动态经济模型自回归模型和分布滞后模型课件

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1、1http:/ (海量营销管理培训资料下载) 动态经济模型：自回归模型和分布滞后模型2http:/ (海量营销管理培训资料下载) 第一节 引言 很多经济过程的实现需要若干周期的时间，因此需要在我们的计量经济模型中引入一个时间维，通常的作法是将滞后经济变量引入模型中。让我们用两个简单的例子说明之。例1Yt = +Xt-1 + ut, t = 1,2,n 本例中Y的现期值与X的一期滞后值相联系，比较一般的情况是： Yt = +0Xt +1Xt-1 +sXt-s + ut, t = 1,2,n即Y的现期值不仅依赖于X的现期值，而且依赖于X的若干期滞后值。这类模型称为分分布布滞滞后后模模型型，因为X变

2、量的影响分布于若干周期。3http:/ (海量营销管理培训资料下载) 例2Yt = +Yt-1 + ut, t = 1,2,n 本例中Y的现期值与它自身的一期滞后值相联系，即依赖于它的过去值。一般情况可能是： Yt = f (Yt-1, Yt-2, , X2t, X3t, )即Y的现期值依赖于它自身若干期的滞后值，还依赖于其它解释变量。 在本例中，滞后的因变量（内生变量）作为解释变量出现在方程的右端。这种包含了内生变量滞后项的模型称为自回归模型自回归模型。 4http:/ (海量营销管理培训资料下载) 动态经济模型 我们上面列举了模型中包含滞后经济变量的两种情况。第一种是仅包含滞后外生变量的模

3、型，第二种是包含滞后内生变量的模型。在两种情况下，都通过一种滞后结构将时间维引入了模型，即实现了动态过程的构模。5http:/ (海量营销管理培训资料下载) 第二节 分布滞后模型的估计我们在上一节引入了分布滞后模型： Yt =+0Xt +1Xt-1 +sXt-s + ut (1) 在这类模型中，由于在X和它的若干期滞后之间往往存在数据的高度相关，从而导致严重多重共线性问题。因此，分布滞后模型极少按（1）式这样的一般形式被估计。通常采用对模型各系数j施加某种先验的约束条件的方法来减少待估计的独立参数的数目，从而避免多重共线性问题，或至少将其影响减至最小。这方面最著名的两种方法是科克方法和阿尔蒙方

4、法。下面首先介绍科克方法。6http:/ (海量营销管理培训资料下载) 一、科克分布滞后模型科克方法简单地假定解释变量的各滞后值的系数（有时称为权数）按几何级数递减，即： Yt =+Xt+Xt-1 +2Xt-2 + ut (2) 其中 01 这实际上是假设无限滞后分布，由于0，即长期影响大于短期影响。12http:/ (海量营销管理培训资料下载) 从实践的观点来看，科克变换模型很有吸引力，一个OLS回归就可得到、和的估计值（的估计值是（7）式中的常数项除以1减Yt-1的系数估计值）。这显然比前面介绍的格点搜索法要省时很多，大大简化了计算。 可是，科克变换后模型的扰动项为 ut-ut-1 ，这带

5、来了自相关问题（这种扰动项称为一阶移动平均扰动项）。并且，解释变量中包含了Yt-1，它是一个随机变量，从而使得高斯马尔柯夫定理的解释变量非随机的条件不成立。此问题的存在使得OLS估计量是一个有偏和不一致估计量。这可以说是按下葫芦起了瓢。我们将在第四节中讨论科克模型的估计问题。13http:/ (海量营销管理培训资料下载) 第三节 部分调整模型和适应预期模型 有两个著名的动态经济模型，它们最终可化成与上一节（2）式相同的几何分布滞后形式，因此都是科克类型的模型。它们是： 部分调整模型（Partial adjustment model） 适应预期模型（Adaptive expectations m

6、odel）14http:/ (海量营销管理培训资料下载) 一、部分调整模型 在部分调整模型中，假设行为方程决定的是因变量的理想值（desired value）或目标值Yt*，而不是其实际值Yt： Yt* =+Xt+ut （1） 由于Yt*不能直接观测，因而采用 “部分调整假说” 确定之，即假定因变量的实际变动（YtYt-1）,与其理想值和前期值之间的差异（Yt* Yt-1）成正比： Yt Yt-1=（Yt* - Yt-1） (2） 01, 称为调整系数。 15http:/ (海量营销管理培训资料下载) 从（3）式可看出，Yt是现期理想值和前期实际值的加权平均。的值越高，调整过程越快。如果=1，

7、则Yt=Yt*,在一期内实现全调整。若=0，则根本不作调整。 （2）式 Yt Yt-1=（Yt* - Yt-1） (2）可改写为： Yt =Yt* +(1-) Yt-1 (3）16http:/ (海量营销管理培训资料下载) (1）式 Yt* =+Xt+ut 代入（3）式 Yt =Yt* +(1-) Yt-1 ，得到 Yt=+Xt+(1-)Yt-1+ut （4）用此模型可估计出、和的值。 与科克模型类似，这里也存在解释变量为随机变量的问题（Yt-1）.区别是科克模型中,Yt-1与扰动项（ut-ut-1）同期相关，而部分调整模型不存在同期相关，因为Vt和ut都在Yt-1决定之后才产生。在这种情况下

8、，用OLS法估计，得到的参数估计量是一个一致的估计量（渐近无偏和渐近有效）。17http:/ (海量营销管理培训资料下载) 不难看出，（4）式 Yt=+Xt+(1-)Yt-1+ut （4）与变换后的科克模型的形式相似，我们也不难通过对（4）式中Yt-1进行一系列的置换化为几何分布滞后的形式。（4）式两端取一期滞后，得 （5）将此式代入（4）式，得到（为简单起见，省略扰动项）： （6） 18http:/ (海量营销管理培训资料下载) 我们可以用同样的方法置换Yt-2，以及随后的Yt-3,Yt-4,直至无穷，结果是将Yt表示为X的当前值和滞后值的一个滞后结构，系数为科克形式的几何递减权数，具体形式

9、为： 与上节（2）式形式完全一样。令=1-，=，则得其中19http:/ (海量营销管理培训资料下载) 例 林特纳（lintner）的股息调整模型 JLintner建立的股息调整模型是应用部分调整模型的一个著名实例。 在对公司股息行为的研究中，Lintner发现，所有股份公司都将其税后利润的一部分以股息的形式分配给股东，其余部分则用作投资。 当利润增加时，股息一般也增加，但通常不会将增加的利润都用作股息分配，这是因为：（1）利润的增加可能是暂时的；（2）可能有很好的投资机会。 为了建立一个描述这种行为的模型，Lintner假设各公司有一个长期的目标派息率，理想的股息Dt*与现期利润t有关，其关

10、系为 Dt*=t20http:/ (海量营销管理培训资料下载) 而实际股息服从部分调整机制其中Ut为扰动项。因此21http:/ (海量营销管理培训资料下载) 使用美国公司部门19181941年数据，得到如下回归结果：各系数在1%显著水平下都显著异于0。 从回归结果可知，（1-）的估计值为0.70，因而调整系数的估计值为0.30，即调整速度为0.30。由于t的系数是的估计值，除以0.30，则得到长期派息率（）的估计值为0.50。22http:/ (海量营销管理培训资料下载) . 二、适应预期模型 1、在模型中考虑预期的重要性 预期（expectation）的构模往往是应用经济学家最重要和最困难

11、的任务，在宏观经济学中更是如此。投资，储蓄等都是对有关未来的预期很敏感的。如果政府实施一项扩张政策，这将影响工商界人士有关未来经济总状况的预期，特别是关于盈利能力的预期，因而影响他们的计划，不管利率如何变化。 例如，如果存在很可观的失业，则政府支出增加被认为是有益的，并将刺激投资。另一方面，如果经济正接近充分就业，则政府的扩张政策被认为将导致通货膨胀，结果是工商界的信心受挫，投资下降。 23http:/ (海量营销管理培训资料下载) 2、适应预期模型 由上所述，可知在模型中考虑预期的重要性。不幸的是，在宏观经济领域，不存在令人满意的直接计量预期的方法。作为一种权宜之计，某些模型使用一种称为适应

12、预期过程适应预期过程的间接方法。 (01) （8） 适应预期过程是一种简单的学习过程，其机制是，在每一时期中，将所涉及变量的当前观测值与以前所预期的值相比较，如果实际观测值大，则将预期值向上调整，如果实际发生值小，则预期值向下调整。调整的幅度是其预测误差的一个分数，即：24http:/ (海量营销管理培训资料下载) （8）式可写成 (01) （9） 上式表明，X的预期值是其当前实际值和先前预期值的加权平均。的值越大，预期值向X的实际发生值调整的速度越快。 适应预期和部分调整之间当然有很多明显的类似之处，可是从适应预期模型的最初形式导出仅包含可观测变量的模型（可操作模型）不象在部分调整模型的情况

13、那么简单。25http:/ (海量营销管理培训资料下载) 假设你认为因变量Yt与某个解释变量X的预期值Xte有关，则可写出模型 这里，我们无法直接用（8）或（9）代入（10）来解决这个问题，因为Xte无法表示成仅由可观测变量组成的表达式。可是，如果（9）式成立，则对于t-1期，它也成立，即： 若假定Xte 用适应预期机制确定，这就是一个适应预期模型，其中解释变量Xte是不可观测的，必须用可观测变量取代之。26http:/ (海量营销管理培训资料下载) 将（11）式代入（9）式 ，得 我们可以用类似的方法，消掉（12）式中的 这一过程可无限重复下去，最后得到：27http:/ (海量营销管理培训

14、资料下载) 将（13）式代入（10）式 ，得不难看出，此式与上节中科克分布（2）的形式相同。该模型的参数可用上一节介绍的非线性方法估计。对（14）式施加科克变换，将简化模型的数学形式，但由于与科克模型同样的理由，不宜直接用OLS法估计。施加科克变换的适应预期模型为：28http:/ (海量营销管理培训资料下载) 3、例子：Friedman的持久收入假说 1957年，弗里德曼对传统消费函数提出批评，提出了自己的消费模型。在他的模型中，第i个消费者在第t期的消费与持久性收入（permanent income）YitP有关，而不是与当期的收入Yit有关。持久性收入是一种长期收入概念，它表示在考虑了各

15、种可能的波动的情况下，某人大体上可以依靠的收入。 持久收入是根据最近的经验和有关未来的预期而主观决定的，由于是主观的，因而无法直接计量。任何一年中的实际收入可能高于或低于持久收入，取决于该年中的特别因素。实际收入和持久收入之差称为暂时性收入 (transitory income)，记为YitT，我们有：29http:/ (海量营销管理培训资料下载) 他以同样方式区分了持久性消费，实际消费和暂时性消费的概念。持久性消费是与持久性收入的水平相对应的消费水平。实际消费可能与持久消费有差异，原因是出现了某些特殊的未预料到的情况（如未预料到的医疗费用），或者是冲动性购买的结果。二者之差称为暂时性消费，记

16、为CitT: YitT和CitT被假定为具有0均值和常数方差的随机变量，它们相互独立，且与YitP和CitP无关。弗里德曼进一步假定持久消费与持久收入成正比：30http:/ (海量营销管理培训资料下载) 上式中持久收入YitP不可观测，为解决这一问题，弗里德曼假设持久收入遵从适应预期过程，也就是说，如果某人的现期收入高于（或低于）其先前的持久收入概念，则他将增加（或减少）后者，增加（或减少）的幅度是二者之差乘以：一般位于0和1之间。因此人们在实际收入增加时将调整他们的持久收入概念，但不会做全额调整，这是因为认识到实际收入的变动或许有一部分是由于收入的暂时分量变动的结果。31http:/ (海

17、量营销管理培训资料下载) （18）式可改写为： 即 此式表明，在第t年，消费者将持久收入估计为实际收入和以前的持久性收入概念的加权平均。如果接近于1，则该消费者将绝大部分权重给了实际收入，YP迅速向Y调整，若接近0，则很小部分权重给了实际收入，调整过程将很缓慢。32http:/ (海量营销管理培训资料下载) 至此，我们得到了实际消费和持久收入之间的关系式，即消费函数的弗里德曼模型。式中CitT起着扰动项的作用。将（17）式代入（16）式我们有：33http:/ (海量营销管理培训资料下载) 为了估计这个模型，弗里德曼用（20）式（适应预期机制）将持久收入表示成实际收入的现期值和各期滞后值：若0

18、1，这就是一个合理的假设，现期收入的权数最大，上一年次之，随着时间往回推，影响逐年衰减。最后，权数变得非常之小，使得无需考虑该年之前那些过去值。34http:/ (海量营销管理培训资料下载) 弗里德曼采用的估计方法是我们前面介绍过的非线性方法，即首先试位于0和1区间内的大量值，为每个值计算相应的持久收入时间序列，然后用消费对每个持久收入数据集回归，根据R2选出最佳值。 为了与传统消费函数相比较，弗里德曼用美国19051951（战争期间除外）的人均实际消费和人均可支配收入数据进行了回归。在格点搜索计算中，他将持久收入计算为现期收入和16个滞后收入项的加权平均值，的最优值为0.37，得到消费函数中

19、的估计值为0.88。35http:/ (海量营销管理培训资料下载) 第四节 自回归模型的估计 上两节中，我们讨论了下列三个模型：科克模型 部分调整模型 适应预期模型 36http:/ (海量营销管理培训资料下载) 这种解释变量中包括因变量的滞后值的模型称为自回归模型。仅包含因变量一期滞后值的自回归模型是动态经济模型的一种比较简单的形式。由于在解释变量中包含了因变量的滞后值,我们就可以动态地考察该变量在若干周期中的变动,因此称为动态模型。 在自回归模型（4）中，由于随机解释变量的存在和序列相关的可能性这双重原因，OLS法不能直接应用，因此我们必须研究这类模型的估计问题。这三个模型具有一种共同的形

20、式，即：37http:/ (海量营销管理培训资料下载) 一、自回归模型的估计问题 OLS法的应用，要求解释变量Xt为非随机的。在自回归模型中，由于Yt-1作为解释变量，这一条件已无法满足，这是因为，由于 因此： 这表明，Yt-1是随着随机扰动项Vt-1的变动而变动的，即Yt-1部分地由Vt-1决定，因而Yt-1是随机变量。38http:/ (海量营销管理培训资料下载) 1. 解释变量为随机变量时OLS估计量的统计性质 可以证明，当X为非随机变量这一条不满足时（1）若每一个Xt都独立于所有的扰动项ut，即 cov(Xs,ut)=0, s=1,2,n t=1,2,n 则OLS估计量仍为无偏估计量。

21、（2）若解释变量Xt独立于相应的扰动因素ut，即随机解释 变量与扰动项同期无关 ： Cov(Xt,ut)=0, t=1,2,n 则OLS估计量为一致估计量。（3）若上述两条均不满足，则OLS估计量既是有偏的，又 是不一致的。39http:/ (海量营销管理培训资料下载) 2、自回归模型的估计问题 在自回归模型的情况下，第（1）条已无法满足，因为Yt-1显然可以表示为Vt-1,Vt-2,V1等的函数，因而依赖于Vt-1和所有早期的扰动因子。 现在让我们来看是否有可能满足解释变量与扰动项同期无关的条件，从而得到一个一致的估计量。在自回归模型（4）的情况下，也就是要求Yt-1独立于Vt,或 Cov(

22、Yt-1,Vt)=0 不难看出，只要扰动项Vt是序列独立的（即自回归模型（4）的各期扰动项相互独立），我们就可以假定Yt-1独立于所有未来的扰动因子（包括Vt），在这种假定下，Yt-1与Vt无关，我们对（4）式应用OLS得到的参数估计量是一致估计量。40http:/ (海量营销管理培训资料下载) 让我们回到本节开始时列出的三个模型，看看我们关于Yt-1独立于所有未来的扰动因子，特别是Yt-1与Vt无关的假定是否能成立。 在科克模型和适应预期模型中，扰动因子序列独立的条件不成立，以科克模型为例，扰动项 Vt = ut-ut-1假定ut满足标准假设条件，则容易证明 该式非0，即Vt序列相关。41h

23、ttp:/ (海量营销管理培训资料下载) 我们还不难证明即Yt-1与Vt相关。适应预期模型的情况与此类似。 因此，对于科克模型和适应预期模型，应用OLS法不仅得不到无偏估计量，而且也得不到一致估计量。也就是说，即使样本容量无限增大，参数估计量也不趋向于其总体值。因此，不宜采用OLS法估计上述两种模型。42http:/ (海量营销管理培训资料下载) 但是，部分调整模型不同，在该模型中，Vt=ut，若ut满足标准假设条件，则Vt也满足。因此，可用OLS法直接估计部分调整模型，将产生一致估计值，虽然估计值通常是有偏的（在小样本情况下）。 综上所述，OLS法可用于部分调整模型的估计，并提供一致的估计值

24、。而科克模型和适应预期模型，则由于其扰动项存在序列相关，用OLS进行估计得到的估计量既是有偏的，也是不一致的。43http:/ (海量营销管理培训资料下载) 二、工具变量法（IV法，Instrumental Variable） OLS法不能应用于科克模型和适应预期模型的原因是解释变量Yt-1与扰动项Vt相关，如果这种相关能够被消除的话，我们就可以用OLS得到一致估计值。如何实现这一点呢？利维顿（Liviatan）提出的工具变量法是一种解决方法。 工具变量法的基本思路是当扰动项u与解释变量X高度相关时，设法找到另一个变量Z，Z与X高度相关，而与扰动项u不相关，在模型中，用Z替换X，然后用OLS法

25、估计，变量Z称为工具变量工具变量。 只要工具变量的选取能够保证Z与X高度相关，而与u不相关，则我们得到的将是一致估计量。Z与X的相关程度越高，这种替代的效果就越好。我们下面回到科克模型和适应预期模型，研究工具变量的选取。44http:/ (海量营销管理培训资料下载) 我们的模型为 这里X是唯一的外生变量，而Y的行为部分地依赖于X的行为，Yt-1的取值部分地取决于Xt-1的数值。因此，这里Xt-1就是一个比较理想的工具变量，即用滞后外生变量作为滞后内生变量的工具： Zt=Xt-1, t=1,2,n来估计 为了使用该模型所含的全部观测值，需要X的一个附加观测值X0 。 45http:/ (海量营销

26、管理培训资料下载) 应该指出，找到一个好的工具变量绝非易事，并且还可能带来新的问题（如多重共线性），因此IV法实用性不大。 在实践中，自回归模型还可以用极大似然法估计，得到的估计量是一致估计量。 当然，对于本节所涉及的三种模型，由于它们都是几何滞后模型，因而都可以用前面介绍的非线性方法进行估计，该方法尽管费时，但没有估计问题。46http:/ (海量营销管理培训资料下载) 第五节 阿尔蒙多项式分布滞后 （Almon Polynomial Distributed Lags） 科克分布假定滞后解释变量的系数按几何级数递减。对于很多应用问题来说，这是一种令人满意的近似，但对于另一些应用问题，这种假设

27、就未必符合现实情况。例如，在某些情况下较现实的假设是，因变量对解释变量变动的响应是，开始小，然后随时间变大，尔后再次衰减，如下图所示47http:/ (海量营销管理培训资料下载) 阿尔蒙滞后分布为这类行为的构模提供了灵活的选择，同时使待估计的参数数目大大减少。 基本假设是，如果Y依赖于X的现期值和若干期滞后值，则权数由一个多项式分布给出。由于这个原因，阿尔蒙滞后也称为多项式分布滞后。最简单的例子是二次和三次多项式的情况，如下图所示：图2，二次函数48http:/ (海量营销管理培训资料下载) 图3 三次函数49http:/ (海量营销管理培训资料下载) 一般情况下，在分布滞后模型中，假定： 其

28、中p为多项式的阶数，如图2中p=2，图3中p=3。也就是用一个p阶多项式来拟合分布滞后，该多项式曲线通过滞后分布的所有点。 由用户选择最大滞后周期m和多项式阶数p。50http:/ (海量营销管理培训资料下载) 例：若你根据一实际问题设定下面的模型： 这表明，你所选择的最大滞后周期m=4，模型中共有6个参数。 若决定用二次式进行拟合，即p=2，则 我们有：51http:/ (海量营销管理培训资料下载) 代入原模型，得 令： Z0t=Xt-i, Z1t=iXt-i, Z2t=i2Xt-i 显然，Z0t,Z1t和Z2t可以从现有观测数据中得出，使得我们可用OLS法估计下式：52http:/ (海量

29、营销管理培训资料下载) （2）式中有4个参数，比（1）式的6个少了两个，估计出，a0,a1,a2 的值之后，我们可以转换为i的估计值,公式为： 应用阿尔蒙滞后的关键在于如何选择最大滞后周期m和多项式的阶数P。在应用阿尔蒙法之前必须确定m和P，是该方法的一个弱点，其优点是避免了科克方法带来的估计问题。 53http:/ (海量营销管理培训资料下载) 在实践中，人们期望m尽量小一些，如果有10年的数据，通常滞后取二至三期。对于P，我们可直接由（2）式用t检验法检验 H0: aP = 0,如果接受原假设，我们就可以去掉aP，然后用（P-1）阶来估计（2）式，如果H0: aP = 0被拒绝，我们可以试

30、（p+1）阶，并检验 H0: aP+1= 0，等等。 一般说来，采用高阶多项式，拟合效果要好一些，但出现多重共线性问题的可能性要比二阶、三阶多项式大。一般情况下，三次多项式是一个不错的选择。54http:/ (海量营销管理培训资料下载) 第六章 小结 现实的经济模型往往包括经济变量的滞后。有两种类型的滞后变量：滞后的解释变量和滞后的因变量。包含非随机的X变量的现期值和滞后值的回归模型称为分布滞后模型。而解释变量中包含因变量的滞后值的模型称为自回归模型。 如果分布滞后模型包含若干期的滞后，则采用OLS法进行估计，尽管理论上可行，但实践上困难很大。这是由于它将消耗过多的自由度，并且一般存在严重的多

31、重共线性问题。解决的方法是对滞后系数施加先验约束条件。广泛使用的一种方法是科克几何分布滞后模型，它假定诸滞后系数按几何级数递减。根据这一假设，包含不确定数目滞后项的模型可简化为仅包含非随机X变量的现期值和因变量的一期滞后值作为解释变量的模型： Yt = (1-) + Xt + Yt-1 + (ut ut-1)55http:/ (海量营销管理培训资料下载) 科克模型大大简化了分布滞后模型，代价是带来了严重的估计问题，主要是包含了一个随机的解释变量Yt-1，它与扰动项相关，这使得OLS估计量不仅有偏，而且不一致。因此，需采用适当的估计技术，本章中介绍了其中的一种，即工具变量法，其思路是用另一个变量

32、来代替滞后的随机解释变量Yt-1，该变量与Yt-1高度相关，而与扰动项不相关。 科克模型尽管在计量经济学中很著名，但它缺乏坚实的理论基础。这一缺陷可由适应预期模型和部分调整模型来弥补。这两个模型研究的是，参与经济的各方如何形成它们关于不确定经济事件的预期，以及当他们的预期与现实不符时如何调整预期。这两个模型的最终形式与科克模型相似，分别为56http:/ (海量营销管理培训资料下载) 适应预期模型 Yt = + Xt + (1-)Yt-1 + (ut - （1-)ut-1 )部分调整模型 Yt = + Xt + （1-）Yt-1 + ut 其中和为调整系数（0、1），ut为原模型扰动因子。 相

33、应的调整机制为： 适应预期机制：Xte Xt-1e = (Xt Xt-1e) 部分调整机制：Yt Yt-1 = (Yt* - Yt-1 ) 其中Xe和Y*分别为解释变量和因变量的“预期值”或“理想值”。57http:/ (海量营销管理培训资料下载) 处理分布滞后模型的另一个方法是阿尔蒙多项式分布滞后模型，它假定诸滞后系数可用滞后长度i的一个适当阶数的多项式来近似。阿尔蒙法的优点是避免了科克方法带来的估计问题，缺点是多项式阶数p和最大滞后长度m都必须由使用者事先确定，这往往带有主观的色彩。 尽管存在着估计问题，分布滞后模型和自回归模型在实证经济学中非常有用，这是因为它们使得静态经济理论动态化。这

34、些模型有助于区分解释变量值的单位变动对因变量的短期和长期影响，可用于短期和长期的价格弹性、收入弹性、替代弹性等的估计。58http:/ (海量营销管理培训资料下载) 第六章 习题1、考虑下面的模型： Yt = +(W0Xt+ W1Xt-1 + W2Xt-2 + W3Xt-3)+ut请说明如何用阿尔蒙滞后方法来估计上述模型（设用二次多项式来近似）。2、下面的模型是一个将部分调整和适应预期假说结合在一起的模型： Yt* = Xt+1e Yt-Yt-1 = (Yt* - Yt-1) + ut Xt+1e - Xte = (1-)( Xt - Xte)；t=1，2，n式中Yt*是理想值，Xt+1e和Xte是预期值。试推导出一个只包含可观测变量的方程，并说明该方程参数估计方面的问题。