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1、31.3空空间间向量的数量向量的数量积积运算运算学学习习目目标标1.掌握空掌握空间间向量的向量的夹夹角与角与长长度的概念度的概念2掌掌握握空空间间向向量量的的数数量量积积的的定定义义、性性质质、运运算算律律及及计计算方法算方法3能用向量的数量能用向量的数量积积判断向量共判断向量共线线与垂直与垂直 课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练空空间间向向量量的的数数积积运运算算课前自主学案课前自主学案课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基夹夹角角数量数量积积|a|b|cos a，ba，babba(ab)a(b)a(bc)abac知新益能知新益能aba，b0，2空空间间向量的数量向量的数量积
2、积(1)定定义义：已已知知两两个个非非零零向向量量a，b，则则|a|b|cosa，b叫做叫做a，b的数量的数量积积，记记作作ab.(2)数量数量积积的运算律：的运算律：数乘向量与向量数乘向量与向量数量积的结合律数量积的结合律(a)b_交换律交换律ab_分配律分配律a(bc)_(ab)baabac1a，b与与b，a的的关关系系是是怎怎样样的的？a，b与与a，b的关系呢？的关系呢？提提示示：a，bb，a；a，ba，b2(1)两两个个向向量量a、b垂垂直直的的充充要要条条件件是是ab0，对吗对吗？(2)若若ab0，则则a0或或b0，对吗对吗？提示：提示：(1)不不对对；(2)不不对对问题问题探究探究
3、课堂互动讲练课堂互动讲练空间向量数量积的运算空间向量数量积的运算考点一考点一考点一考点一考点突破考点突破在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表几何性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算在解题过程中注意适当地设向示后再进行运算在解题过程中注意适当地设向量，以简化步骤量，以简化步骤例例例例1 1【思路点思路点拨拨】用数量积解决夹角问题用数量积解决夹角问题考点二考点二考点二考点二 已已知知空空间间四四边边形形OABC各各边边及及对对角角线线长长都都相相等等，E，F分分别别为为AB，OC的的中中点点，
4、求求异异面面直直线线OE与与BF所成角的余弦所成角的余弦值值例例例例2 2互互动动探探究究2在在上上面面的的空空间间四四边边形形中中，求求OA与与BC所成的角所成的角用数量积解决两点间的距离问题用数量积解决两点间的距离问题考点三考点三考点三考点三 已已知知空空间间四四边边形形ABCD的的每每条条边边和和对对角角线线的的长长都都是是a，点点M、N分分别别是是边边AB、CD的的中中点点，求求MN的的长长例例例例3 3利用向量解决垂直问题利用向量解决垂直问题考点四考点四考点四考点四证证明明两两直直线线的的垂垂直直可可以以转转化化为为证证明明这这两两直直线线的的方方向向向向量量垂垂直直，将将两两个个方
5、方向向向向量量表表示示为为几几个个已已知知向向量量a，b，c的的线线性性形形式式，然然后后利利用用数数量量积积说说明明两两直直线线的的方方向向向向量量垂垂直直，进进而而转转化化为为直直线线垂垂直直例例例例4 4 在在正正方方体体ABCDA1B1C1D1中中，O为为AC与与BD的的交交点点，G为为CC1的的中中点点，求求证证：A1O平平面面GBD.【思思路路点点拨拨】设设法法证证明明A1O与与平平面面GBD内内的的两相交直两相交直线线垂直垂直变变式式训训练练3 在在三三棱棱锥锥SABC中中，SABC，SBAC，求，求证证：SCAB.方法感悟方法感悟1对对向量数量向量数量积积的理解的理解(1)ab是是数数量量而而不不是是向向量量，ab的的正正负负由由cosa，b确定确定(2)ab是是两两向向量量之之间间的的一一种种乘乘法法，与与数数的的乘乘法法不不同同书书写写时应时应写成写成ab，而不能写成，而不能写成ab.(3)ab的的几几何何意意义义为为：ab等等于于a的的模模|a|与与b在在a方方向向上上的的投投影影|b|cosa，b的的乘乘积积，也也等等于于向向量量b的的模模|b|与与a在在b方向上的投影方向上的投影|a|cosa，b的乘的乘积积(4)零向量与任何向量的数量零向量与任何向量的数量积积都都为为0，即，即0a0.
