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1、离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院第第1 1讲讲 命题公式命题公式 1离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院主要内容主要内容 1 1 命题的基本概念命题的基本概念命题的基本概念命题的基本概念2 2 命题联结词及真值表命题联结词及真值表命题联结词及真值表命题联结词及真值表3 3 命题公式与命题符号化命题公式与命题符号化命题公式与命题符号化命题公式与命题符号化4 4 命题公式的分类命题公式的分类命题公式的分类命题公式的分类5 5 命题公式的等值演算命题公式的等值演算命题公式的等值演算命题公式的等值演算6 6 范式范式范式范式2离散数学离散数学
2、 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院命题命题 能够分辨真假的陈述句叫做能够分辨真假的陈述句叫做命题命题(Proposition)。 该定义有两层含义：该定义有两层含义： (1)命题是陈述句。其他的语句，如疑问句、祈使命题是陈述句。其他的语句，如疑问句、祈使句、感叹句均不是命题；句、感叹句均不是命题； (2)这个陈述句表示的内容可以分辨真假，而且不这个陈述句表示的内容可以分辨真假，而且不是真就是假，不能不真也不假，也不能既真又假是真就是假，不能不真也不假，也不能既真又假1.1 命题与联结词命题与联结词3离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院 作为命题的陈述句
3、所表示的判断结果称为作为命题的陈述句所表示的判断结果称为命命题的真值题的真值，真值只取两个值：真或假。，真值只取两个值：真或假。凡是与事凡是与事实相符的陈述句是真命题，而与事实不符合的陈实相符的陈述句是真命题，而与事实不符合的陈述句是假命题。通常用述句是假命题。通常用1（或字母（或字母T）表示真，用）表示真，用0（或字母（或字母F）表示假。）表示假。1.1 命题与联结词命题与联结词4离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院命题的分类命题的分类原子命题原子命题（Automic Proposition）：是指不能再是指不能再分解为更简单命题的命题；分解为更简单命题的命题；复
4、合命题复合命题（Compound Proposition）：是指由若是指由若干命题用联结词组成的新命题。干命题用联结词组成的新命题。 例如例如“雪是白的雪是白的”是原子命题；是原子命题；“昨天下雨，昨天下雨，而且打雷而且打雷”，“如果明天天晴我就去打球或者游如果明天天晴我就去打球或者游泳泳”都是复合命题。都是复合命题。 1.1 命题与联结词命题与联结词5离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院 命题常元命题常元 真值确定的原子命题称为真值确定的原子命题称为命题常元。命题常元。 命题变元命题变元 真值不确定的原子命题真值不确定的原子命题称为称为命题变元。命题变元。 如果命
5、如果命题题符号符号P P代表命代表命题题常元常元则则意味它是某个意味它是某个具体命具体命题题的符号化，如果的符号化，如果P P代表命代表命题变题变元元则则意味着意味着它可指代任何具体命它可指代任何具体命题题。本。本书书中如果没有特中如果没有特别别指明，指明，通常来通常来说说命命题题符号符号P P等是命等是命题变题变元，即可指代任何元，即可指代任何命命题题。1.1 命题与联结词命题与联结词6离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院命题联结词及真值表命题联结词及真值表否定词否定词“ ”（或（或“ ”） 否定词否定词（Negation）是一元联结词。相当于自是一元联结词。相当
6、于自然语言中的然语言中的“非非”、“不不”等，等，真值表如右图。真值表如右图。1.1 命题与联结词命题与联结词 P P 0 1 1 07离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院合取词合取词“ ” 合取词合取词（Conjunction）是二元联结词。相当于自然是二元联结词。相当于自然语言中的语言中的“与与” 、“并且并且” 、“而且而且” 、“也也”等，真值表等，真值表如右图。如右图。1.1 命题与联结词命题与联结词 P Q P Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 18离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院析取词析取词“ ” 析取词（
7、析取词（Disjunction）是二元联结词。相当于自然是二元联结词。相当于自然语言中的语言中的“或或”、“要么要么要么要么”等，真值表如右图。等，真值表如右图。1.1 命题与联结词命题与联结词 P Q P Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 19离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院蕴含词蕴含词“” 蕴含词（蕴含词（Implication）是二元联结词。相当于自然是二元联结词。相当于自然语言中的语言中的“若若则则”、“如果如果就就”、“只有只有才才”，真值表如右图。真值表如右图。1.1 命题与联结词命题与联结词 P QP Q 0 0 1 0 1 1 1
8、0 0 1 1 110离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院等价词等价词“ ” 等价词（等价词（Equivalence）是二元联结词。相当于自然语是二元联结词。相当于自然语言中的言中的“等价等价”、“当且仅当当且仅当”、“充要条件充要条件”等，真值表如右图。等，真值表如右图。 我们给联结词规定我们给联结词规定优先级顺序优先级顺序： 的优先级最的优先级最高，接着依次是高，接着依次是 ， ，和和。1.1 命题与联结词命题与联结词 P Q PQ 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 111离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.2 1.2
9、命题公式命题公式命题公式命题公式（Propositional Formula）归纳定义如下：归纳定义如下： （1 1）命题变元是命题公式；）命题变元是命题公式； （2 2）如果）如果是命题公式，则是命题公式，则 也是命题公式；也是命题公式； （3 3）如如果果和和是是命命题题公公式式，则则 ， ，均是命题公式；均是命题公式； （4 4）只有有限次地利用（）只有有限次地利用（1 1）（3 3）形成的符号）形成的符号串才是命题公式。串才是命题公式。12离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.2 1.2 命题公式命题公式 例如，例如， (P(P Q)Q)，P P(P(P
10、Q)Q)等都等都是是命命题题公式，公式，而而CPCPQQ， RPRP等不是等不是命命题题公式。公式。 命命题逻辑题逻辑里里讨论讨论的的对对象是命象是命题题公式，而日常公式，而日常生活中的推理生活中的推理问题问题是用自然是用自然语语言描述的，因此要言描述的，因此要进进行推理演算必行推理演算必须须先把自然先把自然语语言符号化（或形式言符号化（或形式化）成化）成逻辑语逻辑语言，即命言，即命题题公式。然后再根据公式。然后再根据逻辑逻辑演算演算规规律律进进行推理演算。行推理演算。13离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.2 1.2 命题公式命题公式命题符号化命题符号化 指指
11、把把一一个个用用自自然然语语言言叙叙述述的的命命题题相相应应地地写写成成由由命命题题变变元元、联联结结词词和和圆圆括括号号表表示示的命题公式。符号化应该的命题公式。符号化应该注意注意下列事项下列事项：u确定给定句子是否为命题。确定给定句子是否为命题。u句子中连词是否为命题联结词。句子中连词是否为命题联结词。u要要正正确确地地表表示示原原子子命命题题和和适适当当选选择择命命题题联联 结词。结词。14离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.2 1.2 命题公式命题公式命题公式的分类命题公式的分类变元组变元组：设设n n元公式元公式中所含有的不同命题中所含有的不同命题元为
12、元为P P1 1,P,P2 2,P,Pn n，我们把这些命题变元组成，我们把这些命题变元组成的变元组的变元组(P(P1 1,P,P2 2,P,Pn n) )称为称为的变元组。的变元组。完全指派：完全指派：的变元组的变元组(P(P1 1,P,P2 2,P,Pn n) )的任意的任意一组确定的值都称为该公式一组确定的值都称为该公式关于该变元组关于该变元组(P(P1 1,P,P2 2,P,Pn n) )的完全指派。的完全指派。15离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.2 1.2 命题公式命题公式部分指派：部分指派：如果仅对变元组中部分变元赋以确定如果仅对变元组中部分变元
13、赋以确定的值，其余变元没有赋以确定的值，则这样的一的值，其余变元没有赋以确定的值，则这样的一组值称为该公式组值称为该公式关于该变元组关于该变元组(P(P1 1,P,P2 2,P Pn n) )的的部部分指派分指派。 例例 设设=(P=(P (QR)(QR) S S，其其变变元元组为组为(P,Q,R,S)(P,Q,R,S)。(P,Q,R,S)=(1,0,1,1)(P,Q,R,S)=(1,0,1,1)为为的完全指派，的完全指派，(P,Q,R,S)=(0,0,1,S)(P,Q,R,S)=(0,0,1,S)为为的部分指派。的部分指派。16离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院
14、1.2 1.2 命题公式命题公式 成真指派成真指派 对对于任一公式于任一公式，凡使得，凡使得为为真的指派，不真的指派，不管是完全指派管是完全指派还还是部分指派，都称是部分指派，都称为为的的成真指成真指派。派。 成假指派成假指派 凡使得凡使得为为假的指派，也不管是完全指派假的指派，也不管是完全指派还还是部分指派，都称是部分指派，都称为为的的成假指派成假指派。 例例 设设=(P=(P(Q(Q R)R) ( ( R R S)S)，则则完全指派完全指派(P,Q,R,S)=(0,1,0,1)(P,Q,R,S)=(0,1,0,1)和部分指派和部分指派(P,Q,R,S)=(0,1,0,S)(P,Q,R,S)
15、=(0,1,0,S)都是都是的成真指派，而指派的成真指派，而指派(P,Q,R,S)=(1,0,1,0)(P,Q,R,S)=(1,0,1,0)为为的成假指派。的成假指派。17离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.2 1.2 命题公式命题公式子公式子公式（Sub Formula）：）：设设为命题公式，为命题公式，为为中的一个连续的符号串，且中的一个连续的符号串，且为命题公式，为命题公式，则称则称为为的子公式。的子公式。 例如，设公式例如，设公式=(P=(P Q)(PQ)(P (Q(Q R)R)，则则(P(P Q)Q)，(Q(Q R)R)，(P(P (Q(Q R)R)等
16、都是等都是的子公式，的子公式，而而(P(P Q)Q)，(P(P (Q(Q ，(Q(Q R)R)等都不是等都不是的子的子公式，因为它们本身不是公式。公式，因为它们本身不是公式。18离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.2 1.2 命题公式命题公式重言式重言式/ /永真式永真式（Tautology）：）：若公式若公式的所有的所有完全指派均是成真指派，则公式完全指派均是成真指派，则公式称为称为重言式或重言式或永真式。永真式。矛盾式矛盾式/ /永假式永假式（Absurdity）：）：若公式若公式的所有的所有完全指派均是成假指派，则公式完全指派均是成假指派，则公式称为矛盾式
17、或称为矛盾式或永假式。永假式。可满足式可满足式（Contingency）：若公式若公式中中有成真指有成真指派，则公式派，则公式称为称为可满足式可满足式。19离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.2 1.2 命题公式命题公式对定义的几点说明对定义的几点说明 1 1）是是可可满满足足式式的的等等价价定定义义是是：至至少少存存在在一一个个成真指派。成真指派。 2 2）重重言言式式一一定定是是可可满满足足式式，但但反反之之不不真真。因因而而，若若公公式式是是可可满满足足式式，且且它它至至少少存存在在一一个个成成假假指指派，则称派，则称为非重言式的可满足式。为非重言式的可满
18、足式。20离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.2 1.2 命题公式命题公式 3 3）真值表可用来判断公式的类型：）真值表可用来判断公式的类型： 若真值表最后一列全为若真值表最后一列全为1 1，则公式为重言式；，则公式为重言式； 若真值表最后一列全为若真值表最后一列全为0 0，则公式为矛盾式；，则公式为矛盾式； 若若真真值值表表最最后后一一列列中中至至少少有有一一个个1 1，则则公公式式为为可满足式。可满足式。21离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.3 1.3 等值演算等值演算 等值式等值式 设设，是两个命题公式，若是两个命题公式，
19、若，构成的等价式构成的等价式为重言式，则称公式为重言式，则称公式与与是是等值等值（Equivalent）的，记作的，记作。22离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.3 1.3 等值演算等值演算注意：注意： 定义中给出的符号定义中给出的符号与与是两个完全是两个完全不同的符号。不同的符号。不是命题联结词而是公式不是命题联结词而是公式间的关系符号，间的关系符号，不表示一个公式，即不表示一个公式，即不代表命题，它表示公式不代表命题，它表示公式与公式与公式有等值有等值关系，而关系，而是命题联结词，是命题联结词，是一个公是一个公式，表示某个命题。然而这两者之间有密式，表示某个
20、命题。然而这两者之间有密切的联系，即切的联系，即的充要条件是公式的充要条件是公式为重言式。为重言式。23离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.3 1.3 等值演算等值演算 下面下面给给出出1616组组重要的等重要的等值值式（在后面的推理式（在后面的推理演算中以大写字母演算中以大写字母E E加以引用），加以引用），这这些等些等值值式也称式也称作作命题定律命题定律，其正确性可以用真，其正确性可以用真值值表加以表加以证证明。明。 （1 1）双重否定律）双重否定律 ( ( ) （2 2）等幂律）等幂律 ， 24离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学
21、院1.3 1.3 等值演算等值演算（3 3）交换律）交换律 ， （4 4）结合律）结合律 ( ( ) ( )， ( ( ) ( )（5 5）分配律）分配律 ( )( ) ( )（ 对对 的的分分配配律）律） ( )( ) ( )（ 对对 的的分分配配律）律）25离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.3 1.3 等值演算等值演算（6 6）德摩根律）德摩根律 ( )， ( )（7 7）吸收律）吸收律 ( )， ( )（8 8）零一律）零一律 1 11 1， 0 00 026离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.3 1.3 等值演算等值演算
22、（9 9）同一律）同一律 0 0， 1 1（1010）排中律）排中律 1 1（1111）矛盾律）矛盾律 0 0（1212）蕴含等值式）蕴含等值式 27离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.3 1.3 等值演算等值演算（1313）假言易位）假言易位 （1414）等价等值式）等价等值式 () ()， ( ) ( ( )（1515）等价否定等值式）等价否定等值式 （1616）归谬论）归谬论 () ()28离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.3 1.3 等值演算等值演算 等值演算等值演算 由已知的等由已知的等值值式推演出另外一些等式推演出另
23、外一些等值值式的式的过过程称程称为为等值演算等值演算。 代入定理代入定理 对对于重言式中的任一命于重言式中的任一命题变题变元出元出现现的每一的每一处处均用同一命均用同一命题题公式代入，得到的仍是重言式。公式代入，得到的仍是重言式。29离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.3 1.3 等值演算等值演算 置换定理置换定理 设设A A是公式是公式的一个子公式且的一个子公式且A AB B。如。如果将公式果将公式中的子公式中的子公式A A置换成公式置换成公式B B之后，之后，得到的公式是得到的公式是，则，则。30离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学
24、院1.3 1.3 等值演算等值演算 比比较较代入定理和置代入定理和置换换定理的区定理的区别别: :31离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.3 1.3 等值演算等值演算 限制性命题公式限制性命题公式 如如果果命命题题公公式式中中只只出出现现命命题题变变元元、命命题题常常元元、命题联结词命题联结词 、 和和 ，则称，则称为为限制性命题公式限制性命题公式。 对偶式对偶式 在限制性公式在限制性公式中，中，将联结词将联结词 换成换成 ，将，将 换换成成 ，将，将0 0换成换成1 1，将，将1 1换成换成0 0，所得到的公式称为，所得到的公式称为的的对偶式对偶式，记为，记为
25、* *。32离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.4 1.4 范式范式原子命题原子命题“P”P”及其否定及其否定“ P”P”统称统称文字文字。文字或者一些文字的合取称为文字或者一些文字的合取称为质合取式质合取式。文文字字或或者者一一些些文文字字的的析析取取称称为为质质析析取取式式( (或或称称子句子句) )。P P与与 P P称为称为互补对互补对。 例例如如，P P， P P， P P Q Q，P PQ Q R R等等都都是是质质合合取取式式，P P， Q Q，P P Q Q， P P Q QR R等等都都是质析取式。是质析取式。33离散数学离散数学 中国地质大学
26、中国地质大学 计算机学院计算机学院1.4 1.4 范式范式 定理定理 （1 1）质合取式为矛盾式的充要条件：它包质合取式为矛盾式的充要条件：它包含有一个互补对；含有一个互补对； （2 2）质质析析取取式式为为重重言言式式的的充充要要条条件件：它它包包含有一个互补对。含有一个互补对。34离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.4 1.4 范式范式析取范式与合取范式 若干个质合取式的析取式称为析取范式。亦若干个质合取式的析取式称为析取范式。亦即该公式具有形式即该公式具有形式1 1 2 2 n n，其中，其中i i(i=1,2,n)(i=1,2,n)为质合取式。为质合取式
27、。 若干个质析取式的合取式称为合取范式。亦若干个质析取式的合取式称为合取范式。亦即该公式具有形式即该公式具有形式1 1 2 2 n n，其中，其中i i(i=1,2,n)(i=1,2,n)为质析取式。为质析取式。35离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.4 1.4 范式范式 定理定理1.61.6（范式存在定理）（范式存在定理） 任一命题公式都存任一命题公式都存在着与之等值的析取范式和合取范式在着与之等值的析取范式和合取范式。 下面给出下面给出求任一公式的析取范式和合取范式的步骤求任一公式的析取范式和合取范式的步骤: : （1 1）利利用用蕴蕴含含等等值值式式和和等
28、等价价等等值值式式消消去去公公式式中中的的联联结结词词“”和和“”； （2 2）利利用用德德摩摩根根律律和和双双重重否否定定律律将将联联结结词词“ ”向向内内深深入入，使之只作用于命题变元；使之只作用于命题变元； （3 3）利用分配律将公式化为所需要的范式。）利用分配律将公式化为所需要的范式。36离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.4 1.4 范式范式极小项（极大项）极小项（极大项） 在含在含n n个命题变元的质合取式（质析取式）中个命题变元的质合取式（质析取式）中，若每个命题变元与其否定不同时存在，而二者之若每个命题变元与其否定不同时存在，而二者之一必出现且仅
29、出现一次一必出现且仅出现一次，且第且第i i个命题变元或其否个命题变元或其否定出现在从左算起的第定出现在从左算起的第i i位上位上( (若命题变元无下标若命题变元无下标, ,则按字典顺序排序则按字典顺序排序) )，这样的质合取式（质析取式）这样的质合取式（质析取式）称为称为极小项（极大项）极小项（极大项）。37离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.4 1.4 范式范式 n n个命题变元共可产生个命题变元共可产生2 2n n个不同的极小个不同的极小项，其中每个极小项都有且仅有一个成真项，其中每个极小项都有且仅有一个成真指派。若在极小项中，将命题变元看成指派。若在极小
30、项中，将命题变元看成1 1，命题变元的否定看成命题变元的否定看成0 0，则每个极小项惟一，则每个极小项惟一地对应一个二进制数，若把该二进制数转地对应一个二进制数，若把该二进制数转化成十进制数为化成十进制数为i i， 并将所对应极小项记并将所对应极小项记作作m mi i，类似地，类似地，n n个命题变元共可产生个命题变元共可产生2 2n n个个不同的极大项，每个极大项只有一个成假不同的极大项，每个极大项只有一个成假指派，将其对应的十进制数指派，将其对应的十进制数i i做极大做极大项项的下的下标标，记记作作M Mi i。38离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.4 1
31、.4 范式范式 例如，两个命例如，两个命题变题变元元P, QP, Q共可共可产产生生4 4个个极小极小项项，也可以，也可以产产生生4 4个极大个极大项项。类类似地，似地，由三个命由三个命题变题变元元P, Q, RP, Q, R共可共可产产生生8 8个极小个极小项项，也可以，也可以产产生生8 8个极大个极大项项。 定定理理 设设m mi i和和M Mi i是是命命题题变变元元P P1 1,P,P2 2,P,Pn n形形成成的极小项和极大项，则的极小项和极大项，则 m mi iM Mi i， M Mi im mi i39离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.4 1.4
32、 范式范式主析取范式（主合取范式）主析取范式（主合取范式） 设命题公式设命题公式中含中含n n个命题变元，如果个命题变元，如果的析取范式（合取范式）中的质合取式的析取范式（合取范式）中的质合取式（质析取式）都是极小项（极大项），则（质析取式）都是极小项（极大项），则称该析取范式（合取范式）为称该析取范式（合取范式）为的的主析取范主析取范式（主合取范式）式（主合取范式）。40离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.4 1.4 范式范式 求求一一个个给给定定公公式式的的主主析析取取范范式式和和主主合合取取范范式式除除了了可可以以用用真真值值表表法法，还还可可以以用用类类
33、似似于于求求范范式式的的方方法法，下下面面给给出出求求解步骤解步骤： （1 1）利利用用蕴蕴含含等等值值式式和和等等价价等等值值式式消消去去公公式式中中的的联联结结词词“”和和“”； （2 2）利利用用德德摩摩根根律律和和双双重重否否定定律律将将联联结结词词“ ”向向内内深深入入，使之只作用于命题变元；使之只作用于命题变元； （3 3）利用分配律将公式化为析取范式或合取范式；利用分配律将公式化为析取范式或合取范式；41离散数学离散数学 中国地质大学中国地质大学 计算机学院计算机学院1.4 1.4 范式范式 （4 4）利用同一律消去矛盾的质合取式利用同一律消去矛盾的质合取式( (重言的质析取式重
34、言的质析取式) )； （5 5）利利用用等等幂幂律律消消去去相相同同的的质质合合取取式式( (质质析析取取式式) )以以及及质质合合取式取式( (质析取式质析取式) )中相同的合取项中相同的合取项( (析取项析取项) )； （6 6）利利用用同同一一律律、分分配配律律将将不不包包含含某某一一命命题题变变元元的的质质合合取取式式( (质质析析取取式式) )置置换换为为包包含含这这一一命命题题变变元元的的质质合合取取式式( (质质析析取取式式) )，直直到到每每一一质质合合取取式式( (质质析析取取式式) )成成为为极极小小项项( (极极大大项项) )为为止止。例例如如P P Q QP P Q Q (R(RR)R)(P(P Q Q R)R) (P(P Q QR)R)。42
