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1、名师精编优秀教案等差数列单元复习等差数列的综合运用课标要求在掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式的基础上，进一步掌握等差数列的性质，并能灵活运用性质解决相关问题.重点导读一、基本知识复习1.等差数列的相关概念及等差中项2.判断或证明等差数列的方法主要有(1)；(定义法 ) (2)；(等差中项法 ) (3)an；(通项法 ) (4)Sn. 注： 在具体的证明过程中，若出现(3)或(4)，最好再利用 (1)或(2)的思想方法 . 3.基本公式及等价形式(1)关于 an的：an；an；an. (2)关于 Sn的：Sn；Sn；Sn；Sn. 课本中推导Sn的方法称为. 4.三个数或四个数成等差数列的表
2、达方式三个数四个数一般设法a，b，c且 2bac定义设法a，ad，a2d，a3d(d 为公差 ) 对称设法ad，a，ad(d 为公差 ) 二、基本知识 性质的拓展1.若an 为等差数列， 且满足则 amanapaq(m，n，p， qN*) 2.(1)在等差数列 an 中，下标成等差数列， 且公差为 m 的项， ak，akm，ak2m，(k，mN*)组成数列 . (2)若 an ， bn 是等差数列，则 panqbn 是数列，如 anbn ， anbn 是等差数列 . (3) an 是等差数列，则a1a2 am，am1am2 a2m， a2m1a2m2 a3m，是数列 . 3.与前 n 项和有关
3、的等差数列的性质(1)等差数列的依次每k 项之和 Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为的等差数列 . (2)若等差数列项数为2n(nN*)，则 S2nn(anan1)(an，an1为中间两项 )且 S偶S奇nd，S偶S奇an1an. (3)若项数为 2n1，则 S2n1an(an为中间项 )且 S奇S偶an，S偶S奇. 4.在等差数列中：若a10，d0，则 Sn必有最值，这时既可由二次函数确定 n，也可用不等式组an0an10来确定n.若 a10，d0，则 Sn必有最值，这时既可由二次函数确定 n，也可用不等式组an0an10来确定 n.典例精析【例 1】等差数列 an的前 m 项和为
4、30，前 2m项和为 100，则它的前3m 项和为 () A.130B.170C.210D.260 【解法一】 将 Sm30，S2m100 代入等差数列前 n 项和公式 Snna1n(n1)2d，得ma1m(m1)2d30，2ma12m(2m1)2d100.解得d40m2， a110m20m2.所以S3m 3ma13m(3m1)2d3m10(m2)m23m(3m1)240m2210. 联想 1：等差数列的前n 项和公式Sn是关于 n的二次函数，能否运用函数的思想求解？【解法二】 由等差数列的前n 项和公式知， Sn是关于 n 的二次函数， 即 SnAn2Bn(A、 B 是常数 ).将 Sm30
5、，S2m100 代入得Am2Bm30，A(2m)2B 2m100.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页名师精编优秀教案解得 A20m2，B10m.所以 S3mA (3m)2B 3m210. 联想 2：由等差数列的性质知，Sm，S2mSm，S3mS2m构成等差数列， 利用此性质， 此题还可以怎样解呢？【解法三】 根据等差数列性质知，Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，从而有2(S2mSm)Sm(S3mS2m)，所以 S3m3(S2mSm)210. 联想 3：本题是一道选择题，联想解决选择题常用的一种方法 特殊值法
6、，你将会怎样解？【解法四】 令 m1 得 S130，S2100，从而a130，a1a2100，得到a130，a270，所以a370(7030)110，所以 S3a1a2a3210. 评析此题虽是一道小题，但我们从不同的角度去审视，得到四种不同的方法，开阔了视野，锻炼了思维. 此四种方法体现了解决数列问题常用的四种思想方法：方程思想；函数与方程思想；整体思想；特殊值思想. 【例 2】(1)数列 1n(n1) 的前 n 项和Sn11 212 313 414 51n (n1)，研究一下，能否找到求Sn的一个公式 .你能对这个问题作一些推广吗？并解决下面的问题(2)已知正数数列 an 的前 n 项和为
7、 Sn，且对任意的正整数n 满足 2Snan1. 求数列 an 的通项公式；设 bn1an an1，求数列 bn 的前 n 项和 Bn. 【解】 (1)an1n(n1)1n1n1 Sn112121313141n1n111n1nn1评析这是数列求和的裂项相消法，它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项 )，并使它们相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而可求出数列的前n 项和 . 常见的裂项公式：1n(nk)1k(1n1nk) 1nkn1k(nkn) (2)对任意的正整数n,2Snan 1恒成立，当 n1 时， 2a1a11，即 (a11)20， a11. 当 n2
8、时，有 2Sn1an11.22得 4ana2na2n12an2an1，即(anan1)(anan12)0. an0， anan10， anan12，数列 an 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， an1(n1) 22n1， an12n1， bn1(2n1)(2n1)12(12n112n1)， Bnb1b2b3bn12(113)12(1315)12(1517)12(12n112n1) 12(112n1) 1214n2. 评析有的数列本身不是等差数列，求其前n 项和时，可对其通项进行恰当变形，转化为已知数列或等差数列的和的问题 . 上述求和法是“裂项相消法”，它是“变换通项法”的一种 .对于变
9、换通项法， 再如：ann(n1)，求 Sn由 ann(n1)n2nSn(1222 n2)(12 n) 转化为两个常见数列的前n 项和【例 3】(1)一个等差数列的前12 项和为 354，前 12 项中偶数项和与奇数项和之比为3227， 求公差 d. (2)若两个等差数列 an 和bn的前 n 项和 An和Bn满足关系式AnBn7n14n27(nN*)，求anbn. (3) an 是等差数列，a15a12a9a620，求S20【解】 (1)(方法一 )(方程思想 ) 设此数列首项为a1，公差为 d，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2
10、页，共 5 页名师精编优秀教案则12a112 12 11d354，6(a1d)12 6 5 2d6a112 6 5 2d3227，解得 d5. (方法二 )(整体思想 ) S奇S偶354，S偶S奇3227?S偶192，S奇162. S偶S奇6d， d5. (2)由等差数列性质ana1a2n12，bnb1b2n12，anbna1a2n12b1b2n12(2n1)(a1a2n1)2(2n1)(b1b2n1)2A2n1B2n17(2n1)14(2n1)2714n68n23. (3)a15a6a12a9a1a20 a1a2012 2010 S2020(a1a20)2100 评析设计这三个题的目的，是为
11、了进一步训练解决数列问题的两种主要思想方法：方程思想与整体思想.通过第 (2)(3) 题的解答，体会一下 Sn的两个公式的运用特点，哪一个更易利用整体思想. 【例 4】一个水池有若干水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min 可注满水池 .如果开始时全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5 倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？【分析】 每隔相等的时间关闭一个水龙头，则每个水龙头放水的时间组成等差数列，用等差数列前 n 项和知识解决 . 【解析】 设共有n 个水龙头，每个水龙头
12、放水时间从小到大依次为x1，x2， ，xn. 由已知可知x2x1x3x2xnxn1，数列 xn 成等差数列， (x1 x2xn)24n，即 Sn24n，n(x1x2)224n， x1xn48. 又 xn5x1， 6x148， xn40(min) ，故最后关闭的水龙头放水40 min. 评析解答应用题，关键是审清题意，分析清楚各量及其关系，转化为相应的数学问题(即建立数学模型). 【例 5】已知数列 an的首项 a13，通项 an与前 n 项和 Sn之间满足 2anSn Sn1(n2). (1)求证：数列 1Sn 是等差数列，并求公差；(2)求数列 an 的通项公式 . (1)【证明】 因为 n
13、2 时， 2anSn Sn1，又 anSnSn1，所以 2(SnSn1)Sn Sn1. 所以1Sn1Sn112且1S11a113.所以数列 1Sn 是以13为首项，以12为公差的等差数列. (2) 【解】 由(1)得1Sn1312(n1) 53n6，所以 Sn653n. 当 n2 时，anSnSn118(3n5)(3n8)；当 n1 时， a13 不适合上式 . 所以 an3(n1)，18(3n5)(3n8)(n2).评析由 an与 Sn形成的综合题是常见的，因为它是数列中两个主要元素，为此对an与 Sn的关系一定要搞清楚 .前面对此已做过训练，对所给式子是通过变换转化为关于an的式子，还是转
14、化为关于Sn的式子，要根据题目要求而定，此题第(1)问是证明 1Sn 是等差数列，所以应找到关于Sn的式子，进行推证. 感悟总结精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师精编优秀教案本课是关于等差数列的综合运用题，各题目有一定的综合性 .我们解决一个题目，不仅仅是为了得到结果，更重要的是通过对题目的分析、解决来巩固双基，锻炼各方面能力、心理素质，不断汲取数学思想 .有的题目自己可能解不出来，但要通过老师的分析、讲解及自己的探索、总结、反思，从中总结出基本知识、 方法的运用思想 .即抓住其中的双基，不要只看问题的表面，有的
15、题目所体现的思想、方法、技巧，不是让你在一节课内就全部理解、掌握，要有一个持之以恒、循序渐近的学习过程.不要一看不会，就想全部放弃，只要你充满信心，抓住基础，坚持不懈地学下去，一定会掌握其方法、其规律、其思想，最终取得成功，实现自己的理想. 本课各题目所体现的基本方法、基本思想，在各题的分析及评析中已总结的非常清晰，在这里就不多谈了 .课后巩固一、选择题1.等差数列 an中， a1a2a3 24，a18a19a2078，则此数列前20 项的和等于 () A.160B.180C.200D.220 2.如果 a1，a2，a8为各项都大于零的等差数列，公差 d0 ，则 () A.a1a8a4a5B.
16、a1a8a4a5C.a1a8a4a5D.a1a8a4a53.设数列 an是等差数列，且a2 6，a86，Sn是数列 an 的前 n 项和，则 () A.S4S5B.S4S5C.S6S5D.S6S54.在等差数列中，amn，anm(m n)，则 amn为() A.mnB.0C.m2D.n25.一套共 7 册的书计划每2 年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979， 则出齐这套书的年份是() A.1997B.1999C.2001D.2003 6.设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和，若a5a359，则S9S5等于 () A.1B.1C.2D.12二、填空题7.等差数列 an中，已知a2a3
17、a10a1136，则 a5a8. 8.在数列 an中， a11，a22，且 an2an1(1)n(nN*)，则 S100. 9.设 f(x)12x2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f( 5)f( 4) f(0) f(5) f(6)的值为. 10.若关于 x 的方程 x2xa0 和 x2xb0(a，bR，且a b)的四个根组成首项为14的等差数列，则 ab. 三、解答题11.一个等差数列的前10 项之和为 100，前 100项之和为 10，求前 110 项之和 . 12.设 an 为等差数列， Sn为数列 an 的前 n 项和，已知 S77，S1575，Tn为数列 Snn
18、的前 n 项和，求 Tn. 13.已知在正整数数列an 中， 前 n 项和 Sn满足：Sn18(an2)2. (1)求证： an 是等差数列；(2)若 bn12an30，求数列 bn 的前 n 项和的最小值 . 14.设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 a312，且 S120，S130. (1)求公差 d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由. 15.有两个加工资的方案：一是每年年末加1000元；二是每半年结束时加300 元.如果在该公司工作10 年，问： (1)选择哪一种方案好？选准了较好的方案，10 年中多加薪多少元？(2)如果第二方案中的每半年加 300 元改成每半年加a 元，问 a 取何值时，选择第二方案总是比第一方案多加薪？16.已知函数 f(x)xaxb(a，b 为常数， a0) 满足f(2)1，且f(x)x 有唯一解， (1)求 f(x)的解析式；(2)若 xnf(xn1)，且 x10(nN*，n2)，求证：数列 1xn 为等差数列 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师精编优秀教案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
