地球重力场及地球形状的基本理论课件

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1、第三章第三章 地球重力场及地球形状地球重力场及地球形状 的基本理论的基本理论地球重力场及地球形状的基本理论课件第一节 地球及其运动的基本概念1.1.地球概说地球概说 1 1）地球的基本形状）地球的基本形状 地球表面积：地球表面积：5.15.1亿亿KmKm2 2，海洋占，海洋占70.8%70.8%，陆地占，陆地占29.2%29.2% 地球体积为地球体积为1083010830亿亿KmKm3 3 地球的实际形状很不规则。从总地球的实际形状很不规则。从总体情况看，地球的形状可用大地体体情况看，地球的形状可用大地体来描述：是一个两极略扁，赤道突来描述：是一个两极略扁，赤道突出，略显出，略显“梨形梨形”的

2、球体。的球体。 为计算和研究的方便，通常用旋转为计算和研究的方便，通常用旋转椭球来表达地球形状。椭球来表达地球形状。地球重力场及地球形状的基本理论课件2 2）地球大气）地球大气 大气厚度：大气厚度：200020003000km3000km； 大气质量：大气质量：3.9103.9102121克克 从地面由低到高可分为：对流层，平流层，中层，电离层从地面由低到高可分为：对流层，平流层，中层，电离层( (热层热层) )，外层外层( (散逸层散逸层),),对电磁波传播的影响，主要是对流层和电离层。对电磁波传播的影响，主要是对流层和电离层。 对流层：海平面以上对流层：海平面以上404050km50km；

3、气温随高度增加而降低；空气对流，；气温随高度增加而降低；空气对流，运动显著；湿度大；天气多变。运动显著；湿度大；天气多变。 平流层：对流层以上平流层：对流层以上505055km55km，气温不受地面影响；空气水平运动；，气温不受地面影响；空气水平运动；水汽含量极少。水汽含量极少。 中中 层：平流层以上层：平流层以上808085km85km，气温随高度增加而迅速下降，空气，气温随高度增加而迅速下降，空气对流。对流。 第一节 地球及其运动的基本概念地球重力场及地球形状的基本理论课件电离层：中层顶部到电离层：中层顶部到800km800km的高空；温度随高度增加而急剧上升的高空；温度随高度增加而急剧上

4、升，大部分空气被电离，对电磁波的传播影响较大。，大部分空气被电离，对电磁波的传播影响较大。外外 层：又称散逸层，电离层以上；空气十分稀薄；受地球引力层：又称散逸层，电离层以上；空气十分稀薄；受地球引力小。小。2.2.地球运动概说地球运动概说1 1）地球自转：）地球自转： 地球自转的线速度：地球自转的线速度：xyzoVR第一节 地球及其运动的基本概念地球重力场及地球形状的基本理论课件2 2）地球公转：）地球公转： 地球公转遵循开普勒三定律和万有引力定律。地球公转遵循开普勒三定律和万有引力定律。 开普勒三大行星定律开普勒三大行星定律 a a 行星运行的轨道是一个椭圆，而该椭圆的一个焦点与太阳的质行

5、星运行的轨道是一个椭圆，而该椭圆的一个焦点与太阳的质心相重合心相重合 远日点远日点近日点近日点f第一节 地球及其运动的基本概念地球重力场及地球形状的基本理论课件b b 行星质心与太阳质心间的距离向量，在相同的时间内所扫过的面行星质心与太阳质心间的距离向量，在相同的时间内所扫过的面积相等，即面积速度积相等，即面积速度(s/t (s/t ）= =常数常数c c 行星运动周期的平方与轨道椭圆长半径的立方之比为常量。行星运动周期的平方与轨道椭圆长半径的立方之比为常量。第一节 地球及其运动的基本概念地球重力场及地球形状的基本理论课件 牛顿万有引力定律：宇宙中任意两个质点都彼此互相吸引，引牛顿万有引力定律

6、：宇宙中任意两个质点都彼此互相吸引，引力的大小与它们的质量的乘积成正比，与它们的距离平方成反比。力的大小与它们的质量的乘积成正比，与它们的距离平方成反比。是在开普勒三定律基础上推导来的，其包含了开普勒三定律。是在开普勒三定律基础上推导来的，其包含了开普勒三定律。3.3.地球基本参数地球基本参数1 1）几何参数）几何参数 长半径：长半径：a=6378.164kma=6378.164km 扁扁 率：率：=1/298.257=1/298.257第一节 地球及其运动的基本概念地球重力场及地球形状的基本理论课件2 2）物理参数）物理参数 自转速度：自转速度：=7.29211515=7.292115151

7、0-5rad/s10-5rad/s 二阶带球谐系数：二阶带球谐系数：J J2 2=1082.6410-6=1082.6410-6 地心引力常数：地心引力常数：GM=398603km3/s2GM=398603km3/s2第一节 地球及其运动的基本概念地球重力场及地球形状的基本理论课件一）引力与离心力一）引力与离心力 1 1、引力、引力F F第二节 地球重力场的基本原理M M为地球质量，为地球质量，m m为质点质量，为质点质量，f f为万有引力常数，为万有引力常数，r r为质点到地心的距离。为质点到地心的距离。xyzoFgPr地球重力场及地球形状的基本理论课件2 2、离心力、离心力3 3、地球重力

8、、地球重力 为为F F与与P P的和向量的和向量第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件二）引力位和离心力位二）引力位和离心力位1 1、引力位、引力位（1 1）位函数的定义）位函数的定义 位位函函数数：在在一一个个参参考考坐坐标标系系中中，引引力力位位对对被被吸吸引引点点三三个个坐坐标标方方向向的的一阶导数等于引力在该方向上的分力。一阶导数等于引力在该方向上的分力。 借助于位理论来研究地球重力场是非常方便的。借助于位理论来研究地球重力场是非常方便的。 空间任意两质点空间任意两质点m m和和M M相互吸引的引力公式是相互吸引的引力公式是 ： 假如两质点间的距离沿力的方向有一

9、个微分变量假如两质点间的距离沿力的方向有一个微分变量drdr，则必做功：，则必做功： 第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件 用用V V表示位能，此功必等于位能的减少：表示位能，此功必等于位能的减少： 对上式积分，则得位能：对上式积分，则得位能：引力位或位函数引力位或位函数 ： 取质点取质点m m的质量为单位质量则有：的质量为单位质量则有：此函数则为质点此函数则为质点M M的引力位或位函数的引力位或位函数第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件根据牛顿力学第二定律根据牛顿力学第二定律上式表明：上式表明： 引力位梯度的负值在数值上等于单位质点受引力位

10、梯度的负值在数值上等于单位质点受r r处质体处质体M M吸引而形成吸引而形成的加速度值，单位质点所受引力在数值上就等于加速度。的加速度值，单位质点所受引力在数值上就等于加速度。第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件（2 2） 位函数的性质位函数的性质 位函数是标量函数，可对各分量求和，也可对某个质体进行积分。位函数是标量函数，可对各分量求和，也可对某个质体进行积分。 V VV1V1V2V2 VnVn 所所以以，地地球球总总体体的的位位函函数数应应等等于于组组成成其其质质量量的的各各基基元元分分体体位位函数函数dVidVi之和，对整个地球而言，则有之和，对整个地球而言，则

11、有第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件xyzorRSS0Semmdm(Xm,ym,zm)(X，y，z)地球重力场及地球形状的基本理论课件 在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中，引引力力位位V V确确认认这这样样一一个个加加速速度度引引力力场场，即即引引力力位位对对被被吸吸引引点点各各坐坐标标轴轴的的偏偏导导数数等等于于相相应应坐坐标标轴轴上上的的加加速速度度( (或引力或引力) )向量的负值：向量的负值：若设：若设：(a , x), (a , y), (a , z)(a , x), (a , y), (a , z)为为a a与各坐标轴之间的夹角，则与各坐标轴之间的夹角

12、，则第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件（3 3）引力位的物理意义）引力位的物理意义 引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差。引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差。 在在某某一一位位置置处处质质体体的的引引力力位位就就是是将将单单位位质质点点从从无无穷穷远远处处移移动动到到该点所做功。该点所做功。MQ0QmF第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件2 2 离心力位离心力位上式表明：上式表明： 坐标对时间的二阶导数就是单位质点的离心加速度。坐标对时间的二阶导数就是单位质点的离心加速度。第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的

13、基本理论课件xyzorSSSe(X，y，z)yxz地球重力场及地球形状的基本理论课件1 1）离心力位：）离心力位： 将将Q Q对各坐标轴求偏导数有：对各坐标轴求偏导数有： 可可见见，Q Q对对各各坐坐标标轴轴的的偏偏导导数数等等于于相相应应坐坐标标轴轴上上的的加加速速度度向向量量的负值。因而的负值。因而Q Q是位函数，称离心力位。是位函数，称离心力位。第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件2 2）离心力位函数的特性：）离心力位函数的特性： （1 1）其对各坐标轴的一阶偏导数为离心力加速度分量的负值。）其对各坐标轴的一阶偏导数为离心力加速度分量的负值。（2 2）其二阶导数

14、为）其二阶导数为: :第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件三）重力位三）重力位 1 1 重力位重力位 位位函函数数是是标标函函数数，重重力力是是引引力力和和离离心心力力的的合合力力，则则重重力力位位就就是是引力位和离心力位之和：引力位和离心力位之和： W WV VQ Q2 2 重力位的特性重力位的特性（1 1）重力位对三坐标求偏导则得重力分量或重力加速度分量：）重力位对三坐标求偏导则得重力分量或重力加速度分量：第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件对任意方向的对任意方向的偏导数等于重力偏导数等于重力g g在该方向的分力：在该方向的分力：（g ,

15、lg ,l）为重力）为重力g g与与l l的夹角，同重力方向重合的线称为铅垂线。的夹角，同重力方向重合的线称为铅垂线。第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件 当当g g与与l l相相垂垂直直时时，即即(g (g ,l)=90,l)=900 0 dwdw0 0，有有W W常常数数，当当取取不不同同常常数数时时，就就得得到到一一簇簇曲曲面面，称称重重力力等等位位面面，也也就就是是水水准准面面。有有无无数数个个。其其中中，完完全全静静止止的的海海水水面面所所形形成成的的重重力力等等位位面面，称称大大地地水准面。水准面。 当当g g与与l l夹角为夹角为0 0时，即时，即(g

16、,l)=0(g ,l)=00 0, ,则有则有-dw=gd-dw=gdl l a a若若d dW W00，必有，必有d dl l 0,0,说明水准面之间不相交和相切说明水准面之间不相交和相切 b b若若d dW WC C，由于各处重力，由于各处重力g g不同，因而各处的不同，因而各处的d dl l也不同也不同 说明水准面之间不平行说明水准面之间不平行（2 2）重力位是标函数）重力位是标函数第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件四、地球的正常重力位和正常重力四、地球的正常重力位和正常重力1 1 地球重力位计算的复杂性地球重力位计算的复杂性 地球形状不规则，质量密度分极其不

17、均匀，因而无法用以下地球形状不规则，质量密度分极其不均匀，因而无法用以下重力位公式精确求得其重力。重力位公式精确求得其重力。2 2 正常椭球正常椭球: : 一个形状和质量分布规则一个形状和质量分布规则, ,接近于实际地球的旋转椭球。它产接近于实际地球的旋转椭球。它产生的重力场称为正常重力场。正常重力场的等位面称为正常水准生的重力场称为正常重力场。正常重力场的等位面称为正常水准面。因为正常椭球面是一个正常水准面，所以正常椭球又称水准面。因为正常椭球面是一个正常水准面，所以正常椭球又称水准椭球。椭球。第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件正常正常( (地球地球) )椭球是一

18、个假想的球体。是一个理想化的椭球体。椭球是一个假想的球体。是一个理想化的椭球体。正常重力位正常重力位U U：近似的地球重力位。是一个函数简单、不涉及地：近似的地球重力位。是一个函数简单、不涉及地 球形状和密度便可直接得到的地球重力位近似值的辅助重力位。球形状和密度便可直接得到的地球重力位近似值的辅助重力位。扰动位扰动位T T：地球实际重力位：地球实际重力位W W与正常重力位与正常重力位U U之差。之差。 T TW WU U 根据扰动位根据扰动位T T可求出大地水准面与正常水准面之差，便可最终解可求出大地水准面与正常水准面之差，便可最终解 决地球重力位和形状的问题。决地球重力位和形状的问题。第二

19、节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件 勒让德多项式：勒让德多项式：将（将（x x2 2-1)-1)n n按二项式定理展开有：按二项式定理展开有： 1 1）勒让德多项式：）勒让德多项式：递推公式：递推公式：第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件令令x=cosx=cos，则有：，则有：第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件2 2）缔合勒让德多项式：）缔合勒让德多项式：其中，其中，n n表示阶，表示阶，K K表示次，当表示次，当K=0K=0时即为勒让德多项式时即为勒让德多项式令令x=cosx=cos，则有：，则有：第二节 地球重力

20、场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件3 3 地球引力位的数学表达式地球引力位的数学表达式（1 1）用地球惯性矩表达引力位的数学表达式）用地球惯性矩表达引力位的数学表达式 空间点空间点S S的坐标（的坐标（x,y,z)x,y,z)，地面质点，地面质点M M的坐标的坐标(x(xm m,y,ym m,z,zm m) )xyzorRSS0Semmdm(Xm,ym,zm)(X，y，z)则有则有第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件再将再将代入，按（代入，按（R/rR/r）合并集项得：）合并集项得：引力位函数引力位函数有有: :用级数展开，再代入用级数展开，再代入将将第二

21、节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件讨论前三项：讨论前三项：可见，可见，V V0 0就是把地球质量集中到地球质心处时的点的引力位。就是把地球质量集中到地球质心处时的点的引力位。 先看先看v v0 0 再讨论再讨论v v1 1，为为R,rR,r之间的夹角之间的夹角第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件上式两边同除以地球质量上式两边同除以地球质量M M，又因为，又因为为地球质心坐标。为地球质心坐标。以地球质心为坐标系的原点，故有：以地球质心为坐标系的原点，故有： x x0 0=0 y=0 y

22、0 0=0 z=0 z0 0=0=0因而因而 v v1 1=0=0第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件 最后看最后看v2将将代入下式代入下式有：有：第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件用用A、B、C表示质点表示质点M对对x、y、z轴的轴的转动惯量转动惯量,用用D、E、F表示表示惯性（惯性（离心力矩离心力矩）即：）即：第二节 地球重力场的基本原理那么：那么：地球重力场及地球形状的基本理论课件若用球面坐标表示，作如下变换若用球面坐标表示，作如下变换则：则：则：则：仿此推求仿此推求Vi，代入下式，便可得地球引力位的计算式：，代入下式，便可得地球引力

23、位的计算式：第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件（2）用球谐函数表达地球引力位）用球谐函数表达地球引力位则第则第n阶地球引力位公式为：阶地球引力位公式为：第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件 球谐函数球谐函数a. 主球函数主球函数:勒让德多项式勒让德多项式Pn(cos)称称为n阶主球函数（或主球函数（或带球函数）；球函数）；b. 缔合球函数缔合球函数:cosKcosKP P K Kn n(cos(cos) )及及cosKcosKP P K Kn n(cos(cos) )称称为缔合球

24、函数，当合球函数，当K=nK=n时称扇球函数，称扇球函数，K Kn n时称田球函数时称田球函数其中其中第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件xyzorRSS0Semmdm(X，y，z)m(Xm，ym，zm)用球谐函数表达地球引力位用球谐函数表达地球引力位用球谐函数表达地球引力位用球谐函数表达地球引力位第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件其中其中其中其中+ + + + =90=90=90=900 0 0 0。第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件将将将将cos cos cos cos 代入下列各式：代入下列各式：代入下列各

25、式：代入下列各式：并顾及并顾及并顾及并顾及第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件则用球谐函数表示的第则用球谐函数表示的第则用球谐函数表示的第则用球谐函数表示的第n n n n阶地球引力位公式为阶地球引力位公式为阶地球引力位公式为阶地球引力位公式为: : : :那么那么那么那么: : : :令令令令: : : :第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件由上述可得用球谐函数表示的地球引力位公式由上述可得用球谐函数表示的地球引力位公式: :其中球谐系数其中球谐系数An，AnK，BnK称为斯托克司常数，当称为斯托克司常数，当n=2时，是二阶矩时，是二阶矩A

26、，B，C，D，E的函数。的函数。 将地球视为旋转椭球，质心为坐标原点，坐标轴为主惯性轴，则：将地球视为旋转椭球，质心为坐标原点，坐标轴为主惯性轴，则：第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件xyzoRmdmm(Xm，ym，zm)m地球重力场及地球形状的基本理论课件其中，其中，A A，B B，C C为质点为质点d dm m对对x,y,zx,y,z轴的转动惯量。轴的转动惯量。第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件同理：同理：第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件通常还有下列球谐系数通常还有下列球谐系数通常还有下列球谐系数通常还有

27、下列球谐系数J J J Jn n n n，J J J JnKnKnKnK，K K K KnKnKnKnK：其中：其中：其中：其中：第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件4 4 4 4地球正常重力位地球正常重力位地球正常重力位地球正常重力位则重力位公式为：则重力位公式为：则重力位公式为：则重力位公式为：由于：由于：由于：由于：第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件取前三项，可得：取前三项，可得：取前三项，可得：取前三项，可得：又已知：又已知：令：令：令：令：则有：则有：则有：则有：第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件 设设

28、设设赤赤赤赤道道道道半半半半径径径径为为为为a a a ae e e e，赤赤赤赤道道道道上上上上重重重重力力力力为为为为g g g ge e e e，一一一一般般般般被被被被吸吸吸吸引引引引点点点点离离离离地地地地面面面面很很很很近近近近，可认为可认为可认为可认为r=ar=ar=ar=ae e e e ，将赤道上重力，将赤道上重力，将赤道上重力，将赤道上重力g g g ge e e e用引力用引力用引力用引力fM/afM/afM/afM/ae e e e2 2 2 2代替，令：代替，令：代替，令：代替，令：那么正常重力位公式可写成如下形式：那么正常重力位公式可写成如下形式：那么正常重力位公式

29、可写成如下形式：那么正常重力位公式可写成如下形式：根据：根据：根据：根据：可得：可得：可得：可得：第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件5 5 5 5正常位水准面方程式：正常位水准面方程式：正常位水准面方程式：正常位水准面方程式：令令令令U U U UU U U U0 0 0 0即：即：即：即：由正常重力位公式由正常重力位公式由正常重力位公式由正常重力位公式知：知：知：知：当当当当U=U=U=U=常常常常数数数数时时时时，便便便便确确确确定定定定了了了了一一一一个个个个水水水水准准准准面面面面。我我我我们们们们将将将将赤赤赤赤道道道道上上上上一一一一点点点点的的的的重重

30、重重力力力力作作作作为为为为常常常常数，此时：数，此时：数，此时：数，此时：因而可得：因而可得：因而可得：因而可得：第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件则可得正常位水准面方程式：则可得正常位水准面方程式：则可得正常位水准面方程式：则可得正常位水准面方程式：又分母级数展开：又分母级数展开：又分母级数展开：又分母级数展开： 这是一个旋转椭球的方程式，其表面是一个水准面，所以又这是一个旋转椭球的方程式，其表面是一个水准面，所以又这是一个旋转椭球的方程式，其表面是一个水准面，所以又这是一个旋转椭球的方程式，其表面是一个水准面，所以又称水准椭球，也称正常椭球。称水准椭球，也称正

31、常椭球。称水准椭球，也称正常椭球。称水准椭球，也称正常椭球。 到此，我们可知，通过研究地球的重力，便可确定地球的形状到此，我们可知，通过研究地球的重力，便可确定地球的形状到此，我们可知，通过研究地球的重力，便可确定地球的形状到此，我们可知，通过研究地球的重力，便可确定地球的形状与大小。与大小。与大小。与大小。第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件6 6 6 6正常重力公式：正常重力公式：正常重力公式：正常重力公式： 我我我我们们们们知知知知道道道道，位位位位函函函函数数数数在在在在某某某某方方方方向向向向的的的的导导导导数数数数就就就就是是是是该该该该方方方方向向向向力

32、力力力（加加加加速速速速度度度度）的的的的分分分分量量量量。那么重力位函数在铅垂方向的导数就是重力加速度。那么重力位函数在铅垂方向的导数就是重力加速度。那么重力位函数在铅垂方向的导数就是重力加速度。那么重力位函数在铅垂方向的导数就是重力加速度。类似重力位类似重力位类似重力位类似重力位W W W W，正常重力位，正常重力位，正常重力位，正常重力位U U U U也有下式：也有下式：也有下式：也有下式：n n n n为正常水准面法线，若忽略为正常水准面法线，若忽略为正常水准面法线，若忽略为正常水准面法线，若忽略n n n n与与与与r r r r的方向差异，则有：的方向差异，则有：的方向差异，则有：

33、的方向差异，则有：表示正常重力表示正常重力表示正常重力表示正常重力（1 1 1 1）正常重力公式）正常重力公式）正常重力公式）正常重力公式第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件（2 2 2 2）赤道上的正常重力与两极的重力公式）赤道上的正常重力与两极的重力公式）赤道上的正常重力与两极的重力公式）赤道上的正常重力与两极的重力公式当当当当=0=0=0=0时时, , , ,根据根据根据根据可求得极点的可求得极点的可求得极点的可求得极点的r r r rp p p p: : : :又根据地球扁率又根据地球扁率又根据地球扁率又根据地球扁率可知可知可知可知所以有所以有所以有所以有:

34、: : :时，可得赤道上的正常重力：时，可得赤道上的正常重力：时，可得赤道上的正常重力：时，可得赤道上的正常重力：当当当当第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件那么赤道上的正常重力又可表示为那么赤道上的正常重力又可表示为那么赤道上的正常重力又可表示为那么赤道上的正常重力又可表示为: : : :时，可得两极上的正常重力：时，可得两极上的正常重力：时，可得两极上的正常重力：时，可得两极上的正常重力：当当当当、第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件 克莱罗定律克莱罗定律克莱罗定律克莱罗定律 ：重力扁率为重力扁率为重力扁率为重力扁率为略去二次项可得略去二

35、次项可得略去二次项可得略去二次项可得b.b.b.b.顾及扁率的正常重力公式：顾及扁率的正常重力公式：顾及扁率的正常重力公式：顾及扁率的正常重力公式：将将将将代入代入代入代入经整理得：经整理得：经整理得：经整理得：其中其中其中其中a.a.a.a.重力扁率重力扁率重力扁率重力扁率第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件(3)(3)(3)(3)、几种常用的正常重力公式：、几种常用的正常重力公式：、几种常用的正常重力公式：、几种常用的正常重力公式：C C C C、顾及扁率平方的正常重力公式、顾及扁率平方的正常重力公式、顾及扁率平方的正常重力公式、顾及扁率平方的正常重力公式D D

36、D D、闭合形式的正常重力公式（索密里安公式：）、闭合形式的正常重力公式（索密里安公式：）、闭合形式的正常重力公式（索密里安公式：）、闭合形式的正常重力公式（索密里安公式：）第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件（4 4 4 4）高出椭球面）高出椭球面）高出椭球面）高出椭球面H H H H米的正常重力公式：米的正常重力公式：米的正常重力公式：米的正常重力公式： 设设设设水水水水准准准准椭椭椭椭球球球球为为为为均均均均质质质质圆圆圆圆球球球球， R R R R其其其其半半半半径径径径，则则则则地地地地心心心心对对对对地地地地面面面面高高高高H H H H的的的的质质质质点

37、点点点的的的的引引引引力力力力为：为：为：为：地心对大地水准面上的点的引力为：地心对大地水准面上的点的引力为：地心对大地水准面上的点的引力为：地心对大地水准面上的点的引力为：两式相咸得：两式相咸得：两式相咸得：两式相咸得：设地球平均正常重力为：设地球平均正常重力为：设地球平均正常重力为：设地球平均正常重力为：第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件由于由于HRHR，可将（，可将（1 1H HR R）2 2用级数展开，取到二次项，可得：用级数展开，取到二次项，可得：将地球平均正常重力的平均半径代入上式，可得：将地球平均正常重力的平均半径代入上式，可得：将地球平均正常重力的平

38、均半径代入上式，可得：将地球平均正常重力的平均半径代入上式，可得：若不考虑二次项，则有：若不考虑二次项，则有：若不考虑二次项，则有：若不考虑二次项，则有：于是，可得高出椭球面于是，可得高出椭球面于是，可得高出椭球面于是，可得高出椭球面H H H H米的正常重力公式：米的正常重力公式：米的正常重力公式：米的正常重力公式：第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件7 7 正常重力场参数正常重力场参数根据上述关系根据上述关系, ,参数之间可相互推求。参数之间可相互推求。（1 1）七个正常重力参数）七个正常重力参数其中其中为四个基本参数。有如下关系为四个基本参数。有如下关系: :第

39、二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件（2 2）地球大地基准常数）地球大地基准常数( (正常椭球的基本参数正常椭球的基本参数):):称为地球大地基准常数称为地球大地基准常数( (或正常椭球的基本参数或正常椭球的基本参数).).一般将对应于实际地球的一般将对应于实际地球的4 4个基本参数个基本参数第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件、WGSWGS8484地球椭球大地基准及其导出量：地球椭球大地基准及其导出量：第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件三、水准面、大地水准面、似大地水准面、地球椭球三、水准面、大地水准面、似大地水准

40、面、地球椭球1. 1. 水准面水准面: : 重力等位面。具有几何性质与物理性质重力等位面。具有几何性质与物理性质: : 1 1）无数个；）无数个； 2 2）复杂形状，不规则闭合，与铅垂线正交的曲面；）复杂形状，不规则闭合，与铅垂线正交的曲面； 3 3）水准面彼此不平行，不相交；）水准面彼此不平行，不相交； 4 4）每个水准面对应唯一的位能）每个水准面对应唯一的位能W W常数，物体在水准面上移动重常数，物体在水准面上移动重 力不做功。力不做功。2. 2. 大地水准面：与平均海水面重合，不受潮汐、风浪及大气大地水准面：与平均海水面重合，不受潮汐、风浪及大气 压影响，并延伸到大陆下面处处与铅垂线垂直

41、的水准面。压影响，并延伸到大陆下面处处与铅垂线垂直的水准面。 1 1）一个特定的重力等位面，唯一。）一个特定的重力等位面，唯一。 2 2）其几何性质和物理性都很不规则，尚未能具体确定。）其几何性质和物理性都很不规则，尚未能具体确定。 因而只能用一个平均海水面代替它。因而只能用一个平均海水面代替它。第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件大地水准面大地水准面 椭球面大地水准面大地水准面 差距1. 1. 与重力线垂直，是重力等位面与重力线垂直，是重力等位面2. 2. 通过平均海水面通过平均海水面地球重力场及地球形状的基本理论课件3. 3. 似大地水准面：与大地水准面很接近的一

42、个曲面，是由地面点沿铅垂似大地水准面：与大地水准面很接近的一个曲面，是由地面点沿铅垂线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面。线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面。 1 1）不是水准面）不是水准面 2 2）与水准面很接近，在海洋上与大地水准面完全重合，在大陆上几）与水准面很接近，在海洋上与大地水准面完全重合，在大陆上几乎重合，在山区只有乎重合，在山区只有2 24m4m的差异。的差异。4. 4. 正常椭球（水准椭球、等位椭球）：正常椭球（水准椭球、等位椭球）： 正常椭球：大地水准面的规则形状。正常椭球：大地水准面的规则形状。实际上，质量与地球质量相同，自转速度与地球自转速度相同的规则物实际上，质

43、量与地球质量相同，自转速度与地球自转速度相同的规则物体都为正常椭球。目前都采用水准椭球作为正常椭球，又称等位椭球。体都为正常椭球。目前都采用水准椭球作为正常椭球，又称等位椭球。 正常椭球除要确定正常椭球除要确定4 4个基本参数个基本参数a ae e，fMfM，J2J2，外，还要定位和定向外，还要定位和定向。中心与地球质心重合，短轴与地轴重合，起始子午面与起始天文子午。中心与地球质心重合，短轴与地轴重合，起始子午面与起始天文子午面重合。面重合。第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件5. 5. 总地球椭球：与大地体最为密切的正常椭球。总地球椭球：与大地体最为密切的正常椭球。

44、1 1）中心与地球质心重合，短轴与地球短轴重合；起始子午面）中心与地球质心重合，短轴与地球短轴重合；起始子午面 与起始天文子午面重合；质量与地球的质量相同；与起始天文子午面重合；质量与地球的质量相同；2 2）4 4个基本参数个基本参数a ae e，fMfM，J J2 2，；3 3）与大地体最密合，要满足全球范围内与大地水准面的差距）与大地体最密合，要满足全球范围内与大地水准面的差距 N N的平方和最小。的平方和最小。第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件6. 6. 参考椭球：大小与定位定向最接近于本国或本地区的地球椭球参考椭球：大小与定位定向最接近于本国或本地区的地球椭

45、球 1 1）与本地区的大地水准面密合，表现在椭球面与本地区的）与本地区的大地水准面密合，表现在椭球面与本地区的 大地水准面最接近及同点的法线和垂线最接近。大地水准面最接近及同点的法线和垂线最接近。 2 2）定位定向大小都与总椭球不同，）定位定向大小都与总椭球不同， 3 3）不同地区的参考椭球都不同。）不同地区的参考椭球都不同。第二节 地球重力场的基本原理地球重力场及地球形状的基本理论课件 参考椭球面参考椭球面定义：定义：与局部大地水准面吻合的旋转椭球面。与局部大地水准面吻合的旋转椭球面。参数：参数：长半径长半径 a ，扁率扁率 起始子午面椭球的定位与定向：椭球的定位与定向：确定参考椭球与局部大

46、地水准确定参考椭球与局部大地水准面的相对关系。面的相对关系。地球重力场及地球形状的基本理论课件在直角坐标系里某面积微元在直角坐标系里某面积微元D DA A与其到指定的与其到指定的X X、Y Y轴距离乘积的积分。轴距离乘积的积分。 返回返回地球重力场及地球形状的基本理论课件刚体绕轴转动惯性的度量。又称惯性距、惯性矩（俗称惯性力刚体绕轴转动惯性的度量。又称惯性距、惯性矩（俗称惯性力距、惯性力矩）距、惯性力矩）其数值为其数值为J= mi*riJ= mi*ri2 2，式中，式中mimi表示刚体的某个质点的质量表示刚体的某个质点的质量，riri表示该质点到转轴的垂直距离。表示该质点到转轴的垂直距离。 返回返回地球重力场及地球形状的基本理论课件