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1、偏微分方程教程 第四章 双曲型方程1偏微分方程教程 第四章 双曲型方程2 一维波动方程一维波动方程 2.1. 2.1. 齐次波动方程的齐次波动方程的CauchyCauchy问题和特征线法问题和特征线法 最简单的一维齐次双曲型方程是关于无界弦的自由振动问题, 在忽略其边界的影响时，它可归结为如下的定解问题 (2.1) 满足初始条件 (2.2) 其中 是一个正常数，函数 是定义在区间 上的已知函数. 2 特征线法是求解一维双曲型方程Cauchy问题最基本的方法，这个方法的实质是将方程沿特征线积分. 由第三章的特征概念知, 方程(2.1)的特征方程是 由此求得特征曲线为其中 为任意常数. 为了将方程
2、(2.1)化成第一标准型, 引入自变量变换即把特征线当作坐标线，则方程(2.1)变成 (2.3)偏微分方程教程 第四章 双曲型方程3偏微分方程教程 第四章 双曲型方程改写(2.3)为 可以看出 不依赖于 变量, 于是有 其中 是 的任意连续可微函数, 再对 积分, 得到 若令 ,可得 其中 和 都是任意的二阶连续可微函数. 回到原来的变量 和 , 于是波动方程(2.1) 的通解为 (2.4) 4偏微分方程教程 第四章 双曲型方程 现在我们利用初始条件(2.2)来确定任意函数 和 , 由等式(2.4)有 对等式(2.6)积分, 得出 其中是 任意常数. 由等式(2.5)和(2.7)解出和为 代入
3、(2.4),我们得到 这个公式称为Cauchy问题的达朗贝尔达朗贝尔(DAlembert)(DAlembert)公式公式. . (2.5)(2.6)(2.7)5偏微分方程教程 第四章 双曲型方程 到目前为止, 表达式(2.8)还只能说是Cauchy问题(2.1), (2.2)的形式解形式解. 为了使它确实是Cauchy问题(2.1), (2.2) 的解, 我们需要对初值 加上一定的条件. 定理定理4.34.3 若 , 则由DAlembert公式(2.8)表示的函数 是Cauchy问题(2.1), (2.2)解. 证明留作习题，请读者自己完成. 下面我们讨论Cauchy问题(2.1), (2.2
4、)解的稳定性稳定性. 定理定理4.44.4 假设对任意给定 的, 总可找到这样的 , 当初始数据 与 满足不等式 时, 则与之相对应的Cauchy问题的解 与 满足 6偏微分方程教程 第四章 双曲型方程 证证: :只要取 即可. 综上所述，Cauchy问题(2.1), (2.2)的解是适定的. 另一方面，若将方程(2.1)写成如下算子形式 且令 , 则可以得到如下一阶线性偏微分方程组 (2.9) 按照第二章关于一阶线性偏微分方程的求解，我们也可以获得DAlembert公式(2.8). 7偏微分方程教程 第四章 双曲型方程 上面对弦振动方程求解的特征线法, 亦适用于类似方程的Cauchy问题.
5、例例1 1 求解Cauchy问题 (2.10)其中 和 都是已知函数. 解解: : 容易求出(2.10)中的方程的特征曲线 作自变量变换 8偏微分方程教程 第四章 双曲型方程就可把(2.10)中的方程化成标准型 为了求出方程(2.11)的通解, 我们令 则方程(2.11)化为 若把 看作参数, 方程(2.13)就是以 为自变量的线性常微分方程, 其通解可写为 其中 是 的任意函数. 将此表达式代入方程(2.12), 得(2.13)(2.11)(2.12)9偏微分方程教程 第四章 双曲型方程再对 求积分, 便得方程(2.11)的通解 其中 是 的任意函数. 若令 , 上式可写成 其中 和 都是其
6、变元的任意连续可微函数. 变回到原来的变量 和 , 便得到方程(2.10)的通解为 (2.14)下面我们利用(2.10)中的初始条件来确定任意函数 和 .首先,容易得到下面两个等式： (2.15)10偏微分方程教程第四章双曲型方程 对 微分(2.15),得 用 乘以上式再与(2.16)相加,得 由此推得 其中 为任意常数. 再将 的表达式代入(2.15), 得 (2.16)11偏微分方程教程第四章双曲型方程于是Cauchy问题的解可写成 利用分部积分法, 它又可化为 至于在什么条件下, 这个函数才是Cauchy问题(2.10)的解以及解的惟一性和稳定性问题, 这里就不详细讨论了. 12个人观点供参考，欢迎讨论
