线性代数完整版课件全套ppt整本书电子讲义全书电子课件最全教学教程

《线性代数完整版课件全套ppt整本书电子讲义全书电子课件最全教学教程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数完整版课件全套ppt整本书电子讲义全书电子课件最全教学教程（293页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、线 性 代 数第1章 行列式行列式1.1 全排列及其逆序数1.1.1 排列与逆序自然数 组成的有序数组称为一个 元排列，记为 元排列共有个排列 称为自然排列或标准排列，规定其为标准次序定义定义1 在一个 元排列 中，若一个大的数排在一个小的数的前面（即与标准次序不同时），则称这两个数有一个逆序一个 元排列中所有逆序的总数，称为此排列的逆序数，记为 若排列的逆序数为奇数（偶数），则称此排列为奇排列（偶排列）计算排列逆序数的方法：设 为 个自然数 的一个排列，考虑元素 ，如果比 大且排在 前面的数有 个，就说这个元素的逆序数是，全体元素的逆序数的总和就是此排列的逆序数，即例例1 求下列排列的逆序数

2、：（1） ； （2） 解解 此排列为偶排列（2）同理可得 此排列的奇偶性由 确定1.1.2 对换 定义定义2 将一个排列中的某两个数的位置互换（其余的数不动），就得到了一个新排列，称这样的变换为一次对换，将相邻两个数对换，称为相邻对换定理定理1 对排列进行一次对换，则改变其奇偶性由定理1可得下面的推论推论推论1奇排列调成自然（标准）排列的对换次数为奇数，偶排列调成自然（标准）排列的对换次数为偶数推论推论2 全体 元排列（ ）的集合中，奇、偶排列各占一半 1.2 行列式的概念1.2.1 二、三阶行列式一、二阶行列式一、二阶行列式求解二元一次方程组求解二元一次方程组 (1.2.1)引入符号引入符号

3、 称称 为二阶行列式（为二阶行列式（1.2.1）的系数行列式），它代）的系数行列式），它代表一个数，简记为表一个数，简记为 ，其中数，其中数 称为行列式称为行列式 的第的第 （行标）行、第（行标）行、第 （列标）列的元（列标）列的元素素当 时，求得方程组(1.2.1)的解为 ，根据二阶行列式的定义，方程组根据二阶行列式的定义，方程组(1.2.1)的解中的解中的分子也可用二阶行列式表示若记的分子也可用二阶行列式表示若记其中其中 表示将表示将 中第中第 列换成列换成(1.2.1)式式右边的常数项所得到的行列式右边的常数项所得到的行列式 ， 其中于是，当系数行列式 时，二元一次方程组(1.2.1)有

4、惟一解， 二、三阶行列式二、三阶行列式 求解三元一次方程组 (1.2.2) 引入符号引入符号称为三阶行列式（称为三阶行列式（1.2.2)的系数行列式）的系数行列式）三阶行列式的对角线法则：当系数行列式 时，三元一次方程组(1.2.2)有惟一解 ，其中 三阶行列式具有以下特点：（1）三阶行列式值的每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积，除去符号，每项的三个元素按它们在行列式中的行的顺序排成，其中第一个下标（行标）都按自然顺序排列成 ，而第二个下标（列标）排列成 ，它是自然数 的某个排列；（2）各项所带的符号只与列标的排列有关：带正号的三项列标排列： ；带负号的三项列标排列是： 由上节知，前

5、三个排列为偶排列，而后三个排列为奇排列，因此各项所带符号可以表示为 ，其中 为列标排列的逆序数； （3）因 共有 个不同的排列，所以对应行列式右端是6项的代数和 因此，三阶行列式可以写成其中 为排列 的逆序数，即 ，上式表示对 三个数的所有排列 求和 1.2.2 阶行列式的定义定义定义3称由 个数 排成 行列组成的记号为 阶行列式，简记为 阶行列式可表示为其中表示对 的所有排列取和，数 称为行列式 的元素定理定理2 阶行列式也可定义为其中 为行标排列 的逆序数定义定义4对角线以下（上）的元素均为零的行列式称为上（下）三角行列式 阶上三角行列式 同理， 阶下三角行列式 1.3 行列式的性质转置行

6、列式: 设将 的行与列互换（顺序不变），得到的新行列式，记为 称 为 的转置行列式显然 也是 的转置行列式，即性质性质1 行列式与其转置行列式相等，即性质性质2 行列式的两行（列）互换，行列式变号推论推论 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零性质性质3 行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式推论推论1 行列式的某一行（列）中所有元素的行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面公因子可以提到行列式符号的外面推论推论2行列式的某一行（列）中所有元素为行列式的某一行（列）中所有元素为零，则此行列式为零零，则此行列式为零性质性质4 行列式中有两行（列）

7、的元素对应成行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零比例，则此行列式为零性质性质5 若行列式中某一行（列）的元素都是若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和两数之和，则此行列式等于两个行列式之和 即性质性质6 将行列式某一行（列）的各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变即第 行乘 加到第 行上，有 为叙述方便，引进以下记号：（1）交换行列式的 两行（列），记为 ；（2）第 行（列）乘以 ，记作 ， 第 行（列）提出公因子 ，记作 ；（3）将行列式的第 行（列）乘 加到第 行（列）上，记为 例例1 计算解解 例例2 计算解解 例例

8、3计算 解解从第1列开始，前列减后列，然后再在前3列中，前列减后列例例4计算 阶行列式解解从第1行开始前行乘加到后行上，得 其中记号“”表示全体同类因子的乘积 1.4 行列式按行（列）展开1.4.1 行列式按某一行（列）展开定义定义5 在 阶行列式中，将元素 所在的第 行和第 列划去，剩下的元素按原排列构成的 阶行列式，称为 的余子式，记为 ；称为元素 的代数余子式引理引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零，则此行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即定理定理3 行列式等于它的任意一行（列）的各或例例1 计算解解 从而解得例例2计算解解按第1行展开，有以此作递推公式，得例例3证明范德

9、蒙德（Vander-monde）行列式证证对行列式阶数用数学归纳法当 时， ，结论成立假设对 阶范德蒙德行列式结论成立，往证 阶范德蒙德行列式也成立从第 行开始，后行减前行的 倍，得按第1列展开，并提出每一列的公因子 ，有上式右端的行列式是一个 阶范德蒙德行列式，由归纳法假设，它等于所有 因子的乘积，其中 ，即推论推论 行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即或结合定理3及推论，得到代数余子式的重要性质：或其中 1.5 克拉默（Cramer）法则 设含有 个未知数， 个方程的线性方程组为 (1.5.1) 阶行列式 称为方程组(1.5.1)的系数行列式定理定理

10、5（克拉默法则）（克拉默法则）若线性方程组(1.5.1)的系数行列式 ，则方程组有惟一解 (1.5.2)其中 是将系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项 代替后所得到的 阶行列式，即克拉默法则等价地指出：如果方程组(1.5.1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式 当方程组(1.5.1)的右端常数项 全为零时，即 (1.5.3)称(1.5.3)为齐次线性方程组当 不全为零时，称方程组(1.5.1)为非齐次线性方程组显然，齐次线性方程组(1.5.3)必定有解称之为零解，若解 不全为零，则称为非零解定理定理6若齐次线性方程组(1.5.3)的系数行列式 ，则它只有零解（没有非零解）反之，若

11、齐次线性方程组(1.5.3)有非零解，则它的系数行列式 例例 问 取何值时，齐次线性方程组 有非零解解解由定理6可知，若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式 ，而由 ，解得 、 或 不难验证，当 、 或 时，原齐次线性方程组确有非零解 第2章 矩阵 2.1 矩阵的概念2.1.1矩阵的定义定义定义1 由 个数 按一定顺序排成 行 列的数表称为一个 行 列矩阵，简称 矩阵，记为或 ，其中 表示位于第 行第 列的数,称为 的元素（或元），所以 矩阵也可以简记为 或 2.1.2 几种特殊形式的矩阵（1）行矩阵）行矩阵 当 时，即只有一行的矩阵或称为行矩阵或行向量（2）列矩阵）列矩阵 当 时，即只有一

12、列的矩阵称为列矩阵或列向量（3）零矩阵）零矩阵 所有元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 例如， 的零矩阵可记为（4）方阵）方阵 行数和列数都等于 的矩阵，称为 阶矩阵或 阶方阵，记为 ， 即其中元素 称为 阶方阵的主对角元素，过元素 的直线称为 阶方阵的主对角线 （5） 阶对角阵阶对角阵 非主对角元素全为零的 阶方阵称为 阶对角矩阵，即记为或其中未写出的元素全为零（6） 阶单位矩阵阶单位矩阵 主对角元素全为1，其余元素全为零的 阶方阵称为 阶单位矩阵，即 且 记为或（7） 阶数量矩阵阶数量矩阵 主对角元素等于同一个数 的 阶对角阵，称为 阶数量矩阵，记为 或 2.2矩阵的运算2.2.1 矩阵的线

13、性运算1矩阵的加法定义定义2 两个 的同型矩阵 和 的对应元素相加，所得 的矩阵称为矩阵 与的和,记为 ，即例例1 设 则而 无意义2数与矩阵的乘法 定义定义3 用数 乘以 矩阵 的所有元素，所得的 矩阵称为数 与矩阵 的数乘矩阵，简称数乘，记为 ，即 当 时，称 为矩阵 的负矩阵，显然有 所以矩阵的减法可定义为矩阵的加法和数与矩阵的乘法统称为矩阵的线性运算，其运算规律： （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 例例2 设且 ，求矩阵 解解 在 等式两端同加上 ，得上式两端同乘 ，得2.2.2 矩阵与矩阵相乘定定义义4 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，则规定 与 的乘积是一

14、个矩阵 ，其中记为 例例3 设矩阵求乘积 解解 例4 设矩阵 ，求 及 解解例5 设 ， 求 与 解解 ， 矩阵乘法的运算规律（假设运算都是可行的）：（1）结合律： （2）分配律： （3）对任意数 有（4）设 是 矩阵 ，则 ，或简记为 即单位矩阵是矩阵乘法的单位元，作用类似于乘法中的数1 定义定义5方阵 的 次幂定义为 个方阵 连乘，即其中 为正整数，规定 ，其运算规律：（1） ；（2） 为正整数 因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 阶方阵 与 ，一般来说2.2.3 矩阵的转置定义定义6 将 矩阵 的行换成同序数的列，所得的 矩阵称为 的转置矩阵，记为 或 ，即其运算规律： （1） ；（2）

15、 ； （3） ；（4） 例例6 已知 求 解法解法1因为所以解法解法2 定义定义7设 为 阶方阵，若满足 ，则称 为对称矩阵，即其特点是：关于主对角线对称的元素相等若满足 ，则称 为反对称矩阵，即 ，当 时， ，其特点是：关于主对角线对称的元素相反，主对角线上的元素全为零2.2.4 方阵的行列式定义定义8 由 阶方阵 的所有元素（位置不变）构成的行列式，称为方阵 的行列式，记为 或 ，即其运算规律：（1） （行列式性质1）；（2） 为 阶方阵） ；（3） 2.2.5 共轭矩阵当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记 ， 称为 的共轭矩阵其运算规律（设 ， 为复矩阵， 为复数，且运算都是可行的）

16、：（1） ；（2） ；（3） 2.3 逆矩阵2.3.1 逆矩阵的定义及性质定义定义9 设 为 阶方阵，若存在 阶方阵 ，使 ，则称方阵 可逆， 为 的逆矩阵若 可逆，则 的逆矩阵是惟一的可逆矩阵的性质： (1) 若 可逆，则其逆阵 也可逆，且（2）若 可逆，则 也可逆，且 （3）若 可逆， 为非零常数，则 也可逆，且（4）若 ， 为同阶可逆阵，则 也可逆，且 ；2.3.2 方阵 可逆的充分必要条件及 的求法定义定义10 设 阶方阵 由 的行列式 的所有元素的代数余子式 所构成的 阶方阵称为矩阵的伴随矩阵. 定理定理1 设 是 阶方阵， 为 的伴随矩阵，则定理定理2 阶方阵 可逆 ，且 推论推论

17、若 ，则 例例1 设判断 是否可逆，若可逆，求 解解因为所以 可逆，又因为有 所以例例2设求矩阵 ，使满足 .解解若 ， 存在，则用 左乘上式， 右乘上式， 有即 由例1知， 可逆，且又因 ， 也可逆，且所以2.4 分块矩阵2.4.1分块矩阵的概念 设 是 矩阵，用若干条横线和竖线将矩阵分成若干个小块，每一小块作为一个小矩阵，称为 的子块（或子矩阵），在进行矩阵运算时，可以将 的每一个子块作为一个元素，这种以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 2.4.2 分块矩阵的运算1.分块矩阵的线性运算 分块矩阵的加法设 与 为同型矩阵，且以相同的方式分块，即其中 与 也是同型矩阵，则数与分块矩阵的乘法

18、设 为数，则2.分块矩阵的乘法 设 为 矩阵， 为 矩阵，若它们的分块矩阵分别为其中子块 的列数分别等于子块 的行数，即矩阵 的列的分法与矩阵 的行的分法一致，则其中例1 设求 解解 将 、 分块成3.分块矩阵的转置设 则4分块对角阵及其运算设 为 阶方阵，若 的分块矩阵的主对角元素为非零子块，其余子块均为零子块，且非零子块均为方阵， 或其中 为方阵，则称 为分块对角阵 分块对角阵的行列式与各主对角块的行列式满足： 由此可知，若 ，则 ，并有 或 例2 设求 解解 将 按元素特征分块为其中所以2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵2.5.1 矩阵的初等变换1初等行（列）变换定义定义11下列三种变换称

19、为矩阵的初等行变换：（1）对换变换：对换矩阵的某两行 （对换 两行，记为 ）；（2）数乘变换：非零数 乘矩阵某行的所有元素（第 行乘 ，记为 ）；（3）倍加变换：将矩阵的某一行所有元素的 倍加到另一行对应元素上（第 行的 倍加到 行上，记为 ）若将上述定义中的“行”换成“列”，即对矩阵的列施行上面三种变换，就称为矩阵的初等列变换，相应的初等列变换分别记 ， ， 2初等变换 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换3等价关系 如果矩阵 经过有限次初等变换化为矩阵 ，则称 与 等价，记为 矩阵的等价具有以下性质： （1）自反性： ；（2）对称性：若 则 ；（3）传递性：若 ， ，则 4特殊

20、矩阵（1）行阶梯形矩阵如果矩阵中元素全为零的行在最下面，而非零行中非零元素自上而下逐行减少并呈阶梯状，称此矩阵为行阶梯形矩阵（2）行最简形矩阵若行阶梯形矩阵中的非零行的第一个非零元素为1，且1所在列的其它元素全为零，称此行阶梯形矩阵为行最简形矩阵（3）若 矩阵的左上角为一个 阶单位阵，其余元素全为零，即称此矩阵为标准形矩阵，它由 三个数惟一确定，其中 为标准形矩阵中非零行的行数2.5.2 初等矩阵定义定义12单位矩阵经一次初等变换所得的矩阵称为初等矩（方）阵三种初等行变换对应的三种初等矩阵分别为：（1） 或 ：交换 的 两行（列）所得的矩阵，即（2） 或 ： 的第 行（列）乘非零数 所得的矩阵

21、，即（3） 或 ： 的第 行乘 加到第行（第 列乘 加到第 列）所得的矩阵， 即初等矩阵都是可逆的，其逆矩阵仍是同种初等矩阵，即 定理定理3设 为 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的 阶初等矩阵定理定理4 若 为 矩阵，则存在 阶初等矩阵 与 阶初等矩阵 ，使得推论推论1 阶可逆阵 必等价于单位矩阵 推论推论2 若方阵 可逆，则存在有限个初等矩阵 ，使 推论推论3 矩阵 存在 阶可逆阵 和 阶可逆阵 ，使 用初等列变换也可求逆矩阵，即例例1 设 求 例例16 设解解 所以 例例2 求矩阵 ，使 ，其中 解解 若

22、 可逆，则 所以 2.6 矩阵的秩2.6.1 矩阵秩的定义定定义义13 设 为 矩阵，在 中任取 行和列 ，位于这 行 列交叉位置上的 个元素，按原有的位置构成的 阶方阵，称为矩阵 的一个 阶子方阵，其行列式称为 的一个 阶子式定定义义14 设 矩阵 中，有一个 阶子式 不等于零，而所有 阶子式（如果存在）全等于零，则称 为矩阵 的最高阶非零子式，称数 为矩阵 的秩，记为 并规定零矩阵的秩为零 2.6.2 矩阵秩的性质 （1）设 为 矩阵，则 ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ，其中 为 矩阵， 为矩阵 2.6.3 初等变换求矩阵的秩 定理定理5 若 ，则 推论推论1 若 为 阶可逆矩阵

23、，则 推论推论2 若 则 推论推论3 设 为 矩阵， 、 分别为 阶和 阶满秩矩阵，则 推论推论3 设为 例例 设 求矩阵 的秩 解解 将 施行初等行变换化为行阶梯形矩阵： 所以（8） 阶三角阵阶三角阵 阶上三角阵和 阶下三角阵统称为 阶三角阵上三角阵 主对角线下方的元素全为零的 阶方阵，即 ，称为上三角形矩阵，简称上三角阵，记为 或 下三角阵 主对角线上方的元素全为零的 阶方阵，即 ，称为下三角形矩阵，简称下三角阵，记为 或 （9）同型矩阵）同型矩阵 矩阵 的行数（列数）等于矩阵 行数（列数），称 和 是同型矩阵（10）相等矩阵）相等矩阵 若 与 是同型矩阵，且则称 与 相等，记为 注意：不

24、同型的零矩阵是不相等的第3章 向量组的线性相关性3.1 维向量 3.2 向量组的线性相关性3.2.1向量组的线性组合定义定义3设有 维向量 ，若存在一组数 ，使 或 则称 为向量组 的线性组合，或称可由向量组 线性表示（表出）， 称为此线性组合的组合系数 3.2.2 向量组的线性相关与线性无关定义定义4 设有 维向量组 ，若存在一组不全为零的数 ，使则称向量组 线性相关，否则称此向量组线性无关换言之，若 线性无关，成立当且仅当 由此定义可知：（1）仅含一个零向量的向量组必线性相关（2）仅含一个非零向量的向量组必线性无关（3）任何包含零向量在内的向量组必线性相关 3.2.3 向量组线性相关的充分

25、必要条件定定理理1 向量组 线性相关的充分必要条件是：向量组 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示例例1 讨论向量组的线性相关性解解设有一组数，使 则有方程组因其系数行列式所以方程组有非零解，从而线性相关 例例 讨论维向量组的线性相关性，通常称为基本单位向量组解解 设有一组数，使即得，从而，故线性无关 例例 设向量组线性无关，讨论向量组的线性相关性解解 设有一组数，使即从而有 由线性无关，得齐次方程组将其系数行列式按第一行展开得当为奇数时，因此故线性无关；当 为偶数时， ，因此故 线性相关 3.3 线性相关性的判别定理定理定理2 向量组 线性相关的充分必要条件是（ 有非零解）它所构成的矩阵

26、 的秩小于向量个数 ；该向量组线性无关的充分必要条件是 .推论推论 1 个 维向量线性无关的充分必要条件是它们所构成的方阵的行列式不等于零. 推论推论2 个 维向量组成的向量组，当维数 小于向量个数 （即 ）时一定线性相关定理定理3 （1） 若 线性相关，则 也线 性相关；（2）线性无关的向量组的任何部分组必线性无关定理定理4 设 线性无关，而 线性相关，则 能由线性表示，且表示式惟一定理定理5 设有两个向量组 ： ：其中 是自然数 的某个确定的排列，则向量组 与向量组 的线性相关性相同定理定理6 设有两个向量组 ： ； ： ，即向量 加上一个分量得到向量 若向量组 线性无关，则向量组 也线性

27、无关；反之，若向量组 线性相关，则向量组 也线性相关 3.4 向量组的秩 3.4.1 向量组等价的概念定义定义5 设两个向量组和 : 若向量组 中的每个向量都可由向量组 线性表示，则称向量组 可由向量组 线性表示；若向量组 与向量组 能相互线性表示，则称这两个向量组等价等价向量组具有下面三个性质： 自反性：向量组 与自身等价； 对称性：若向量组 与向量组 等价，则向量组 与向量组 等价； 传递性：若向量组 与向量组 等价，向量组 与向量组 等价，则向量组 与向量组等价3.4.2极大线性无关组与向量组的秩定义定义6 设向量组 的一个部分组 满足 线性无关； 向量组 中每一个向量均可由 线性表示，

28、则称 是向量组 的一个极大线性无关组，简称极大无关组；极大线性无关组所含向量的个数 称为向量组 的秩，向量组 的秩记为 由定义6可证明: (1) 只含零向量的向量组没有极大线性无关组，规定它的秩为 ； (2) 任何非零向量组必存在极大无关组； (3) 向量组的极大无关组与向量组本身等价； (4) 线性无关向量组的极大无关组为其本身（线性无关向量组的秩等于它所含向量的个数）. 例例1 求向量组 的一个极大无关组 解解 由3.2节例1知 线性相关，下面讨论其中任两个向量 的线性相关性 设有数 ，使 ，即 因为由前两个方程构成的齐次线性方程组的系数行列式故方程组有惟一解，即 ，所以 线性无关同理可验

29、证 ； 也线性无关可取 作为原向量组的一个极大无关组，也可取 或 作为原向量组的极大无关组一般来说，向量组的极大无关组不是惟一的，但可以证明每一个极大无关组所含向量的个数是惟一的求向量组的极大无关组的意义之一在于：当用向量组表示方程组时，其极大无关组中的向量对应方程组中那些独立的方程，而独立的方程构成的方程组与原方程组同解定理定理7 若向量组 的秩为 ，向量组 的秩为 ，且向量组 能由向量组 线性表示，则 推论推论 等价向量组的秩相等 3.4.3向量组的秩与矩阵秩的关系设 矩阵 称矩阵 的 个列向量所构成的向量组的秩为 的列秩； 的 个行向量所构成的向量组的秩为 的行秩矩阵的秩与其行、列秩的关

30、系有如下定理: 定理定理8 矩阵的秩等于其行秩，也等于其列秩 3.4.4 初等变换求向量组的秩将所讨论的 维向量组 写成一个 行 列的矩阵，并对此矩阵施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，其非零行的行数就是向量组 的秩（即极大无关组所含向量的个数）例例2 求向量组 ， 的秩及一个极大无关组解解 将向量按列构成矩阵 ，用初等行变换化其为行阶梯形矩阵： 显然，非零行数为 ，知 ，故 3.5 向量空间 3.5.1 向量空间的概念定义定义7 设 是非空的 维向量集合，若集合对于向量的加法和数乘运算满足 对任意的 ，有 ； 对任意的 ，有 ，则称集合 为向量空间3.5.2 向量空间的基与维数定义定义8 设

31、是向量空间，若向量组满足（1）线性无关；（2）中的任一向量都可由线性表示，则称为向量空间的一个基，称为的维数，记为，并称是维向量空间 只含一个零向量的集合 也是一个向量空间，称为零空间，零空间没有基，规定它的维数为 ，所以也可称为 维向量空间 例例 证明是 的一个基 证证 由定义8及定理2的推论1知，只要证明 线性无关即可 将 写成矩阵 ，则 由定理2的推论1知， 线性无关，故 是 的一个基3.1.1 维向量的定义定义定义1 由 个数组成的有序数组 ，称为一个 维向量，记为 ，即 其中 称为向量 的第 个分量（或坐标） 维向量可以写成一行 ，称为行向量，即 行矩阵；也可以写成一列=称为列向量，

32、即 列矩阵 列向量通常用黑体小写字母 等表示，行向量用其转置 等表示 分量全为零的向量，称为零向量，记作 即 . 向量 的各分量的相反数所组成的向量，称为 的负向量，记为 ，即 设 维向量 ， 若 ，则称向量 与 相等，记为，即当且仅当同维数的行向量或列向量所组成的集合称为（行或列）向量组 3.1.2维向量的线性运算定义定义2 设维向量，为任意实数，则两向量的加法+及数与向量的乘法（数乘）分别定义为向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算，其运算规律如下： +=+ 其中都是维向量，第4章 线性方程组4.1 齐次线性方程组4.2 齐次线性方程组解的结构若 为(4.1.1)的一个解，则称为方程组(

33、4.1.1)的解向量，也是(4.1.2)的解齐次线性方程组的解具有以下两个重要性质性质性质1 若 是(4.1.2)的解， 为任意实数，则 也是(4.1.2)的解性质性质2 若 是(4.1.2)的解，则 也是(4.1.2)的解性质性质2 若是(4.1.2)的解，则也是(4.1.2)的解若将齐次线性方程组(4.1.1)的全体解向量所组成的集合记做 ，则性质1、2即为（1）若 ， ，则 ；（2）若 ，则 同时说明集合 对向量的线性运算是封闭的，所以集合 是一个向量空间，称为齐次线性方程组(4.1.1)的解空间定义定义1方程组(4.1.1)的解空间 的一个基称为(4.1.1)的一个基础解系与定义1等价

34、之定义为：齐次线性方程组(4.1.1)的解集合 的一个极大线性无关组称为方程组(4.1.1)的一个基础解系 定理定理2若齐次线性方程组(4.1.1)的系数矩阵的秩小于未知数个数，即 ，则方程组(4.1.1)必存在含有 个解向量的一个基础解系，且其通解(全部解)可表示为其解空间 可表示为由此可见，方程组(4.1.1)有非零解当 时，(4.1.1)只有零解，此时解空间 只含一个零向量，为 维向量空间，没有基础解系 . 例例1 求齐次线性方程组的一个基础解系和通解解解 将系数矩阵 施行初等行变换，化其为行最简形矩阵 ，基础解系由两个线性无关的解构成与原方程组同解的方程组为即 （ 为自由未知数）(1)

35、令 ，代入 (1) ，得，从而得到一个基础解系为故方程组的通解为例例2 求齐次线性方程组的通解解解 将系数矩阵 施行初等行变换，有 ，基础解系由两个线性无关的解构成与原方程组同解的方程组为其中 是自由未知数，可任取值，若取得原方程组的通解为原方程组的一个基础解系为，通解又可表示为例例3 求 ，使齐次线性方程组有非零解，并求其通解解解 系数行列式当 ，即 时，方程组有非零解将 代入原方程组，得方程组的系数矩阵得同解方程组令 ，得通解再将 代入原方程组，得方程组的系数矩阵得同解方程组令 ，得通解4.3 非齐次线性方程组解的结构设非齐次线性方程组 (4.3.1) 若记 则与方程组(4.3.1)等价的

36、矩阵形式和向量形式分别为 (4.3.2) 求解非齐次线性方程组，首先要判断该方程组是否有解若方程组有解，称该方程组是相容的；若方程组无解，称该方程组是不相容的定理定理3 非齐次线性方程组(4.3.1) 有解 在非齐次线性方程组 中，令 得到的齐次线性方程组 ，称为与方程组 对应的齐次方程组，或称为方程组 的导出组 和， 非齐次线性方程组 的解也有两个重要性质性质性质3 若 是方程组 的解，则是对应的齐次线性方程组 的解性质性质4 若 是方程组 的解， 是对应的齐次方程组 的解，则 仍是方程组的解定理定理4设非齐次线性方程组(4.3.1)的系数矩阵为 ，增广矩阵为 ，则（1）方程组(4.3.1)

37、有惟一解 ；（2）方程组(4.3.1)有无穷多解 例例1 求解方程组解解 对增广矩阵 施行初等行变换因为 ，所以方程组有解，且同解方程组为或即 ，则 ，得方程组的一个特解令 ，则得原方程组的通解例例2 求解方程组解解 对增广矩阵 行初等行变换 因为 ，故方程组无解例3 求非齐次线性方程组的通解、对应齐次线性方程组的通解和一个基础解系解解 对增广矩阵 施行初等行变换得同解方程组令 ，得原方程组的通解对应齐次线性方程组的一个基础解系及通解分别为和 例例7 取何值时，线性方程组 （1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多解，并求其解解解 方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为则 （1）当 且 时， 此时方

38、程组有惟一解；（2）当 时， ，此时方程组无解；（3）当 时， ，此时方程组有无穷多解由同解方程组得通解一般齐次线性方程组为 (4.1.1) 其矩阵形式为 (4.1.2) 其向量形式为 (4.1.3) 其中 (4.1.1)、(4.1.2)和(4.1.3)式是同一个线性方程组的三种不同表现形式定理定理1 若齐次线性方程组(4.1.1)的系数矩阵的秩 ，则(4.1.1)只有惟一零解； 若 ，则(4.1.1)有无穷多解推论推论1 若齐次线性方程组(4.1.1)中的方程个数小于未知数个数 ，则该齐次线性方程组必有非零解推论推论2 若齐次线性方程组(4.1.1)中的方程个数与未知数个数 相等且系数行列式

39、等于零，则该齐次线性方程组必有非零解 第5章 相似矩阵 本章主要介绍方阵的特征值与特征向量、相似矩阵、向量的内积和正交化方法、对称矩阵的相似矩阵。通过本章的学习，读者应该掌握以下内容： 方阵的特征值与特征向量的定义及计算 相似矩阵的定义与性质 方阵的相似对角化 向量的内积、长度 正交和正交向量组与正交矩阵的概念 施密特正交化方法 用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法的特征值，非零列向量 称为方阵5.1 方阵的特征值与特征向量 5.1.1 方阵的特征值与特征向量 定义1 设是一个 阶方阵,如果存在数 及 维非零列向量 使得 ,那么,这样的数 称为方阵的对应于(或属于) 特征值的特征向量是方阵

40、的特征值, 是对应的特征向量(此为 个未知数 个方程的齐次线性方程组) 是方阵 的特征值是对应于 的特征向量是齐次线性方程组的非零解(右式称为 的特征多项式,记为 , 称为特征方程)(设 )求方阵的特征值与特征向量的步骤 计算 的特征多项式求出特征方程的所有根（重根按重数计算）： 对每个特征值 ,求出相应的齐次线性方程组 的一个基础解系为对应于 的全部特征向量.不全为零)则例例1 求矩阵的特征值与特征向量 解解 所以的特征值为 对于特征值解方程,由得同解方程组通解为一基础解系为 所以对应于的全部特征向量为 对于特征值解方程,由得同解方程组通解为一基础解系为所以对应于的全部特征向量为例例3 求矩

41、阵的特征值与特征向量解解 所以有2重特征值，有单特征值 对于特征值，解方程，得同解方程组故得通解所以对应于特征值的全部特征向量为由对于特征值，解方程.由得同解方程组故得通解对应于特征值的全部特征向量为重特征值算作阶方阵是可逆方阵5.1.2 特征值的性质性质性质1 若的全部特征值为（个特征值）则：性质性质2 设的一个特征值， 为对应的特征是的一个特征值， 为对应向量, 且则特征向量;是方阵性质性质3 设的一个特征值， 为对应的特征是的一个特征值， 为对应特征向量;向量, 则是一个正整数, 是方阵性质性质4 设的一个特征值， 为对应的特征是的一个特征值， 为对应特征向量;向量, 若则的特征值都不为

42、零，知可逆，故例例5 设3阶矩阵 的特征值为 ,求 解解 因为.而所以把上式记作，则 故的特征值为： 于是的互不相同的特征值，5.1.3特征向量的性质 是方阵性质性质1 设的一个特征值， 为对应的特征向量,若又有数 ，则性质性质2 设是方阵是对应于的特征向量 ,则向量组即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关线性无关的相似矩阵，或称方阵5.2 相似矩阵定义定义2 设都是阶方阵，若有可逆矩阵,使,则称是与相似，记作，有，从而即 如5.2.1 相似矩阵的概念的对应于与的某个特征值，若是5.2.2相似矩阵的性质性质性质1 （因为性质性质2 若则性质性质3 若则性质性质4 相似矩阵有相同的特征多项式,

43、从而所有的特征 值都相同； 性质性质5 设是是的特征向量，则的对应于的特征向量 （3）可以证明，对应于 的每一个 重特征值若正好有 个线性无关的特征向量,即 则 必有 个线性无关的特征向量，从而一定可以对角化 定理定理1 阶方阵 与对角矩阵相似（即 能对角化）的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量推论推论 （ 能对角化的充分条件）如果 阶方阵的 个特征值互不相等，则 与对角矩阵相似注意 （1）推论的逆命题未必成立（2）当 有重特征值时，就不一定有线性无关的特征向量，从而 不一定能对角化的特征多项式为例例8 判断下列矩阵是否可以对角化？若可以对角化,求可逆矩阵使之对角化解解 （1） 的特征值

44、为1，3，是两个不同的特征值，所以可以对角化对，解方程,由于同解方程组为 通解为 一基础解系为 对，解方程,由于同解方程组为 通解为 一基础解系为 令 则的特征多项式为（2）因此, 的特征值为1，1，3对，解方程,由于同解方程组为 通解为 ,一基础解系为对，解方程 ,由于同解方程组为 通解为 一基础解系为 有三个线性无关的特征向量，所以 可以对角化令 则5.3 向量的内积、正交化方法5.3.1向量的内积 定义定义3 设有 维向量 ,令,称其为与 的内积 向量的内积具有下列性质（其中 都是列向量， 为实数）： 性质性质1 性质性质2 性质性质3 性质性质4 ,当5.3.2向量的长度 定义定义4

45、设有 维向量 令称为维向量的长度（或范数）当=1时，称为单位向量向量的长度具有下列性质：性质性质1 非负性：当 时,性质性质2 齐次性： 为实数)性质性质3 三角不等式： 的夹角当时，称为维向量与当,记,称非零向量单位化.当 时，称向量 与显然，零向量与任何向量都正交 正交5.3.3正交向量组定义定义5 一组两两正交的非零向量组，称为正交向量组设 是正交向量组，则若两两正交且都为单位向量，则称 为单位正交向量组记作 正交向量组有下列性质：性质性质1 若 是正交向量组,则线性无关.性质性质2 设 为标准正交向量组， 的任一向量，若存在数 为同维数,使则5.3.4正交化方法 找到与线性无关向量组等

46、价的单位正交向量组的方法如下： 设 为一线性无关向量组 （1）正交化： 取 依次类推，一般的，有 可以证明, 两两正交,且 与 等价（2）规范化：令 则 为单位正交向量组，且与 等价 上述从线性无关向量组导出等价正交向量组的方法称为施密特（Schimidt）正交化过程它不仅满足 与 等价 ，还满足对任何实数 与 等价例例13 已知 ,求一组非零向量 ,使两两正交 解解 应该满足 即 其同解方程组为它的通解为 一基础解系为 把基础解系正交化，即为所求取于是得 即为所求.5.3.5正交矩阵定义定义6 如果阶矩阵满足,那么称为正交矩阵，简称正交阵 例如 都是正交矩阵为正交阵，那么 正交矩阵有下列性质

47、：性质性质1 若 是可逆阵,且 或;为正交阵，那么 性质性质2 若 是正交阵; 为正交阵性质性质3 性质性质4 若 为同阶正交矩阵,则 也是正交矩阵 是5.4 实对称矩阵的相似矩阵5.4.1实对称矩阵的性质性质性质1 实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量为 实向量；性质性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量 相互正交；性质性质3 设 阶实对称矩阵, 是的则齐次线性方程组 重特征根,的系数矩阵的秩 ,从而 的对应于特征值 性无关的特征向量恰有 的线个. 是定理定理2 设 阶实对称矩阵,则存在正交矩阵 使,其中 为对角矩阵,且 元素是矩阵 对角线上的的 个特征值.5.4.2实对称矩阵的相似对

48、角形 根据上述定理，任何一个实对称矩阵都与对角阵正交相似 寻找正交矩阵 ,使 成为对角阵的步骤如下： 1根据特征方程 ,求出矩阵 的特征值 的所有不同及它们的重数 2对每一个特征值 ,解齐次线性方程组 ,求得它的一个基础解系 3利用施密特正交化方法，把向量组 正交单位化得单位正交向量组 从而得到 个两两正交的单位特征向量组: 的个4令 则 为正交矩阵,且为对角矩阵，且 对角线上的元素含 恰好是矩阵 个特征值.其中 的主对角元素 的重数为 顺序与 ,并且排列排列顺序相对应 中正交向量组的例例14 设 ,求一个正交矩阵 ,使 为对角矩阵 解解 由 得的特征值为 对应于 ,解方程 ,由 得同解方程组

49、 通解为 一基础解系为 ,单位化得 对应于 ,解方程 由 得同解方程组 通解为 一基础解系为 取单位化,得 ,令则有 注意 上例中若令 可逆,则 例例15 设 ,求 解解 为实对称矩阵所以 可以对角化,即存在可逆矩阵 ,使 为对角矩阵.于是 从而 由 得 的特征值为 于是 对于 ,由 得 对于 ,由 得 令 ,再求出 ,于是 一般地， 为正整数). 第6章 二次型 本章主要介绍二次型包括把二次型化为标准形及其二次型的正定性通过本章的学习，读者应该掌握以下内容： 二次型及其矩阵表示，知道二次型的秩 用正交变换把二次型化为标准形的方法 用配方法化二次型为规范形.知道惯性定理 二次型的正定性及其判别

50、法合同6.1 二次型及其矩阵表示6.1.1合同矩阵定义定义1 设有两个 阶矩阵,如果存在一个可逆矩阵使得,则称矩阵与 合同关系是矩阵之间的又一重要关系，它是研究二次型的主要工具合同关系具有以下性质： 性质性质1 与自身合同 性质性质2 若 合同,则与合同.与性质性质3若若 合同,与合同,则与合同.与6.1.2二次型及其矩阵表示定义定义2 含有个变量的二次齐次函数称为二次型 取则实二次型可以写成： 则二次型可记作 记 任给一个二次型，就惟一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可惟一确定一个二次型这样，实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应关系因此，我们把对称矩阵 叫做二次型 的矩阵，也把

51、叫做对称矩阵 的二次型对称矩阵 的秩就叫做二次型 的秩例如可表示为可逆变换,正交变换.经可逆变换 二次型的矩阵 变为与 合同的矩阵 且二次型的秩不变 研究矩阵的合同与实二次型理论的关系在将实二次型变化的过程中，我们常常需要作变换，这种变换可以用如下关系描述：称为由变量 到变量 线性变换矩阵形式为6.2 化二次型为标准形6.2.1用正交变换法化二次型为标准形定义定义3 如果二次型 通过可逆 线性变换化成二次型 且仅含平方项即 则称上式为二次型的标准形一般的，二次型的标准形不惟一标准形所对应的矩阵为对角矩阵，即其中 是矩阵的特征值，正交矩阵 的 个列向量 是对应于 的特征向量定理1 任给一个二次型

52、 总存在正交变换 使 化为标准形例例2 求一个正交变换 化二次型 为标准形解解 二次型的矩阵所以， 的特征值为对于 解方程由于同解方程组一基础解系为单位化得对于 解方程由于同解方程组一基础解系为单位化得将 正交化，得令则作正交变换 二次型可化为标准形6.2.2用配方法化二次型为标准形 用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点如果不限于正交变换，那么还可以有多个可逆的线性变换把二次型化成标准形其中最常用的方法是拉格朗日配方法 例例3 用配方法化二次型化为标准形，并求所用的变换矩阵解先将含有 的项配方 再将后三项中含有的项配方，令则经过可逆变换可将二次型化为标准形 定理定理2 任何一

53、个二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形（证明略） 二次型的标准形不是惟一的，但标准形中所含项数是确定的（即是二次型的秩，）不仅如此，标准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也不变），也就是有： 定理定理3 (惯性定理)设二次型 它的秩为 ,有两个可逆线性变换,使则 中正数的个数 中正数个数相等.另外，我们还有如下结论：（1）标准形所含项数 等于二次型对应的矩阵的非零特征值的个数（重特征值按重数计算）；（2）标准形中正系数个数等于正特征值的个数（重特征值按重数计算）；（3）标准形中负系数个数等于负特征值的个数（重特征值按重数计算），也等于项数 减去正特征值的个数 二次型的标准形中正系数的

54、个数称为二次型 的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数 定义定义4 如果二次型通过可逆线性变换可以化为则称之为该二次型的规范形 定理定理4 任给一个二次型总存在可逆变换 ,使 化为规范形 可以证明，规范形是惟一的规范形中取+1的个数等于正特征值的个数，也等于正惯性指数 ；取1的个数等于负特征值的个数，也等于负惯性指数 ；其中 为非零特征值的个数，等于二次型的秩 例如，若二次型 的矩阵 的特征值为 ,则 的规范型为推论推论 两个实对称合同的充分必要条件是它们所对应的实二次型具有相同的正惯性指数和秩6.3 正定二次型定义定义5 设实二次型如果对任意 都有 （显然 ），则称 为正定二次型，并称对称

55、矩阵 是正定的； 如果对任意 都有 则称 为负定二次型，并称对称矩阵 是负定的定理定理5 可逆变换不改变二次型的正定性定理定理6 二次型 正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于推论推论1 二次型 正定的充分必要条件是它的规范型为推论推论2 实对称矩阵 正定的充分必要条件是与单位矩阵合同，即存在可逆矩阵 使推论推论3 实对称矩阵 正定的充分必要条件是 的所有特征值都大于零推论推论4 如果实对称矩阵 正定，则 的行列式大于零；反之未必定义定义6 设 阶矩阵 的子式称为矩阵 的 阶顺序主子式定理定理7 实对称矩阵 正定的充分必要条件是 的所有顺序主子式都大于零，即例例5 求证给定的二次型是正定的证明

56、证明 这个二次型对应的实对称矩阵 它的顺序主子式 所以是 正定矩阵，即 为正定型定理定理8 设二次型则下列各条件等价（1） 为负定二次型；（2） 的负惯性指数等于 （3）实对称矩阵 与 合同；（4）实对称矩阵 的特征值都小于零； （5）实对称矩阵 的奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于零 例例8 判断对称矩阵正定性.解解 的顺序主子式所以 既不是正定矩阵也不是负定矩阵第7章 线性空间与线性变换 本章介绍线性空间的基本概念与基本运算，介绍线性变换的基本概念以及线性变换的矩阵。通过本章的学习，应该掌握以下内容： 线性空间的概念、基、维数与坐标 基变换与坐标变换公式 线性变换的概念、简单性质

57、与运算 线性变换的矩阵表示和线性变换在不同基下的矩阵之间的关系 线性变换运算所对应的矩阵 线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件 维线性空间的概念7.1 维线性空间 7.1.1 定义定义1 设 是一个非空集合， 是一个数域,在 中定义了两种代数运算： 1加法 对于 中任意两个元素 按某一法则,在 中都有惟一的一个元素 与它们对应,称为 的和,记作 2数量乘法 对于 任意元素和数域 中的任意数 按某一法则,在 中都有惟一的一个元素 对应,称为 与它们与的数量乘积，记作 一般称集合 对于加法和数量乘法这两种运算封闭 如果加法和数量乘法满足以下八条运算规律，则称 是数域 上的一个线性空间其中： （3）在

58、 中有一个元素 ,对于 中任一元素 ,都有 .称元素 为 的零元素（4）对于 中每一个元素 ,都有 中的元素 使得 .称元素 为 的负元素,记作 ,即(5)对数域 中的数1和 中的任一元素 ,都有 是任意实数) 注: 凡满足八条运算规律的加法及数量乘法，就称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称为线性空间 线性空间具有下列性质：性质性质1 线性空间的零元素是惟一的；性质性质2 线性空间 中每个向量的负向量是惟一的；性质性质3 性质性质4 如果 ,则 或 7.1.2基、维数与坐标定义定义2 在线性空间 中,如果存在 个元素 满足: 中任一元素 总可以由 线性表示, 那么, 称为线性空间 的一组

59、基, 称为线性空间 的维数 线性无关;定义定义3 设 是维线性空间 的一组基是中任一元素，如果 这组有序数组就称为元素 在这组基下的坐标，并记作： 建立了坐标后，就把抽象的向量（元素）与具体的数组向量 联系起来了并且,还可把抽象的线性运算与数组向量的元素联系起来设为一组基于是 7.1.3基变换与坐标变换公式 设与是线性空间 中的两个基 利用分块矩阵的乘法形式，可将上式记为 或其中称为由基 到过渡矩阵.中的每一列元素分别是基 在基下的坐标； 称为基变换公式 定理定理1设 中的元素在基 下的坐标为 ,在基 下的坐标为 ,若两个基满足 则有坐标变换公式 或例例8 设 是线性空间 的一组基 为一个二阶

60、可逆矩阵，令 显然， 也线性无关，因此 的一组基,并且满足 也是是由基到的过渡矩阵.例例9 设由所有二阶矩阵组成的线性空间 的两个基为： （1）求由基 到基 （2）分别求 的过渡矩阵；在上述两个基下的坐标； （3）求一个非零矩阵 ,使在两个基下的坐标相同 解解 （1）因为 写成矩阵形式，就有 于是矩阵 到基的过渡矩阵；即是由基（2）由 于是, 在基下的坐标为在基下的坐标为(3)设 在上述两个基下坐标相同,由(2)知,应有 ,故 为在给定的两组基下坐标相同的非零的二阶矩阵 7.2 线性变换 7.2.1线性变换的定义定义定义4 设有两个非空集合 如果对于 中的任一元素 ,按照一定的规则,总有 中一

61、个确定的元素 对应,那么,这个对应规则就称为从集合 和它到集合的变换(或映射).我们常用字母来表示一个变换，譬如把上述变换记作 ,并记 或定义定义5 设 分别是实数域上的 维和空间, 维线性是一个从 到的变换,如果变换满足: （1）任给 ,有（2）任给 ,有那么 就称为从 到的线性变换如果 ,那么,称 为中的线性变换. 7.2.2线性变换的简单性质线性变换有以下性质: 性质性质1 性质性质2 若 ,则 性质性质3 若 ,则 线性相关.线性相关性质性质4 线性变换 的像集 称为线性变换的像空间； 是一个线性空间,性质性质5 使 的 的全体 也是一个线性空间, 称为线性变换 的核. 例例17 设有

62、 阶矩阵 其中中的变换 为线性变换 的像空间为 的核 就是齐次线性方程组 的解空间 7.2.3线性变换的运算1.线性变换的加法定义定义6 设 是线性空间 定义它们的和 的两个线性变换,为容易证明,线性变换的和还是线性变换. 线性变换的加法满足结合律与交换律.即 2线性变换的数量乘法 定义定义7 设 是线性空间 的线性变换, 定义它们的数量乘法 为实数，为 显然 ,仍然是线性变换. 线性变换的数量乘法满足以下运算规律： 称为 的负变换 3.线性变换的乘法定义定义8 设 是线性空间 定义它们的乘积 的两个线性变换,为容易证明,线性变换的乘积还是线性变换. 线性变换的乘法满足结合律.即 但不满足交换

63、律,即一般地对于乘法,单位变换 有特殊的地位,对任意变换 还可以证明线性变换的加法与乘法满足乘法对加法的左右分配律： 满足4线性变换的逆变换定义定义9 设 是线性空间 的线性变换,如果有 的线性变换存在,使 ,则称线性变换 可逆，并称 是的逆变换. 可以证明可逆变换的逆变换是惟一的 可逆变换的逆变换记做,即可以证明,线性变换 的逆变换也是线性变换 7.3 线性变换的矩阵表示7.3.1线性变换在一个基下的矩阵 定义定义10 设 是维线性空间的线性变换， 在中取定一组基， ,如果这组基在线性变换 下的像（用这个基线性表示）为 记上式可以表示为 其中那么, 就称为线性变换在基下的矩阵 显然，矩阵由基

64、的像惟一确定特别地,在中取定一组基以后, 线性变换矩阵例例18 求 中的线性变换 在如下基下的矩阵： 解解 （1）因为 所以,在基下线性变换 的矩阵为（2）因为所以，在基下线性变换的矩阵 例例20 设 的线性变换为 求在基 下的矩阵.解解 因为所以,线性变换 在基 下的矩阵为定理定理 2设 是维线性空间的一组基， 的线性变换 在这组基下的矩阵为 ,向量 在基 下的坐标为 其中 则即7.3.2线性变换在不同基下的矩阵之间的关系 定理定理3 设 与是线性空间的两组不同的基,由基 到的过渡矩阵为 中的线性变换 矩阵分别为 在这两组基下的和,那么 证明证明 按定理的假设，有可逆，从而 及于是因为 线性

65、无关,所以 于是 例例21 设中的线性变换 在基 下的矩阵为 ,求 在基 下的矩阵.解解 即由 到的过渡矩阵,求得 在基 下的矩阵.可逆,则矩阵7.3.3线性变换运算所对应的矩阵 定理定理4 设 是维线性空间的一组基, 在这组基下,线性变换 的矩阵分别为 ,则在基 下 （1）线性变换 的和的矩阵为 （2）线性变换的数量乘法的矩阵为矩阵（3）线性变换 的乘积的矩阵为 （4）若线性变换可逆，反之亦然有 个相异的特征值,则 （1）线性变换所对应的矩阵 可以对角化的充要条件是矩阵 有 个线性无关的特征向量； 是 维线性空间 的一个线性变换，如果在 内存在一组基 使 在这组基下与对角阵对应，我们称 所对应的矩阵可以对角化.定理定理5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么，它们可以看作同一线性变换在两组基下所对应的矩阵 7.3.4线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件设 （2）如果 可以对角化.可以对角化的充要条件是(3)的每一个 重特征值都有 个线性无关的特征向量