《2022年全等三角形的性质和判定》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全等三角形的性质和判定（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点二、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角 . 要点诠释：在写两个三角形全等时， 通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角 . 如下图， ABC 与DEF全等，记作 ABC DEF ，其中点A和点 D，点 B 和点 E，点 C和点 F 是对应顶点； AB和 DE ，BC和 EF，AC和 DF是对应边； A和D ，B和E，C和F 是对应角 . 要点三、全等三角形的性质全等三角形的对
2、应边相等；全等三角形的对应角相等 . 要点四、全等三角形的判定（SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL）全等三角形判定一（ SSS ，SAS ）全等三角形判定1“边边边”三边对应相等的两个三角形全等. （可以简写成“边边边”或“SSS ” ）. 要点诠释： 如图，如果A B AB ，A C AC ，B C BC ，则 ABC A B C . 要点二、全等三角形判定2“边角边”1. 全等三角形判定2“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ” ）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页
3、，共 17 页2 要点诠释： 如图，如果AB A B ，AA ，AC A C ，则 ABCA B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图， ABC与ABD中，AB AB ，AC AD ，BB，但 ABC与 ABD不完全重合， 故不全等， 也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等 . 【典型例题】类型一、全等三角形的判定1“边边边”1、已知：如图， RPQ 中，RP RQ ，M为 PQ的中点求证： RM 平分 PRQ 证明： M为 PQ的中点（已知），PM QM 在RPM 和RQM 中，(),RPRQ
4、PMQMRMRM已知公共边RPM RQM （SSS ） PRM QRM （全等三角形对应角相等） 即 RM平分 PRQ. 举一反三：【变式】已知：如图， AD BC ，AC BD.试证明： CAD DBC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页3 类型二、全等三角形的判定2“边角边”2、已知：如图， AB AD ，AC AE ，12求证： BC DE 证明：12 1CAD 2CAD ，即 BAC DAE 在ABC 和ADE中ABADBACDAEACAEABC ADE （SAS ）BC DE （全等三角形对应边相等）3
5、、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB CB ，EB DB ，ABC EBD 90） ，连接 AE 、CD ，试确定 AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论证明：延长 AE交 CD于 F，ABC 和DBE是等腰直角三角形AB BC ，BD BE 在ABE和CBD中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页4 90ABBCABECBDBEBDABE CBD （SAS ）AE CD ，12 又 1390， 34（对顶角相等）2490，即 AFC 90AE CD 举一反三：【变式】已知：如图，
6、 PC AC ，PB AB ，AP平分 BAC ，且 AB AC ，点 Q在 PA上，求证： QC QB 类型三、全等三角形判定的实际应用4、 “三月三，放风筝”下图是小明制作的风筝，他根据DE DF ，EH FH ，不用度量，就知道 DEH DFH 请你用所学的知识证明【答案与解析】证明：在 DEH 和DFH中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页5 DEDFEHFHDHDHDEH DFH(SSS) DEH DFH 一、选择题1. ABC 和A B C 中，若 AB A B ，BC B C ，AC A C . 则（
7、） A.ABC A C B B. ABC A B CC. ABC C A B D. ABC C B A2. 如图，已知 AB CD ，AD BC ，则下列结论中错误的是（）A.ABDC B.BD C.AC D.ABBC 3. 下列判断正确的是（） A.两个等边三角形全等 B.三个对应角相等的两个三角形全等 C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等 D.直角三角形与锐角三角形不全等6. 如图，已知 AB BD于 B，ED BD于 D ，AB CD ，BC ED ，以下结论不正确的是（） A.EC AC B.EC AC C.ED AB DB D.DC CB 二、填空题9. 如图，在 ABC和EFD中，
8、AD FC ，AB FE ，当添加条件 _时，就可得ABC EFD （SSS ）10. 如图， AC AD ，CB DB ，230， 326，则 CBE _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页6 12. 已知，如图， AB CD ，AC BD ，则 ABC ，ADC . 三、解答题13. 已知：如图，四边形ABCD 中，对角线 AC 、BD相交于 O ，ADC BCD ，ADBC ，求证： CO DO 14. 已知：如图， AB CD ，AB CD 求证： AD BC 分析：要证 AD BC ，只要证 _，又需证
9、 _证明： AB CD （） ，_ （） ，在_和_中，),_(_),_(_),_(_ （） _ （） _（） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页7 15. 如图，已知 AB DC ，AC DB ，BE CE求证： AE DE. 全等三角形判定3“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ” ）. 要点诠释： 如图，如果 AA ，AB A B ， BB ，则 ABC A B C . 要点二、全等三角形判定4“角角边”1. 全等三角形判定 4“角角边”两个角和其中一个角的对边对
10、应相等的两个三角形全等（可以简写成 “角角边”或“ AAS ” ）2. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在 ABC和ADE中，如果 DE BC ，那么 ADE B，AED C ，又AA，但ABC 和ADE不全等 . 这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等 . 要点三、判定方法的选择1. 选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等SAS SSS 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页8 类
11、型一、全等三角形的判定3“角边角”1、已知：如图， E，F在 AC上，AD CB且 AD CB ，DB求证： AE CF 证明： AD CB AC 在ADF与CBE中ACADCBDBADF CBE （ASA ）AF CE ，AFEF CE EF 故得： AE CF 举一反三：【变式】如图， AB CD ，AF DE ，BE CF.求证： AB CD. 类型二、全等三角形的判定4“角角边”2、已知：如图， AB AE ，AD AC ，EB，DE CB 求证： AD AC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页9 证明：
12、AB AE ，AD AC ，CAD BAE 90CAD DAB BAE DAB ，即 BAC EAD 在BAC 和EAD中BACEADBECB=DE BAC EAD （AAS ）AC AD 举一反三：【变式】如图，AD是ABC的中线，过 C、B分别作 AD及 AD的延长线的垂线CF 、BE. 求证： BE CF. 【答案】证明： AD为ABC的中线BD CD BE AD ，CF AD ，BED CFD 90，在BED和CFD中BEDCFDBDECDFBDCD（对顶角相等）BED CFD （AAS ）BE CF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
13、- -第 9 页，共 17 页10 3、已知：如图， AC与 BD交于 O点，AB DC ，AB DC （1）求证： AC与 BD互相平分；（2）若过 O点作直线 l ，分别交 AB 、DC于 E、F 两点，求证： OE OF. 证明： AB DC 在ABO 与CDO 中AC(AOBCOD对顶角相等）AB=CDABO CDO （AAS ）AO CO ，BO=DO 在AEO 和CFO 中AC(AOECOFAO=CO对顶角相等）AEO CFO （ASA ）OE OF. 一、选择题1. 能确定 ABC DEF的条件是（）AAB DE ，BC EF ，AE BAB DE ，BC EF ，C E CAE
14、，AB EF ，BD DAD ，AB DE ，BE 2如图，已知 ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC全等的图形是（）图 43 A甲和乙B乙和丙C只有乙D 只有丙精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页11 3 AD是ABC 的角平分线，作 DE AB于 E， DF AC于 F， 下列结论错误的是（）ADE DF BAE AF CBD CD D ADE ADF 4 如图，已知 MB ND ，MBA NDC ，下列条件不能判定 ABM CDN 的是（）AM N BAB CD CAM CN D AM C
15、N 6如图， 12，34，下面结论中错误的是（） AADC BCD BABD BAC C ABO CDO DAOD BOC 二、填空题7. 如 图 , 1 2 ， 要 使 AB EACE， 还 需 添 加 一 个 条 件是. ( 填上你认为适当的一个条件即可). 8. 在ABC 和A B C 中，A44，B67，C 69，B 44，且 AC B C ，则这两个三角形 _全等. （填“一定”或“不一定” ）9. 已知，如图，AB CD ，AF DE ，AF DE ，且 BE 2，BC 10，则 EF _. 11. 如图 , 已知： 1 2 , 3 4 , 要证BD CD , 需先证 AEB AE
16、C , 根据是，再证 BDE ， 根据是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页12 12. 已知: 如图， BDEF ，AB DE ，要说明 ABC DEF ，（1）若以“ ASA ”为依据，还缺条件（2）若以“ AAS ”为依据，还缺条件（3）若以“ SAS ”为依据，还缺条件三、解答题13阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和 CD相交于点 O ，且 OA OB ，AC那么 AOD 与COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由答： AOD COB 证明：在 AOD 和COB 中，),(),(
17、),(对顶角相等已知已知COBAODOBOACAAOD COB （ASA ） 问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？14. 已知如图， E、F在 BD上，且 AB CD ，BF DE ，AE CF ，求证： AC与 BD互相平分 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页13 15. 已知：如图 , AB CD, OA OD, BC过 O点, 点 E、F在直线 AOD 上, 且 AE DF. 求证： EB CF. 要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知， 对于两个直角三角形， 满足一边一锐角
18、对应相等，或两直角边对应相等， 这两个直角三角形就全等了. 这里用到的是 “AAS ” ， “ASA ”或“SAS ”判定定理 . 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法斜边，直角边定理在两个直角三角形中， 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成 “斜边、直角边”或“HL” ）. 这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备 . 【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定“HL ”1、 已知：如图， AB BD ，CD BD ，AD BC 求证： （1）AB CD ：（2）AD BC 证明： （1）AB BD ，CD BD ，ABD CDB 90精选学习资料 - - -
19、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页14 在 RtABD 和 RtCDB 中，ADBCBDDBRtABD RtCDB （HL ）AB CD （全等三角形对应边相等）（2）由 ADB CBD AD BC . . 举一反三：【变式】已知：如图， AE AB ，BC AB ，AE AB ，ED AC 求证： ED AC 2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等； （）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等（）举一反三：
20、【变式】下列说法中，正确的画“” ；错误的画“”，并举出反例画出图形 . （1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（）3、已知：如图， AC BD ，AD AC ，BC BD 求证： AD BC ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页15 证明：连接 DC AD AC ，BC BD DAC CBD 90在 RtADC 与 RtBCD中，DCCDACBDRtADC RtBCD （HL ）AD
21、BC .（全等三角形对应边相等）举一反三：【变式】已知，如图， AC 、BD相交于 O ，AC BD ，CD 90 . 求证： OC OD. 4、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线 l 上，且过 A，B两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程. 一、选择题1下列说法正确的是（）A一直角边对应相等的两个直角三角形全等B斜边相等的两个直角三角形全等C斜边相等的两个等腰直角三角形全等D一边长相等的两等腰直角三角形全等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17
22、页16 3. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A.斜边相等 B. 一锐角对应相等C.两锐角对应相等 D. 两直角边对应相等5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A形状相同B周长相等C 面积相等D 全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（） A.一定全等 B.一定不全等 C.可能全等 D.以上都不是二、填空题7 如图， BE ， CD是ABC的高， 且 BD EC ， 判定BCD CBE的依据是“_” 8. 已知，如图， AD 90，BE CF ，AC DE ，则 ABC _. 9. 如图， BA DC ，A90，A
23、B CE ，BC ED ，则 AC _. 10. 如图，已知 AB BD于 B，ED BD于 D，EC AC ，AC EC ，若 DE 2，AB 4，则 DB _. 12. 如图，已知 AD是ABC的高， E为 AC上一点， BE交 AD于 F，且 BFAC ，FD CD.则BAD _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页17 三、解答题14. 如图，已知 AB BC于 B，EF AC于 G ，DF BC于 D，BC DF. 求证： AC EF. 15. 如图，已知 AB AC ，AE AF ，AE EC ，AF BF ，垂足分别是点E、F. 求证： 12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页
