9发发做做试验试验，得炮口速度，得炮口速度的样本标准的样本标准差差为为 S S1111（m/sm/s），），设设炮口速度炮口速度服服从从正态正态分布。分布。求
9、求这这种炮种炮弹弹的的炮口速度地炮口速度地标准标准差差 的置信的置信度度为为0.950.95的置信区间的置信区间。二、两个正态总体的区间估计二、两个正态总体的区间估计: :用表格表示如下：用表格表示如下： 参数参数 条件条件 1 1 的置信区间的置信区间例例5 5：设设两位化两位化验员验员 A A、B B独立地独立地对对某种聚合物含某种聚合物含氯氯量量用同用同样的样的方法各作方法各作1010次次测测定定，其，其测测定定值值得得样本样本方差依方差依次次为为。设设分分别为别为 A A、BB所所测测定的定的测测定定值值总体的总体的方差，方差，设设总体总体为为正态的正态的。求求：（1 1）方差比）方差比的置信的置信度度为为0.950.95的置信区间的置信区间。（2 2）方差比）方差比的置信的置信度度为为0.950.95的单的单边边置信置信上限。上限。
