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1、信号与系统信号与系统5.7.4 LTI系统的稳定性1信号与系统信号与系统一系统稳定性的定义一系统稳定性的定义系统稳定系统稳定定义为任何有界的输入将引起有界的输出，简称定义为任何有界的输入将引起有界的输出，简称BIBO稳定稳定（Bounded Input Bounded Output）连续时间连续时间LTI系统为因果系统的充要条件为系统为因果系统的充要条件为连续时间、连续时间、因果因果LTI系统系统稳定的充要条件稳定的充要条件是冲激响应绝对可积，即是冲激响应绝对可积，即 系统稳定性是系统稳定性是系统本身的特性系统本身的特性，与输入信号无关。，与输入信号无关。 连续时间连续时间LTI系统稳定性的问
2、题和系统系统稳定性的问题和系统因果性因果性是密切相关的，这里只考是密切相关的，这里只考虑因果系统的稳定性。虑因果系统的稳定性。2信号与系统信号与系统（1）当）当 H(s) 的所有的所有极点极点全部位于平面的全部位于平面的左半平面左半平面，不不在在虚轴上虚轴上，则系统，则系统是稳定的。是稳定的。（2）当）当H(s)在平面在平面虚轴虚轴上有上有一阶极点一阶极点，其余所有极点全部位于，其余所有极点全部位于平面的平面的左半平面左半平面，则系统是，则系统是临界稳定临界稳定的。的。（3）当）当H(s)含有含有右半平面的极点右半平面的极点或虚轴上有二阶或二阶以上的或虚轴上有二阶或二阶以上的极点时，系统是不稳
3、定的。极点时，系统是不稳定的。由系统函数的由系统函数的极点分布极点分布可以判断连续时间、可以判断连续时间、因果因果LTI系统系统稳定性系统系统稳定性二系统稳定性的判断二系统稳定性的判断H(s) 的假分式时，不稳定。的假分式时，不稳定。H(s) 的真分式，有可能稳定。的真分式，有可能稳定。由系统函数判断连续时间、由系统函数判断连续时间、因果因果LTI系统系统稳定性系统系统稳定性3信号与系统信号与系统二系统稳定性的判断二系统稳定性的判断当系统的当系统的参数都是给定具体数值参数都是给定具体数值时，当然可以应用上面讨论的方法，时，当然可以应用上面讨论的方法，计算计算出系统函数的出系统函数的每一个极点每
4、一个极点，然后根据，然后根据极点位置极点位置来判断系统是否稳定来判断系统是否稳定 。但在系统有但在系统有参数是未定参数是未定，或需要判断系统参数满足什么条件下系统是否稳，或需要判断系统参数满足什么条件下系统是否稳定一类问题时，应用上面的方法就很不方便了。定一类问题时，应用上面的方法就很不方便了。 必须借助于其他稳定性的判别方法必须借助于其他稳定性的判别方法 劳斯（劳斯（Rooth)判据判据霍尔维茨霍尔维茨(Horwitz)判据判据 简单详细介绍这两个判据，然后介绍由这两个判据得到的适用简单详细介绍这两个判据，然后介绍由这两个判据得到的适用3阶或阶或3阶阶以下以下系统稳定的简化的判别方法。系统稳
5、定的简化的判别方法。 4信号与系统信号与系统霍尔维茨（霍尔维茨（Hurwitz）判断法）判断法 设设阶连续线性时不变系统的系统函数为阶连续线性时不变系统的系统函数为其中，其中，与与均为实常数。均为实常数。 的各的各项系数系数都不等于零，并且都不等于零，并且全全为正正实数或全数或全为负实数。数。 系统稳定的系统稳定的必要条件必要条件是：是：霍尔维茨多项式：霍尔维茨多项式： 5信号与系统信号与系统【例【例5-7-55-7-5】已知系】已知系统函数函数如下，如下，试判断判断该系系统是否是否稳定？定？ ； 解：（解：（1）分母多项式即有正系数有负系数，所以系统不稳定；分母多项式即有正系数有负系数，所以
6、系统不稳定；（2）分母多项式中缺项，所以系统不稳定；分母多项式中缺项，所以系统不稳定； 6信号与系统信号与系统（3 3）分母多分母多项式式满足足稳定系定系统的必要条件，但是否的必要条件，但是否稳定定还需需进一步分解一步分解检验。 对进行因式分解，得行因式分解，得 可见，可见，有一对有一对正实部正实部的共轭复根，所以该系统不稳定。的共轭复根，所以该系统不稳定。7信号与系统信号与系统罗斯（罗斯（Routh）判断法）判断法 设设阶连续线性时不变系统的系统函数为阶连续线性时不变系统的系统函数为其中，其中，与与均均为实常数。常数。 的分母多项式为的分母多项式为将各项系数排成罗斯表，即将各项系数排成罗斯表
7、，即l罗斯斯阵列前两行由列前两行由多多项式的系数构成。式的系数构成。 l第三行以后的系数由递推式计算。第三行以后的系数由递推式计算。8信号与系统信号与系统依此依此类推，将推，将罗斯表列出。如果是斯表列出。如果是阶系系统，行。行。 罗斯表就有斯表就有9信号与系统信号与系统罗斯准则为：罗斯准则为：（1）阵列中首列元素同号时，其根全位于）阵列中首列元素同号时，其根全位于左半平面，则系统为稳定系统；左半平面，则系统为稳定系统；右半平面根，右半平面根的个数右半平面根，右半平面根的个数（2）阵列中首列元素有列中首列元素有变号号时，则含有含有为变号次数，号次数，则系系统为不不稳定系定系统。 通常联合使用罗斯
8、通常联合使用罗斯霍尔维茨准则：（简化判别过程）霍尔维茨准则：（简化判别过程）(1)使用霍尔维茨准则剔除不稳定的系统。使用霍尔维茨准则剔除不稳定的系统。(2)满足霍尔维茨准则的，还不能确定系统的稳定的性。可以罗斯准则最终确满足霍尔维茨准则的，还不能确定系统的稳定的性。可以罗斯准则最终确 定其稳定性。定其稳定性。10信号与系统信号与系统则有则有即即 罗斯阵列为罗斯阵列为【例【例5-7-6】已知某因果系统的系统函数为】已知某因果系统的系统函数为 ，应该满足什么条件？应该满足什么条件？为使系统稳定，为使系统稳定，要使系统稳定，有要使系统稳定，有的系数必须全部大于的系数必须全部大于解：要使系统稳定，则解
9、：要使系统稳定，则故故11信号与系统信号与系统，【例【例5-7-7】对于三阶系统，分母多项式为】对于三阶系统，分母多项式为应该满足什么条件？应该满足什么条件？为使系统稳定，为使系统稳定，解：若解：若，不，不难得出得出 ，系统稳定的必要条件为，系统稳定的必要条件为 列写由罗斯阵列列写由罗斯阵列使系统稳定，根据罗斯判据使系统稳定，根据罗斯判据 即即 12信号与系统信号与系统二系统稳定性的判断二系统稳定性的判断（1）一阶系统）一阶系统 ，显然只要参数满足，显然只要参数满足 即为稳定。即为稳定。 为临界稳定。为临界稳定。（3）三阶系统）三阶系统 必须满足条件必须满足条件 且且 系统才是稳定的系统才是稳
10、定的 （2）二阶系统）二阶系统 只要参数满足只要参数满足 即为稳定。即为稳定。 或或 属于为临界稳定。属于为临界稳定。假设系统函数分母多项式的假设系统函数分母多项式的最高项系数为最高项系数为1三阶以下系统稳定的判定的充要条件三阶以下系统稳定的判定的充要条件13信号与系统信号与系统二系统稳定性的判断二系统稳定性的判断例：例：设系统方框图如图所示，求设系统方框图如图所示，求（1）系统函数）系统函数H(s)（2）系统稳定，参数）系统稳定，参数K满足的条件满足的条件解：解： 由由Mason公式可以很容易求得系统函数为公式可以很容易求得系统函数为14信号与系统信号与系统二系统稳定性的判断二系统稳定性的判
11、断 由系统函数可知，系统属于由系统函数可知，系统属于 3 阶，所以系统稳定要满足的条件为阶，所以系统稳定要满足的条件为并且并且即即15信号与系统信号与系统二系统稳定性的判断二系统稳定性的判断例：例： 设运放是理想的，求电路系统的：设运放是理想的，求电路系统的：（1）系统函数）系统函数（2）为使电路系统稳定，求）为使电路系统稳定，求 K 值范围值范围（3）欲使电路临界稳定，求）欲使电路临界稳定，求 K 值以及此时电路的冲激响应值以及此时电路的冲激响应h ( t ) 16信号与系统信号与系统二系统稳定性的判断二系统稳定性的判断解：解：（1）对节点）对节点U3列写节点方程列写节点方程同时有同时有由上述两方程容易求得由上述两方程容易求得17信号与系统信号与系统二系统稳定性的判断二系统稳定性的判断（2） 显然，系统稳定条件为显然，系统稳定条件为（3）临界稳定时，临界稳定时， ，这时，这时所以系统的冲激响应为所以系统的冲激响应为 18信号与系统信号与系统作业作业 2013-6-20P183 5-15， 5-1719
