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1、3.1.2 用二分法用二分法 求方程的近似解求方程的近似解高一数学组高一数学组1 1、函数的零点的定义、函数的零点的定义：结论结论: : 使使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点的零点2、如何判断函数、如何判断函数y=f(x)在区间在区间a,b上是否上是否有零点有零点?(1)函数函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连上的图象是连续不断的一条曲线续不断的一条曲线(2) f(a)f(b)0f(b)0时，函数时，函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间（a a，b b）内一定没有零点吗？）内一定没有零点吗？ 函数函数 在下列哪个区间内在下列哪个区间内有零点有零点? ?
2、 ( )上节回忆C小练习：小练习：问题问题: :你会解下列方程吗你会解下列方程吗? ? 2x-6=0; 2x2x-6=0; 2x2 2-3x+1=0; -3x+1=0; 求方程根的问题求方程根的问题 相应函数的零点问题相应函数的零点问题你会求方程你会求方程lnxlnx+2+2x x-6=0-6=0的近似解吗的近似解吗? ?思思路路那你会解这个方程吗那你会解这个方程吗? lnx+2x-6=0我们已经知道它有且只有一个解在（我们已经知道它有且只有一个解在（2,32,3）之间）之间似曾相识似曾相识如何找到零点近似值如何找到零点近似值 ？可以转化为函数可以转化为函数 在区间在区间（2 2，3 3）内零
3、点的近似值。）内零点的近似值。求方程求方程 的近似解的问题的近似解的问题（1 1）通过用）通过用“二分法二分法”求方程的近似解求方程的近似解, ,使学生体会函使学生体会函 数的零点与方程根之间的联系数的零点与方程根之间的联系, ,初步形成应用函数初步形成应用函数 观点处理问题的意识；观点处理问题的意识；( (重点）重点）（2 2）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一. . （难点）（难点） 在已知存在零点的区间确定函数的在已知存在零点的区间确定函数的零点的近似值，实际上就是如何零点的近似值，实际上就是如何缩小缩小零零点所在的范围，或是如何得到一
4、个点所在的范围，或是如何得到一个更小更小的区间，使得零点还在里面，从而得到的区间，使得零点还在里面，从而得到零点的近似值。零点的近似值。思考：如何缩小零点所在的区间？思考：如何缩小零点所在的区间？新汶中学电视台新汶中学电视台“幸运幸运52”录制现场录制现场有奖竞猜有奖竞猜问题情境问题情境( (提出问题提出问题) )请同学们猜一猜某物品的价格请同学们猜一猜某物品的价格10优学课堂vCCTV2“幸运幸运52”片段片段 ： 主持人李咏说道主持人李咏说道:猜一猜这架家用型数码相机猜一猜这架家用型数码相机的价格的价格. 观众甲观众甲:2000!李咏李咏:高了高了! 观众乙观众乙:1000! 李咏李咏:低
5、了低了! 观众丙观众丙:1500! 李咏李咏:还是低了还是低了!问题问题2:你知道这件商品的价格在什么范围内吗你知道这件商品的价格在什么范围内吗?问题问题3:若接下来让你猜的话若接下来让你猜的话,你会猜多少价格比你会猜多少价格比较合理呢较合理呢?答案答案:1500至至2000之间之间问题情境问题情境11优学课堂探究：你猜这件商品的价格，是如何想的？在误差范围内如何做才能以最快的速度猜中？ 这能提供求确定这能提供求确定 函数零点的思路吗函数零点的思路吗思路：用区间两个端点的中点，思路：用区间两个端点的中点，将区间一分为二将区间一分为二 对于一个已知零点所在区间对于一个已知零点所在区间a,b,a,
6、b,取取其中点其中点 c ,c ,计算计算f(c),f(c),如果如果f(cf(c）=0=0，那么，那么 c c 就是函数的零点；如果不为就是函数的零点；如果不为0 0，通过比较，通过比较中点与两个端点函数值的正负情况，即可中点与两个端点函数值的正负情况，即可判断零点是在（判断零点是在（a,c)a,c)内，还是在（内，还是在（c,b)c,b)内，内，从而将范围缩小了一半，以此方法重复进从而将范围缩小了一半，以此方法重复进行行问题问题 在区间（在区间（2 2，3 3）内零点的近似值）内零点的近似值. .中点中点的值的值中点函数中点函数近似值近似值 （2，3）（2.5，2.75）（2.5，2.56
7、25）2.52.752.6252.5625（2.5，2.625）-0.0840.5120.2150.06610.50.250.1250.0625（2.5，3）区间长度区间长度区间区间2.53125-0.009（？，？）思考思考: : 通过这种方法通过这种方法, ,是否可以得到是否可以得到任意精确度的近似值任意精确度的近似值? ? （如精确（如精确度为度为0.010.01） 精确度为精确度为0.01,0.01,即零点值与近即零点值与近似值的差的绝对值要小于或等于似值的差的绝对值要小于或等于0.010.01区间区间中点的值中点的值中点函数中点函数近似值近似值区间长度区间长度（2，3）（2.5，3）
8、（2.5，2.75）（2.5，2.5625）（2.53125，2.5625）（2.53125，2.546875）（2.53125，2.5390625）2.52.752.6252.56252.531252.546875（2.5，2.625）2.53906252.53515625-0.0840.5120.2150.066-0.0090.0290.0100.00110.50.250.1250.06250.031250.0156250.0078125(精确度为精确度为0.01) 所以我们可将所以我们可将此区间内的任意一点此区间内的任意一点作为函数作为函数零点的近似值，特别地，可以将零点的近似值，特别地
9、，可以将区间端点区间端点作为零作为零点的近似值点的近似值. .由于由于如图如图设设函数的零点为函数的零点为 ,则则=2.53125,=2.53125,=2.5390625=2.5390625，.所以所以所以方程的近似解为所以方程的近似解为结论结论结论结论1.1.通过这样的方法，我们可以得到任意精确度的零点近似值通过这样的方法，我们可以得到任意精确度的零点近似值通过这样的方法，我们可以得到任意精确度的零点近似值通过这样的方法，我们可以得到任意精确度的零点近似值2.2.给定一个精确度，即要求误差不超过某个数如给定一个精确度，即要求误差不超过某个数如给定一个精确度，即要求误差不超过某个数如给定一个精
10、确度，即要求误差不超过某个数如0 00101时，可时，可时，可时，可以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤，以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤，以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤，以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤，而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点，与零点的误而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点，与零点的误而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点，与零点的误而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点，与零点的误差都不超过给定的精确度，即都可以作为零点的近似值差都不超过给定的精确度，即都可以作为零点的近似值差都
11、不超过给定的精确度，即都可以作为零点的近似值差都不超过给定的精确度，即都可以作为零点的近似值3.3.本题中，如在精确度为本题中，如在精确度为本题中，如在精确度为本题中，如在精确度为0 00101的要求下，我们可以将区间的要求下，我们可以将区间的要求下，我们可以将区间的要求下，我们可以将区间(2.53125,2.5390625)(2.53125,2.5390625)内的任意点及端点作为此函数在区间内的任意点及端点作为此函数在区间内的任意点及端点作为此函数在区间内的任意点及端点作为此函数在区间(2(2，3)3)内的零点近似值内的零点近似值内的零点近似值内的零点近似值4.4.若再将近似值保留两为小数
12、，那么若再将近似值保留两为小数，那么若再将近似值保留两为小数，那么若再将近似值保留两为小数，那么2 25353，2 25454都可以作都可以作都可以作都可以作为在精确度为为在精确度为为在精确度为为在精确度为0 00101的要求下的函数在的要求下的函数在的要求下的函数在的要求下的函数在(2(2，3)3)内的零点的近似内的零点的近似内的零点的近似内的零点的近似值一般地，为便于计算机操作，常取区间端点作为零点的近值一般地，为便于计算机操作，常取区间端点作为零点的近值一般地，为便于计算机操作，常取区间端点作为零点的近值一般地，为便于计算机操作，常取区间端点作为零点的近似值，即似值，即似值，即似值，即2
13、 25312553125 对于在区间对于在区间 上连续不断且上连续不断且 的函的函数数 ,通过不断地把函数通过不断地把函数 的零点所在的区的零点所在的区间一分为二间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到进而得到零点近似值的方法叫做二分法零点近似值的方法叫做二分法.二分法概念二分法概念xy0ab问题问题5: 你能归纳出你能归纳出“给定精确度给定精确度,用二用二分法求函数零点近似值的步骤分法求函数零点近似值的步骤”吗吗?二分法的实质二分法的实质:就是将函数零点所在的就是将函数零点所在的区间不断地一分为二，使新得到的区间区间不断地一分为二，使新得到的区间不断变小
14、，两个端点逐步逼近零点不断变小，两个端点逐步逼近零点3.3.计算计算 ；（1 1）若）若 ，则，则 就是函数的零点；就是函数的零点； 1.1.确定区间确定区间 , ,验证验证 , ,给定精确度给定精确度 ; ; 2.2.求区间求区间 的中点的中点 ； （2 2）若）若 ，则令，则令 （此时零点（此时零点 ）. . （3 3）若）若 ，则令，则令 （此时零点（此时零点 ）. . 4.4.判断是否达到精确度判断是否达到精确度 ：即若：即若 ，则得到零点，则得到零点 近似值近似值 （或（或 ）；否则重复）；否则重复2 24.4. 给定精确度给定精确度 ,用二分法求函数用二分法求函数 零点近似零点近似
15、值的步骤如下值的步骤如下:012346578-6-2310214075142273列表列表尝试尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度的近似解（精确度0.1）.先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解绘制函数图像绘制函数图像 取（取（1，1.5）的中点）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= - -0.87，因为因为f(1.25)f(1.5)0，所以，所以x0（1.25，1.5） 同理可得，同理可得， x0（1.375，1.5），），x0(1.375，1.4375），由于），由于 |1
16、.375-1.4375|=0.0625 0.1 所以，原方程的近似解可取为所以，原方程的近似解可取为1.4375函数函数函数函数方程方程方程方程 转化思想转化思想逼近思想逼近思想小结小结二分法二分法数形结合数形结合1.寻找解所在的区间寻找解所在的区间2.不断二分解所在的区间不断二分解所在的区间3.根据精确度得出近似解根据精确度得出近似解用二分法求用二分法求用二分法求用二分法求方程的近似解方程的近似解方程的近似解方程的近似解基本知识基本知识:1. 二分法二分法的定义的定义; 2.用用 二分法二分法求解方程的近似解的步骤求解方程的近似解的步骤. 通过本节课的学习通过本节课的学习,你学会了你学会了哪些知识哪些知识? 定区间，找中点，定区间，找中点，中值计算两边看中值计算两边看; ;同号去，异号算，同号去，异号算，零点落在异号间零点落在异号间; ;周而复始怎么办周而复始怎么办? ?精确度上来判断精确度上来判断. .二分法求方程近似解的口诀二分法求方程近似解的口诀: :借助计算器用二分法求借助计算器用二分法求的近似解的近似解(精确度精确度0.1).方程的近似解为方程的近似解为作业作业1.课外作业课外作业: 课本课本P92 习题习题3.1 A 组组3,4,52.课外搜索课外搜索:请通过网络、杂志等途径请通过网络、杂志等途径寻找寻找“方程求解方程求解”的数学历史的数学历史.
