《2022年空间向量与立体几何知识点和习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年空间向量与立体几何知识点和习题（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 空间向量与立体几何【知识要点】1空间向量及其运算：(1) 空间向量的线性运算：空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立空间向量的线性运算的运算律：加法交换律： abba；加法结合律： (abc) a(b c) ；分配律： ()aaa；(ab)ab(2) 空间向量的基本定理：共线 (平行) 向量定理：对空间两个向量a，b(b0) ，ab 的充要条件是存在实数，使得 ab共面向量定理：如果两个向量a，b 不共线，则向量c 与向量a， b 共面的充要条件是存在惟一一对实数， 使得 cab空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c 不共面，那
2、么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组1，2，3，使得 p1a2b3c(3) 空间向量的数量积运算：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 29 页2 空间向量的数量积的定义：ab|a|b cosa，b ；空间向量的数量积的性质：ae|a cosa，e；abab0；|a|2aa；|a b| |a |b 空间向量的数量积的运算律：(a) b(ab)；交换律： abba；分配律： (ab)cacbc(4) 空间向量运算的坐标表示：空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿 x轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，
3、j ，k，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i ，j ，k ，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a，存在惟一数组 (a1，a2，a3)，使 aa1i a2j a3k，那么有序数组 (a1，a2，a3) 就叫做空间向量 a 的坐标，即 a(a1，a2，a3) 空间向量线性运算及数量积的坐标表示：设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)；aba1b1a2b2a3b3空间向量平行和垂直的条件：ab(b0)aba1b1，a2b2，a3b3(R)；精选学习资料 - - - -
4、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 29 页3 abab0a1b1a2b2a3b30向量的夹角与向量长度的坐标计算公式：设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则;| ,|232221232221bbbaaabbbaaa;|,cos232221232221332211bbbaaababababababa在空间直角坐标系中，点A(a1，a2，a3) ，B(b1，b2，b3) ，则 A，B两点间的距离是.)()()(|233222211bababaAB2空间向量在立体几何中的应用：(1) 直线的方向向量与平面的法向量：如图， l 为经过已知点 A
5、且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点 O ，点 P在直线 l 上的充要条件是存在实数t ，使得atOAOP，其中向量 a 叫做直线的方向向量由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定如果直线 l 平面，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面的法向量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 29 页4 由此可知，给定一点A及一个向量 a，那么经过点 A以向量 a 为法向量的平面惟一确定(2) 用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线 l ，m的方向向量分别是a，b，平面，的法向量分别是 u，
6、v，则l mabakb，kR；l mabab0；l auau0；l auaku，kR；uvukv，kR；uvuv0(3) 用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：异面直线所成的角：设 a，b 是两条异面直线，过空间任意一点O作直线 aa，bb，则 a与 b所夹的锐角或直角叫做异面直线 a 与 b 所成的角设异面直线 a 与 b 的方向向量分别是v1， v2， a 与 b 的夹角为，显然,2,0(则|,cos|212121vvvvvv直线和平面所成的角： 直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角设直线 a 的方向向量是 u，平面的法向量是 v，直线 a 与平面的夹角为，显然精选
7、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 29 页5 2,0，则|,cos|vuvuvu二面角及其度量： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角记作l 在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA l ，OB l ，则 AOB 叫做二面角l的平面角利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若 AB ，CD分别是二面角l 的两个面内与棱 l垂直的异面直线， 则二面角l 的大小就是向量CDAB与的夹角的大小方法二：如图， m1，m2分别是二面角的两个半平面，的法向量，则m1，m2与该二面角的大小相等或互补(4
8、) 根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 29 页6 法，从不同角度解决立体几何问题【复习要求】1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直4理解直线的方向向量与平面的法向量5能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系6能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题【例题分析】例 1 如图，在长方体 OAEB O1A
9、1E1B1中，OA 3，OB 4，OO12，点 P在棱 AA1上，且 AP 2PA1，点 S在棱 BB1上，且 B1S2SB ，点 Q ，R分别是 O1B1，AE的中点，求证： PQ RS 【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k，使得.RSkPQ解：如图建立空间直角坐标系，则O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0) ，O1(0 ，0，2)，A1(3，0，2) ，B1(0 ，4，2) ，E(3，4，0) AP 2PA1，),34, 0,0()2,0 ,0(32321AAAP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共
10、 29 页7 )34,0 ,3(P同理可得： Q(0，2，2)，R(3，2，0)，)32, 4, 0(S,)32,2 , 3(RSPQRSPQ/，又 R PQ ，PQ RS 【评述】 1、证明线线平行的步骤：(1) 证明两向量共线；(2) 证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明 PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明例 2 已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，M ，N，E，F分别是棱 A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面AMN 平面 EFBD 【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，
11、也可以证明这两个平面的法向量平行解法一：设正方体的棱长为4， 如图建立空间直角坐标系， 则 D(0，0，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4) ，B(4，4，0) ，E(0，2，4)，F(2，4，4)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 29 页8 取 MN 的中点 K，EF的中点 G ，BD的中点 O ，则 O(2，2，0)，K(3，1，4)，G(1，3，4)MN(2 ，2，0) ，EF(2，2，0)，AK(1，1，4)，OG( 1，1，4)，MNEF，OGAK，MN/EF，AK/OG ，MN 平面 EF
12、BD ，AK 平面 EFBD ，平面 AMN 平面 EFBD 解法二：设平面AMN 的法向量是 a(a1，a2，a3)，平面 EFBD 的法向量是b(b1，b2，b3)由, 0,0ANAMaa得, 042,0423231aaaa取 a31，得 a(2 ，2，1) 由,0, 0BFDEbb得, 042, 0423132bbbb取 b31，得 b(2，2，1)ab，平面 AMN 平面 EFBD 注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试例 3 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M ，N是棱 A1B1，B1B的中点，求异面直线 AM和 CN所成角的余弦值精选学习资料 -
13、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 29 页9 解法一：设正方体的棱长为2， 如图建立空间直角坐标系， 则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(2，1，2)，C(0，2，0) ，N(2，2，1) ),1 , 0, 2(),2, 1 , 0(CNAM设AM和CN所成的角为，则,52|cosCNAMCNAM异面直线 AM和 CN所成角的余弦值是52解法二：取 AB的中点 P，CC1的中点 Q ，连接 B1P，B1Q ，PQ ，PC 易证明： B1PMA ，B1Q NC ，PB1Q是异面直线 AM 和 CN所成的角设正方体的棱长为2，易知,6,
14、52211QCPCPQQBPB,522cos11221211QBPBPQQBPBQPB异面直线 AM和 CN所成角的余弦值是52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 29 页10 使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)例 4 如图， 正三棱柱 ABC A1B1C1的底面边长为 a， 侧棱长为a2，求直线 AC1与平面 ABB1A1所成角的大小【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点
15、的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB1A1的法向量求解解法一：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0) ，),2,0 ,0(1aA)2,2,23(1aaaC取 A1B1的中点 D，则)2,2, 0(aaD，连接 AD ，C1D则),2,0,0(),0,0(),0,0,23(1aAAaABaDC,0, 0111AADCABDCDC1平面 ABB1A1，C1AD是直线 AC1与平面 ABB1A1所或的角),2,2, 0(),2,2,23(1aaADaaaAC23|cos111ADACADACADC，直线 AC1与平面 ABB1A1所
16、成角的大小是 30精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 29 页11 解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0) ，A1(0 ，0，a2)，)2,2,23(1aaaC，从而)2,2,23(),2,0,0(),0 ,0(11aaaACaAAaAB设平面 ABB1A1的法向量是 a(p，q，r) ，由,0,01AAABaa得,02,0araq取 p1，得 a(1，0，0) 设直线 AC1与平面 ABB1A1所成的角为,2, 0,.30,21|,cos|sin111aaaACACAC【评述】充分利用几何体
17、的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角； 解法二给出了一般的方法， 即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换例 5 如图，三棱锥 PABC中，PA 底面 ABC ，AC BC ，PAAC1，2BC，求二面角 APB C的平面角的余弦值解法一：取 PB的中点 D，连接 CD ，作 AE PB于 EPA AC 1，PA AC ，PC BC 2，CD PB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 29 页12 EA PB，向量EA和DC夹角的大小就是二面角APB C的大小如图建立空间直角坐标系，则C(0，0，0
18、)，A(1，0，0)，B(0，2，0)，P(1，0，1) ，由 D是 PB的中点，得 D)21,22,21(由,3122ABAPEBPE得 E是 PD的中点，从而)43,42,43(E)21,22,21(),43,42,41(DCEA33|,cosDCEADCEADCEA即二面角 APB C的平面角的余弦值是33解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0，0，0) ，)0, 1 ,2(B，C(0，1，0) ，P(0，0，1) ，).1 , 1, 0(),0 ,0,2(),0 , 1 ,2(),1 ,0 ,0(CPCBABAP设平面 PAB的法向量是 a(a1，a2，a3)，平面 PBC的法向量是
19、 b(b1，b2，b3)由, 0, 0ABAPaa得,02,0213aaa取 a11，得).0,2, 1(a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 29 页13 由0, 0CPCBbb得,0,02321bbb取 b31，得 b(0 ，1，1)33|,cosbababa二面角 APB C为锐二面角，二面角 APB C的平面角的余弦值是33|33|【评述】 1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量， 转化为这两个向量的夹角； 应注意两个向量的始点应在二面角的棱上2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平
20、面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的例 6 如图，三棱锥 PABC中，PA 底面 ABC ，PA AB ，ABC60， BCA 90，点 D，E分别在棱 PB ，PC上，且 DE BC ( )求证： BC 平面 PAC ；( )当 D为 PB的中点时，求 AD与平面 PAC所成角的余弦值；( )试问在棱 PC上是否存在点 E，使得二面角 ADE P为直二面角?若存在，求出 PE EC的值；若不存在，说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页
21、，共 29 页14 解：如图建立空间直角坐标系设 PA a， 由已知可得 A(0， 0， 0) ，).,0 ,0(),0,23,0(),0 ,23,21(aPaCaaB( ),0, 0,21(), 0, 0(aBCaAP, 0BCAPBC AP 又BCA 90，BC AC BC 平面 PAC ( )D为 PB的中点， DE BC ，E为 PC的中点)21,43,0(),21,43,41(aaEaaaD由()知，BC 平面 PAC ，DE 平面 PAC ，DAE是直线 AD与平面 PAC所成的角),21,43,0(),21,43,41(aaAEaaaAD,414|cosAEADAEADDAE即直
22、线 AD与平面 PAC所成角的余弦值是414( )由( )知，DE 平面 PAC ，DE AE ，DE PE ，AEP是二面角 ADE P的平面角PA 底面 ABC ，PA AC ，PAC 90在棱 PC上存在一点 E，使得 AE PC ，这时， AEP 90，且3422ACPAECPE故存在点 E使得二面角 ADE P是直二面角，此时 PE EC 43注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 29 页15 请试一试练习 1-3 一、选择题：1在正方体 ABCD A1B1C
23、1D1中，E是 BB1的中点，则二面角 EA1D1D的平面角的正切值是 ( ) (A)2(B)2 (C)5(D)222正方体 ABCD A1B1C1D1中，直线 AD1与平面 A1ACC1所成角的大小是( ) (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 3已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面 ABC内的射影为 ABC的中心，则 AB1与底面 ABC所成角的正弦值等于( ) (A)31(B)32(C)33(D)324如图，l ，A，B，A，B到 l 的距离分别是 a 和 b，AB与，所成的角分别是和，AB在，内的射影分别是 m和 n，若 ab，则下列结论正确的是
24、 ( ) (A)，m n (B)，m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 29 页16 n (C)，m n (D)，mn 二、填空题：5在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E，F，G ，H分别为 AA1，AB ，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与 GH 所成角的大小是 _6已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于_7如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA12AB ，则异面直线 A1B与AD1所成角的余弦值为 _8四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形， BAD
25、 90，AD BC ，BCABAD21，PA 底面 ABCD ，PD与底面 ABCD 所成的角是30设 AE与 CD所成的角为，则 cos_三、解答题：9如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AA12AB 4，点 E在 CC1上，且 C1E3EC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 29 页17 ( )证明： A1C平面 BED ；( )求二面角 A1DE B平面角的余弦值10如图，在四棱锥O ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，4ABC，OA 底面 ABCD ，OA 2，M为 OA的中点， N为 B
26、C的中点( )证明：直线 MN 平面 OCD ；( )求异面直线 AB与 MD所成角的大小11 如图，已知直二面角PQ ，APQ ，B，C ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 29 页18 CA CB ，BAP 45，直线 CA和平面所成的角为 30( )证明： BC PQ ；( )求二面角 BAC P平面角的余弦值习题 1 一、选择题：1关于空间两条直线a、b 和平面，下列命题正确的是 ( ) (A) 若 ab，b，则 a(B) 若 a，b，则 ab (C) 若 a，b，则 ab (D) 若 a，b，则 ab 2 正四
27、棱锥的侧棱长为23， 底面边长为 2， 则该棱锥的体积为 ( ) (A)8 (B)38(C)6 (D)2 3已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面 ACC1A1所成角的正弦值等于 ( ) (A)46(B)410(C)22(D)234已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 29 页19 可得这个几何体的体积是 ( ) (A)3cm34000(B)3cm38000(C)2000cm3 (D)4000cm35若三棱柱的一个侧面是边长为
28、2 的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为 60的菱形，则该棱柱的体积等于( ) (A)2(B)22(C)23(D)24精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 29 页20 二、填空题：6已知正方体的内切球的体积是34，则这个正方体的体积是_7 若正四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面边长为 1， AB1与底面 ABCD 成 60角，则直线 AB1和 BC1所成角的余弦值是 _8若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 _9连结球面上两点的线段称为球的弦半径为4 的球的两条弦 AB 、CD的长度分别
29、等于3472、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为_10已知 AABC 是等腰直角三角形， AB AC a，AD是斜边 BC上的高，以 AD为折痕使 BDC 成直角 在折起后形成的三棱锥ABCD 中，有如下三个结论：直线 AD 平面 BCD ；侧面 ABC是等边三角形；三棱锥 ABCD 的体积是.2423a其中正确结论的序号是_ ( 写出全部正确结论的序号) 三、解答题：11如图，正三棱柱ABC A1B1C1中，D是 BC的中点， AB AA1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 29 页21 ( )求
30、证： AD B1D；( )求证： A1C平面 A1BD ；( )求二面角 BAB1D平面角的余弦值12如图，三棱锥 PABC中，PA AB ，PA AC ，AB AC ，PAAC 2，AB1，M为 PC的中点( )求证：平面 PCB 平面 MAB ；( )求三棱锥 PABC的表面积13如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中， ABC 90，AB BC AA12，M 、N分别是 A1C1、BC1的中点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 29 页22 ( )求证： BC1平面 A1B1C；( )求证： MN 平面 A1ABB1
31、；( )求三棱锥 M BC1B1的体积14 在四棱锥 SABCD 中， 底面 ABCD 为矩形， SD 底面 ABCD ，2AD，DC SD 2点 M在侧棱 SC上，ABM 60( )证明： M是侧棱 SC的中点；( )求二面角 SAM B的平面角的余弦值练习 1-3 一、选择题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 29 页23 1B 2A 3B 4D 二、填空题：560 62 754 842三、解答题：9以 D为坐标原点，射线 DA为 x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系 D xyz依题设， B(2，2，0)，C(0，
32、2，0)，E(0，2，1)，A1(2 ，0，4) ),0 ,2,2(),1 ,2 ,0(DBDE).4, 0,2(),4, 2,2(11DACA( ),0, 011DECADBCAA1CBD ，A1CDE 又 DB DE D，A1C 平面 DBE ( )设向量 n(x ， y， z) 是平面 DA1E的法向量，则.,1DADE nn.042, 02zxzy令 y1，得 n(4，1，2) 4214|),cos(111CACACAnnn二面角 A1DE B平面角的余弦值为421410作 AP CD于点 P如图，分别以AB ，AP ，AO所在直线为 x，y，z 轴建立坐标系精选学习资料 - - -
33、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 29 页24 则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，)0,22,22(),0,22,0(DP，O(0，0，2)，M(0，0，1)，)0 ,42,421 (N( )2,22,22(),2,22, 0(),1,42,421(ODOPMN设平面 OCD 的法向量为 n(x ，y，z) ，则,0, 0ODOPnn即. 022222, 0222zyxzy取,2z，得).2,4 ,0(n, 0nMNMN 平面 OCD ( )设 AB与 MD所成的角为，,3,21|cos),1,22,22(),0,0, 1(MDABMDAB
34、MDAB即直线 AB与 MD 所成角的大小为311()证明：在平面内过点 C作 CO PQ于点 O ，连结 OB ，PQ ，CO 又CA CB ，OA OB BAO 45， ABO 45，AOB 90， BO PQ ，又 CO PQ ，PQ 平面 OBC ，PQ BC ()由()知，OC OA ，OC OB ，OA OB ，故以 O为原点，分别精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 29 页25 以直线 OB ，OA ，OC为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 ( 如图)CO ， CAO 是 CA和平面所成的角，则 C
35、AO30不妨设 AC 2，则3AO，CO 1在 RtOAB 中， ABO BAO 45，.3AOBO).1 ,0 ,0(),0 ,3,0(),0 ,0,3(),0,0,0(CABO).1 ,3,0(),0,3,3(ACAB设 n1(x ，y，z) 是平面 ABC的一个法向量，由, 0,0ACABnn得,03,033zyyx取 x1，得)3, 1 , 1(1n易知 n2(1，0，0) 是平面的一个法向量设二面角 BAC P的平面角为，,55| |cos2121nnnn即二面角 BAC P平面角的余弦值是55习题 1 一、选择题：1D 2B 3A 4B 5B 精选学习资料 - - - - - -
36、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 29 页26 二、填空题：6324 743 89 95 10、三、解答题：11()证明： ABC A1B1C1是正三棱柱， BB1平面 ABC ，平面 BB1C1C平面 ABC 正ABC中， D是 BC的中点，AD BC ， AD 平面 BB1C1C，AD B1D( )解：连接 A1B，设 A1BAB1E，连接 DE AB AA1，四边形 A1ABB1是正方形，E是 A1B的中点，又 D是 BC的中点， DE A1CDE 平面 A1BD ，A1C 平面 A1BD ，A1C平面 A1BD ( )解：建立空间直角坐标系，设AB
37、AA11，则)1 ,0,21(),0 ,23,0(),0,0 ,0(1BAD设 n1(p ，q，r) 是平面 A1BD的一个法向量，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 29 页27 则,01ADn且, 011DBn故.021,023rPq取 r1，得 n1(2，0，1) 同理，可求得平面AB1B的法向量是).0, 1,3(2n设二面角 BAB1D大小为，,515|cos2121nnnn二面角 BAB1D的平面角余弦值为51512()PA AB ，AB AC ，AB 平面 PAC ，故 AB PC PA AC 2，M为 PC
38、的中点， MA PC PC 平面 MAB ，又 PC 平面 PCB ，平面 PCB 平面 MAB ( )Rt PAB的面积1211ABPASRtPAC的面积. 2212ACPASRtABC的面积 S3S11PAB CAB ，PB CB ，PCB的面积.632221214MBPCS三棱锥 PABC的表面积为 SS1S2S3S4.6413( )ABC A1B1C1是直三棱柱， BB1平面 A1B1C1，B1BA1B1又 B1C1A1B1，A1B1平面 BCC1B1，BC1A1B1BB1CB 2，BC1B1C，BC1平面 A1B1C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
39、- - - - - -第 27 页，共 29 页28 ( )连接 A1B，由 M 、N分别为 A1C1、BC1的中点，得 MN A1B，又 A1B平面 A1ABB1，MN 平面 A1ABB1，MN 平面 A1ABB1( )取 C1B1中点 H，连结 MH M是 A1C1的中点， MH A1B1，又 A1B1平面 BCC1B1，MH 平面 BCC1B1，MH 是三棱锥 M BC1B1的高，三棱锥 M BC1B1的体积321421313111MHSVBBC14如图建立空间直角坐标系，设A(2，0，0)，则 B(2，2，0)，C(0，2，0) ，S(0，0，2). ( )设)0(MCSM，则),12
40、,12,2(),12,12,0(BMM又.60,),0, 2, 0(BMBABA故,60cos|.BABMBABM即,)12()12()2(14222解得1M是侧棱 SC的中点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 29 页29 ( )由 M(0，1，1) ，A(2，0，0)得 AM的中点)21,21,22(G又),1 , 1 ,2(),1 , 1,0(),21,23,22(AMMSGB,0,0AMMSAMGBAMMSAMGBcosMS,GB等于二面角 SAM B的平面角,36|),cos(MSGBMSGBMSGB即二面角 SAM B的平面角的余弦值是36精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 29 页
