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1、上节课回顾上节课回顾信息、信号。信息、信号。信号分析、信号处理。信号分析、信号处理。测试系统、控制系统与信号处理系统。测试系统、控制系统与信号处理系统。1第第2 2章章 连续时间信号分析连续时间信号分析 本章的教学目的与要求本章的教学目的与要求 模拟信号分析是信号分析的基本内容之一，也模拟信号分析是信号分析的基本内容之一，也是本课程的最基础部分。通过对模拟信号的频谱分是本课程的最基础部分。通过对模拟信号的频谱分析，掌握信号频谱的概念以及周期信号、非周期信析，掌握信号频谱的概念以及周期信号、非周期信号和抽样信号频谱特点，为离散信号的分析打下良号和抽样信号频谱特点，为离散信号的分析打下良好的基础。
2、好的基础。 要求学生掌握周期信号、非周期信号和抽样信要求学生掌握周期信号、非周期信号和抽样信号频谱分析方法，理解与掌握周期信号、非周期信号频谱分析方法，理解与掌握周期信号、非周期信号和抽样信号频谱特点。号和抽样信号频谱特点。 2 本章基本内容本章基本内容 连续信号的时域分析连续信号的时域分析周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析傅里叶变换傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换3 本节课基本内容本节课基本内容 2.1 连续信号的时域分析连续信号的时域分析基本的连续信号基本的连续信号连续信号的运算连续信号的运算连续信号的分解连续
3、信号的分解连续信号的时域分析方法连续信号的时域分析方法 卷积法卷积法2.2 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析 傅里叶级数傅里叶级数2.2.1 正交函数正交函数 本节课重点本节课重点 典型信号及其函数和图形表示典型信号及其函数和图形表示卷积原理卷积原理4 信号分析是将一复杂信号分解为若干简单分量的叠信号分析是将一复杂信号分解为若干简单分量的叠加，并以这些分量的组成情况去考察信号的特性。加，并以这些分量的组成情况去考察信号的特性。 时域分析时域分析（波形分析）：是（波形分析）：是研究信号的幅值和相位研究信号的幅值和相位等参数、信号的稳态和交变分量随时间的变化情况等参数、信号的稳态和交变分量随时
4、间的变化情况，其，其中最常用的是把一个信号在时域上分解为具有不同延时中最常用的是把一个信号在时域上分解为具有不同延时的简单冲激信号分量的叠加，通过的简单冲激信号分量的叠加，通过卷积卷积的方法进行系统的方法进行系统的时域分析。的时域分析。 5 时域时域( (Time domain) )：方法直观；一般求解微分方：方法直观；一般求解微分方程，对复杂信号的分解很难。程，对复杂信号的分解很难。 频域频域( (Frequency domain) )：可得到直观的频谱图；：可得到直观的频谱图；对复杂信号转换成简单代数方程求解。对复杂信号转换成简单代数方程求解。 频域分析频域分析：是：是把一个复杂信号分解为
5、一系列正交函把一个复杂信号分解为一系列正交函数的线性组合数的线性组合，把信号从时域变换到频域中进行分析，把信号从时域变换到频域中进行分析，其中最基本的是把信号分解为不同频率的正弦分量的叠其中最基本的是把信号分解为不同频率的正弦分量的叠加，即用傅里叶变换（级数）的方法进行信号分析，也加，即用傅里叶变换（级数）的方法进行信号分析，也称称“频谱频谱分析分析”。62.1 连续时间信号的时域分析连续时间信号的时域分析 最为重要的方法是将信号分解为最为重要的方法是将信号分解为冲激信号冲激信号的叠加，在的叠加，在这一基础上，线性连续系统的这一基础上，线性连续系统的响应响应，可应用，可应用卷积积分卷积积分的的
6、方法来求解。方法来求解。重点掌握典型信号和卷积的原理。重点掌握典型信号和卷积的原理。2.1.1 基本的连续信号基本的连续信号1、正弦信号（正弦信号（sine） x(t) = Asin( t + )A-振幅；振幅； -角频率；角频率； -初相角。初相角。正弦信号常用于测试仪正弦信号常用于测试仪器仪表的频率特性、相位差、稳态响应等。器仪表的频率特性、相位差、稳态响应等。 t x(t)A27正弦信号是周期信号，周期为正弦信号是周期信号，周期为T，角频率为，角频率为和频率为和频率为f在信号与系统分析中，有时要用到衰减的正弦信号在信号与系统分析中，有时要用到衰减的正弦信号01x(t)t8 2、指数信号指
7、数信号 x(t) = Aeat (exponential)式中，式中，a是实常数。是实常数。若若a 0, 信号随时间而增加。信号随时间而增加。若若a 0a1)或扩展或扩展( a 1)。此此运算也称为时间轴的运算也称为时间轴的尺度倍乘或尺度变换，也可简称尺尺度倍乘或尺度变换，也可简称尺度度。22 【例【例2-1】已知信号】已知信号x(t)的波形如图，试画出的波形如图，试画出x( 3t 2)的波形。的波形。 （和书上第和书上第12页的页的例例2-1 比较比较） 2 1 o 1x(t)t 2 1 o 1x(3t)t 2 1 o 1x( 3t)t 2 1 o 1x( 3t 2)t因为倍乘（尺度）因为倍
8、乘（尺度）关系，所以，时间关系，所以，时间轴轴t上的移位应该上的移位应该是尺度变换以后的是尺度变换以后的数值。数值。2/3234. 信号微分信号微分(differential) 信号信号x(t)的微分运算是指的微分运算是指x(t)对对t取导数，即取导数，即o 1 2x(t)to x (t)t 1 2 信号信号x(t)经经微分微分后突出了它的后突出了它的变化变化部分。部分。24o x(t)t 1 21 5. 信号积分信号积分(integration) 信号信号x(t)的积分运算是指的积分运算是指x( )在在(，t)区间内的区间内的定定积分积分(definite integration)，即，即
9、信号信号x(t)经经积分积分后，后，突变部分可变的突变部分可变的平滑平滑，利用这一作用可削弱利用这一作用可削弱信号中的毛刺的影响。信号中的毛刺的影响。o t 1 2125（三）两信号的相加或相乘（三）两信号的相加或相乘 x1(t) = sin t x2(t) = sin8 t x1(t) + x2(t) = sin t + sin8 t 纵轴上平移纵轴上平移 x1(t) x2(t) = sin t sin8 t 幅值钳位幅值钳位26 x1(t)t x2(t)tx1(t)+x2(t)t27 x1(t)t x2(t)t x1(t) x2(t)t282.1.3 连续信号的时域分解连续信号的时域分解
10、为了便于分析与处理，有时需要将信号分解为一些简为了便于分析与处理，有时需要将信号分解为一些简单的基本信号之和，犹如在力学中将任一方向的力分解单的基本信号之和，犹如在力学中将任一方向的力分解为几个分力一样。信号可以从不同角度分解：为几个分力一样。信号可以从不同角度分解： 1. 直流分量与交流分量直流分量与交流分量 信号信号平均值平均值即为信号的即为信号的直流分量。从原信号去掉直直流分量。从原信号去掉直流分量即为信号的交流分量。流分量即为信号的交流分量。 x(t) = xD + xA(t) x(t)t xA(t)t xD(t)t292. 奇分量与偶分量奇分量与偶分量(odd & even) xe(
11、t) = xe( t) xo(t) = xo( t) x(t) = 0.5 x(t) + x(t) + x( t) x( t) = 0.5 x(t) + x( t) + 0.5 x(t) x( t) xe(t) = 0.5 x(t) + x( t) xo(t) = 0.5 x(t) x( t) -2 1 o 1 2xe(t)t10.5x(t)t1-2 1 o 1 2 xo(t)t0.5-2 1 o 1 230x(t)to1xe(t)to0.5xo(t)to0.531t 0 x(t)t1 t1 在任意时刻在任意时刻t = t1时时,脉脉冲可表示为冲可表示为 3. 脉冲分量（脉冲分量（impuls
12、e） 一个复杂信号可以分解为一系列具有不同时延的矩形一个复杂信号可以分解为一系列具有不同时延的矩形窄脉冲的窄脉冲的叠加叠加（Linear System）。）。x(t1)u(t t1) u t t1 t1 )32 当当 t1 , ,窄脉冲变为冲激函数。所以窄脉冲变为冲激函数。所以, ,任意复杂信任意复杂信号分解为具有不同时延冲激信号的叠加号分解为具有不同时延冲激信号的叠加, ,其冲激强度即为其冲激强度即为冲激处的函数值冲激处的函数值x (t1)与与 t1 的乘积。的乘积。 上式实际上是函数的卷积积分表达式上式实际上是函数的卷积积分表达式, ,表明：表明：时域里时域里任意函数等于这一函数与冲激函数
13、的卷积任意函数等于这一函数与冲激函数的卷积, ,卷积的几何解卷积的几何解释是上述一系列矩形窄脉冲的求极限过程释是上述一系列矩形窄脉冲的求极限过程。 33 4. 实部分量与虚部分量实部分量与虚部分量(real & imaginary)若若 x(t)是复函数是复函数 x(t) = xr(t) + j xi (t) 共轭函数共轭函数 x*(t) = xr(t) j xi (t) x(t) x*(t) = | x(t)|2 = xr2(t) + xi2(t) 虽然虽然实际信号都是实函数实际信号都是实函数，但在信号分析理论中，但在信号分析理论中，常借助复信号来研究实信号的问题。它可以建立某些常借助复信号
14、来研究实信号的问题。它可以建立某些有益的概念或有益的概念或简化运算简化运算。 345. 正交函数分解（正交函数分解（2.2.1中详细介绍中详细介绍）(orthogonal) 如果用正交函数集来表示一个信号，那么组成信号如果用正交函数集来表示一个信号，那么组成信号的各分量就是相互正交（的各分量就是相互正交（垂直，夹角为垂直，夹角为90度度）的。例如，）的。例如，用各次谐波用各次谐波(harmonic )的的正弦与余弦信号正弦与余弦信号叠加表示一个叠加表示一个矩形脉冲，各正弦、余弦信号就是此矩形脉冲信号的正矩形脉冲，各正弦、余弦信号就是此矩形脉冲信号的正交函数分量。交函数分量。 把信号分解为正交函
15、数分量的研究方法，在信号与把信号分解为正交函数分量的研究方法，在信号与系统理论中占有重要地位，这将使本课程的主要课题之系统理论中占有重要地位，这将使本课程的主要课题之一。一。352.1.4 连续信号的时域分析方法连续信号的时域分析方法卷积法卷积法(convolution) (i) 输入信号可分解为一系列矩形窄脉冲输入信号可分解为一系列矩形窄脉冲 时的极时的极限限不同时延冲激信号分量的叠加不同时延冲激信号分量的叠加 (ii) 分别求出每个冲激信号分量的响应分别求出每个冲激信号分量的响应 (iii) 根据根据LS的叠加性（的叠加性（additivity ），各分量响应的叠，各分量响应的叠加得到系统
16、总的输出响应。加得到系统总的输出响应。 h(t)y(t)x(t) 1、卷积法求线性系统（、卷积法求线性系统（LS）的）的零状态响应零状态响应 设一线性系统，其初始条件为设一线性系统，其初始条件为0（齐次性，（齐次性，homogeneity），若系统的，若系统的冲激响应为冲激响应为h(t)，当输入为当输入为x(t)时，可用卷积法求出其零状态响应时，可用卷积法求出其零状态响应y(t)。36t 0 x(t) t 0 x()h(t )t 0 y(t)372.卷积运算的图解卷积运算的图解(i) 变量置换变量置换 t ，将，将x(t), h(t) x(), h( )；(ii) 反褶反褶 h( ) h( )
17、 时间轴反转时间轴反转 ；(iii)平移平移 h( ) h(t ) ；(iv)相乘相乘 x( )与与h(t ) 两图形相乘，有重叠部分即为两图形相乘，有重叠部分即为乘积值，不重叠部分乘积为零；乘积值，不重叠部分乘积为零；(v)积分求和积分求和 x( )与与h(t ) 乘积曲线下的面积，就是乘积曲线下的面积，就是t时刻的卷积值。不断平移时刻的卷积值。不断平移h(t-)，h(t-) 和和x( )两图形两图形无重合面积为止，即可得到所有响应时刻的卷积值。无重合面积为止，即可得到所有响应时刻的卷积值。举例说明举例说明 0 x(t)t0.5 0 h(t)t38（a）变量置换）变量置换（d）最终卷积结果）
18、最终卷积结果 0 x() 0.5 0 h()（b）反褶）反褶0.5 1 0h( )（c）平移相乘）平移相乘 0 t x() h(t ) 0 x() h(t )y(t)t0 2 0 t x()h(t ) 0 t x()h(t )39 t 0 y(t) = x(t) h(t) = 00 t 11 t 2 y(t) = x(t) h(t) = 0积分限表示的是积分限表示的是x()和和h()的交叉部分。如果的交叉部分。如果交叉部分的长度一直在交叉部分的长度一直在变，则积分限中有变量；变，则积分限中有变量；如果在一段内，交叉部如果在一段内，交叉部分的长度不变，则积分分的长度不变，则积分限为常值。限为常值
19、。40 卷积的性质卷积的性质（）（）任意函数与冲激函数的卷积仍为该函数本身任意函数与冲激函数的卷积仍为该函数本身x(t) (t t0) = x(t t0) （）（）任意函数任意函数 x(t)与阶跃函数的卷积有与阶跃函数的卷积有（）（）交换律交换律 x1(t) x2(t) = x2(t) x1(t) （）（）分配律分配律 x1(t) x2(t) + x3(t) = x1(t) x2(t) + x1(t) x3(t) 41物理意义物理意义： (i)(i)线性系统对于几个相加输入信号的零状态响应等线性系统对于几个相加输入信号的零状态响应等于每个激励单独作用的叠加。于每个激励单独作用的叠加。 (ii)
20、 (ii)由冲激响应为由冲激响应为h1(t)及h2(t)的并联系统等效于一个的并联系统等效于一个冲激响应为冲激响应为h1(t)+h2(t)的系统。的系统。 h(t)y(t)x1(t)+ x2(t)y(t)+ + + h(t)y1(t)x1(t) h(t)y2(t)x2(t)y(t)+ + + h1(t)y1(t) h2(t)y2(t)x(t) h1(t)+ h2(t) y(t)x(t)42（）（）结合律结合律 x1(t) x2(t) x3(t) = x1(t) x2(t) x3(t)若冲激响应分别为若冲激响应分别为h1(t)和h2(t)的串联系统可等效为一个的串联系统可等效为一个冲激响应为冲激
21、响应为h1(t) h2(t)系统系统。 h1(t) x(t) h2(t) y(t) h1(t) h2(t) y(t)x(t)43（6）两函数卷积后的导数等于其中一函数之导数与另两函数卷积后的导数等于其中一函数之导数与另一函数之卷积，即一函数之卷积，即44（7）两函数卷积后的积分等于其中一函数之积分与另两函数卷积后的积分等于其中一函数之积分与另一函数之卷积，即一函数之卷积，即452.2 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析 傅里叶级数傅里叶级数 2.2.1 正交函数正交函数1、正交矢量（、正交矢量（vector）斜投影斜投影xx y y 当当 =90 ，称，称v1与v2相互垂直的矢量为正交矢量。
22、相互垂直的矢量为正交矢量。 将一个平面中的任意矢量在直角坐标中分解为两个将一个平面中的任意矢量在直角坐标中分解为两个正交矢量的组合。把相互正交的两个矢量组成一个二维正交矢量的组合。把相互正交的两个矢量组成一个二维的的“正交矢量集正交矢量集”。在此平面上的任意分量都可用二维。在此平面上的任意分量都可用二维正交矢量集的分量组合来表示。正交矢量集的分量组合来表示。 可推广应用于可推广应用于n维信号矢量空间。维信号矢量空间。垂直投影垂直投影x y v462正交函数正交函数 假假定定，要要在在区区间间t1，t2内内用用函函数数x2(t)近近似似表表示示x1(t) x1(t) c12x2 (t) 这这里里
23、的的系系数数怎怎样样选选择择才才能能得得到到最最佳佳的的近近似似？我我们们选选择择误误差差的的方方均均值值（或或均均方方值值）最最小小，这这时时，可可以以认认定定已已经得到了最好的近似。经得到了最好的近似。均方误差均方误差定义为定义为47上上式式表表示示x1(t)有有x2(t)的的分分量量，此此分分量量的的系系数数是是c12。如如果果c12等等于于零零，则则x1(t)不不包包含含x2(t)的的分分量量，这这种种情情况况称称为为：x1(t)与与x2(t)在在区区间间 t1，t2 内内正正交交。得得出出两两函数在区间函数在区间 t1，t2 内正交的条件是内正交的条件是 【例例2-2】 试试用用正正
24、弦弦函函数数sint在在区区间间 0，2 内内来近似表示余弦函数来近似表示余弦函数cost。 解：显然，由于解：显然，由于cost与与sint两函数正交。两函数正交。 48 【例【例2-3】设矩形脉冲设矩形脉冲x (t)有如下定义有如下定义波波形形如如图图，试试用用正正弦弦波波sint在在区区间间 0，2 内内近近似似表表示此函数，使均方误差最小。示此函数，使均方误差最小。 解：函数解：函数x(t)在区间在区间 0，2 内近似为内近似为x(t) = c12 sin t为使均方误差最小，为使均方误差最小，c12应满足应满足4950 3. 正交函数集正交函数集 定义：定义：假设有假设有n个函数个函
25、数g1(t)，g2(t)，gn(t)构成构成的一个函数集，这些函数在区间的一个函数集，这些函数在区间 t1，t2 内满足如下的正内满足如下的正交特性交特性其中其中ki为常数，则函数序列为常数，则函数序列g1(t), g2(t), g3(t), , gn(t)是是t1，t2区间上的正交函数集。区间上的正交函数集。 三角函数（三角函数（trigonometric function）序列）序列1, cos 1t , cos2 1t , cos3 1t , , cosn 1t , ， sin 1t , sin2 1t , sin3 1t , sinn 1t , 为区间为区间0, 2 / 1上的正交函数
26、上的正交函数集。集。51令令任任一一函函数数x(t)在在区区间间 t1，t2 内内由由这这n个个互互相相正正交交的的函数线性组合所近似，表示式为函数线性组合所近似，表示式为x(t) c1 g1(t) + c2 g2(t) + + cn gn(t)为为满满足足最最佳佳近近似似的的要要求求，可可利利用用均均方方误误差差最最小小的的条条件件求系数求系数c1，c2，cn。均方误差表示式为。均方误差表示式为52 4 4、完备完备( (perfect) )正交函数集正交函数集 定义一定义一 :如果用正交函数集如果用正交函数集 gi(t)在区间在区间 t1，t2 内近似表达函数内近似表达函数x(t)，即，即
27、x(t) c1 g1(t) + c2 g2(t) + + cn gn(t)若令若令n，其均方误差的极限等于零，其均方误差的极限等于零则此正交函数集为完备正交函数集。则此正交函数集为完备正交函数集。如如果果对对某某一一正正交交函函数数集集ki = 1，称称此此正正交交函函数数集集为为“归归一一化正交函数集化正交函数集”。53 定义二定义二 如果在正交函数集如果在正交函数集g1(t)，g2(t)，gn(t)之外，不存在函数之外，不存在函数f(t)满足等式满足等式则此函数集称为完备正交函数集。则此函数集称为完备正交函数集。常用的完备正交函数集有常用的完备正交函数集有（1）三角函数）三角函数 1，co
28、s 1t， cos2 1t， ，cosn 1t sin 1t，sin2 1t， ，sinn 1t （2）复指数函数）复指数函数 e jn 1, n=0, 1, 2, （3）沃尔什函数）沃尔什函数 Wal(k, t)54 数学上可以证明，当函数数学上可以证明，当函数x(t)在区间在区间t1 t2内具有连内具有连续的一阶导数和逐段连续的二阶导数，续的一阶导数和逐段连续的二阶导数，x(t)可以用完备的可以用完备的正交函数集来表示，这就是所谓的函数正交函数集来表示，这就是所谓的函数“正交分解正交分解”。 对于任意周期信号对于任意周期信号x(t) = x(t + nT1) ，在满足狄里赫，在满足狄里赫利
29、条件下，可展成傅里叶级数。狄里赫利条件：利条件下，可展成傅里叶级数。狄里赫利条件： 1）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；数目应是有限个； 2）在一个周期内，极大值与极小值的数目应是有限）在一个周期内，极大值与极小值的数目应是有限个；个； 3）在一个周期内，信号是绝对可积的，即）在一个周期内，信号是绝对可积的，即55下节课内容2.2 周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析傅里叶级数傅里叶级数周期信号的频谱分析周期信号的频谱分析 傅里叶级数傅里叶级数 典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数 吉布斯现象吉布斯现象 2.3
30、非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析 傅里叶变换傅里叶变换 傅里叶变换傅里叶变换 56 作业作业P552-12-22-32-457结 束581、字体安装与、字体安装与设置置如果您对PPT模板中的字体风格不满意，可进行批量替换，一次性更改各页面字体。1.在“开始”选项卡中，点击“替换”按钮右侧箭头，选择“替换字体”。（如下图）2.在图“替换”下拉列表中选择要更改字体。（如下图）3.在“替换为”下拉列表中选择替换字体。4.点击“替换”按钮，完成。592、替、替换模板中的模板中的图片片模板中的图片展示页面，您可以根据需要替换这些图片，下面介绍两种替换方法。方法一：更改图片方法一：更改图片1.选中模版中的图片（有些图片与其他对象进行了组合，选择时一定要选中图片本身，而不是组合）。2.单击鼠标右键，选择“更改图片”，选择要替换的图片。（如下图）注意：注意：为防止替换图片发生变形，请使用与原图长宽比例相同的图片。59赠送精美图标
