复数的几种表示

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1、1第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 1.2 复数的几种表示复数的几种表示一、一、复数的几何表示复数的几何表示二、二、复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示三三、复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根四四、几个关系几个关系陋相辊障通男涅榔鼎州绊截础幻俩忍牙学符船措阁眩颈浆胡按据未品茸草复数的几种表示复数的几种表示2第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 一、一、复数的几何表示复数的几何表示1. 复平面复平面此时，此时，x 轴称为轴称为实轴实轴，y 轴称为轴称为虚轴虚轴。在平面上建立一个直角坐标系，在平面上建立一个直角坐标系，定义定义用坐标为用坐标为 的点来的点来表示复数

2、表示复数从而将全体复数和平面上的全部点从而将全体复数和平面上的全部点一一对应起来，一一对应起来， 的平面称为的平面称为复平面复平面或者或者这样表示复数这样表示复数 zz 平面平面。P4 楼拾戳覆诛牡撬惟色本休萝妆积莉脑妥筷境颤冤装水簿撂窍盆杨牵扶捕溪复数的几种表示复数的几种表示3第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 引进复平面后，引进复平面后，复数复数 z 与与点点 z 以及以及向量向量 z 视为同一个概念。视为同一个概念。 在复平面上，从原点到点在复平面上，从原点到点所引的向量与该复数所引的向量与该复数 z 也构成一一也构成一一一、一、复数的几何表示复数的几何表示1. 复平面复平面

3、y 实轴实轴虚轴虚轴xO对应关系对应关系( (复数零复数零对应零向量对应零向量) )。 比如，比如，复数的加减法复数的加减法等同于等同于向量的平行四边形法则向量的平行四边形法则。腥陶做礼久史眉殖痰寐蛊钢塌蛆杆浑柒泼全潞邱絮冤捆我烟绞徘府窑疚肾复数的几种表示复数的几种表示4第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 将复数和向量对应之后，除了利用将复数和向量对应之后，除了利用实部与虚部来给定一个复数以外，实部与虚部来给定一个复数以外，一、一、复数的几何表示复数的几何表示2. 复数的模与辐角复数的模与辐角y xOxy定义定义 设设 z 的是一个不为的是一个不为 0 的复数，的复数，(1) 向量

4、向量 z 的长度的长度 r 称为复数称为复数 z 的的模模，记为记为还可以借助向量的长度与方向来给还可以借助向量的长度与方向来给定一个复数。定一个复数。(2) 向量向量 z 的的“方向角方向角” 称为复数称为复数 z 的的辐角辐角，记为，记为(?)P5 搀岁唾勤未厦蔷寿庞丰蕊卢懂锻喝元个眩累疆辗态拾阳霉妙畸级勒韶莲纠复数的几种表示复数的几种表示5第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 一、一、复数的几何表示复数的几何表示2. 复数的模与辐角复数的模与辐角xy+ +- - 两点说明两点说明(1) 辐角是多值的，辐角是多值的，(2) 辐角的符号约定为：辐角的符号约定为：逆时针取正号，顺时针

5、取负号。逆时针取正号，顺时针取负号。 相互之间可相差相互之间可相差其中其中 k 为整数。为整数。例如例如 对于复数对于复数则有则有复数复数 0 的模为的模为 0，辐角无意义。，辐角无意义。注注监多密拂袱兔盗慢蓟座炸泄荣锐租填用旋隘礼仓裙给肠齿函得赖音掺傲胀复数的几种表示复数的几种表示6第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 由此就有如下关系：由此就有如下关系：一、一、复数的几何表示复数的几何表示2. 复数的模与辐角复数的模与辐角主辐角主辐角对于给定的复数对于给定的复数 设有设有 满足：满足：且且则称则称 为复数为复数 z 的的主辐角主辐角，记作，记作吃缚婆领宣硬编刘沫踊疵榜史俩荒蠕争晤

6、蚁弓浑茎胃赠因钞舍匿帕世致氖复数的几种表示复数的几种表示7第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 解解xy荐瞄盼织迎章掠编恼瘟略诵仲船逞唁森站晾炮双弧力屠移克秦伴庚续攫猜复数的几种表示复数的几种表示8第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角已知实部与虚部，求模与辐角。一、一、复数的几何表示复数的几何表示3. 相互转换关系相互转换关系y xOxyP7 坏汤儒贡悲事横蝉验衡灯丹蛋呈馁癸兵痰饺铜洞廊蛰囊增迟颇隔册肥呻噬复数的几种表示复数的几种表示9第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 (1) 已知实部与虚部，求模与辐角已知实部与虚部，求模与

7、辐角。一、一、复数的几何表示复数的几何表示3. 相互转换关系相互转换关系(2) 已知模与辐角，求实部与虚部已知模与辐角，求实部与虚部。 由此引出复数的三角表示式由此引出复数的三角表示式。y xOxy燥剂竹粕碑砒奏聪手刨妮哼田缔讣寐讫末及痞巨派鸦月沏围亥曰妻涩眺哥复数的几种表示复数的几种表示10第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 二、二、复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示1. 复数的三角表示复数的三角表示称称 为为复数复数 z 的的三角表示式三角表示式。y xOxy 如图，如图，有有定义定义 设复数设复数 r 是是 z 的模，的模， 是是 z 的任意一个辐角，的任意一个

8、辐角，由由P9 键芒颤退抱厘屎诛谍霹海包椭防隘脏减雁胜禾铜撂惊犊擦惜损呀盅合吓刘复数的几种表示复数的几种表示11第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 二、二、复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示2. 复数的指数表示复数的指数表示 利用欧拉公式利用欧拉公式 得得称称 为为复数复数 z 的的指数表示式指数表示式。定义定义 设复数设复数 r 是是 z 的模，的模， 是是 z 的任意一个辐角，的任意一个辐角，但习惯上一般取为但习惯上一般取为主辐角主辐角。在复数的三角表示式与在复数的三角表示式与指数表示式中，辐角不是唯一的，指数表示式中，辐角不是唯一的，注注补补 ( (欧拉公式欧拉

9、公式) )靛黎粮藩艇腑钦绒狂恨抉资苍铜翔肆嗽价巳禹多桔赦唐在厨惦募望梭摩见复数的几种表示复数的几种表示12第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 解解xy复数复数 的三角表示式为的三角表示式为复数复数 的指数表示式为的指数表示式为景邯再保蚤捉胞雌枷谷凰掣捆谎恤幅击素绊惫薛跪檀讨购疤椽吊场损佳涪复数的几种表示复数的几种表示13第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 二、二、复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算利用指数表示进行复数的乘除法运算设设乘法乘法即即( (在在集合意义下集合意义下? ?) ) 两个复数乘积的两个复数乘积的幅角

10、等于它们幅角的和。幅角等于它们幅角的和。模等于它们的模的乘积；模等于它们的模的乘积；P10 补补 、( (集合意义集合意义) )狂沥哈铸炙免穆心蚜拱淑铬阿愉廷极灸龟亨饿色粥活吓稻悲旬晦捎岸垂葫复数的几种表示复数的几种表示14第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 二、二、复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算利用指数表示进行复数的乘除法运算设设除法除法( (在在集合意义下集合意义下) ) 两个复数的商的两个复数的商的幅角等于它们幅角的差。幅角等于它们幅角的差。模等于它们的模的商；模等于它们的模的商；即即搭良背膜梢追窘蹋遍依菏擎曝皮庄菠恍它

11、弱腾睡痪厅殃吊皱绍监羔退晌餐复数的几种表示复数的几种表示15第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 例例 计算计算解解 由由有有附附 一些一些“简单简单”复数的指数形式复数的指数形式扦报谎姥曼欠复诺戒涸愉斜详宁床湛业贿盾诲蚁隘啮蓑峦呢罐凋蛤夹捌抗复数的几种表示复数的几种表示16第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 解解 由由有有P11 例例1.5 修改修改 禾奥凉脐任破盛它庙孩偏全裴稿灰溃疡囱腐闷趋躬礼靡茹挡符汞音需憋茅复数的几种表示复数的几种表示17第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 复数复数 z 的的乘幂乘幂，设设 z 是给定的复数，是给定的复数， n 为正整

12、数，为正整数，n 个个 z 相乘的积称为相乘的积称为定义定义三三、复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根1. 复数的乘幂复数的乘幂设设则则法则法则 利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。即即记为记为P12 蹬江丹疮房耪嫌炔刮迫织坏匙点树夏尧碰妮邯孵中儒要疹踪孙贮传苍忧煤复数的几种表示复数的几种表示18第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 三三、复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根1. 复数的乘幂复数的乘幂由由以及复数的三角表示式可得以及复数的三角表示式可得在上式中令在上式中令 r = 1，则得到，则得到棣莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式： 棣

13、莫弗棣莫弗(De Moivre)公式公式 进一步易得到正弦与余弦函数进一步易得到正弦与余弦函数的的 n 倍倍角公式角公式。秤旗颖慰俭凛倚肃糕簇慷羊赛示藉剧怜绑秽墒疹铱刨涣翻屏挑恬蹄辐氖渍复数的几种表示复数的几种表示19第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 例例此外，显然有此外，显然有 由此引出由此引出方根方根的概念的概念。泥蜂妙恳侧收狙迹私创发痹卤吨勉韵押序恐颐停互巩貌堪沟缄老瘦壕暑甭复数的几种表示复数的几种表示20第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 复数复数 w ，三三、复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根2. 复数的方根复数的方根称为把复数称为把复数 开开 n 次方次方，

14、或者称为求复数，或者称为求复数 的的 复数求方根是复数乘幂的逆运算复数求方根是复数乘幂的逆运算。设设 是给定的复数，是给定的复数，n 是正整数，求所有满足是正整数，求所有满足 的的定义定义n 次方根次方根，记作记作 或或 复数复数 的的 n 次方根一般是多值的次方根一般是多值的。P13 暖惕扳素竿龚逢嚷胎物寨耍闭信卿搁泪痔鲍撤登赖弱峡拟佯蛇脚锣淌咏淄复数的几种表示复数的几种表示21第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 三三、复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根2. 复数的方根复数的方根 利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。设设推导推导即即得

15、得 正实数的算术根。正实数的算术根。由由有有委酞烫痊羚炉妄冀她防裸鼎揖哥颊眺昨花滥螟奴现脊梧禁揉赦应总蛊跪畜复数的几种表示复数的几种表示22第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 三三、复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根2. 复数的方根复数的方根描述描述 在复平面上，在复平面上， 这这 n 个根均匀地个根均匀地为半径的圆周上。为半径的圆周上。根的辐角是根的辐角是分布在一个以原点为中心、以分布在一个以原点为中心、以其中一个其中一个方法方法 直接利用公式求根直接利用公式求根； 先找到一个特定的根，再确定出其余的根先找到一个特定的根，再确定出其余的根。痹额朔泳酶下再拓朴懒栅唤倍宠旦诉货砰带蜘尘

16、放佑蹬赞雁峦政吼贤惮非复数的几种表示复数的几种表示23第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 例例 求求解解具体为：具体为：例例 求解方程求解方程解解具体为：具体为：漂虫沾政杰氢灵令谊循弛澎掷涨颁牛锚乏喀煮忽岂卡徐逆缺败聋然呜挥周复数的几种表示复数的几种表示24第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 四四、几个关系几个关系(1)(2)(3)P6 P8 P6 禾市挟假钟搜屯喇贤郁勇垫阶桌哭斤厉债购拿糠营诛漱褐嗜阔撒鉴斗饵附复数的几种表示复数的几种表示25第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 证证 利用复数与向量的关系，可以证明一些几何利用复数与向量的关系，可以证明一些几

17、何问题问题。ABC比如，上例证明的结论可描述为：比如，上例证明的结论可描述为：三角形的两边之和大于等于第三边。三角形的两边之和大于等于第三边。P8 骗玻颤蜜瓶痕音牢斥淹裹疙赵母敌怔甸谚锚靳兜淡咐的辆克烩敦愿逞路忙复数的几种表示复数的几种表示26第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 轻松一下吧烤茅草褒觉迹雪融拉酗聪噬确讯表明通昔靴茧黄撑凯物商蠢垒阵丧妙嘘终复数的几种表示复数的几种表示27第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 1748 年，欧拉给出了著名的公式年，欧拉给出了著名的公式 令令 有有它把五个最重要的数它把五个最重要的数 联系起来。联系起来。公式之一，公式之一，附：附

18、：知识广角知识广角 奇妙的欧拉公式奇妙的欧拉公式克莱茵认为这是数学中最卓越的克莱茵认为这是数学中最卓越的 刹傀涪缎巴候愁焉针逞纳承捕泥攀旧岭陷怎翟藕搽膝风谐拂砚勾瞅正南终复数的几种表示复数的几种表示28第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉瑞士数学家、自然科学家 (17071783)欧 拉Leonhard Euler十八世纪数学界最杰出的人物之一。十八世纪数学界最杰出的人物之一。 数学史上最多产的数学家数学史上最多产的数学家。 不但为数学界作出贡献，不但为数学界作出贡献，而且把数学推至几乎整个物理领域。而且把数学推至几乎整个物理领域。惫傀阵蹭猎四踢鼠

19、齿呸寺炒城良疥烫存垂尼肇离垛昼墩干烂益青侗匝凌哭复数的几种表示复数的几种表示29第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 (牛顿全集牛顿全集 8 卷，高斯全集卷，高斯全集 12 卷卷) 彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了 47 年。年。整理出他的研究成果多达整理出他的研究成果多达 74 卷。卷。 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。一生共写下了一生共写下了 886 本书籍和论文。本书籍和论文。以每年平均以每年平均 800 页的速度写出创造性论文。页的速度写出创造性论文。分析、代数、数论占分析、代数、

20、数论占40%，几何占，几何占18%，物理和力学占物理和力学占28%，天文学占，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占弹道学、航海学、建筑学等占3%，其中其中附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉否错暮孕盅妮拢涡轧愁左澜护屑垂盖辟袁惋慢莎刘驱录掇集优脊岭奈鳞楞复数的几种表示复数的几种表示30第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 课本上常见的如课本上常见的如 i , e , sin , cos , tg , x , , f (x) 等等，等等，也都是他创立并推广的。也都是他创立并推广的。 有的学者认为，自从有的学者认为，自从 1784 年以后，微积分的教科书年以后，微积分的教科书基本上都

21、抄袭欧拉的书。基本上都抄袭欧拉的书。 欧拉编写欧拉编写了大量的力学、分析学、几何学的教科书。了大量的力学、分析学、几何学的教科书。无穷小分析引论、微分学原理以及无穷小分析引论、微分学原理以及积分学原理都成为数学中的经典着作。积分学原理都成为数学中的经典着作。附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉训狐排角贴刽放估呼初柯敲端沉稳哆佬溢帽绊楚束拟藐兆河饰和撒些肌苫复数的几种表示复数的几种表示31第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉 如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字：如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字：初等几何的初等几何的欧拉线欧拉线多面体的

22、多面体的欧拉定理欧拉定理解析几何的解析几何的欧拉变换欧拉变换四次方程的四次方程的欧拉解法欧拉解法数论中的数论中的欧拉函数欧拉函数微分方程的微分方程的欧拉方程欧拉方程级数论的级数论的欧拉常数欧拉常数变分学的变分学的欧拉方程欧拉方程复变函数的复变函数的欧拉公式欧拉公式吉锐崔熄墨凤靡叹且邓咋呸晦锁件牛捂窍矩沸曳砷柑霄吵喻铭胃汽铺逐斡复数的几种表示复数的几种表示32第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 欧拉的记忆力惊人！欧拉的记忆力惊人！ 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉能背诵罗马诗人维吉尔能背诵罗马诗人维吉尔(Virgil)的史诗的史诗Aeneil，能背诵能背诵“全部全部”的数学公式，的

23、数学公式，直至晚年，还能复述年轻时的笔记的直至晚年，还能复述年轻时的笔记的“全部全部” 内容。内容。能背诵前一百个质数的前十次幂，能背诵前一百个质数的前十次幂，现冕奈舀雍信诉姨纸莱钝左古抵诀抹矫儿鸽禾滩势属消猜逮撬弹钦镰交帖复数的几种表示复数的几种表示33第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 欧拉的心算能力罕见！欧拉的心算能力罕见！ 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行了欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行了道听途说道听途说的前的前 17 项加起来，算到第项加起来，算到第 50 位数字，位数

24、字，两人相差一个单位；两人相差一个单位；全部运算，最后把错误找了出来。全部运算，最后把错误找了出来。捂笨镊罕冰曼仲毫缺摹涎悯哈据粳词骡慎阉颅锄辙庄庚吉谋毋斗寒承期续复数的几种表示复数的几种表示34第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 欧拉的毅力极其顽强！欧拉的毅力极其顽强！ 附：附：人物介绍人物介绍 欧拉欧拉可以在任何不良的环境中工作。可以在任何不良的环境中工作。常常抱着孩子在膝上完成论文。常常抱着孩子在膝上完成论文。在双目失明以后，也没有停止对数学的研究。在双目失明以后，也没有停止对数学的研究。在失明后的在失明后的 17 年间，还口述了年间，还口述了400 篇左右的论文。篇左右的论文。( (返回返回) )校霉掷陌膛责祁渊夏礁蛆书排抒均俏耽漾戍包锹履峡适埂瘫褐紧惧椭熟祥复数的几种表示复数的几种表示35第一章 复数与复变函数 1.2 复数的几种表示 关于关于 ( (在集合意义下在集合意义下) )附：附： 所谓所谓“在集合意义下在集合意义下”是指：是指：分别从集合分别从集合 中与集合中与集合 中任取一个中任取一个元素元素( (即辐角即辐角) )，相加后，得到集合相加后，得到集合 中的中的一个元素一个元素( (即辐角即辐角) )。比如比如 设设则则事实上，事实上，( (返回返回) )满烛社喇哺湿痘弊烷缨缚肋服网豆撞踌验包肚捻逝状涅石蓑驱寒偶塑资阻复数的几种表示复数的几种表示