《参数估计和假设检验课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《参数估计和假设检验课件（91页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第一节第一节 参数的估计参数的估计第二节第二节 估计量的好坏标准估计量的好坏标准 第三节第三节 似然函数的渐近性质似然函数的渐近性质第四节第四节 区间估计区间估计第五节第五节 参数估计的贝叶斯方法参数估计的贝叶斯方法第六节第六节 假设检验概述假设检验概述第七节第七节 正态分布的参数检验正态分布的参数检验第八节第八节 分布型式的检验分布型式的检验第九节第九节 似然比检验似然比检验第十节第十节 方差分析方差分析2024/7/201上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示实
2、实验验测测量量随机随机变量变量的的n n个容个容量的量的样本样本随随机机变变量量的的信信息息获取获取？得到得到2024/7/202上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第一节第一节 参数的估计参数的估计 一、参数估计的两类作法一、参数估计的两类作法 二、点估计的作法二、点估计的作法 三、点估计的两类常见作法：矩法、最大似然法三、点估计的两类常见作法：矩法、最大似然法 四、总结四、总结2024/7/203上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示一、参数估计的两种作法一、参数估计的两种作法参数参数估计估计对参
3、数本身数值作意估计对参数本身数值作意估计（点估计）（点估计）找出一个区间来并确定参数落在此区间的概率找出一个区间来并确定参数落在此区间的概率（区间估计）（区间估计）随随机机变变量量x x参参数数c c的的值值服从概率分布形式服从概率分布形式f f（x x，c c）, ,n n次观测量次观测量),.,(21nxxxx =？2024/7/204上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示二、点估计的作法二、点估计的作法获得点估计的方法有获得点估计的方法有矩法矩法、最大似然法最大似然法、最小二乘法最小二乘法等。本章主等。本章主要介绍矩法和最大似然法，最小二乘法
4、将在第五章详细讨论。要介绍矩法和最大似然法，最小二乘法将在第五章详细讨论。找出一个统计量找出一个统计量T(xT(x），其为样本，其为样本x x的函数，的函数，将样本值代入，得到参将样本值代入，得到参数的估计值数的估计值，以，以表示，即表示，即c 2024/7/205上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示三、点估计的两类常见作法：矩法、最大似然法三、点估计的两类常见作法：矩法、最大似然法1 1、矩法、矩法样样本本矩矩总总体体矩矩矩：描述随机变量的重要数字矩：描述随机变量的重要数字特征（反映分布对称性质）特征（反映分布对称性质）设样本按设样本按大小大小
5、顺序排好，样本分布函数顺序排好，样本分布函数F Fn n（x x）可定义为）可定义为2024/7/206上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示样本平均值为样本平均值为样本的样本的K K阶原点矩为阶原点矩为样本的样本的K K阶中心矩为阶中心矩为由参数和各阶矩的关系，解方程可得到参数的估计值，此方法称由参数和各阶矩的关系，解方程可得到参数的估计值，此方法称为为矩法矩法。)(xdFn在各点在各点处，处， 样本分布函数增量样本分布函数增量为为1/n1/n。ix2024/7/207上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动
6、画演示例：用矩法估计方差例：用矩法估计方差解：由解：由K K阶原点矩的定义有阶原点矩的定义有由方程（由方程（1 1）、（）、（2 2）得）得2024/7/208上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示2 2、最大似然法、最大似然法似然函数似然函数：设测量总体的概率密度函数为：设测量总体的概率密度函数为，样本是，样本是);(cxfnxxxx., 2, 1=我们称样本的联合概率密度函数为似然函数，记作：我们称样本的联合概率密度函数为似然函数，记作：);(cxL由于各次观测由于各次观测相互独立相互独立，因而似然函数为各观测值的概率密度之积。，因而似然函数为
7、各观测值的概率密度之积。未知参数未知参数c c参数参数c c应该是使得观测值具有应该是使得观测值具有最大概率最大概率，即似然函数为，即似然函数为最大！最大！即即为数学的为数学的极值问题极值问题。2024/7/209上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示便于计算，引入便于计算，引入对数似然函数对数似然函数l l由数学中的求解由数学中的求解极值问题极值问题有：有：将测量样本代入（将测量样本代入（2.1.122.1.12）即可求得参数）即可求得参数c c的值（的值（c c可以是可以是多个多个参参数）数）2024/7/2010上一内容上一内容回主目录回主目
8、录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示例：求正态总体例：求正态总体参数的最大似然估计参数的最大似然估计解：由于是解：由于是正态正态分布，因而分布，因而概率密度函数概率密度函数为为则则似然函数似然函数为为由由数学极值问题数学极值问题有：有：解之得解之得2024/7/2011上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示四、总结四、总结最大似然法最大似然法：统计性好统计性好、具有、具有渐近行为渐近行为（即分（即分布最终趋于一布最终趋于一正态正态分布，但需知道分布，但需知道总体概率总体概率分布分布矩法和最大似然法的比较：矩法和最大似然法的比较：矩
9、法矩法：简单、直观简单、直观，不不需知道总体需知道总体概率概率分布分布的形式，但统计性没最大似然法好的形式，但统计性没最大似然法好方方法法比比较较2024/7/2012上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第二节第二节 估计量的好坏标准估计量的好坏标准一、引言一、引言二、判断估计量好坏的三个主要标准二、判断估计量好坏的三个主要标准三、总结三、总结2024/7/2013上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示一、引言一、引言不不同同的的方方法法不不同同的的结结果果同一参数同一参数好好坏坏怎怎么么判判断断判断
10、判断标准标准无偏性无偏性有效性有效性一致性一致性2024/7/2014上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示二、判断估计量好坏的三个主要标准二、判断估计量好坏的三个主要标准1 1、无偏性、无偏性估计量是估计量是样本样本的的函数函数，也可以看作一，也可以看作一随机变量随机变量，不同样本不同样本得到得到不同不同的数值的数值。估计值应该围绕着。估计值应该围绕着待估计参数待估计参数的的真值上下摆动真值上下摆动。即要求参。即要求参数值的数值的期望值等于期望值等于参数的参数的真值真值。即：。即：若满足（若满足（2.2.12.2.1）式要求的估计量称为）式要求的
11、估计量称为无偏估计量无偏估计量。若若则此估计量为则此估计量为有偏有偏，偏离量偏离量为为b b。2024/7/2015上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示证明：证明： 是无偏估计量，是无偏估计量， 是有偏估计量。是有偏估计量。证：证：由于由于因而因而 是是 的的无偏无偏估计量估计量2024/7/2016上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示同一同一样本容量，围绕期样本容量，围绕期望值望值摆动摆动最小最小的，即是有的，即是有较小方差较小方差的那个无的那个无偏估计量更好一些。偏估计量更好一些。2 2、有效性
12、、有效性同一同一个参数可能找到个参数可能找到多个多个无偏估计量，怎么来无偏估计量，怎么来比较比较它们的它们的好坏好坏呢？呢？有效性概念有效性概念设参数设参数c c的两个无偏估计量的两个无偏估计量，容量为，容量为n n，若它们的方差满足，若它们的方差满足 cc、比比 更更有效有效，并称，并称的的效率。效率。相对于相对于为为称称 c) (cec cc 2024/7/2017上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示所有无偏估计的方差所有无偏估计的方差下限下限( (罗罗- -克拉美不等式克拉美不等式）或等价于或等价于此下限称为无偏估计的此下限称为无偏估计的最
13、小方差限最小方差限，若方差达到这个下限的无偏，若方差达到这个下限的无偏估计称为估计称为佳效估计佳效估计（或（或有效估计有效估计）2024/7/2018上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示例：对正态分布例：对正态分布 ，检验，检验 的无偏估计的无偏估计 是否为佳是否为佳效估计。效估计。由于是正态分布，则分布函数为由于是正态分布，则分布函数为则则代入（代入（2.2.52.2.5）解：解：2024/7/2019上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示是无偏估计，且方差为是无偏估计，且方差为 ，因而是佳效估计。
14、，因而是佳效估计。又又2nsx罗罗- -克拉美不等式克拉美不等式的的证明证明证：证：两边对两边对c c求导，有求导，有由于由于为为c c的无偏估计量，因而有的无偏估计量，因而有( )c x2024/7/2020上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示由由有有又又2024/7/2021上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示其中其中因而因而因而因而只有当只有当时，上式子取等号，即要求时，上式子取等号，即要求1r=由于由于21r2024/7/2022上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录
15、总目录动画演示动画演示下面要下面要证明证明因因两边取期望值有两边取期望值有其中其中因而命题得证因而命题得证2024/7/2023上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示3 3、一致性、一致性由于参数估计值是样本的函数，不同的样本有不同的值，总希望观由于参数估计值是样本的函数，不同的样本有不同的值，总希望观测次数测次数增加增加（样本容量（样本容量增大增大），估计值要越来越靠近真值。满足此），估计值要越来越靠近真值。满足此要求叫要求叫一致性一致性。为为一致估计量一致估计量。则称则称nc满足满足若若nc三、总结三、总结无偏性、有效性无偏性、有效性是对是对每
16、一每一n n提出的要求，即参数估计值在每一提出的要求，即参数估计值在每一n n下下都要无偏和有效；都要无偏和有效；一致性一致性是对是对n n增加增加提出的要求，即为对估计量的提出的要求，即为对估计量的渐近性渐近性要求。要求。2024/7/2024上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第三节第三节 似然函数的渐近性质似然函数的渐近性质一、单参数情况一、单参数情况二、多参数情况二、多参数情况2024/7/2025上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示 一、单参数情况一、单参数情况是通过最大似然法估计出来的，
17、因而有是通过最大似然法估计出来的，因而有设设能进一步对能进一步对c c求导，将求导，将在在处展开有处展开有略去高于二阶项略去高于二阶项有有其中其中2024/7/2026上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示对于对于n n比较大比较大的情况，上式可用的情况，上式可用数学期望数学期望替代，因而有替代，因而有其中其中为无偏估计的为无偏估计的最小方差最小方差，为，为常数。常数。由（由（2.3.12.3.1）和（）和（2.3.22.3.2）式有）式有: :2024/7/2027上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演
18、示因而，在因而，在大样本大样本（n n较大较大）情况下，似然函数具有平均值为）情况下，似然函数具有平均值为 、方、方差为差为 的的正态正态分布形式。最大似然估计的这种性质（分布形式。最大似然估计的这种性质（无偏、有最无偏、有最小方差、服从正态分布小方差、服从正态分布）是在）是在大样本大样本下下 才具有的。因而为才具有的。因而为渐渐近无偏近无偏。因而似然函数也被称为。因而似然函数也被称为渐近正态渐近正态。上式上式积分积分得：得：二、多参数情况二、多参数情况设似然函数中有设似然函数中有m m个参数，用个参数，用c c来表示。将对数似然函数在来表示。将对数似然函数在c c的最大的最大似然估计似然估计
19、 处展开，有处展开，有2024/7/2028上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示由于由于 是最大似然估计，因而对数似然函数的一阶导数为是最大似然估计，因而对数似然函数的一阶导数为0 0。因而（因而（2.3.52.3.5）化为）化为其中其中2024/7/2029上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示积分（积分（2.3.62.3.6）得似然函数）得似然函数L L（C C）为）为这为一这为一m m维维正态分布正态分布，其均值为，其均值为C C，协方差矩阵为，协方差矩阵为2024/7/2030上一内容上一内容
20、回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示例：求正态分布参数的最大似然估计的方差例：求正态分布参数的最大似然估计的方差解：解：由于是由于是正态正态分布，因而有分布，因而有对数似然函数对数似然函数为为权权W W的矩阵元为的矩阵元为其中其中 和和 未知，用最大似然估计值代入有未知，用最大似然估计值代入有xm2024/7/2031上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示则权矩阵为则权矩阵为协方差矩阵为协方差矩阵为由于协方差矩阵由于协方差矩阵非对角非对角元素为元素为0 0，因而，因而 和和 是是不相关不相关。2024/7/2032上
21、一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第四节第四节 区间估计区间估计一、置信区间的概念一、置信区间的概念二、置信区间的求法二、置信区间的求法2024/7/2033上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示一、置信区间的概念一、置信区间的概念对于参数对于参数c c，仅求其点估计，还是不够的。它只是得到参数，仅求其点估计，还是不够的。它只是得到参数c c的一的一个近似值。还必须知道它的近似程度，即要求给出包含参数真值的个近似值。还必须知道它的近似程度，即要求给出包含参数真值的一个区间及其相应的概率。这即是区间估计
22、所讨论的问题。一个区间及其相应的概率。这即是区间估计所讨论的问题。则称区间则称区间 是参数是参数c c的置信概率为的置信概率为 的置信区间。的置信区间。 又称为置信又称为置信水平或置信度，水平或置信度， 称为显著水平或显著度称为显著水平或显著度。设对某总体样本分布待求的未知参数为设对某总体样本分布待求的未知参数为c c，由样本，由样本x x找到两个统计量找到两个统计量 ，它们组成的区间，它们组成的区间 内包含参数真值内包含参数真值c c的概率为的概率为 即即aP2024/7/2034上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示注意！：注意！：参数真值没有
23、随机性参数真值没有随机性，是一个确定值。，是一个确定值。这里的随机性这里的随机性是属于置信区间本身。是属于置信区间本身。二、置信区间的求法二、置信区间的求法（一）利用无参数的分布来求（一）利用无参数的分布来求若能找到一统计量，它为样本和被估参数的函数，分布不依赖于任若能找到一统计量，它为样本和被估参数的函数，分布不依赖于任何参数，则可用此统计量求出一定置信水平下参数的置信区间。何参数，则可用此统计量求出一定置信水平下参数的置信区间。例例1 1：求正态分布期望值的置信区间：求正态分布期望值的置信区间解：解：选统计量选统计量设设 服从正态分布服从正态分布 ，根据，根据 是否已知，分两种情况讨论是否
24、已知，分两种情况讨论2sx1. 1. 已知已知2s2024/7/2035上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示对对 取取对称位置对称位置，即即则上式化为：则上式化为：因而可得因而可得满足满足其中其中则统计量则统计量 服从标准正态分布，有服从标准正态分布，有u2024/7/2036上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示相应置信概率为：相应置信概率为：亦可表为：亦可表为：因而因而 的置信区间为的置信区间为2. 2. 未知情况未知情况选统计量选统计量2024/7/2037上一内容上一内容回主目录回主目录返回返
25、回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示统计量统计量t t服从自由度为服从自由度为n-1n-1的的t t分布，因而有分布，因而有由置信概率和自由度，通过查由置信概率和自由度，通过查t t分布表得到。分布表得到。分位点分位点由上式有由上式有相应的置信概率为：相应的置信概率为：也可表为：也可表为：因而因而的置信区间为的置信区间为2024/7/2038上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示由似然函数和最大似然估计值，可以对于任意给定置信水平，求出由似然函数和最大似然估计值，可以对于任意给定置信水平，求出参数参数c c的置信区间：的置信区间：（二）利
26、用似然函数求置信区间（二）利用似然函数求置信区间步骤：步骤：其次其次，找出对数似然函数，找出对数似然函数 ，比其最大值，比其最大值 下降下降 所所相应的参数值，即由方程相应的参数值，即由方程解出解出 和和 。最后最后，得到参数，得到参数c c在置信概率为在置信概率为 时的置信区间为：时的置信区间为：最后，得到参数最后，得到参数c c在置信概率为在置信概率为 时的置信区间为：时的置信区间为： 。首先首先，根据选定的置信水平，根据选定的置信水平 ，查出标准正态分布双侧分位数，查出标准正态分布双侧分位数 。Pa2au证明证明( (略）略）2024/7/2039上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回
27、下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示（三）大样本下最大似然估计的置信区间（三）大样本下最大似然估计的置信区间在在大大样本情况下，参数样本情况下，参数c c的最大似然估计量的最大似然估计量c c总趋于一总趋于一正态正态分布分布其中方差其中方差V V为无偏估计的最小方差限，由（为无偏估计的最小方差限，由（2.2.62.2.6）式决定，即）式决定，即因而大样本情况下，对任意分布因而大样本情况下，对任意分布f f（x x；c c）的参数）的参数c c进行区间估计进行区间估计时，就可以利用对正态分布期望值进行区间估计的方法进行。时，就可以利用对正态分布期望值进行区间估计的方法进行。做变量做变量代
28、换代换2024/7/2040上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示得得c c的置信区间的置信区间V V可通过下面方法求得可通过下面方法求得给定置信概率给定置信概率 ，可查出分位数，可查出分位数 2auPa2024/7/2041上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示上式中上式中V V的求法的的求法的两两个近似：个近似：一是一是在在V V的式子中对的式子中对 的期望值的积分计算很难做，用其平的期望值的积分计算很难做，用其平均值代替；均值代替；一是一是概率密度函数概率密度函数 中的参数中的参数c c未知，用估
29、计值代替。未知，用估计值代替。（四）似然区间（四）似然区间（自学自学）2024/7/2042上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第五节第五节 参数估计的贝叶斯方法参数估计的贝叶斯方法一、参数的验前分布与验后分布一、参数的验前分布与验后分布二、贝叶斯假设二、贝叶斯假设2024/7/2043上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示一、参数的验前分布与验后分布一、参数的验前分布与验后分布有些情况下，参数有些情况下，参数c c本身也可以是一个随机变量，它可能服从某种本身也可以是一个随机变量，它可能服从某种分布分
30、布 ，参数，参数c c的这种分布称为的这种分布称为验前分布验前分布。对概率密度函数对概率密度函数 的理解：在的理解：在参数参数c c取定值取定值的条件下，随机变的条件下，随机变量为量为 的概率密度，的概率密度，);( cxp在参数本身是随机变量的情况下，推断在出现某样本情况下，参数在参数本身是随机变量的情况下，推断在出现某样本情况下，参数c c取各种可能值的概率密度，即参数取各种可能值的概率密度，即参数c c的条件概率密度的条件概率密度 。这个。这个函数称参数函数称参数c c的的验后分布验后分布。即即：验前分布验前分布验后分布验后分布2024/7/2044上一内容上一内容回主目录回主目录返回返
31、回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示由贝叶斯公式有：由贝叶斯公式有：为似然函数，由下式决定为似然函数，由下式决定由上面知，要确定验后分布，由上面知，要确定验后分布，关键问题关键问题是要知道参数是要知道参数c c的的验前分布验前分布。为样本的函数，由下式决定为样本的函数，由下式决定2024/7/2045上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示解：解：由（由（2.5.22.5.2）式，当）式，当 或或 时时例：如果某量例：如果某量c c的观测值的观测值 服从正态分布，方差为服从正态分布，方差为1 1，即，即 。若若c c也是一个随机变量，由于某
32、些物理条件的限制，它只能取区间也是一个随机变量，由于某些物理条件的限制，它只能取区间1,21,2和和2.5,3.52.5,3.5内的数值，并取各个可能值有相同的概率密度。内的数值，并取各个可能值有相同的概率密度。即参数即参数c c的验前分布为的验前分布为如果一次实验观测值如果一次实验观测值 ，试计算，试计算c c的验后分布。的验后分布。x2024/7/2046上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示显然，当显然，当 时，得到时，得到c c在在 内的概率内的概率远大于远大于c c在在 内的概内的概率。率。1.6x=1,22.5,3.5二、贝叶斯假设二、
33、贝叶斯假设参参数数的的验验前前分分布布参参数数的的验验后后分分布布但验后分布一般不知，怎么办？但验后分布一般不知，怎么办？由（由（2.5.22.5.2）如果对参数的如果对参数的验前分布验前分布没有任何知道和信息，则假定参数对一切可没有任何知道和信息，则假定参数对一切可能取值都是能取值都是等概率等概率的。的。贝叶斯假设：贝叶斯假设：2024/7/2047上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示基于贝叶斯假设，有参数基于贝叶斯假设，有参数c c的验后分布为：的验后分布为：即验后分布是似然函数即验后分布是似然函数归一化归一化的结果。的结果。2024/7/2
34、048上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第六节第六节 假设验证概述假设验证概述一、基本概念一、基本概念二、显著性检验的一般方法二、显著性检验的一般方法三、两类错误三、两类错误2024/7/2049上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示一、基本概念一、基本概念 对抽样总体的分布形式或其中的参数所作出的某个推测或断对抽样总体的分布形式或其中的参数所作出的某个推测或断言称作一个假设，记为言称作一个假设，记为H H。 根据观测的样本对假设进行检验，称为假设检验。根据观测的样本对假设进行检验，称为假设检验。
35、接受假设或拒绝假设（舍弃）。接受假设或拒绝假设（舍弃）。 接受假设接受假设并不是证明假设并不是证明假设，只是说明样本和假设之间还，只是说明样本和假设之间还没有没有发现显著的矛盾发现显著的矛盾。注意：注意：如果被检验的假设只涉及到参数值，如果被检验的假设只涉及到参数值，如果要检验分布类型，如果要检验分布类型，假设假设：假设检验假设检验：检验结果检验结果：则为则为参数检验参数检验。则称则称非参数检验非参数检验或或分布类型检验分布类型检验。2024/7/2050上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示有些问题属于二中选一，这时可作两种假设，有两个假设时，其
36、中有些问题属于二中选一，这时可作两种假设，有两个假设时，其中要进行检验的假设叫要进行检验的假设叫零假设零假设（或叫（或叫原假设原假设）用）用 表示，而另一假设表示，而另一假设叫叫备择假设备择假设，用，用 表示。表示。0H1H不考虑备择假设，只检验样本与零假设有无显著差异，称为不考虑备择假设，只检验样本与零假设有无显著差异，称为显著性显著性检验检验。若只涉及参数，称为。若只涉及参数，称为参数显著性检验参数显著性检验。单假设单假设（假设中概率密度函数参数完全给定）（假设中概率密度函数参数完全给定）复假设复假设（假设中参数给出在一个范围内，参数值没确定）（假设中参数给出在一个范围内，参数值没确定）二
37、、显著性检验的一般方法二、显著性检验的一般方法首先首先根据检验假设的性质选择一个检验统计量根据检验假设的性质选择一个检验统计量T T，它为样本的函数，它为样本的函数2024/7/2051上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示其次，在假设其次，在假设H H成立的条件下得到该统计量的概率密度函数成立的条件下得到该统计量的概率密度函数 由此确定关于由此确定关于T T值的某个区域值的某个区域R R，在这个区域内，在这个区域内T T值落入的概率为值落入的概率为 其值很少，此区域称为拒绝域，见下图其值很少，此区域称为拒绝域，见下图 称为显著水平，意义为：表示在
38、零假设成立的条件下检验统计量称为显著水平，意义为：表示在零假设成立的条件下检验统计量T T2024/7/2052上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示归纳归纳步骤步骤：1.1.根据实际问题，根据实际问题，构成构成统计统计假设假设H H；2.2.选用恰当的检验选用恰当的检验统计量统计量T T；3.3.选定显著水平选定显著水平 ，确定，确定拒绝域拒绝域R R；3.3.选定显著水平选定显著水平 ，确定拒绝域，确定拒绝域R R；4.4.由样本计算出由样本计算出 ；5.5.如果如果T T落在落在R R内，则称在显著水平内，则称在显著水平 下拒绝假设下拒绝假设
39、H H，否则接受假设。，否则接受假设。落在拒绝域落在拒绝域R R内的内的概率含量概率含量。若通过样本计算出。若通过样本计算出T T落入落入拒绝域拒绝域R R内，内，则观测样本与假设则观测样本与假设显著差异显著差异，从而在显著水平，从而在显著水平 下下拒绝拒绝零假设；零假设；反之，则接受零假设。拒绝域反之，则接受零假设。拒绝域R R因显著水平变化而变化。因显著水平变化而变化。a2024/7/2053上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示三、两类错误三、两类错误一类为一类为“以假当真以假当真”错误，存伪错误、检验污染、第二类错误、错误，存伪错误、检验污
40、染、第二类错误、 错误。错误。一类为一类为“以真乱假以真乱假”错误，拒真错误、检验的损失、第一种错误或错误，拒真错误、检验的损失、第一种错误或错误；错误；a犯两类错误的概率与分布函数犯两类错误的概率与分布函数及拒绝域位置有关，见右图及拒绝域位置有关，见右图2024/7/2054上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示同时考虑到犯两类错误的概率，才有可能选择最佳的检验方案。同时考虑到犯两类错误的概率，才有可能选择最佳的检验方案。 称为称为检验功效检验功效， 称为称为检验污染检验污染，如下图。检验时，当检验损，如下图。检验时，当检验损失一定时，应当选择检
41、验功效较大的检验方案。失一定时，应当选择检验功效较大的检验方案。1b-b2024/7/2055上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示 一般样本容量一般样本容量n n一定时，一定时， 减小，减小， 则增加，如果它们同时减小则增加，如果它们同时减小或一个减小而另一个不变，则必须增大样本容量。或一个减小而另一个不变，则必须增大样本容量。ab注意注意：2024/7/2056上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第七节第七节 正态分布的参数检验正态分布的参数检验一、平均值的检验一、平均值的检验二、两个平均值的比较
42、二、两个平均值的比较三、方差的检验三、方差的检验2024/7/2057上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示一、平均值的检验一、平均值的检验假设假设H H：设正态分布设正态分布 ，样本，样本 ，检验样本所来自的总体的期，检验样本所来自的总体的期望是否与已知的望是否与已知的 相同。相同。),(smN),.,(21nxxxx =m（一）（一） 已知已知 检验法检验法选统计量为选统计量为服从标准的正态分布。根据显著水平确定拒绝域。有服从标准的正态分布。根据显著水平确定拒绝域。有两两种检验方法：种检验方法：单单边检验（拒绝域在边检验（拒绝域在一端一端）；）
43、；双双边检验（拒绝域在边检验（拒绝域在两端两端），见下图。），见下图。2024/7/2058上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示最后最后：比较：比较 与与 ，得出结论。，得出结论。u 如果如果 比比 太大或太小都要拒绝，采用太大或太小都要拒绝，采用双边双边检验；只考检验；只考虑一种可能，则用虑一种可能，则用单边单边检验。检验。xm选取标准：选取标准：我们在此讨论双边检验我们在此讨论双边检验步骤：步骤：首先首先：根据显著水平查正态分布函数值：根据显著水平查正态分布函数值表得到表得到 ；其次其次：由样本按（：由样本按（2.7.12.7.1）计算出）计
44、算出 值；值；这一检验称为这一检验称为 检验法。检验法。若若 ，则接受假设；反之，则拒绝假设。，则接受假设；反之，则拒绝假设。2024/7/2059上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示选统计变量选统计变量服从自由度为服从自由度为n-1n-1的的t t分布，其中分布，其中由显著水平由显著水平 ，查，查t t分布表得出分位点分布表得出分位点 ，即，即由样本，利用（由样本，利用（2.7.22.7.2）计算统计量）计算统计量t t。若若 ，则，则拒绝拒绝原假设原假设H H，否则，否则接受接受H H。（二）（二） 未知未知 检验法检验法t2s2024/7/
45、2060上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示解：解：由题知由题知n=4n=4，方差未知，因而选，方差未知，因而选t t检验法检验法。查自由度查自由度n=3n=3的的t t分布表，得到分位点分布表，得到分位点选统计量选统计量由样本信息得统计量由样本信息得统计量t t的值为：的值为：例：测某铜液例：测某铜液4 4次得铜含量均值为次得铜含量均值为 ，样本标准方差，样本标准方差 。若测定值总体服从正态分布。若测定值总体服从正态分布。试在显著水平试在显著水平 下检验假设下检验假设H: H: ？8.30%x=0.03%S =0.05a=2024/7/2061
46、上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示由于由于因而在显著水平因而在显著水平 下下接受接受假设。假设。二、两个平均值的比较二、两个平均值的比较两组样本：两组样本：问题问题：检验这两个总体的期望值是否相同。：检验这两个总体的期望值是否相同。问题的实验背景问题的实验背景：两组实验数据是否对：两组实验数据是否对同一物理量的测量同一物理量的测量或在某种或在某种实验条件变化实验条件变化下正态分布的下正态分布的期望值期望值是否有明显的是否有明显的变化变化。2024/7/2062上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示零
47、假设零假设备择假设备择假设根据方差根据方差 是否已知和相等，分三种情况讨论。是否已知和相等，分三种情况讨论。（一）（一） 和和 已知已知分布合成定理分布合成定理选统计量选统计量因而可以利用前面的因而可以利用前面的u u检验法检验法进行进行检验检验。假假设设2024/7/2063上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示（二）（二） 和和 未知但相等未知但相等选择统计变量（选择统计变量（抽样分布定理抽样分布定理）其服从自由度为其服从自由度为n+m-2n+m-2的的t t分布。式中分布。式中S S为为在原假设成立的条件下，统计量变为：在原假设成立的条件下，
48、统计量变为：2024/7/2064上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示若若m=nm=n时，则上式化为：时，则上式化为：以上两种情况都可用以上两种情况都可用t t检验法检验法进行进行检验检验。（三）（三） 和和 未知且不相等未知且不相等这种情况不能进行严格，只能进行近似处理。这种情况不能进行严格，只能进行近似处理。当当n n足够大足够大 时，时， 。因而因而选统计量选统计量利用利用u u检验法检验法进行进行检验检验。2024/7/2065上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示例例: :有以下两组数据，各
49、来自正态总体。问可否认为来自同一正态有以下两组数据，各来自正态总体。问可否认为来自同一正态总体？总体？解：解： 由题可知由题可知n=10n=10，由数据可计算出，由数据可计算出2024/7/2066上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示选定选定 ，查，查t t分布表，相应自由度为分布表，相应自由度为(10+10-2)=18,(10+10-2)=18,得得由于由于因而因而接受接受假设。假设。三、方差的检验三、方差的检验方差反映出变量方差反映出变量离散离散程度。因而检查仪器工作稳定与否或检查两台程度。因而检查仪器工作稳定与否或检查两台仪器的精确度是否相
50、同时，常用到方差的检验。仪器的精确度是否相同时，常用到方差的检验。（一）（一） 检验法检验法问题是检验总体方差是否与已知方差相同？问题是检验总体方差是否与已知方差相同？2024/7/2067上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示提出假设提出假设选择统计量选择统计量其服从自由度为其服从自由度为n-1n-1的的 分布。分布。因为总体方差比已知方差太大或太小都说明总体方差有所变化，因因为总体方差比已知方差太大或太小都说明总体方差有所变化，因而采用而采用双边双边检验。检验。由显著水平由显著水平 ，查，查 分布表，得上下分位数分布表，得上下分位数 ，它们应满
51、足，它们应满足即即2024/7/2068上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示因而得拒绝域为：因而得拒绝域为：若单边检验，则拒绝域为：若单边检验，则拒绝域为：（二）（二）F F检验法（检验法（用来比较两个正态分布的方差是否相同用来比较两个正态分布的方差是否相同）提出假设提出假设由于总体方差可用样本方差来近似（样本容量足够大）。由于总体方差可用样本方差来近似（样本容量足够大）。选择统计量选择统计量其服从自由度为（其服从自由度为（n-1n-1，m-1m-1）的）的F F分布。分布。2024/7/2069上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下
52、一内容总目录总目录动画演示动画演示由显著水平由显著水平 ，查，查F F分布表，得拒绝域的下界分布表，得拒绝域的下界 ，其满足，其满足由样本计算出由样本计算出F F，若，若 ，则，则拒绝拒绝原假设，反之则原假设，反之则接受接受原假设。原假设。例：两种仪器对同一零件长度测得数据如下。问它们的精度一致吗例：两种仪器对同一零件长度测得数据如下。问它们的精度一致吗？第一仪器第一仪器X X：第二仪器第二仪器Y Y：解：解： 由题可提出假设由题可提出假设选择统计量选择统计量2024/7/2070上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示由两组数据可得由两组数据可得选
53、显著水平选显著水平 ，查，查F F分布表，对应自由度为（分布表，对应自由度为（n-1=6n-1=6，m-1=9m-1=9）得）得由于由于故故接受接受假设，即认为他们的精度一致。假设，即认为他们的精度一致。2024/7/2071上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第八节第八节 分布型式的检验分布型式的检验二、柯尔莫哥洛夫检验法二、柯尔莫哥洛夫检验法一、皮尔逊一、皮尔逊 检验法检验法2c2024/7/2072上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示 由样本由样本 ，检验随机变量的分布检验随机变量的分布 是否
54、为某种给定的分布是否为某种给定的分布 ，即检验假设，即检验假设 ，这类检，这类检验称为分布型式的检验，又叫拟合性检验。验称为分布型式的检验，又叫拟合性检验。分布型式的检验：分布型式的检验：选取统计变量选取统计变量1.1.将样本由小到大按顺序排列并分组。把区间将样本由小到大按顺序排列并分组。把区间 （或有限区（或有限区间）分为间）分为m m个区间，分点分别为个区间，分点分别为 ，相应区间为，相应区间为 检验检验步骤步骤和符合的意义：和符合的意义：一、皮尔逊一、皮尔逊 检验法（离散型、连续型）检验法（离散型、连续型）2024/7/2073上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目
55、录总目录动画演示动画演示统计样本落在第统计样本落在第i i个区间内的观测值的个数个区间内的观测值的个数 , ,称为第称为第i i组的实测频组的实测频数；数；2.2.根据样本计算理论分布根据样本计算理论分布 中的未知参数中的未知参数c c的最大似然估计值的最大似然估计值 。假设未知参数为假设未知参数为K K个。个。3.3.计算理论分布在各个区间内的概率含量计算理论分布在各个区间内的概率含量及计算各组理论频数及计算各组理论频数4.4.计算皮尔逊计算皮尔逊 量。此量。此 量是渐近地（即量是渐近地（即 时）服从自由度为时）服从自由度为m-K-1m-K-1的的 分布；分布；2024/7/2074上一内容
56、上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示5.5.选取显著水平选取显著水平 ，由，由 分布表（注意：自由度为：分布表（注意：自由度为：m-k-1)m-k-1)查出分查出分位点位点 , ,则拒绝域为则拒绝域为 。若。若 ，认为差异显著，从而怀，认为差异显著，从而怀疑假设，反之，接受假设。疑假设，反之，接受假设。注意：注意：1.1.选统计量是在极限情况下服从选统计量是在极限情况下服从 分布，因而一般分布，因而一般2.2.分组时，各组内理论频数不能太小，至少分组时，各组内理论频数不能太小，至少 ，如，如果达不到要求则合并区间。果达不到要求则合并区间。二、柯尔莫哥洛夫
57、检验法（适用于连续型）二、柯尔莫哥洛夫检验法（适用于连续型）直接比较样本数据与理论分布的差异直接比较样本数据与理论分布的差异步骤步骤：1.1.将观测从小到大顺序排列，得到将观测从小到大顺序排列，得到 。作经验分布函数。作经验分布函数2024/7/2075上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示2.2.在以上各点求出总体理论分布函数值在以上各点求出总体理论分布函数值 ；3.3.在各点计算在各点计算 ，找出最大的绝对偏差，找出最大的绝对偏差将其作为检验统计变量。柯尔莫哥洛夫给出样本容量将其作为检验统计变量。柯尔莫哥洛夫给出样本容量n n和显著水平和显著水
58、平下的下的 的临界值的临界值 ，即，即 落入拒绝域中的概率为落入拒绝域中的概率为 2024/7/2076上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示4.4.选定选定 ，查表，查表( (见下图）得到见下图）得到 值。将值。将 与与 比较，若比较，若 ，则认为在显著水平则认为在显著水平 下差异显著，故拒绝理论分布为真的假设；反下差异显著，故拒绝理论分布为真的假设；反之，接受。之，接受。2024/7/2077上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第九节第九节 似然比检验似然比检验一、对单假设的似然比检验一、对单假设
59、的似然比检验二、最大似然比检验二、最大似然比检验2024/7/2078上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示检验方法检验方法不同不同的检验方法的检验方法不同不同的检验结果的检验结果怎怎么么比比较较好好坏坏检查检验好坏的检查检验好坏的标准标准：在损失：在损失 一定一定，污染，污染 最小最小，即功效，即功效 最最大的检验方法（大的检验方法（最佳效检验最佳效检验）。）。2024/7/2079上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示一、对单假设的似然比检验一、对单假设的似然比检验由原假设，可求样本似然函数由原假设
60、，可求样本似然函数 及检验统计变量及检验统计变量 的概率密的概率密度函数度函数 。一定显著水平下的拒绝域总是相应于一定的样本空间，因而有一定显著水平下的拒绝域总是相应于一定的样本空间，因而有其中其中 为样本空间，为样本空间， 为拒绝域。为拒绝域。设随机变量概率密度函数为设随机变量概率密度函数为 ，进行检验假设，原假设，进行检验假设，原假设 ; ;备择假设备择假设 。);(cxf00:ccH=11:ccH=2024/7/2080上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示检验功效检验功效 是在被择假设成立的条件下，样本函数在拒绝域的样是在被择假设成立的条件
61、下，样本函数在拒绝域的样本空间的概率含量，因而有本空间的概率含量，因而有b-1定义似然比为定义似然比为（1 1）由（由（2.9.22.9.2）知，在显著水平一定时，要使检验功效最大，即）知，在显著水平一定时，要使检验功效最大，即是要使似然比的倒数在拒绝域所对应的样本空间上的平均值尽可能是要使似然比的倒数在拒绝域所对应的样本空间上的平均值尽可能大。大。换一种表述：换一种表述：要使以要使以 为参数的似然函数为参数的似然函数 相对于以相对于以 为参数的似然函数为参数的似然函数 来说尽可能大。（来说尽可能大。（奈曼奈曼皮尔逊定理皮尔逊定理）讨论：讨论：2024/7/2081上一内容上一内容回主目录回主
62、目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示（2 2）由（）由（2.9.22.9.2）说明参数是说明参数是 而不是而不是 ；说明参数是说明参数是 而不是而不是 。因而选择使似然比尽可能小的那些样本构成的拒绝域是佳效验，由因而选择使似然比尽可能小的那些样本构成的拒绝域是佳效验，由于似然比总大于于似然比总大于0 0，因而选择拒绝域在，因而选择拒绝域在 内，可望似内，可望似然比检验然比检验是是佳效检验佳效检验。拒绝域拒绝域临界值临界值 的确定的确定2024/7/2082上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示求出在求出在 下所对应的下所对应的
63、值的拒绝域；然后利用值的拒绝域；然后利用 求出关于求出关于 的拒绝域。的拒绝域。若若 的分布未求出或无表格可查，但知的分布未求出或无表格可查，但知 的另一函数的另一函数 ，而，而且且 的分布已知的分布已知 ，则可通过，则可通过ly二、最大似然比检验（自学）二、最大似然比检验（自学）2024/7/2083上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示第十节第十节 方差分析方差分析一、单因素方差分析一、单因素方差分析二、单因素方差分析（自学）二、单因素方差分析（自学）2024/7/2084上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画
64、演示动画演示不不同同条条件件下下实实验验多多组组实实验验数数据据哪哪些些影影响响因因素素起起主主要要作作用用条条件件变变化化对对实实验验结结果果的的影影响响方差分析方差分析2024/7/2085上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示一、单因素方差分析一、单因素方差分析考察某因素考察某因素A A对实验结果的影响。对实验结果的影响。在因素在因素A A的的r r个不同水平下观测的数据如下表。个不同水平下观测的数据如下表。 表示在表示在A A的第的第i i个水个水平下观测到的第平下观测到的第j j个数据。个数据。ijx2024/7/2086上一内容上一内容
65、回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示检验此假设可以检验此假设可以t t检验法，但很复杂。用方差分析的办法就很简便。检验法，但很复杂。用方差分析的办法就很简便。假设：假设：方差分析方法方差分析方法步骤步骤：首先首先，计算出各组的平均值及总平均值，计算出各组的平均值及总平均值设在每个水平设在每个水平 下，总体为正态分布下，总体为正态分布 。假定。假定r r个水个水平下的总体方差都相同，只是平下的总体方差都相同，只是 不同，其反映了不同水平的因素的不同，其反映了不同水平的因素的影响。影响。iA2024/7/2087上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内
66、容总目录总目录动画演示动画演示其次，计算出各观察值与总平均值的偏差平方和其次，计算出各观察值与总平均值的偏差平方和为使讨论问题方便，将为使讨论问题方便，将Q Q进行分解进行分解Q Q反映反映数据间数据间的的离散程度离散程度。若原假设为真，则。若原假设为真，则Q Q只由数据的随机性引只由数据的随机性引起的。若为假，则除统计性的贡献，还有因素起的。若为假，则除统计性的贡献，还有因素 的影响。的影响。rAAA,.,21第三项为第三项为0 0。第二项可表为第二项可表为 ，2)(xxnirii-2024/7/2088上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示于是
67、于是组内平方和组内平方和，反映组内由，反映组内由于抽样于抽样随机性随机性引起的贡献引起的贡献组间平方和组间平方和，由，由随机性随机性和和因因素素A A的不同的不同水平所引起的贡献水平所引起的贡献2024/7/2089上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示对于给定显著水平，查对于给定显著水平，查F F分布表得分位点分布表得分位点 ，通过实验数，通过实验数据计算出据计算出F F值。值。选取选取统计量统计量服从第一、第二自由度分别为（服从第一、第二自由度分别为（r-1r-1）和（）和（n-rn-r）的）的F F分布。分布。若假设为真，则若假设为真，则 较
68、小，若假设为假则较小，若假设为假则 较较 大。大。IQAQAQ 假设为真的情况下，所有观测数据均来自同一正态分布总体。由假设为真的情况下，所有观测数据均来自同一正态分布总体。由抽样分布定理（抽样分布定理（1.5.191.5.19）有）有 服从服从 分布，考虑加法定理分布，考虑加法定理（1.5.51.5.5）有）有 服从服从 分布，由分解定理（分布，由分解定理（1.5.231.5.23）有）有 服从服从 分布。分布。2sQ) 1(2-nc2sIQ)(2rn-c2sAQ2024/7/2090上一内容上一内容回主目录回主目录返回返回下一内容下一内容总目录总目录动画演示动画演示若若否定假设，反之，则接受假设。否定假设，反之，则接受假设。二、双因素方差分析（自学）二、双因素方差分析（自学）2024/7/2091
