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1、精心整理学习必备数列知识点及常用结论一、等差数列(1)等差数列的基本公式通项公式:1(1)naand(从第 1 项1a开始为等差)()nmaanm d(从第 m项ma开始为等差)()nmnmnmaandaanm daadnm前n项和公式:11()(1)22nnn aan nSnad(2)证明等差数列的法方定义法: 对任意的 n,都有1nnaad(d 为常数)na为等差数列等差中项法:122nnnaaa(n*N)na为等差数列通项公式法:na=pn+q (p ,q 为常数且 p0) na为等差数列即: 通项公式位n 的一次函数,公差dp,首项1apq前n项和公式法:2nSpnqn (p , q
2、为常数 ) na为等差数列即: 关于 n 的不含常数项的二次函数(3)常用结论若数列na,nb为等差数列,则数列nak,nk a,nnab,nkab(k , b 为非零常数 )均为等差数列 . 若 m+n=p+q (m,n,p,q*N) ,则nmaa=pqaa. 特别的,当n+m=2k时,得nmaa=2ka在等差数列na中,每隔 k(k*N) 项取出一项,按原来的顺序排列,所得的数列仍为等差数列,且公差为(k+1)d( 例如:1a,4a,7a,10a仍为公差为3d 的等差数列) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名
3、师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备若数列na为等差数列,则记12kkSaaa,2122kkkkkSSaaa,3221223kkkkkSSaaa,则kS,2kkSS,32kkSS仍成等差数列,且公差为2kd 若nS为等差数列na的前 n 项和,则数列nSn也为等差数列 . 11,(1),(2)nnnSnaSSn此性质对任何一种数列都适用求nS最值的方法:I:若1a0,公差 d0,则当100kkaa时,则nS有最大值 ,且kS最大;若1a0,则当100kkaa时,则nS有最小值,且kS最小;II :求前n项和2nS
4、pnqn的对称轴,再求出距离对称轴最近的正整数k,当nk时,kS为最值,是最大或最小,通过nS的开口来判断。二、等比数列(1)等比数列的基本公式通项公式:11nnaa q(从第 1 项1a开始为等比)n mnmaa q(从第 m项ma开始为等差)前n项和公式:1(1),(1)1nnaqSqq,1,(1)nSnaq(2)证明等比数列的法方定义法: 对任意的 n,都有1(0)nnnaqa a1nnaqa(q0) na为等比数列等比中项法:211nnnaaa(11nnaa0)na为等比数列通项公式法:1( ,0nnaaqa q是不为 的常数 )na为等比数列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
5、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备(3)常用结论若数列na,nb为等比数列,则数列1na,nk a,2na,21na,nna bnnab(k 为非零常数 ) 均为等比数列 . 若 m+n=p+q (m, n, p, q*N),则nma a=pqaa. 特别的,当n+m=2k 时,得nma a=2ka在等比数列na中,每隔 k(k*N)项取出一项,按原来的顺序排列,所得的数列仍为等比数列,且公比为1kq(例如:1a,4a,7a,10a仍为公
6、比3q的等比数列 ) 若数列na为等差数列,则记12kkSaaa,2122kkkkkSSaaa,3221223kkkkkSSaaa,则kS,2kkSS,32kkSS仍成等比数列,且公差为kq名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备三、求任意数列通项公式na的方法(1)累加法:若na 满足 an+1=an+f(n) 利用累加法求:na12132431()()()()nnnaaaaaaaaaa例题: 若11
7、a,且12nnaan,求:na练习题: 若数列na 满足1120nnnaa,且10a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备(2)累乘法:若na 满足1( )nnaf na 利用累乘法求:na32411231() () ()()nnnaaaaaaaaaa例题: 在数列 an中,1111,2nnnaaan,求:na . 练习题:在数列 an 中,11a且1nnana,求:na(提示:1 23 .!nn)名
8、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备(3)递推公式中既有nS ,又有na ,用逐差法11nnnSaSS n=1n2特别注意:该公式对一切数列都成立。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备(4)若na 满足1,
9、()nnapaqpq ,则两边加:1qxp,在提公因式P,构造出一个等比数列,再出求:na例题:已知数列 na,满足:121nnaa,且11a,求:na习题 1:已知数列na满足:131nnaa且11a,求:na习题 2:已知数列na满足:12a,且nnSan,求:na名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备(5) 若na 满足1n knnapap, 则两边同时除以:1np, 构造出一个等差数列,再求出
10、:na例题:已知na 满足:11a1122nnnaa,求:na解:111122222nnnnnnnaaaa,既有:11222nnnnaa所以:2nna是首项为:1122a,公差12d的等差数列11(1)2222nnann所以:1222nnnnan习题 1:已知1133nnnaa且11a,求:na习题 2:已知1123 2nnnaa且11a,求:na名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备(六)待定系数法
11、: 若na满足以下关系:1nnakaf n都可用待定系数法转变成一个等比数列来:温馨提示: 提k,对( )f n待定系数例题 1:已知数列 na满足112356nnnaaa,求数列na的通项公式 . 解:11152(5 )235nnnnnnnaxaxaax,与原式对应得,1x1111552(5 )25nnnnnnnnaaaa所以:5nna是首项1151a,公比2q的等比数列既有:115252nnnnnnaa例题 2:已知数列 na满足1135241nnnaaa,求数列 na的通项公式 . 解:11123(2)322nnnnnnnaxyaxyaaxy,与原式对应得:5,2xy11115 225
12、223(5 22)35 22nnnnnnnnaaaa所以:5 22nna是首项为:115 2213a,公比3q的等比数列既有:115 2213 313 35 22nnnnnnaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备(七)颠倒法: 若na满足:1nnnC aaaC,用颠倒法;11111nnnnnnnnnnC aaCaCaaCaC aC aC aCa所以:1111nnaaC,所以:1na是以首项为:11
13、a,公差1dC的等差数列例题 1:已知122nnnaaa,且12a,求:na例题 2:已知1133nnnnaaaa,且11a,求:na名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备( 八 ) 倒 数 换 元 法 : 若 数 列na满 足 :1nnnA aaB aC, 则 颠 倒 变 成111nnnnB aCCBaA aA aA然后再用两边加:1qp或者待定系数法既可求出1na,再颠倒就可得到:na例题:若数
14、列na满足:123nnnaaa,且11a,求:na解:1121311322nnnnnaaaaa,两边加: 1 得:11313122nnaa111113131(1)1221nnnnaaaa,所以:11na是首项为:1112a,公比:32q的等比数列;既有:122121213132212 ( )2232nnnnnnnnnnaaa若用待定系数法:11121311131()3222nnnnnnnaaxxaaaaa1113 1313 112222nnnnxxxaaaa与原式子对应得1x,然后的方法同上;习题: 已知1132nnnnaaaa 且11a,求:na名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
15、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页,共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备四、求前 n 项和 Sn的方法(1)错位相减求和主要适用于等差数列和等比数列乘积的数列的前n 项和;或者是等差与等比的商的前 n 项和; (是商的时候, 适当转变一下就变成了乘积形式) 。既:设na为等差数列,nb为等比数列,求:nnab或nnab的前 n 项和常用此方法(nnab都转变为乘积形式)例题 1:已知数列2nna,数列nb的前n项和22nSnn,求数列 nnab的前n项和nT例题 2:求数列31
16、2nnna的nnab的前n项和nS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页,共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备习题 1:求:23124272.(32)2nnSn习题 2:设数列1(21)3nnna,求na的前 n 项和nS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页,共 16 页 - - - - - - - - -
17、 精心整理学习必备(2)裂项相消求和适用于1()nannk的形式,变形为:11 11()()nannkk nnk例题:求数列1(1)nan n的前 n 项和nS习题 1:求数列1(2)nan n的前 n 项和nS习题 2:求数列,11,321,211nn的前 n 项和. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页,共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备(3) 、分组法求和 :有些数列是和可以分成几部分分开求,在进行加减;例题:求321nnan
18、的前n和nS?习题 1:已知na是一个递增的等差数列且241545,14aaaa,na前 n 项和为nS数列212nnb的前 n 项和为nS,求数列2nnncab的前 n 项和nT名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页,共 16 页 - - - - - - - - - 精心整理学习必备(3) 、倒序求和 :若1( )kn kaaf k,则na的前前 n 项和nS用倒序求和【角标之和为1n,( )f n可以为一个常数,能用倒序求和的,(1)(2).( )fff n一定是可求的】例题 1:若数列12mmnmaa,求na的前前 n 项和nS习题 2:若数列13kn kaka,求na的前前 n 项和nS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页,共 16 页 - - - - - - - - -