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1、精品资料欢迎下载高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例 1 求函数8|3x|15x2xy2的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足08|3x|015x2x2由解得3x或5x。由解得5x或11x和求交集得3x且11x或 x5。故所求函数的定义域为 5x|x11x3x|x且。例 2 求函数2x161xsiny的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足0x160xsin2由解得Zkk2xk2，由解得4x4由和求公共部分，得x0x4或故函数的定义域为0(4(，评注：和怎样求公
2、共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。（1）已知)x(f的定义域，求)x(g f的定义域。（2）其解法是：已知)x(f的定义域是a，b求)x(g f的定义域是解b)x(ga，即为所求的定义域。例 3 已知)x(f的定义域为2，2 ，求) 1x(f2的定义域。解：令21x22，得3x12，即3x02，因此3|x|0，从而3x3，故函数的定义域是3x3|x。（2）已知)x(gf的定义域，求f(x) 的定义域。其解法是：已知)x(g f的定义域是a， b ，求 f(x) 定义域的方
3、法是：由bxa，求g(x)的值域，即所求f(x) 的定义域。例 4 已知)1x2(f的定义域为 1，2 ，求 f(x) 的定义域。解：因为51x234x222x1，。即函数 f(x) 的定义域是5x3|x。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例 5已知函数8mmx6mxy2的定义域为R 求实数 m 的取值范围。分析： 函数的定义域为R，表明0m8mx6mx2，使一切 xR 都成立， 由2x项精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12
4、页精品资料欢迎下载的系数是m，所以应分m=0 或0m进行讨论。解：当 m=0 时，函数的定义域为R；当0m时，08mmx6mx2是二次不等式， 其对一切实数x 都成立的充要条件是1m00)8m(m4)m6(0m2综上可知1m0。评注：不少学生容易忽略m=0 的情况，希望通过此例解决问题。例 6 已知函数3kx4kx7kx)x(f2的定义域是R，求实数k 的取值范围。解：要使函数有意义，则必须3kx4kx2 0 恒成立，因为)x(f的定义域为R，即03kx4kx2无实数当 k0 时，0k34k162恒成立，解得43k0；当 k=0 时，方程左边=30 恒成立。综上 k 的取值范围是43k0。四、
5、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。例 7 将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式，并求函数的定义域。解：设矩形一边为x，则另一边长为)x2a(21于是可得矩形面积。2xax21)x2a(21xyax21x2。由问题的实际意义，知函数的定义域应满足0x2a0x0)x2a(210x2ax0。故所求函数的解析式为ax21xy2，定义域为（0，2a） 。例 8 用长为 L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y 与 x 的函数关系式，并求定义域。解：由题
6、意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页精品资料欢迎下载因为 CD=AB=2x ，所以xCD，所以2xx2L2CDABLAD，故2x2xx2Lx2y2Lxx)22(2根据实际问题的意义知2Lx002xx2L0x2故函数的解析式为Lxx)22(y2，定义域（ 0，2L） 。五、参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例 9 已知)x(f的定义域为0，1 ，求函数)ax(f)ax(f)x(F的定义域。解：因为)x(f的定义域为 0，1 ，即1
7、x0。故函数)x(F的定义域为下列不等式组的解集：1ax01ax0，即a1xaa1xa即两个区间a，1a与 a，1+a的交集，比较两个区间左、右端点，知（1）当0a21时， F（x）的定义域为a1xa|x；（2）当21a0时， F（x）的定义域为a1xa|x；（3）当21a或21a时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中， 例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。例 10求函数)3x2x(logy22的单调区间。解：由03x2x2，即03x2x2，
8、解得3x1。即函数y 的定义域为（ 1，3） 。函数)3x2x(logy22是由函数3x2xttlogy22，复合而成的。4)1x(3x2xt22，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t 在区间 1(，上是增函数；在区间)1 ，上是减函数，而tlogy2在其定义域上单调增；3)1)1)31( 11( 1()31(，所以函数)3x2x(logy22在区间 11(，上是增函数，在区间)31 ，上是减函数。函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页
9、精品资料欢迎下载例1. 求函数x1y的值域。解：0x0x1显然函数的值域是：),0()0,(例2. 求函数x3y的值域。解：0x3x3,0x故函数的值域是： 3,2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3. 求函数2, 1x, 5x2xy2的值域。解：将函数配方得：4) 1x(y2 2, 1x由二次函数的性质可知：当x=1时，4ymi n，当1x时，8ym a x故函数的值域是：4，8 3. 判别式法例4. 求函数22x1xx1y的值域。解：原函数化为关于 x的一元二次方程0x) 1y(x) 1y(2（1）当1y时，Rx0)1y)(1y(4) 1(2解得：23y21（2）当y=1
10、时，0x，而23,211故函数的值域为23,21例5. 求函数)x2(xxy的值域。解：两边平方整理得：0yx) 1y(2x222（1）Rx0y8)1y(42精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页精品资料欢迎下载解得：21y21但此时的函数的定义域由0)x2(x，得2x0由0， 仅保证关于x 的方程：0yx)1y(2x222在实数集 R有实根，而不能确保其实根在区间0， 2上， 即不能确保方程 （1） 有实根， 由0求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为23,21。可以采取如下方法进一步确定原函数的
11、值域。2x00)x2(xxy21y,0ymin代入方程（1）解得：2, 022222x41即当22222x41时，原函数的值域为：21 , 0注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例6. 求函数6x54x3值域。解：由原函数式可得：3y5y64x则其反函数为：3x5y64y，其定义域为：53x故所求函数的值域为：53,5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例7. 求函数1e1eyxx的值域。
12、解：由原函数式可得：1y1yex0ex精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页精品资料欢迎下载01y1y解得：1y1故所求函数的值域为)1 , 1(例8. 求函数3xsi nxcosy的值域。解：由原函数式可得：y3xcosxsiny，可化为：y3)x(xsin1y2即1yy3)x(xsin2Rx 1 , 1)x(xsin即11yy312解得：42y42故函数的值域为42,426. 函数单调性法例9. 求函数)10x2(1xlog2y35x的值域。解：令1xlogy,2y325x1则21y,y在2，10上都是增函数所以2
13、1yyy在2，10上是增函数当x=2时，8112log2y33m i n当x=10时，339log2y35max故所求函数的值域为：33,81例10. 求函数1x1xy的值域。解：原函数可化为：1x1x2y令1xy,1xy21，显然21y,y在, 1上为无上界的增函数所以1yy，2y在, 1上也为无上界的增函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页精品资料欢迎下载所以当x=1时，21yyy有最小值2，原函数有最大值222显然0y，故原函数的值域为2, 0(7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函
14、数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例11. 求函数1xxy的值域。解：令t1x，)0t (则1tx243)21t (1tty22又0t，由二次函数的性质可知当0t时，1ym i n当0t时，y故函数的值域为), 1例12. 求函数2)1x(12xy的值域。解：因0) 1x(12即1)1x(2故可令,0,cos1x1cossincos11cosy21)4sin(24540,0211)4sin(201)4sin(22故所求函数的值域为21 ,0例13. 求函数1x2xxxy243的值域。解：原函数可变形为：222x1x1x1x2
15、21y可令tgx，则有2222cosx1x1,2sinx1x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页精品资料欢迎下载4sin412cos2sin21y当82k时，41ymax当82k时，41ym i n而此时tan有意义。故所求函数的值域为41,41例14. 求函数) 1x) ( c os1x( siny，2,12x的值域。解：)1x) (c os1x( s iny1xcosxsinxcosxsin令txcosxsin，则) 1t (21xcosxsi n222)1t (211t)1t (21y由)4/xsin(2xc
16、osxsint且2,12x可得：2t22当2t时，223ym a x，当22t时，2243y故所求函数的值域为223,2243。例15. 求函数2x54xy的值域。解：由0x52，可得5|x|故可令,0,cos5x4)4sin(10sin54cos5y04544当4/时，104ymax当时，54ym i n故所求函数的值域为：104,54精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页精品资料欢迎下载8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，
17、一目了然，赏心悦目。例16. 求函数22)8x()2x(y的值域。解：原函数可化简得：|8x|2x|y上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2） ，)8(B间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，10|AB|8x|2x|y当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，10|AB|8x|2x|y故所求函数的值域为：,10例17. 求函数5x4x13x6xy22的值域。解：原函数可变形为：2222) 10()2x()20()3x(y上式可看成 x轴上的点)0,x(P到两定点)1, 2(B),2, 3(A的距离之和，由 图 可 知 当 点P为 线 段 与x轴 的 交 点 时 ，43) 12()2
18、3(|AB|y22min，故所求函数的值域为,43例18. 求函数5x4x13x6xy22的值域。解：将函数变形为：2222) 10()2x()20()3x(y上式可看成定点 A （3， 2） 到点 P （x， 0） 的距离与定点)1 ,2(B到点)0,x(P的距离之差。即：|BP|AP|y由图可知： （1）当点 P在x轴上且不是直线 AB与x轴的交点时，如点P， 则 构 成A BP， 根 据 三 角 形 两 边 之 差 小 于 第 三 边 ， 有26) 12()23(|AB|BP| AP|22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页
19、，共 12 页精品资料欢迎下载即：26y26（2）当点P恰好为直线AB与 x轴的交点时，有26|AB|BP|AP|综上所述，可知函数的值域为：26,26(注：由例 17 ，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A 、B两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x 轴的同侧。如：例17的A，B两点坐标分别为： （3，2） ，) 1,2(，在x 轴的同侧；例18的 A ，B两点坐标分别为（3，2） ，)1, 2(，在x轴的同侧。9. 不等式法利用基本不等式abc3cba,ab2ba3)Rc,b, a(，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为
20、定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例19. 求函数4)xc os1x( cos)xsi n1x( si ny22的值域。解：原函数变形为：52xcotxtan3xcotxtan3xsecxces1xcos1xsin1)xcosx(siny22322222222当且仅当xcotxtan即当4kx时) zk(，等号成立故原函数的值域为：), 5例20. 求函数x2sinxs in2y的值域。解：xc osxs inxsin4yxcosxsin42精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页精品资料欢迎下载276
21、43/)xsin22xsinx(sin8)xsin22(xsinxsin8xcosxsin16y322222224当且仅当xsin22xsin22，即当32xsin2时，等号成立。由2764y2可得：938y938故原函数的值域为：938,93810. 一一映射法原理：因为)0c(dcxbaxy在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例21. 求函数1x2x31y的值域。解：定义域为21x21x|x或由1x2x31y得3y2y1x故213y2y1x或213y2y1x解得23y23y或故函数的值域为,2323,11. 多种方法综合运用例22
22、. 求函数3x2xy的值域。解：令)0t (2xt，则1t3x2（1）当0t时，21t1t11tty2，当且仅当 t=1，即1x时取等号，所以21y0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页精品资料欢迎下载（2）当t=0 时，y=0。综上所述，函数的值域为：21,0注：先换元，后用不等式法例23. 求函数42432xx21xxx2x1y的值域。解：4234242xx21xxxx21xx21y2222x1xx1x1令2tanx，则2222c osx1x1sin21x1x21sin21sinsin21cosy22161741sin2当41si n时，1617ymax当1sin时，2ymi n此时2ta n都存在，故函数的值域为1617, 2注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页
