《2022年数列知识点及常用结论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数列知识点及常用结论（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精心整理学习必备数列知识点及常用结论一、等差数列（1）等差数列的基本公式通项公式：1(1)naand（从第 1 项1a开始为等差）()nmaanm d（从第 m项ma开始为等差）()nmnmnmaandaanm daadnm前n项和公式：11()(1)22nnn aan nSnad（2）证明等差数列的法方定义法： 对任意的 n，都有1nnaad（d 为常数）na为等差数列等差中项法：122nnnaaa（n*N）na为等差数列通项公式法：na=pn+q (p ，q 为常数且 p0) na为等差数列即： 通项公式位n 的一次函数，公差dp，首项1apq前n项和公式法：2nSpnqn (p ， q
2、为常数 ) na为等差数列即： 关于 n 的不含常数项的二次函数（3）常用结论若数列na，nb为等差数列，则数列nak，nk a，nnab，nkab(k ， b 为非零常数 )均为等差数列 . 若 m+n=p+q (m，n，p，q*N) ，则nmaa=pqaa. 特别的，当n+m=2k时，得nmaa=2ka在等差数列na中，每隔 k(k*N) 项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d( 例如：1a，4a，7a，10a仍为公差为3d 的等差数列) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名
3、师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备若数列na为等差数列，则记12kkSaaa，2122kkkkkSSaaa，3221223kkkkkSSaaa，则kS，2kkSS，32kkSS仍成等差数列，且公差为2kd 若nS为等差数列na的前 n 项和，则数列nSn也为等差数列 . 11,(1),(2)nnnSnaSSn此性质对任何一种数列都适用求nS最值的方法：I:若1a0，公差 d0，则当100kkaa时，则nS有最大值 ,且kS最大；若1a0，则当100kkaa时，则nS有最小值，且kS最小；II ：求前n项和2nS
4、pnqn的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k，当nk时，kS为最值，是最大或最小，通过nS的开口来判断。二、等比数列（1）等比数列的基本公式通项公式：11nnaa q（从第 1 项1a开始为等比）n mnmaa q（从第 m项ma开始为等差）前n项和公式：1(1),(1)1nnaqSqq，1,(1)nSnaq（2）证明等比数列的法方定义法： 对任意的 n，都有1(0)nnnaqa a1nnaqa(q0) na为等比数列等比中项法：211nnnaaa（11nnaa0）na为等比数列通项公式法：1( ,0nnaaqa q是不为 的常数 )na为等比数列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
5、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备（3）常用结论若数列na，nb为等比数列，则数列1na，nk a，2na，21na，nna bnnab(k 为非零常数 ) 均为等比数列 . 若 m+n=p+q (m， n， p， q*N)，则nma a=pqaa. 特别的，当n+m=2k 时，得nma a=2ka在等比数列na中，每隔 k(k*N)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等比数列，且公比为1kq(例如：1a，4a，7a，10a仍为公
6、比3q的等比数列 ) 若数列na为等差数列，则记12kkSaaa，2122kkkkkSSaaa，3221223kkkkkSSaaa，则kS，2kkSS，32kkSS仍成等比数列，且公差为kq名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备三、求任意数列通项公式na的方法（1）累加法：若na 满足 an+1=an+f(n) 利用累加法求：na12132431()()()()nnnaaaaaaaaaa例题： 若11
7、a，且12nnaan，求：na练习题： 若数列na 满足1120nnnaa，且10a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备（2）累乘法：若na 满足1( )nnaf na 利用累乘法求：na32411231() () ()()nnnaaaaaaaaaa例题： 在数列 an中，1111,2nnnaaan，求：na . 练习题：在数列 an 中，11a且1nnana，求：na（提示：1 23 .!nn）名
8、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备（3）递推公式中既有nS ，又有na ，用逐差法11nnnSaSS n=1n2特别注意：该公式对一切数列都成立。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备（4）若na 满足1,
9、()nnapaqpq ，则两边加：1qxp，在提公因式P，构造出一个等比数列，再出求：na例题：已知数列 na，满足：121nnaa，且11a，求：na习题 1：已知数列na满足：131nnaa且11a，求：na习题 2：已知数列na满足：12a，且nnSan，求：na名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备（5） 若na 满足1n knnapap， 则两边同时除以：1np， 构造出一个等差数列，再求出
10、：na例题：已知na 满足：11a1122nnnaa，求：na解：111122222nnnnnnnaaaa，既有：11222nnnnaa所以：2nna是首项为：1122a，公差12d的等差数列11(1)2222nnann所以：1222nnnnan习题 1：已知1133nnnaa且11a，求：na习题 2：已知1123 2nnnaa且11a，求：na名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备（六）待定系数法
11、： 若na满足以下关系：1nnakaf n都可用待定系数法转变成一个等比数列来：温馨提示： 提k，对( )f n待定系数例题 1：已知数列 na满足112356nnnaaa，求数列na的通项公式 . 解：11152(5 )235nnnnnnnaxaxaax，与原式对应得，1x1111552(5 )25nnnnnnnnaaaa所以：5nna是首项1151a，公比2q的等比数列既有：115252nnnnnnaa例题 2：已知数列 na满足1135241nnnaaa，求数列 na的通项公式 . 解：11123(2)322nnnnnnnaxyaxyaaxy，与原式对应得：5,2xy11115 225
12、223(5 22)35 22nnnnnnnnaaaa所以：5 22nna是首项为：115 2213a，公比3q的等比数列既有：115 2213 313 35 22nnnnnnaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备（七）颠倒法： 若na满足：1nnnC aaaC，用颠倒法；11111nnnnnnnnnnC aaCaCaaCaC aC aC aCa所以：1111nnaaC，所以：1na是以首项为：11
13、a，公差1dC的等差数列例题 1：已知122nnnaaa，且12a，求：na例题 2：已知1133nnnnaaaa，且11a，求：na名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备（ 八 ） 倒 数 换 元 法 ： 若 数 列na满 足 ：1nnnA aaB aC， 则 颠 倒 变 成111nnnnB aCCBaA aA aA然后再用两边加：1qp或者待定系数法既可求出1na，再颠倒就可得到：na例题：若数
14、列na满足：123nnnaaa，且11a，求：na解：1121311322nnnnnaaaaa，两边加： 1 得：11313122nnaa111113131(1)1221nnnnaaaa，所以：11na是首项为：1112a，公比：32q的等比数列；既有：122121213132212 ( )2232nnnnnnnnnnaaa若用待定系数法：11121311131()3222nnnnnnnaaxxaaaaa1113 1313 112222nnnnxxxaaaa与原式子对应得1x，然后的方法同上；习题： 已知1132nnnnaaaa 且11a，求：na名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
15、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备四、求前 n 项和 Sn的方法（1）错位相减求和主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前n 项和；或者是等差与等比的商的前 n 项和； （是商的时候， 适当转变一下就变成了乘积形式） 。既：设na为等差数列，nb为等比数列，求：nnab或nnab的前 n 项和常用此方法（nnab都转变为乘积形式）例题 1：已知数列2nna，数列nb的前n项和22nSnn，求数列 nnab的前n项和nT例题 2：求数列31
16、2nnna的nnab的前n项和nS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备习题 1：求：23124272.(32)2nnSn习题 2：设数列1(21)3nnna，求na的前 n 项和nS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - -
17、 精心整理学习必备（2）裂项相消求和适用于1()nannk的形式，变形为：11 11()()nannkk nnk例题：求数列1(1)nan n的前 n 项和nS习题 1：求数列1(2)nan n的前 n 项和nS习题 2：求数列,11,321,211nn的前 n 项和. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备（3） 、分组法求和 ：有些数列是和可以分成几部分分开求，在进行加减；例题：求321nnan
18、的前n和nS？习题 1：已知na是一个递增的等差数列且241545,14aaaa，na前 n 项和为nS数列212nnb的前 n 项和为nS，求数列2nnncab的前 n 项和nT名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备（3） 、倒序求和 ：若1( )kn kaaf k，则na的前前 n 项和nS用倒序求和【角标之和为1n，( )f n可以为一个常数，能用倒序求和的，(1)(2).( )fff n一定是可求的】例题 1：若数列12mmnmaa，求na的前前 n 项和nS习题 2：若数列13kn kaka，求na的前前 n 项和nS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -
