高考数学一轮复习 2.8 函数与方程课件文新人教A版

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1、第八节函数与方程【知识梳理【知识梳理】1.1.必会知识教材回扣填一填必会知识教材回扣填一填(1)(1)函数的零点函数的零点: :函数零点的定义函数零点的定义: :对于函数对于函数y=f(x)(xDy=f(x)(xD),),把使把使_的实数的实数x x叫做函数叫做函数y=f(x)(xDy=f(x)(xD) )的零点的零点. .f(xf(x)=0)=0函数零点的判定函数零点的判定( (零点存在性定理零点存在性定理):):如果函数如果函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间a,ba,b 上的图象是上的图象是_的一条曲线的一条曲线, ,并并且有且有_,_,那么那么, ,函数函数y=f(xy=f(x)

2、 )在区间在区间(a,b(a,b) )内有零点内有零点, ,即存即存在在c(a,bc(a,b),),使得使得_,_,这个这个c c也就是方程也就是方程f(xf(x)=0)=0的根的根. .连续不断连续不断f(a)f(a)f(bf(b)0)0)+bx+c(a0)的图象与零点的关系的图象与零点的关系: :00=0=000)0)与与x x轴的交点轴的交点_无交点无交点零点个数零点个数_(x(x1 1,0),(x,0),(x2 2,0),0)(x(x1 1,0),0)2 21 10 0(3)(3)二分法二分法: :定义定义: :对于在区间对于在区间a,ba,b 上连续不断且上连续不断且_的函数的函数y

3、=f(xy=f(x),),通过不断地把函数通过不断地把函数f(xf(x) )的零点所在的区间的零点所在的区间_,_,使区间的两个使区间的两个端点逐步逼近端点逐步逼近_,_,进而得到零点进而得到零点_值的方法叫做二分法值的方法叫做二分法. .给定精确度给定精确度,用二分法求函数用二分法求函数f(xf(x) )零点近似值的步骤如下零点近似值的步骤如下: :(i)(i)确定区间确定区间a,ba,b,验证验证f(a)f(a)f(bf(b)0,)0,给定精确度给定精确度;(ii)(ii)求区间求区间(a,b(a,b) )的中点的中点c;c;f(a)f(a)f(bf(b)0)0一分为二一分为二零点零点近似

4、近似(iii)(iii)计算计算f(cf(c););a.a.若若f(cf(c)=0,)=0,则则c c就是函数的零点就是函数的零点; ;b.b.若若f(a)f(a)f(cf(c)0,)0,则令则令b=c(b=c(此时零点此时零点x x0 0(a,c);(a,c);c.c.若若f(c)f(c)f(bf(b)0,)0,则令则令a=c(a=c(此时零点此时零点x x0 0(c,b).(c,b).()()判断是否达到精确度判断是否达到精确度:即若即若|a-b|,|a-b|,则得到零点近似值则得到零点近似值a(a(或或b);b);否则重复否则重复(ii)(iii(ii)(iii)().)().2.2.必

5、备结论教材提炼记一记必备结论教材提炼记一记(1)(1)有关函数零点的结论有关函数零点的结论. .若连续不断的函数若连续不断的函数f(xf(x) )在定义域上是单调函数在定义域上是单调函数, ,则则f(xf(x) )至多有一个至多有一个零点零点. .连续不断的函数连续不断的函数, ,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. .连续不断的函数图象通过零点时连续不断的函数图象通过零点时, ,函数值可能变号函数值可能变号, ,也可能不变号也可能不变号. .(2)(2)三个等价关系三个等价关系. .方程方程f(xf(x)=0)=0有实数根有实数根函数函数y=f(xy

6、=f(x) )的图象与的图象与_有交点有交点函数函数y=y=f(xf(x) )有有_._.x x轴轴零点零点3.3.必用技法核心总结看一看必用技法核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法: :判断函数零点个数的方法判断函数零点个数的方法. .(2)(2)数学思想数学思想: :函数与方程、转化与化归、数形结合思想函数与方程、转化与化归、数形结合思想. .(3)(3)记忆口诀记忆口诀: :用二分法求零点近似值的口诀为用二分法求零点近似值的口诀为: :定区间定区间, ,找中点找中点, ,中值计算两边看中值计算两边看; ;同号去同号去, ,异号算异号算, ,零点落在异号间零点落在异号间; ;周而复始

7、怎么办周而复始怎么办? ?精确度上来判断精确度上来判断. .【小题快练【小题快练】1.1.思考辨析静心思考判一判思考辨析静心思考判一判(1)(1)函数函数f(xf(x)=x)=x2 2-1-1的零点是的零点是(-1,0)(-1,0)和和(1,0).(1,0).() )(2)(2)函数函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间(a,b(a,b) )内有零点内有零点( (函数图象连续不断函数图象连续不断),),则一定有则一定有f(a)f(a)f(bf(b)0.()0.() )(3)(3)二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)在在b b2 2-4ac0-4ac0时

8、没有零点时没有零点.(.() )(4)(4)若函数若函数f(xf(x) )在在(a,b(a,b) )上单调且上单调且f(a)f(a)f(bf(b)0,)0.f(2)0.(3)(3)正确正确. .当当b b2 2-4ac0-4ac0,+30,所以所以f(xf(x) )在在R R上单调递增上单调递增, ,又又f f(-1)=e(-1)=e-1-1-30,-30,因此因此f(xf(x) )的零点个数是的零点个数是1,1,故选故选B.B.(2)(2)(必修必修1P92A1P92A组组T5T5改编改编) )用用“二分法二分法”求方程求方程x x3 3-2x-5=0-2x-5=0在区间在区间2,32,3内

9、的实根内的实根, ,取区间中点为取区间中点为x x0 0=2.5,=2.5,那么下一个有根的区间是那么下一个有根的区间是. .【解析【解析】因为因为f(2)f(2)f(2.5)0,f(2.5)1.,a1.(3)(2015(3)(2015太原模拟太原模拟) )若函数若函数f(xf(x)=ax)=ax2 2+bx+c(a,b,c0)+bx+c(a,b,c0)没有零点没有零点, ,则则的取值范围是的取值范围是( () )A.2,+)A.2,+)B.(2,+)B.(2,+)C.1,+)C.1,+)D.(1,+)D.(1,+)【解析【解析】选选D.D.由已知由已知=b=b2 2-4ac0,-4ac0,

10、即即b b2 24ac, 0,0,所以所以 1.1.考点考点1 1确定函数零点所在区间确定函数零点所在区间【典例【典例1 1】(1)(2014(1)(2014北京高考北京高考) )已知函数已知函数f(xf(x)= -1og)= -1og2 2x x在下列区间在下列区间中中, ,包含包含f(xf(x) )零点的区间是零点的区间是( () )( (本题源于教材必修本题源于教材必修1P881P88练习练习T2(2)T2(2)A.(0,1)A.(0,1)B.(1,2)B.(1,2)C.(2,4)C.(2,4)D.(4,+)D.(4,+)(2)(2)设函数设函数f(x)= x-lnf(x)= x-ln

11、x, x,则函数则函数y=f(xy=f(x)()() )A.A.在区间在区间( ,1),(1,e)( ,1),(1,e)内均有零点内均有零点B.B.在区间在区间( ,1),(1,e)( ,1),(1,e)内均无零点内均无零点C.C.在区间在区间( ,1)( ,1)内有零点内有零点, ,在区间在区间(1,e)(1,e)内无零点内无零点D.D.在区间在区间( ,1)( ,1)内无零点内无零点, ,在区间在区间(1,e)(1,e)内有零点内有零点【解题提示【解题提示】(1)(1)利用零点存在性定理进行判断利用零点存在性定理进行判断. .(2)(2)判断函数图象的连续性、函数在已知区间上的单调性判断函

12、数图象的连续性、函数在已知区间上的单调性, ,利用函数零利用函数零点存在性定理进行判断点存在性定理进行判断. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选C.C.因为因为f(1)=6-logf(1)=6-log2 21=60,f(2)=3-log1=60,f(2)=3-log2 22=20,2=20,f(3)=2-logf(3)=2-log2 230,f(4)= -log30,f(4)= -log2 24= -20,4= -20,所以包含所以包含f(xf(x) )零点的区间是零点的区间是(2,4),(2,4),故选故选C.C.(2)(2)选选D.D.当当x( ,e)x( ,e)时时, ,函数图象是

13、连续的函数图象是连续的, ,且且f(xf(x)=)=0,0,f(e)= ef(1)= 0,f(e)= e-ln-ln e0, e0,所以函数有零点在区间所以函数有零点在区间(1,e)(1,e)内内. .故选故选D.D.【一题多解【一题多解】解答本题解答本题, ,你知道几种解法你知道几种解法? ?解答本题解答本题, ,还有以下解法还有以下解法: :选选D.D.令令f(xf(x)=0)=0得得 x=lnx=ln x. x.作出函数作出函数y= xy= x和和y=lny=ln x x的图象的图象, ,如图如图, ,显然显然y=f(xy=f(x) )在在( ,1)( ,1)内无零点内无零点, ,在在(

14、1,e)(1,e)内有零点内有零点. .故选故选D.D.【规律方法【规律方法】确定函数零点所在区间的方法确定函数零点所在区间的方法(1)(1)解方程法解方程法: :当对应方程当对应方程f(xf(x)=0)=0易解时易解时, ,可先解方程可先解方程, ,然后再看求得的然后再看求得的根是否落在给定区间上根是否落在给定区间上. .(2)(2)利用函数零点的存在性定理利用函数零点的存在性定理: :首先看函数首先看函数y=f(xy=f(x) )在区间在区间a,ba,b 上的上的图象是否连续图象是否连续, ,再看是否有再看是否有f(a)f(a)f(bf(b)0.)0.若有若有, ,则函数则函数y=f(xy

15、=f(x) )在区间在区间(a,b(a,b) )内必有零点内必有零点. .(3)(3)数形结合法数形结合法: :通过画函数图象通过画函数图象, ,观察图象与观察图象与x x轴在给定区间上是否有轴在给定区间上是否有交点来判断交点来判断. .【变式训练【变式训练】(2015(2015杭州模拟杭州模拟) )方程方程loglog3 3x+x=3x+x=3的根所在的区间为的根所在的区间为( () )A.(0,1)A.(0,1)B.(1,2)B.(1,2)C.(2,3)C.(2,3)D.(3,4)D.(3,4)【解析【解析】选选C.C.方法一方法一: :方程方程loglog3 3x+x=3x+x=3的根即

16、是函数的根即是函数f(xf(x)=log)=log3 3x+x-3x+x-3的的零点零点, ,由于由于f(2)=logf(2)=log3 32+2-3=log2+2-3=log3 32-10,f(3)=log2-103+3-3=10且函数且函数f(xf(x) )在在(0,+(0,+) )上为单调增函数上为单调增函数. .所以函数所以函数f(xf(x) )的零点即方程的零点即方程loglog3 3x+x=3x+x=3的根所在区间为的根所在区间为(2,3).(2,3).方法二方法二: :方程方程loglog3 3x+x=3x+x=3的根所在区间即是函数的根所在区间即是函数y y1 1=log=lo

17、g3 3x x与与y y2 2=3-x=3-x交点交点横坐标所在区间横坐标所在区间, ,两函数图象如图所示两函数图象如图所示. .由图知方程由图知方程loglog3 3x+x=3x+x=3的根所的根所在区间为在区间为(2,3).(2,3).【加固训练【加固训练】1.(20141.(2014西安模拟西安模拟) )函数函数f(xf(x)=log)=log2 2x- x- 的零点所在的的零点所在的区间为区间为( () )A.(0, )A.(0, )B.( ,1)B.( ,1)C.(1,2)C.(1,2)D.(2,3)D.(2,3)【解析【解析】选选C.C.因为因为f( )=logf( )=log2

18、2 -2=-30, -2=-30,f(1)=logf(1)=log2 21-1=-10;1-1=-10,2- = 0,故函数零点所在区间为故函数零点所在区间为(1,2).(1,2).2.2.已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(xf(x)=(x)=(x2 2-3x+2)g(x)+3x-4,-3x+2)g(x)+3x-4,其中函数其中函数y=g(xy=g(x) )的图象是一条连续曲线的图象是一条连续曲线, ,则方程则方程f(xf(x)=0)=0在下面哪个范围内必有实数根在下面哪个范围内必有实数根( () )A.(0,1)A.(0,1)B.(1,2)B.(1,2)C.(2,3)C.(2,3

19、)D.(3,4)D.(3,4)【解析【解析】选选B.f(xB.f(x)=(x)=(x2 2-3x+2)g(x)+3x-4=(x-1)(x-2)-3x+2)g(x)+3x-4=(x-1)(x-2)g(x)+3x-4,g(x)+3x-4,故故f(1)=-10,f(1)f(1)=-10,f(1)f(2)0.f(2)0.3.(20133.(2013重庆高考重庆高考) )若若abc,abc,则函数则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-cf(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c) )+(x-c)(x-a+(x-c)(x-a) )两个零点分别位于区间两个零点分别位于区间( () )

20、A.(a,bA.(a,b) )和和(b,c(b,c) )内内B.(-,a)B.(-,a)和和(a,b(a,b) )内内C.(b,cC.(b,c) )和和(c,+)(c,+)内内D.(-,a)D.(-,a)和和(c,+)(c,+)内内【解析【解析】选选A.A.因为因为abc,ab0,)0,f(b)=(b-c)(b-af(b)=(b-c)(b-a)0,)0,)0,所以所以f(a)f(bf(a)f(b)0,f(b)f(c)0,)0,f(b)f(c)0x0的范围内两函数的图象有一个的范围内两函数的图象有一个交点交点, ,即原方程有一个根即原方程有一个根. .综上函数综上函数f(xf(x) )共有两个零

21、点共有两个零点. .答案答案: :2 2【易错警示【易错警示】解决本例题解决本例题(1)(1)易出现如下三点错误易出现如下三点错误: :(1)(1)不能对不能对|log|log0 0.5.5x|x|化简化简. .(2)(2)不能将问题转化为两个函数的交点问题不能将问题转化为两个函数的交点问题. .(3)(3)函数图象不准确导致失误函数图象不准确导致失误. .【互动探究【互动探究】本例本例(2)(2)中的函数变为中的函数变为f(xf(x)=)=则零点的个数如何则零点的个数如何? ?【解析【解析】当当x0x0时时, ,令令g(x)=ln x,h(xg(x)=ln x,h(x)=x)=x2 2-2x

22、.-2x.画出画出g(xg(x) )与与h(xh(x) )的图象的图象如图如图: :故当故当x0x0时时,f(x,f(x) )有有2 2个零点个零点. .当当x0x0时时, ,由由4x+1=0,4x+1=0,得得x=- ,x=- ,综上函数综上函数f(xf(x) )的零点个数为的零点个数为3.3.【规律方法【规律方法】判断函数零点个数的方法判断函数零点个数的方法(1)(1)解方程法解方程法: :令令f(xf(x)=0,)=0,如果能求出解如果能求出解, ,则有几个解就有几个零点则有几个解就有几个零点. .(2)(2)零点存在性定理法零点存在性定理法: :利用定理不仅要求函数在区间利用定理不仅要

23、求函数在区间a,ba,b 上是连续上是连续不断的曲线不断的曲线, ,且且f(a)f(a)f(bf(b)0,)0,还必须结合函数的图象与性质还必须结合函数的图象与性质( (如单调如单调性、奇偶性、周期性、对称性性、奇偶性、周期性、对称性) )才能确定函数有多少个零点或零点值才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质所具有的性质. .(3)(3)数形结合法数形结合法: :转化为两个函数的图象的交点个数问题转化为两个函数的图象的交点个数问题, ,先画出两个先画出两个函数的图象函数的图象, ,看其交点个数看其交点个数, ,其中交点的横坐标有几个不同的值其中交点的横坐标有几个不同的值, ,就有就有几个

24、不同的零点几个不同的零点. .【变式训练【变式训练】1.(20151.(2015太原模拟太原模拟) )函数函数f(xf(x)=x)=x2 2-2-2x x在在xRxR上的零点上的零点的个数是的个数是( () )A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3【解析【解析】选选D.f(0)=-1,f(-1)= , D.f(0)=-1,f(-1)= , (-1)0,(-1)0,x-10,即即x1x1时时,f(x,f(x)=1-ln x,)=1-ln x,令令f(xf(x)=0)=0得得x=e1;x=e1;当当x-1=0,x-1=0,即即x=1x=1时时,f(x,f(x)=0-ln1=0;)=0-l

25、n1=0;当当x-10,x-10,即即x1x1时时,f(x,f(x)=-1-)=-1-lnln x, x,令令f(xf(x)=0)=0得得x= 1.x= 1a1时时, ,方程方程f(x)=f(af(x)=f(a) )的实根个数的实根个数为为. .【解析【解析】令令g(x)=f(x)-f(ag(x)=f(x)-f(a),),即即g(x)= g(x)= 整理得整理得:g(x)= (x-a)(ax:g(x)= (x-a)(ax2 2+a+a2 2x-2).x-2).显然显然g(a)=0,g(a)=0,令令h(x)=axh(x)=ax2 2+a+a2 2x-2.x-2.因为因为h(0)=-20,h(a

26、)=2(ah(0)=-20,-1)0,所以所以h(x)h(x)在区间在区间(-,0)(-,0)和和(0,a)(0,a)上各有一个零点上各有一个零点. .因此因此.g(x.g(x) )有三个零点有三个零点, ,即方程即方程f(x)=f(af(x)=f(a) )有三个实数解有三个实数解. .答案答案: :3 3考点考点3 3函数零点的应用函数零点的应用知知考情考情高考对函数零点的应用的考查多以选择题或填空题的形式出现高考对函数零点的应用的考查多以选择题或填空题的形式出现, ,主要考查利用零点的个数或存在情况求参数的取值范围及利用零点的主要考查利用零点的个数或存在情况求参数的取值范围及利用零点的性质

28、点个公共点, ,结合函数结合函数y=f(xy=f(x) )与与y=a|xy=a|x| |的图象确定实的图象确定实数数a a的取值范围的取值范围. .【规范解答规范解答】在同一平面直角坐标系内画出函数在同一平面直角坐标系内画出函数y=f(xy=f(x) )和和y=a|xy=a|x| |的图象可知的图象可知, ,若满足条件若满足条件, ,则则a0.a0.当当a2a2时时, ,在在y y轴右侧轴右侧, ,两函数图象只有一个公共点两函数图象只有一个公共点, ,此时在此时在y y轴左侧轴左侧, ,射线射线y=ax(x0)y=ax(x0)与抛物线与抛物线y=-xy=-x2 2-5x-4(-4x-1)-5x

29、-4(-4x-1)需相切需相切. .由由消去消去y,y,得得x x2 2+(5-a)x+4=0.+(5-a)x+4=0.由由=(5-a)=(5-a)2 2-16=0,-16=0,解得解得a=1a=1或或a=9.a=9.a=1a=1与与a2a2矛盾矛盾,a=9,a=9时时, ,切点的横坐标为切点的横坐标为2,2,不符合不符合, ,故故0a2,0a2,此时此时, ,在在y y轴右侧轴右侧, ,两函数图象有两个公共点两函数图象有两个公共点, ,若满足条件若满足条件, ,则则-a-1,-a1,a1,故故1a2.1a0+10恒成立恒成立, ,所以函数所以函数f(xf(x) )在在R R上是上是单调递增

30、的单调递增的, ,而而f(0)=ef(0)=e0 0+0-2=-10,f(1)=e+0-2=-10,+1-2=e-10,所以函数所以函数f(xf(x) )的零点的零点a(0,1);a(0,1);由题意由题意, ,知知g(xg(x)= +10,)= +10,所以函数所以函数g(xg(x) )在在(0,+)(0,+)上是单调递增的上是单调递增的, ,又又g(1)=ln1+1-2=-10,g(1)=ln1+1-2=-10,所以函数所以函数g(xg(x) )的零点的零点b(1,2).b(1,2).综上综上, ,可得可得0a1b2.0a1b2.因为因为f(xf(x) )在在R R上是单调递增的上是单调递

31、增的, ,所以所以f(a)f(1)f(bf(a)f(1)f(b).).答案答案: :f(a)f(1)f(bf(a)f(1)f(b) )悟悟技法技法函数零点的应用问题类型及解题思路函数零点的应用问题类型及解题思路(1)(1)已知函数零点情况求参数已知函数零点情况求参数. .根据函数零点或方程的根所在的区间求根据函数零点或方程的根所在的区间求解参数应分三步解参数应分三步:判断函数的单调性判断函数的单调性;利用零点存在性定理利用零点存在性定理, ,得到得到参数所满足的不等式参数所满足的不等式;解不等式解不等式, ,即得参数的取值范围即得参数的取值范围. .(2)(2)已知函数零点的个数求参数已知函数

32、零点的个数求参数. .常利用数形结合法常利用数形结合法. .(3)(3)借助函数零点比较大小借助函数零点比较大小. .要比较要比较f(af(a) )与与f(bf(b) )的大小的大小, ,通常先比较通常先比较f(af(a) )、f(bf(b) )与与0 0的大小的大小. .通通一类一类1.(20141.(2014重庆高考重庆高考) )已知函数已知函数f(xf(x)= )= 且且g(xg(x)=)=f(x)-mx-mf(x)-mx-m在在(-1,1(-1,1内有且仅有两个不同的零点内有且仅有两个不同的零点, ,则实数则实数m m的取值范的取值范围是围是( () )【解析解析】选选A.g(xA.g

33、(x)=0,)=0,则则f(xf(x)=m(x+1),)=m(x+1),故函数故函数g(xg(x) )在在(-1,1(-1,1内有且仅内有且仅有两个不同的零点等价于函数有两个不同的零点等价于函数y=f(xy=f(x) )的图象与直线的图象与直线y=m(x+1)y=m(x+1)有且仅有且仅有两个不同的交点有两个不同的交点, ,函数函数f(xf(x) )的图象如图中实线所示的图象如图中实线所示, ,易求易求k kA AB B= ,= ,k kA AC C=-2,=-2,过过A(-1,0)A(-1,0)作曲线的切线作曲线的切线, ,不妨设切线方程为不妨设切线方程为y=k(x+1),y=k(x+1),

34、由由得得kxkx2 2+(2k+3)x+2+k=0,+(2k+3)x+2+k=0,则则=(2k+3)=(2k+3)2 2-4k(2+k)=0,-4k(2+k)=0,解之得解之得k= k= 故实数故实数m m的取值范围为的取值范围为( ,-2(0, .( ,-2(0, .2.(20132.(2013天津高考天津高考) )设函数设函数f(xf(x)=e)=ex x+x-2,g(x)=ln+x-2,g(x)=ln x+x x+x2 2-3.-3.若实数若实数a,ba,b满足满足f(af(a)=0,g(b)=0,)=0,g(b)=0,则则( () )A.g(a)0f(b)A.g(a)0f(b)B.f

35、(b)0g(aB.f(b)0g(a) )C.0g(a)f(b)C.0g(a)f(b)D.f(b)g(aD.f(b)g(a)0)0,+10,所以所以f(xf(x)=e)=ex x+x-2+x-2在其定义域内是在其定义域内是单调递增的单调递增的, ,由由f(af(a)=0)=0知知0a1,0a0,g(x)= +2x0,x0,g(x)= +2x0,故故g(x)=lng(x)=ln x+x x+x2 2-3-3在在(0,+)(0,+)上也是单调递增的上也是单调递增的, ,由由g(bg(b)=0)=0知知1b2,1b2,所所以以g(a)g(b)=0,0=f(a)f(bg(a)g(b)=0,0=f(a)f

36、(b),),因此因此g(a)0f(bg(a)0f(b).).3.(20153.(2015北京模拟北京模拟) )已知函数已知函数f(xf(x)= )= 有有3 3个不同的零个不同的零点点, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是. .【解析【解析】依题意依题意, ,要使函数要使函数f(xf(x) )有三个不同的零点有三个不同的零点, ,则当则当x x0 0时时, ,方程方程2 2x x-a=0,-a=0,即即2 2x x=a=a必有一个根必有一个根, ,此时此时0a00x0时时, ,方程方程x x2 2-3ax+a=0-3ax+a=0有有两个不等的实根两个不等的实根, ,即方程即方程x x

37、2 2-3ax+a=0-3ax+a=0有两个不等的正实根有两个不等的正实根, ,于是有于是有由此解得由此解得aa因此因此, ,满足题意的实数满足题意的实数a a需满足需满足即即 a1.0,0,且且a1).a1).当当2a3b42a3b4时时, ,函数函数f(xf(x) )的零点的零点x x0 0(n,n+1),nN(n,n+1),nN* *, ,则则n=n=. .【常规解法【常规解法】设设f(xf(x0 0)=0,)=0,因为因为f(x)=logf(x)=loga ax+x-bx+x-b, ,又又3b4,3b4,所以所以f(1)=logf(1)=loga a1+1-b=1-b0,1+1-b

38、=1-b0,因为因为2a3b4,2a3b4,所以所以f(2)=logf(2)=loga a2+2-blog2+2-bloga aa+2-b=3-b0,a+2-b=3-blog3+3-bloga aa+3-b=4-b0.a+3-b=4-b0.综上综上,x,x0 0(2,3),(2,3),又因为又因为x x0 0(n,n+1),(n,n+1),故故n=2.n=2.答案答案: :2 2【巧妙解法【巧妙解法】如图所示如图所示, ,在直角坐标系下在直角坐标系下分别作出分别作出y=logy=log2 2x,y=logx,y=log3 3x x及及y=3-x,y=4-xy=3-x,y=4-x的图象的图象,

39、, 显然所有可能的交点构成图中的阴影区域显然所有可能的交点构成图中的阴影区域( (不含边界不含边界),),其中各点的横坐标均落于其中各点的横坐标均落于(2,3)(2,3)之内之内, ,又因为又因为x x0 0(n,n+1),nN(n,n+1),nN* *, ,故故n=2.n=2.答案答案: :2 2【方法指导【方法指导】(1)(1)要强化训练零点求法要强化训练零点求法, ,函数与方程的转化技巧函数与方程的转化技巧. .(2)(2)会利用数形结合判断零点个数、零点所在区间会利用数形结合判断零点个数、零点所在区间. .考查函数性质与方考查函数性质与方程根与系数关系的综合应用题程根与系数关系的综合应

40、用题, ,一般难度较大一般难度较大, ,在复习中要有所准备在复习中要有所准备, ,但题量不必太大但题量不必太大. .【类题试解【类题试解】(2015(2015郑州模拟郑州模拟) )已知函数已知函数f(x)=af(x)=ax x+x-b+x-b的零点的零点x x0 0(n,n+1)(nZ),(n,n+1)(nZ),其中常数其中常数a,ba,b满足满足2 2a a=3,3=3,3b b=2,=2,则则n n的值是的值是. .【常规解法【常规解法】依题意依题意a=loga=log2 231,01,0b=log3 321,21,所以所以f(x)=af(x)=ax x+x-b+x-b在在R R上为单调递增函数上为单调递增函数. .又又f(-1)= -1-b0,f(-1)= -1-b0,所以所以f(-1)f(0)0,f(-1)f(0)1,0b1,0b1,在同一坐标系中分别作出函数在同一坐标系中分别作出函数y=ay=ax x与与y=-x+by=-x+b的图象的图象, ,如图所示如图所示, ,由图知由图知x x0 0(-1,0),(-1,0),所以所以n=-1.n=-1.答案答案: :-1-1

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高考数学一轮复习 2.8 函数与方程课件 文 新人教A版

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