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1、竞赛培训第十九届全国中学生物理竞赛预赛一、 （15 分）今年3 月我国北方地区遭遇了近10 年来最严重的沙尘暴天气现把沙尘上扬后的情况简化为如下情景：v为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中（不动）这时风对沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度v竖直向下运动时所受的阻力此阻力可用下式表达2fAv其中为一系数，A为沙尘颗粒的截面积，为空气密度（1）若沙粒的密度33S2.8 10 kg m，沙尘颗粒为球形，半径42.5 10mr，地球表面处空气密度301.25kg m，0.45 ，试估算在地面附近，上述v的最小值1v（2） 假定空气密度随高度 h的变化关系为0(1)Ch， 其中0为0h处的空
2、气密度，C 为一常量，411.18 10mC，试估算当19.0 m sv时扬沙的最大高度 （不考虑重力加速度随高度的变化）一、参考解答（1）在地面附近，沙尘扬起要能悬浮在空中，则空气阻力至少应与重力平衡，即201Avmg式中m为沙尘颗粒的质量，而2Ar3s43mr得10s43grv代入数据得114.0 m sv（2）用h、h分别表示19.0m sv时扬沙到达的最高处的空气密度和高度，则有0h(1)Ch此时式应为2hAvmg由、可解得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页20s4113rghCv代入数据得36.8 10
3、mh评分标准：本题15 分。1. 第一小题8 分。其中式3 分，式1 分，式1 分，式2 分，式1分。第十八届全国中学生物理竞赛预赛试题一、（ 15 分）如图预18l 所示，杆 OA 长为R，可绕过O 点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M，滑轮的半径可忽略，B在 O 的正上方，OB 之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与 OB 之间的夹角为时，杆的角速度为，求此时物块M的速率Mv。一、参考解答杆的端点A点绕 O 点作圆周运动，其速度Av的方向与杆OA 垂直，在所考察时其大小为AvR（1）对速度Av作如图预解18-1 所示的正交分解
4、，沿绳BA的分量就是物块M是速率Mv，则cosMAvv（2）由正弦定理知sinsinOABHR（3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页由图看出2OAB（4）由以上各式得sinMvH（ 5）评分标准：本题15 分其中（ 1）式 3 分； （2）式 5 分； （ 5）式 7 分。二、 （15 分）一半径为1.00 mR的水平光滑圆桌面，圆心为O ，有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线C ，如图预17-2 所示。一根不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端系一
5、质量为27.5 10kgm的小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个方向与绳垂直、大小为04.0 m/sv的初速度。物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上。已知当绳的张力为02.0 NT时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动1问绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少? 2若绳刚要断开时，桌面圆心O 到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直，问物块的落地点到桌面圆心O 的水平距离为多少？已知桌面高度0.80mH物块在桌面上运动时未与立柱相碰取重力加速度大小为210 m/s二、参考解答1因桌面是光滑的，轻绳是不可伸长的和柔软的，且在断开前绳都是被拉紧的，故在绳断
6、开前， 物块在沿桌面运动的过程中，其速度始终与绳垂直，绳的张力对物块不做功，物块速度的大小保持不变。设在绳刚要断开时绳的伸直部分的长度为x，若此时物块速度的大小为xv，则有0xvv（1）绳对物块的拉力仅改变物块速度的方向，是作用于物块的向心力，故有2200xmvmvTxx（2）由此得200mvxT（3）代入数据得0.60mx（4）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页2. 设在绳刚要断开时，物块位于桌面上的P点，BP是绳的伸直部分，物块速度0v的方向 如 图 预 解 17-2 所 示 由 题 意 可 知 ，OBBP 因
7、物块离开桌面时的速度仍为0v，物块离开桌面后便做初速度为0v的平抛运动，设平抛运动经历的时间为t，则有212Hgt（5）物块做平抛运动的水平射程为10sv t（6）由几何关系，物块落地地点与桌面圆心O 的水平距离s为22221ssRxx（7）解（ 5）、（ 6）、（ 7）式，得222202HsvRxxg (8) 代人数据得2.5 ms16 （12 分）假定月球绕地球作圆周运动，地球绕太阳也作圆周运动，且轨道都在同一平面内。已知地球表面处的重力加速度2/80. 9smg，地球半径mRe61037. 6，月球质量kgmm22103. 7，月球半径mRm6107. 1，引力恒量22111067.6k
8、gmNG，月心地心间的距离约为mrem81084. 3。（i）月球的球心绕地球的球心运动一周需多少天？（ii）地球上的观察者相继两次看到满月需多少天？（iii ）若忽略月球绕地球的运动，设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球，试估算火箭到达月球表面时的速度至少为多少（结果要求两位数字）？16参考解答：（i）月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动，设地球的质量为me，月球绕地心作圆周运动的角速度为m，由万有引力定律和牛顿定律有22memmemmermrmmG（1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页另有gRmGee2（2
9、）月球绕地球一周的时间mmT2（3）解（ 1） 、 （2） 、 （3）三式得232eemmgRrT（ 4）代入有关数据得4 .271037.26sTm天（5）（ii）满月是当月球、地球、和太阳成一直线时才有的，此时地球在月球和太阳之间，即图中A 的位置。当第二个满月时，由于地球绕太阳的运动，地球的位置已运动到A。若以mT表示相继两次满月经历的时间，e表示地球绕太阳运动的角速度，由于e和m的方向相同，故有memmTT2（6）而mmT2（7）eeT2（8）式中 Te为地球绕太阳运动的周期，Te=365 天。由（ 6） 、 （7） 、 （8）三式得mememTTTTT（9）注意以（ 5）式，得6.2
10、9mT天（10）（iii ）从地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球引力的作用。 当火箭离地球较近时，地球的引力大于月球的引力；当离月球较近时，月球的引力大于地球的引力。作地心和月心的连线，设在地月间某一点O 处，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力的大小。以r 表示 O 点到月球中心的距离，则有22)(rmmGrrmmGmeme（11）式中 m 是火箭的质量。由（11）式得02122ememmerrrrmm（12）解（ 12）式，注意到（2）式，代入有关数据，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
11、第 5 页，共 19 页mr7108 .3（13）从地球表面发射直接射向月球的火箭只要能到达O 点，则过O 点后，因月球引力大于地球引力， 它便能在月球引力作用下到达月球，这样发射时火箭离开地面时的速度最小，它到达月球时的速度也最小。设火箭刚到达月球时的最小速度为v，则由机械能守恒定律有221mvRmmGRrmmGrmmGrrmmGmmmemememe（14）解得rRGmrrRrGmvmmemmeme112112（15）注意到（ 2）式，代入有关数据得13103.2smv（16）评分标准：本题 12 分。第（ i）小问 3 分。求得（ 4）式得 2 分，求得（ 5）式得 1 分。第（ ii）小
12、问 3 分。求得（ 9）式得 2 分，求得（ 10）式得 1 分。第（ iii ）小问 6 分。 （11）式 2 分， （14）式得 2 分， （16）式 2 分。15 （12 分）为训练宇航员能在失重状态下工作和生活，需要创造一种失重的环境，在地球表面附近， 当飞机模拟某些在重力作用下的运动时，就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态。现要求一架飞机在速率为smv/5001时进入失重状态试验，在速率为smv/10002时退出失重状态试验。重力加速度2/10smg。试问：（i）在上述给定的速度要求下，该飞机需要模拟何种运动，方可在一定范围内任意选择失重时间的长短？试定量讨论影响失重时间长短的
13、因素。（ii）飞机模拟这种运动时，可选择的失重状态的时间范围是多少？15参考解答：（i）当飞机作加速度的大小为重力加速度g，加速度的方向竖直向下的运动时，座舱内的试验者便处于完全失重状态。这种运动可以是飞机模拟无阻力下的自由落体运动或竖直上抛运动， 也可以是斜抛运动。当进入试验的速率和退出试验的速率确定后，飞机模拟前两种运动时， 失重时间的长短都是一定的、不可选择的。 当飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动时，失重时间的长短与抛射角有关，可在一定范围内进行选择。考察飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动。设开始试验时飞机的初速度的大小为v1，方向与水平方向成角，起始位置为A 点，经做抛物线运动在B 点退出试
14、验， 如图所示。 以 t 表示试验经历的时间，在退出试验时的速率为v2，则有cos12vvx（1）gtvvysin12（2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页而222222yxvvv（ 3）由（ 1） （2） （3）式得0sin22221122vvgtvtg（4）解（ 4）式得gvvvvt)(sinsin21222211（5）由（ 5）式可知，当进入试验时飞机的速度v1和退出试验时飞机的速度v2确定以后，失重时间的长短可通过角来调节。（ii）当90时失重时间最长，由（5）式可求得最长失重时间st150max（6）当
15、90时，失重时间最短，由（5）式可求得最短失重时间st50min（7）失重时间的调节范围在150s 到 50s 之间。评分标准：本题 12 分。第（ i）小问 8 分。指明斜抛运动得2 分，求得（ 5）式并指出失重时间的长短可通过角来调节得6 分。第（ ii）小问 4 分。求得（ 6）式得 2 分，求得（ 7）式得 2 分。二、 （15 分）质量分别为m1和 m2的两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于倾角 30的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的摩擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图所示第一次，m1悬空， m2放在斜面上，用t 表示 m2自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间第二次，将m1
16、和 m2位置互换，使m2悬空， m1放在斜面上，发现m1自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为3t求 m1与 m2之比二、第一次，小物块受力情况如图所示，设T1为绳中张力，a1为两物块加速度的大小，l 为斜面长，则有1111amTgm(1) m1m2m1gm2N1 T1 T1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页1221sinamgmT(2) 2121tal(3) 第二次， m1与 m2交换位置设绳中张力为T2，两物块加速度的大小为a2，则有2222amTgm(4) 2112sinamgmT(5) 22321
17、tal(6) 由 (1)、 (2) 式注意到 =30得gmmmma2121122(7) 由 (4)、(5) 式注意到 =30得gmmmma2112222(8) 由 (3)、(6) 式得921aa(9) 由 (7)、(8)、(9) 式可解得191121mm(10) 评分标准本题 15 分， （1） 、 （2） 、 （3） 、 （4） 、 （5） 、 （ 6）式各 2 分，求得（ 10）式再给 3 分一、 (20 分，每小题10 分) 1. 如图所示， 弹簧 S1的上端固定在天花板上，下端连一小球A，球 A与球 B 之间用线相连 .球 B 与球 C之间用弹簧S2相连 .A、B、C的质量分别为mA、
18、mB、mC，弹簧与线的质量均可不计.开始时它们都处在静止状态. 现将 A、B间的线突然剪断，求线刚剪断时A、B、C的加速度 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页一、参考解答：1. 线剪断前，整个系统处于平衡状态.此时弹簧S1的弹力 F1=(mA+mB+mC)g (1) 弹簧 S2的弹力 F2=mCg (2) 在线刚被剪断的时刻，各球尚未发生位移，弹簧的长度尚无变化，故F1、F2的大小尚未变化，但线的拉力消失 . 设此时球 A、B、C 的加速度的大小分别为aA、aB、aC，则有F1-mAg=mAaA(3) F2+m
19、Bg=mBaB(4) F2-mCg=mCaC(5) 解以上有关各式得，方向竖直向上(6) ，方向竖直向下(7) aC=0 (8) 二、 （25 分）如图复15 2 所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h 。轨道上有两个物体A 和 B，它们通过一根绕过定滑轮O 的不可伸长的轻绳相连接。物体A在下面的轨道上以匀速率v 运动。在轨道间的绳子与轨道成30角的瞬间，绳子BO 段的中点处有一与绳相对静止的小水滴P 与绳子分离，设绳长BO 远大于滑轮直径，求：1、小水滴P 脱离绳子时速度的大小和方向；2、小水滴P 离开绳子落到下面轨道所需要的时间。BPAhvO30 图复15 - 2精选学习资料
20、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页试题分析从绳上脱离出的小水滴以后怎样运动，由初速度与受力两个条件决定。 由于惯性，这个初速度就是离开绳时的速度，而小水滴以前一直是与绳上的P点一起运动的，所以它应该是 P点运动到当前位置的速度。 那么 P点的运动方向是否在沿绳的方向？可选一微小时间，确定出P点的位置 P点，发现 P点沿当前绳的运动方向无论如何均不可到达P点。（在微小时间中可视为匀速直线运动）所以当前 P点的运动不可能沿绳的运动方向。 那么 P点的运动又向什么方向呢？我们从绳的运动效果来讨论这个问题。经过一段时间，绳的长度OP变短
21、，绳的方向变陡，从这两个效果上来看， 变短是 P点沿绳向下运动所致， 变陡是垂直于绳向上运动所致。 两个方向上运动存在就使P点的当前位置运动到了下一位置P点。所以 P点的运动可分解成沿绳向下与垂直于绳向上的两个分运动v1与 v2。如果我们求出了 v1与 v2就能完成第一个问题。 V1沿绳方向上的分速度，同一绳上沿绳分速度相等，即为V。怎样求 V2? OA段绳上各点的垂直于绳的分速度的大小与到 O点的距离成正比，设法求出B点的 VB2, 怎样求 VB2？对于 B点，B的速度在水平方向上，所以VB2=Vtg。水滴离开绳后，仅在重力作用下作抛体运动，在竖直方向上作匀变速运动，此时离地的高度为h 的一
22、半。试题解答（1）B点垂直于绳的分速度VB2=VtgVP点垂直于绳的分速度V2=VV 所以 P点的速度，方向为与绳的夹角 (16.1 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页(2) 此时小水滴的竖直速度， 小水滴作竖直下抛运动。经过h 所用时间 t 有：解出：（舍去了负根）本题小结：（1）与绳相关的运动：绳上的任何二点的沿绳分速度大小相等，绳有转动效果时，各点垂直于绳的分速度之比等各点到转轴的距离之比，（2）物体的速度大小与方向同时是不确定时，可由运动效果表现出的方向性分解为两个分运动，如题中的“绳缩短”与“绳变陡
23、”就是运动效果表现出的方向性，最终靠求出了这两个分速度而完成了第一个问题的获解。（3）物体的运动时间常常依赖于物体是怎样运动，物体做什么运动由初始条件与受力两个因素决定， 如本题中小水滴离开了绳后的运动的判断，初始条件为，方向为与绳的夹角 16.1 , 只受重力的斜下抛运动。（4）时间 t 的二次方程求解时，要注意由题中的实际意义确定根的取舍例 2如图 5-8 所示，合页构件由三个菱形组成，其边长之比为321，顶点3以速度沿水平方向向右运动，求当构件所有角都为直角时，顶点2的速度B2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19
24、 页图 5-8 分析与解顶点2作为21杆上的一点，其速度是沿21杆方向的速度1及垂直于21杆方向速度1的合成；同时作为杆22上的一点，其速度又是沿22杆方向的速度2及垂直于22杆方向的速度2的合成由于两杆互成直角的特定条件，由图5-显见，21，12故顶点2的速度可通过1、2速度的矢量和求得，而根据杆的约束的特征，得图 5-9 1(/ ) 1；2(/ ) 2，于是可得由几何关系可知 1 2 3010203，则 1 / ， 2( / ) ，由此求得B2(/ ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页图 5-10 上述解析
25、，我们是选取了速度为沿杆方向的某一点为基点来考察顶点2的速度的当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析如图5- 所示，若以1、2点为基点，则2点作为21杆上的点，其速度是与1点相同的平动速度1和对1点的转动速度1之合成，同时2点作为22杆上的点，其速度是与2点相同的平动速度2和对2点的转动速度2之合成，再注意到题给的几何条件，从矢量三角形中由余弦定理得而由矢量图可知n1(/ ) （A2A1），代入前式可得B2 (/ ) 两解殊途同归八、 （30 分）如图所示，一根长为l的细刚性轻杆的两端分别连结小球a和b，它们的质量分别为ma和 mb. 杆可绕距a球为l41处的水平定轴O在竖直平面内转动初始
26、时杆处于竖直位置小球b几乎接触桌面在杆的右边水平桌面上，紧挨着细杆放着一个质量为m 的立方体匀质物块， 图中 ABCD为过立方体中心且与细杆共面的截面现用一水平恒力F 作用于a球上， 使之绕O轴逆时针转动，求当a 转过角时小球 b 速度的大小设在此过程中立方体物块没有发生转动，且小球 b 与立方体物块始终接触没有分离不计一切摩擦a O b A B C D F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页43lF a O b A B C D 八、如图所示，用bv表示 a 转过角时b球速度的大小，v表示此时立方体速度的大小，则
27、有vv cosb（1）由于b与正立方体的接触是光滑的，相互作用力总是沿水平方向，而且两者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符号相反， 做功的总和为0因此在整个过程中推力F所做的功应等于球a、b和正立方体机械能的增量现用av表示此时a球速度的大小，因为a、b角速度相同，lOa41，lOb43，所以得bavv31（2）根据功能原理可知22221cos434321cos4421sin4vvvmllgmmllgmmlFbbbaaa（3）将（ 1） 、 （2）式代入可得222)cos(21cos434321cos443121sin4bbbbabamllgmmllgmmlF
28、vvv解得2cos18182cos13sin9mmmgmmFlbababv（4）评分标准：本题30 分（1）式 7分， （2）式 5 分， （3）式 15 分， （4）式 3 分动能定理、变力做功是历年高考的命题热点，考查的特点是综合性强，灵活性强，这就要求学生将动能定理、功和能的关系掌握好。例题： （1994 年上海市高考题）如图（a）表示，轻质长绳水平地跨在相距2L 的两个小定滑轮上A、B上，质量为 m的物块悬挂在绳上O点，O与 A，B两滑轮的间距相等。在轻绳两端C，D分别施加竖直向下的恒力 F=mg 。先托住物块，使绳处于水平垂直状态，静止起释放物块，在物块下落过程中，保持C，D 两端的
29、拉力 F 不变，求：（1）当物块下落距离h 为多大时，物块的加速度为零？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页（2）在物块下落上述距离的过程中，克服C端恒力 F 做功 W为多少？（3）求物块下落过程中的最大速度vm和最大距离H。解析：（1）物块下落时受到三个力的作用，重力mg ，绳 A0与 B0的大小相等的拉力F。当物块所受的三个力合力为零时，物块的加速度为零。由于 F恒定等于 mg ，故三个力成一个特殊的夹角关系，即互成120角。由此可得下落距离为（如图b 所示） . 即物块下落距离时，物块的加速度恰好为零。（2）
30、在此过程中， CD两端上升的高度h应该为：故物块克服C 端恒力 F 所做的功为（3）在物块开始下落的过程中，物块的向下重力大于两个拉力F 竖直向上的分量之和，即物块有向下的加速度，物块的速度将增加；当物块下落到h 处时合外力恰好为零，该位置是一个加速度方向转折的位置；当物块再往下运动时，物块的加速度方向变为向上，开始减速，直至速度为零。由以上的过程分析可知，下降到 h 处时，物块具有最大的速度vm。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页根据动能定理. 得同样，也可从上面的分析可知，当物块下沉到速度为零，该位置为最低点
31、，设最大距离为H。则重力做功为mgH ，而两根绳中恒力做功为的两倍， 再利用动能定理：由此可得. 2. （上海徐汇区诊断）如图7 所示，质量分别为M 和 m（Mm ）的小物体用轻绳连接；跨放在半径为R 的光滑半圆柱体和光滑定滑轮B 上， m 位于半圆柱体底端C 点，半圆柱体顶端 A 点与滑轮B 的连线水平。整个系统从静止开始运动。设m 能到达圆柱体的顶端，试求：（1）m 到达圆柱体的顶端A 点时， m 和 M 的速度。（2）m 到达 A 点时，对圆柱体的压力。图 7 答案： （1）2)(2121vmMmgRRMgmMmgRRMgv2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
32、 - - - - - - -第 16 页，共 19 页（2）NFmgRmv2mMgmMmgmgFN22mgmMmMmM2例 6 图 8（a）所示。两个木块A和 B，质量分别为，紧挨着并排放在水平桌面上， A、B间的接触面垂直于纸面且与水平成 角， A、B间接触面是光滑的，但它们与桌面存在摩擦，静摩擦系数和滑动摩擦系数均为，开始时 A、B都静止，现施一水平推力F于 A，要使 A、B向右加速运动且A、B之间不发生相对滑动。则（1） 的数值应满足什么条件？（ 2）推力 F 的最大值不能超过多少？（只考虑平动）？分析： A 、B的受力图如图8(b)所示。由于A、B间接触面是光滑的，它们之间相互作用力N
33、垂直于接触面。解：（ 1）若 A、B之间不发生相对滑动，则A在竖直方向的加速度为零，即。 （6-1 ）B以加速度a0 向右运动联立以上三式，解出：（2）在已满足（6-4 ）式的情况下，A、B的水平加速度均为a，于是由 A：由 B：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页解出 A、B 间不发生相对滑动的6、（20分）在倾角为 =30o 的足够长的斜坡上，以初速度v0 发射一发炮弹，设 v0 与斜坡的夹角为 =60o ，如图，求炮弹的落地点离发射点的距离L. 答案在教程中P26-27 页（ 2v0/g） 引导两种坐标和运动方程的矢量表示，留给学生思考：最大距离是多少(根号 3vo2/2g)，可以用运动方程的矢量表示讲基础知识：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页斜面 xoy 坐标系，水平xoy 坐标系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页
