力学4角动量功和能

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1、第一篇第一篇 力学力学角动量角动量功和能功和能动量定理：动量定理：合外力的合外力的冲量等于动量的改变冲量等于动量的改变。(微分形式微分形式)(积分形式积分形式)适用于质点和质点系。适用于质点和质点系。非惯性系中还须考虑惯性力的冲量。非惯性系中还须考虑惯性力的冲量。上节课内容回顾上节课内容回顾质点系的动量守恒定律：质点系的动量守恒定律：当当 时，时， 普遍适用普遍适用（高低速、宏微观）。（高低速、宏微观）。1. 质点的角动量质点的角动量定义：定义：力矩：力矩：角动量也叫角动量也叫单位：单位：注意注意: :同一质点对不同定点的角动量是不同的。同一质点对不同定点的角动量是不同的。 动量矩。动量矩。(

2、线线)动量动量第第3节节 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律 Angular Momentum Theorem & Principle of Conservation of Angular Momentum质点作圆周运动时对圆心的角动量的大小：质点作圆周运动时对圆心的角动量的大小：2. 质点的角动量定理质点的角动量定理注意注意: :适用于惯性系，对非惯性系，需引入适用于惯性系，对非惯性系，需引入“惯性力惯性力”。对对 求时间的导数：求时间的导数：0冲量矩冲量矩(微分形式微分形式)(积分形式积分形式)质点的角动量定理质点的角动量定理：质点对任一固定点的：质点对任一固定点的角动量的

3、时角动量的时间变化率间变化率，等于等于质点所受的合外力对该固定点的质点所受的合外力对该固定点的力矩力矩。3. 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律若若则则角动量守恒定律角动量守恒定律（2）（1）是普遍规律）是普遍规律,宏观、微观均适用。宏观、微观均适用。（3）有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。）有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。力心力心质点对力心的角动量守恒。质点对力心的角动量守恒。（4）质点对某点的角动量守恒）质点对某点的角动量守恒, 对另一点不一定守恒对另一点不一定守恒.注意注意: :角动量定理分量式：角动量定理分量式：角角动量守恒定律动量守恒定律在直角在直角坐标系

4、中的分量式可表示为：坐标系中的分量式可表示为：当总角当总角动量不守恒时，动量不守恒时，角角动量在某些动量在某些方向上的分量可以方向上的分量可以是守恒的。是守恒的。若若则则角动量守恒定律：角动量守恒定律：例例5. 在光滑的水平桌面上有一小孔在光滑的水平桌面上有一小孔O,一细绳穿过一细绳穿过 小孔小孔, 其一端系一小球放在桌面上其一端系一小球放在桌面上,另一端用另一端用 手拉绳，开始时小球绕孔运动手拉绳，开始时小球绕孔运动, 速率为速率为v1, 半半 径为径为r1, 当半径变为当半径变为r2时时, 求小球的速率求小球的速率v2.解：解：小球受力小球受力 显然显然:f拉拉 有心力有心力f 拉拉问题：

5、问题：若取若取O为参考点呢？为参考点呢？角动量守恒：角动量守恒：动画动画太阳太阳行星行星例例6 6.用角动量守恒定律推导行星运动的开普勒第二定律用角动量守恒定律推导行星运动的开普勒第二定律: 行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积, ,即行星的矢径的面积速度为恒量。即行星的矢径的面积速度为恒量。在很短的时间在很短的时间d dt t内，行星的矢径扫过的面积可内，行星的矢径扫过的面积可以近似地认为是图中阴影所示的三角形的面积，以近似地认为是图中阴影所示的三角形的面积，即即解：解：面积速度面积速度由于行星对太阳中心的角动量守恒，即由于行星对太

6、阳中心的角动量守恒，即恒矢量恒矢量 所以面积速度所以面积速度 也是恒量。开普勒第二定律得证。也是恒量。开普勒第二定律得证。另外，由行星对太阳中心的角动量守恒还可以得出行星运动的另一特点。另外，由行星对太阳中心的角动量守恒还可以得出行星运动的另一特点。根据角动量的定义，行星对太阳的角动量应垂直于它对太阳的位置矢量根据角动量的定义，行星对太阳的角动量应垂直于它对太阳的位置矢量和动量所决定的平面，角动量守恒，则角动量的方向不变，所以和动量所决定的平面，角动量守恒，则角动量的方向不变，所以行星绕行星绕太阳的运动必然是平面运动。太阳的运动必然是平面运动。动画动画4. 质点系的角动量定理和角动量守恒定律质

7、点系的角动量定理和角动量守恒定律 质点系的角动量质点系的角动量: : 质点系中的各个质点对给定参考点的角动量的质点系中的各个质点对给定参考点的角动量的矢量和矢量和,称为质点系对该给定参考点的角动量。称为质点系对该给定参考点的角动量。 质点系中的各个质点相对于给定参考点的外力质点系中的各个质点相对于给定参考点的外力力矩的矢量和力矩的矢量和, 称为质点系对该给定参考点的称为质点系对该给定参考点的合外力矩。合外力矩。 第第i个质点受到个质点受到的来自质点系的来自质点系外的作用力外的作用力 。 质点系的合外力矩质点系的合外力矩: : 质点系质点系：内力矩总是成对出现：内力矩总是成对出现：i jFi f

8、i j fj iOrjri这表明这表明:质点系对惯性系中某给定参考点的角动量质点系对惯性系中某给定参考点的角动量的时间变化率的时间变化率, 等于作用在该质点系上所有外力对等于作用在该质点系上所有外力对同一参考点的总力矩。同一参考点的总力矩。质点系的角动量定理质点系的角动量定理 亦可写成亦可写成: 因此因此, 当质点系相对于某一给定参考点的合外力矩当质点系相对于某一给定参考点的合外力矩为零时为零时, 该质点系相对于该给定参考点的角动量不该质点系相对于该给定参考点的角动量不随时间变化。随时间变化。质点系的角动量守恒定律质点系的角动量守恒定律 与质点的情形类似与质点的情形类似,若质点系对某固定点的合

9、外若质点系对某固定点的合外力矩不为零，但此合外力矩在某一方向上的分量为零，力矩不为零，但此合外力矩在某一方向上的分量为零，则尽管质点系对此固定点的总角动量不守恒，则尽管质点系对此固定点的总角动量不守恒，但质点系的角动量在该方向上的分量却是守恒的。但质点系的角动量在该方向上的分量却是守恒的。作业：作业：2T6，T7 ， T8 ， T9 ， T10功和能功和能Work & Energy第第1节节 功功 功率功率第第2节节 动能动能 动能定理动能定理 第第3节节 保守力保守力 势能势能 第第4节节 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律abo所做的总功所做的总功:Work & Power第第

10、1节节 功功 功率功率1. 功功 力的空间积累效应力的空间积累效应将质点由将质点由 a 移动到移动到 b，力力相应于元位移相应于元位移, 力力对质点所做的功为对质点所做的功为:元功元功tt+dt在在SI制中制中, 功的单位是焦耳功的单位是焦耳, 符号是符号是J: 1J1Nm 合力做的功：合力做的功：注意：注意：可见可见: :合力对物体所做的功等于其中各个分力分别合力对物体所做的功等于其中各个分力分别 对该物体所做功的代数和。对该物体所做功的代数和。若有多个力同时作用在质点上，则若有多个力同时作用在质点上，则(2) 功是标量，但有正负功是标量，但有正负，且与参考系有关。且与参考系有关。(1)力对

11、质点所做的功力对质点所做的功, 不仅与始、末位置有关，不仅与始、末位置有关， 而且往往与路径有关。而且往往与路径有关。2. 功率功率平均功率：平均功率：瞬时功率瞬时功率( (功率功率) )：做功的快慢做功的快慢功率：力在单位时间内所做的功。功率：力在单位时间内所做的功。 在在SI制中制中, 功率的单位是瓦特功率的单位是瓦特, 符号是符号是W: 1W1Js1 当额定功率一定时当额定功率一定时, ,负荷力越大负荷力越大, ,可达到的速率可达到的速率就越小就越小; ;负荷力越小负荷力越小, ,可达到的速率就越大。这就是可达到的速率就越大。这就是为什么汽车在上坡时走得慢为什么汽车在上坡时走得慢, ,下

12、坡时走得快的道理。下坡时走得快的道理。 例例1.1.如图所示如图所示, ,一匹马以平行于圆弧形路面的拉力一匹马以平行于圆弧形路面的拉力 拉着质量为拉着质量为m的车沿半径为的车沿半径为R的圆弧形路面极的圆弧形路面极 缓慢地匀速移动缓慢地匀速移动, ,车与路面的滑动摩擦系数为车与路面的滑动摩擦系数为 ，求：车由底端求：车由底端A被拉上顶端被拉上顶端B时时, ,各力对车所做的功。各力对车所做的功。解解: :车车受受4个力的作用：个力的作用：拉力拉力F , 摩擦力摩擦力f，沿沿切向；切向；路面支持力路面支持力N，指向圆心，指向圆心O；重力重力mg，竖直向下。，竖直向下。在切向与法向有在切向与法向有:拉

13、力的功拉力的功:重重力的功力的功:摩擦摩擦力的功力的功:路面支持力路面支持力N的功为零。的功为零。例例2. 力力 作用在质量为作用在质量为m2kg的质点上，的质点上， 使质点由静止开始运动使质点由静止开始运动,试求最初试求最初2s内这个力内这个力 所做的功。所做的功。 解解: : 质点做直线运动质点做直线运动或者：或者：第第2节节 动能动能 动能定理动能定理 Kinetic Energy & Theorem of Kinetic Energy质点由质点由a运动到运动到b, 合外力做的功为合外力做的功为:ab质点的动能定理质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质：合外力对质点所做的功等于质 点

14、动能的点动能的增量增量。解法解法1:例例3.质量为质量为 的质点的质点, 在平面内运动在平面内运动,方程为方程为 ，求从，求从 到到 这段时间内，外力对质点作的功这段时间内，外力对质点作的功.由功的定义：由功的定义：解法解法2:应用动能定理，得应用动能定理，得上节课内容回顾上节课内容回顾质点的角动量：质点的角动量：力矩：力矩：角动量定理：角动量定理：角动量守恒定律：角动量守恒定律：质点对力心的角动量守恒。质点对力心的角动量守恒。有心力：有心力：功功力的空间积累效应：力的空间积累效应：功率功率做功的快慢：做功的快慢：质点的动能定理质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质：合外力对质点所做的功等

15、于质 点动能的点动能的增量增量。第第3节节 保守力保守力 势能势能 Conservative Force & Potential Energy1. 保守力与非保守力保守力与非保守力保守力保守力：对质点做功的大小只与质点的始末：对质点做功的大小只与质点的始末 位置有关，而与路径无关。位置有关，而与路径无关。非保守力非保守力：对质点做功的大小不但与质点的始：对质点做功的大小不但与质点的始 末位置有关，而且还与路径有关。末位置有关，而且还与路径有关。比如：比如：重力、弹性力、万有引力重力、弹性力、万有引力等。等。如图如图: 当质点在保守力的作用下当质点在保守力的作用下沿闭合路径沿闭合路径apbqa绕

16、行一周时绕行一周时 ，即即 ：保守力的环流为零保守力的环流为零 如：如：摩擦力、粘滞力摩擦力、粘滞力等。等。* 弹力的功弹力的功弹力是变力弹力是变力是位置的函数是位置的函数,“弹性势能弹性势能”2.保守力的功保守力的功保守力：保守力：重力、弹力、万有引力等重力、弹力、万有引力等. * 重力的功重力的功 * 万有引力的功万有引力的功是位置的函数，是位置的函数，“重力势能重力势能”是位置的函数，是位置的函数，“引力势能引力势能”可以证明：可以证明：可以证明：可以证明： 结论：保守力作的功，结论：保守力作的功，等于势能增量的负值。等于势能增量的负值。（1）保守力）保守力(如如: : 重力重力, ,弹

17、力弹力, ,万有引力万有引力)的功与路的功与路 径无关径无关, 由此可以引入的势能概念。由此可以引入的势能概念。（2）质点在任一位置的势能）质点在任一位置的势能, 等于把质点由该位置等于把质点由该位置 移到势能为零的点的过程中移到势能为零的点的过程中,保守力所做的功保守力所做的功:注：注：原则上原则上, 势能零点可任选。势能零点可任选。（3）保守力将质点由）保守力将质点由 a 沿任意路径移动到沿任意路径移动到 b 再由再由 b 沿任意路径移回到沿任意路径移回到 a 点，那么点，那么保守力的环流为零保守力的环流为零ab势能是属于物体系统的势能是属于物体系统的,不为单个物体所具有不为单个物体所具有

18、。3. 由势能求保守力由势能求保守力 保守力做功等于势能增量的负值保守力做功等于势能增量的负值又又比较以上式子可得比较以上式子可得:要求上式对任意的要求上式对任意的dx, dy, dz成立成立, 则必有：则必有：若已知系统势能若已知系统势能, 利用上式利用上式, 可由势能求保守力可由势能求保守力. 或者写成：或者写成：拉普拉斯算符（梯度算符）拉普拉斯算符（梯度算符）例如弹性势能：例如弹性势能：弹性力：弹性力：利用势能曲线分析质点的利用势能曲线分析质点的稳定性：稳定性：如图为一质点在保守力如图为一质点在保守力下作一维运动的势能随下作一维运动的势能随位置的变化曲线位置的变化曲线曲线中有四个平衡点：

19、曲线中有四个平衡点：A、B、C、D因为在这四个点是曲线的极值因为在这四个点是曲线的极值平衡性分析：平衡性分析：A点是随遇平衡；点是随遇平衡；B、D点是稳定平衡；点是稳定平衡；C点是不稳定平衡。点是不稳定平衡。第第4节节 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律Work-Kinetic Energy Theorem & Principle of Conservation of Mechanical Energy1. .质点系的动能定理质点系的动能定理对质点系中任一质点对质点系中任一质点i应用质点的动能定理应用质点的动能定理, 得得 对所有质点，有对所有质点，有 外力的功外力的功 内力的功内

20、力的功 即：即： 外力的总功与内力的总功之代数和等于质外力的总功与内力的总功之代数和等于质点系动能的增量点系动能的增量质点系的动能定理质点系的动能定理 内内内内内内2. 功能原理功能原理 机械能机械能故故 质点系机械能的增量等于外力的功和非保质点系机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功的总和。守内力的功的总和。 功能原理功能原理 内内保守内力保守内力非保守内力非保守内力保守内力保守内力非保守内力非保守内力非保守内力非保守内力非保守内力非保守内力3. 机械能守恒定律机械能守恒定律根据功能原理根据功能原理若若 则则 即即 恒量恒量 当一个系统内只有保守内力做功，非保守当一个系统内只有保守内力做功

21、，非保守内力和一切外力都不做功，或者非保守内力和内力和一切外力都不做功，或者非保守内力和一切外力的总功为零时，质点系的总机械能保一切外力的总功为零时，质点系的总机械能保持恒定持恒定 。 质点系的机械能守恒定律质点系的机械能守恒定律 AOBR=4m 解解: :例例3.如图如图,物体质量物体质量m =2kg , 沿固定的四分之一圆沿固定的四分之一圆 弧轨道由弧轨道由A静止下滑静止下滑,到达到达B点时的速率点时的速率v=6m/s , 求各力所做的功。求各力所做的功。由功能原理得由功能原理得重力所做的功：重力所做的功：到达到达B点时的动能：点时的动能：有摩擦力做功有摩擦力做功例例4.长为长为 ,质量为

22、质量为 的均匀柔软链条，一部分平放在桌、的均匀柔软链条，一部分平放在桌、面上，另有一小段自桌边垂下。链条与桌面间的摩擦系面上，另有一小段自桌边垂下。链条与桌面间的摩擦系数为数为 ，问（，问（1）下垂部分的长度）下垂部分的长度 为多大时，链条开始为多大时，链条开始下滑？（下滑？（2）当整个链条刚脱离桌面时，下落的速度为）当整个链条刚脱离桌面时，下落的速度为多大？多大？解：解： （1）链条在运动方向上受重）链条在运动方向上受重力力 和摩擦力和摩擦力当链条刚开始下滑时：当链条刚开始下滑时：解得：解得：（2）取链条与地球为系统，取桌面）取链条与地球为系统，取桌面为重力势能的零点，根据系统的功能为重力势

23、能的零点，根据系统的功能原理：原理：摩擦力做功：摩擦力做功：于是解得：于是解得：例例5. 如图，已知斜面的倾角是如图，已知斜面的倾角是300，弹簧一端固定在斜面，弹簧一端固定在斜面上，处于自然长度时，其另一端位于上，处于自然长度时，其另一端位于B点，一质量为点，一质量为2 kg的物体以初速度的物体以初速度3.0m.s -1从斜面从斜面 上上A点处滑下，物体到点处滑下，物体到B点时，开始压缩弹簧点时，开始压缩弹簧0 .2m后停止，然后又被弹送回去。后停止，然后又被弹送回去。AB间距离为间距离为4.8m， 设弹簧的质量不计，物体与斜面之间设弹簧的质量不计，物体与斜面之间的摩擦力为的摩擦力为6.2N

24、。试求试求(1)弹簧的倔强系数弹簧的倔强系数k(2)物体被弹回物体被弹回后所能达到的最大高度后所能达到的最大高度 h 。 ( g 取取10 m.s -2 )解：研究解：研究系统系统选选0为重力势能零点，为重力势能零点，B为弹性势能零点（初态为弹性势能零点（初态A，末态末态0）坐标坐标: 如图如图物体受力分析：物体受力分析：由由功能原理：功能原理：最高点坐标为最高点坐标为x，由功能原理：由功能原理：物体被弹回的最大高度物体被弹回的最大高度例例6.质量分别为质量分别为 和和 的两物体的两物体A和和B，用弹性系数为，用弹性系数为k的弹簧相连，静止放置在光滑桌面上。质量为的弹簧相连，静止放置在光滑桌面

25、上。质量为 的子的子弹以水平速度弹以水平速度 射入物体射入物体A，设子弹射入时间极短。试，设子弹射入时间极短。试求：（求：（1）物体）物体B能达到的最大动能（能达到的最大动能（2）弹簧的最大形）弹簧的最大形变。变。ABm解：解：（1）碰撞过程时间极短，）碰撞过程时间极短，B的速度看作的速度看作0由动量守恒：由动量守恒：物体物体A、物体、物体B以及弹簧组成一个系统，在后面的过程中，以及弹簧组成一个系统，在后面的过程中，只受弹簧提供的保守内力只受弹簧提供的保守内力于是整个过程中动量守恒，机械能守恒于是整个过程中动量守恒，机械能守恒动量守恒：动量守恒：机械能守恒：机械能守恒：弹簧为原长的时候，弹簧为原长的时候，B的速度最大！的速度最大！令：令：解得：解得：（2）消去）消去 ，将弹簧的形变，将弹簧的形变 表示为表示为 的函数。的函数。令：令：得到：得到：两物体速度相等时，弹簧形变最大！两物体速度相等时，弹簧形变最大！将将 带回带回 的表达式的表达式2T11 、 T12 、 T13 、 T14 、 T15 作业：作业：