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1、学习必备欢迎下载平方根一、一周知识概述1、平方根和算术平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根（ square root），即如果x2=a，则 x 叫做 a 的平方根，记作x=，其中 a叫被开方数 . 一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根 . a 的算术平方根记为，读作 “ 根号 a” ，a 叫被开方数 . 0 的算术平方根是0. 2、平方根的性质（1）任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数.如正数 a的平方根是 ，其中与恰是一对相反数；（2）零的平方根是零，即=0；（3）负数没有平方根. 3、平方根的表示正数 a 的算
2、术平方根用表示；正数a 的负的平方根用表示；正数a 的平方根用符号表示 . 4、开平方求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方，开平方与平方互为逆运算. 5、平方根重要性质：（1）a0 时，；（2）. 6、用计算器求一个数的算术平方根有的计算器上有“” 键，就可以使用这个键直接求出一个数的算术平方根. 二、重难点知识归纳1、由算术平方根的定义得到：一个非负数a的算术平方根可记作，它是非负数，就是说，当有意义时，它一定表示一个非负数，故具有双重非负性：a0 ；0.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 31 页学习必备欢迎下载2、是
3、算术平方根的专有记号，它有两重意义：表示求根号内的非负数的算术平方根，是运算符号；求a 的算术平方根，其思维方式与乘方是逆向的，即要这样想，什么非负数的平方等于a. 3、求一个数的平方根，实质上是已知指数和幂，求底数.这种求底数的运算是乘方运算的一种逆运算. 4、因为只要一个数的平方等于a，那以这个数的相反数的平方也一定等于a，所以正数a 有两个平方根. 5、弄清的意义：（1）弄清（a0 ）表示非负数，即0 ，表示 a 的算术平方根；（2）（a0 ）表示 a的算术平方根的相反数，也可以说是表示a 的负的平方根；（3）（a0 ）表示 a 的平方根，即a的平方根为. 6、用计算器求一个数的算术平方
4、根，如果被开方数不是完全平方数，如果所求得的算术平方根是它的近似值，此时应根据题目的要求进行四舍五入根据计算器的类型，掌握不同的按键顺序. 7、平方根与算术平方根的区别及联系区别： （1）定义不同： “ 如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根 ” ；“ 非负数 a 的非负平方根叫做a 的算术平方根 ”. （2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个. （3）表示方法不同：正数a的平方根表示为，正数 a 的算术平方根表示为. （4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数；正数的平方根则一正一负，两数互为相反数. 联系： （1）具有包含关系：平方根包含算术平方根
5、，算术平方根是平方根中的一种。（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有。（3）0 的平方根、算术平方根均为0. 三、典型例题剖析例 1、求下列各式的值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 31 页学习必备欢迎下载例 2、（ 1）已知，求的值；（2）已知 a、b 为实数，求 ab 的平方根 . 例 3、已知 ABC 的三边长分别为a，b，c，且 a，b 满足，求 c 的取值范围（ 1c5例 4、小颖想用一块面积为4dm2的纸片，沿着边的方向裁出一块面积为3dm2的长方形纸片，使它的长宽之比为32，你能否裁出来
6、. 解设长方形的长和宽分别为3xdm 和 2xdm，根据边长与面积的关系，得：3x 2x=3，已知正方形的纸片的边长只有2dm，长方形的纸片的长大于正方形的纸片长，故不能裁出来. 例 5、已知，求 x 的个位数字 . 例 6、已知：. （1）求的值；（2）若，求 x 的值；（3）若，求 a 的值 . 2 立方根实数与数轴一、一周知识概述1、立方根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 31 页学习必备欢迎下载如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a 的立方根（ cube root），即如果x3=a，则 x 叫做 a 的立方根，记
7、作：x=. 2、立方根的性质正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0 的立方根是0.即 a0 时，0；a=0 时，=0；a0 时，n）2、整式的乘法（1）单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，只要将它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 . （2）单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. （3）多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(mn)(ab)=ambmanbn 3、幂的运算法则的逆向应用（m,n 为正整数）amn=
8、am anamn=(am)nanbn=(ab)n二、重、难点知识归纳1、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除均是由乘方的意义推演而得，掌握法则的关键是正确理解幂的概念2、单项式的乘法是整式乘法的关键，逆用幂的运算法则和多项式乘法的应用是难点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 31 页学习必备欢迎下载三、典型例题剖析例 1、下列计算是否正确，错的请指出错因，并加以改正（1）x5 x5=2x5(2)x3 x3=x9(3)(-2a3)2=2a6(4)(an+1)3=a3n+1例 2、 （1）比较： 355，444，
9、533；（2）已知 am=2，an=3，求 a3m2n的值；（3）已知 2a=3，2b=6，2c=12，求 a、b、c 之间的关系 . 例 3、计算：（4）(xm1x2n)3 xm+n（5）(ab)5 (ab)3 (ab)2例 4、已知求代数式例 6、计算：（1）(3ab)(2a2bab1) (2)anb23bn12abn1(1)2005 例 7、计算：（1）(a2b)(5a3b) （2）(xy)(x2xyy2) （3） （3x1）(x1) (2x1)(x1)3x(x2)2x(3x) 例 8、若 (x2pxq)(x23x2)的乘积中不含x2和 x3项，求 p、q 的值 . 4 乘法公式一、一周
10、知识概述1、平方差公式由多项式乘法得到(ab)(ab) a2b2. 即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。注意： (1)平方差公式的特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式两项的平方差，并且是完全相同的项的平方减去互为相反数项的平方. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 31 页学习必备欢迎下载(2)运用公式时除了掌握其结构特征外，还应注意如下几点：公式中的a，b 具有广泛的含义，可以表示一个数、一个字母，一个单项式，还可以表示一个多项式；运用公式时关键是识别两
11、个数，哪个是完全相同的，哪个是互为相反数. （3）平方差在简便运算中的应用当问题中的两因数不是两数和与两数差的积的形式时，可适当变形，使之符合公式的特点，从而能运用公式达到巧算的目的. 2、完全平方公式由多项式乘法得到（a b）2=a2 2ab+b2即两数和 (或差 )的平方，等于它们的平方和，加(或减 )它们的积的2 倍. 推广形式：（ a+b+c）2=a2+b2c22ab2bc2ca 注意： (1)完全平方公式的结构特征：公式的左是两个相同的二项式相乘，即两个数和 (或差)的平方； 公式的右边是一个三项式，其中两项是左边的二项的平方和，第三项是左边两项的积的2 倍，但符号与左边的符号相同.
12、 (2)公式中的字母具有一般性，它可以表示数也可以表示多项式. 3、乘法公式的主要变式(1)a2b2(a b)(ab); (2)(ab)2(ab)24ab; （3）(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；(4) a2b2(ab)22ab(ab)22ab （5）a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程注意： (1)公式中的 a，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式. (2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用. (3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜. 二、重难点知识归纳平方差公式
13、、完全平方公式均为重点，而公式、法则的运用是难点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 31 页学习必备欢迎下载三、典型例题剖析（一）分清a、b，正确运用例 1、计算：(1)(3a2b)(2b3a); (2)(x2y)(x2y); (3); (4)(abc)(abc) 例 2、计算：(1)98 102；(2)99 101 10001. 例 3、计算：(1)2004219962(2)(xy z)2(xyz)2(3)(2x y3)(2xy3)例 4、计算（1）(2x+yz+5)(2xy+z+5)；（2）(x+y)22(x+y)
14、(x y)+(x y)2例 5、计算：(1)(3x 4y)2;(2)(32a)2；(3)(2ab)2；(4)(3a2b)2例 6、已知： a+b=5，ab=2，求： (ab)2的值例 7、计算下列各题：(1)( 2x7)(2x7); 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 31 页学习必备欢迎下载(2)(3x y)(y3x)2(4x3y)(4x 3y); (3)(m1)25(m1)(m1)3(m1)2; (4)(2x 3y1)(12x3y)(12x3y)2例 8、(1)计算 199021989219882198722212；(
15、2)化简 (31)(321)(341)(381)5 整式的除法一、一周知识概述1、单项式除以单项式单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式.对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 2、多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 3、整式乘除法的比较跟整式的乘法一样，整式的除法关键是掌握好同底数幂的除法和单项式与单项式相除为此，不妨将二者进行归纳、比较运算同底数幂单项式相乘底数不变，指数相加把它们的系数、相同字母分别相乘，对只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式相除底数不变，指数相减把系数与同底数幂
16、分别相除作为商的因式，对只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式二、重难点知识归纳以同底数幂的除法，幂的运算法则的综合应用以及单项式除以单项式，多项式除以单项式为重点. 以整式的综合运算为难点. 三、典型例题剖析例 1、计算：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 31 页学习必备欢迎下载(1)(xy)mn1 (xmyn xny)；(2)( 2a3b2c)2 (4a2b3)3 (4a5b4c)2例 2、计算：(2)(a2m1b33am2b45amb5) (amb3)；(3)2(a b)53(ab)4(ab)3 2
17、(ab)3. 例 3、完成下列各题：(1)已知 xm=8，xn=5，求 xmn的值；(2)已知 xm=a，xn=b，求 x2m3n的值；(3)已知 3m=6，9n=2，求 32m4n1的值 . 例 4、化简求值：6 因式分解一、一周知识概述1、因式分解的意义把一个多项式化成为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 总结： (1)因式分解是多项式的一种恒等变形，也是单项式与多项式，多项式与多项式相乘的逆变形. (2)分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式. (3)分解因式都是在指定的数集内进行(如无特殊说明，一般指有理数)，其结果要使每一个因式不能再分解为止. 2、提公因
18、式法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 31 页学习必备欢迎下载(1)公因式：多项式中每一项都含有的因式，叫公因式. (2)提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. (3)公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数；字母：各项都含有相同字母；指数：相同字母的最低次幂. 提公因式时要一次提尽. 3、公式法（1）平方差公式把整式乘法的平方差公式(ab)(ab)=a2b2，反过来就得到：a2b2=(ab)(ab) 即两个数的平方
19、差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. （2）完全平方公式把整式乘法的完全平方公式(a b)2=a2 2abb2反过来，就得到a2 2abb2=(a b)2即两个数的平方和加上(或减去 )这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和(或差)的平方 . 4、分解因式的步骤可归纳为“ 一提二公三检查”. “ 一提 ” 是一开始可考虑各项是否都有公因式，即是分解因式的第一个步骤也是第一个方法。“ 二公 ” 即在提取了公因式后，根据具体情况看剩下的多项式是二项多项式或是三项多项式，若是两项多项式，可考虑是否能用“ 平方差公式 ” 分解因式；若是三项多项式可考虑是否能用“ 完全平方公式 ” ，将这个多项式分
20、解到不能再分解为止。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 31 页学习必备欢迎下载“ 三检查 ” 是指分解因式后检查结果是否正确，要分解到不能再分解为止二、重难点知识归纳1、正确理解因式分解的含义“ 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解” ，也叫做把这个多项式分解因式” 对这段文字的理解应注意如下几点：(1) “ 分解因式 ” 与“ 因式分解 ” 是同义语；(2)，即因式分解为整式乘法的逆向变形；(3)应从整体上把握因式分解的含义，如m28m9=(m29)8m=(m 3)(m3)8m 就不是因式分解，而 m
21、28m9=(m9)(m1)才符合因式分解的要求2、怎样提取公因式提公因式法是因式分解最基本也是最常用的方法，它的关键是确定公因式，难点是提取公因式后括号内多项式的确定(1)公因式的系数为各项系数的最大公约数，相同字母的最低次数如 8x3y26x2y32xy4的公因式为2xy2；(2)提取公因式后括号内的多项式的项数与原多项式的项数相同，各项恰为原多项式的各项分别除以公因式所得的商如 8x3y26x2y22xy4=2xy2(4x23xy2)3、分解因式必须分解到每个因式在有理数范围内不能再分解为止如 a41=(a21)(a21)不正确，因为a21 还可以继续分解为(a+1)(a1)，即a41=(
22、a2+1)(a+1)(a1) 4、对某些多项式还要了解经过一定变形后才能分解的因式，如：分解x24xy3y2的因式，此题用现有的方法还不能分解因式.但若适当处理后配成完全平方，就可以继续分解. x24xy3y2=x24xy3y2y2y2=x24xy4y2y2=(x2y)2y2=(x2yy)(x 2yy) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 31 页学习必备欢迎下载=(xy)(x3y) 三、典型例题剖析例 1、（ 1）下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A(x5)(x5)=x225BCx2yxy2=xy(x y)D1
23、5=3 5 （2）下列各式的因式分解中正确的是（）A a2abac=a(abc) B9xyz6x2y2=3xyz(32xy) C3a2x6bx3x=3x(a22b) D例 2、把下列各式分解因式：(1)6x4y212x3y27x2y3；(2)x4yx3y2x2y3；(3)xn3xn1xn2；(4)5(xy)310(yx)2；(5)m(5axay1)m(3axay1). 例 3、把下列各式分解因式：(2)(ab)21；(3)(x2)216(x1)2；例 4、把下列各式分解因式：(1)x214x49;(2)(mn)26(mn)9; (3)3ax26axy3ay2;(4)(x24)28x(x24)1
24、6x2. 例 5、（ 1）已知 x3x2x1=0，求 1xx2x3x4x2003的值 . （2）已知 x3x2yxy2y3=5，x2y2=10，求 xy 的值 . （3）求证 a(a1)(a2)(a3)1 是一个完全平方式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 31 页学习必备欢迎下载例 6、某超市共有四层，第一层有商品(ab)2种，第二层有商品a(ab)种，第三层有商品(ab)b 种，第四层有商品(ab)3种，当 a=8，b=12 时，求超市商品共有多少种. 7 勾股定理一、一周知识概述1、勾股定理如果直角三角形的两条直
25、角边长分别为a、b，斜边为 c，那么 a2b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（1）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，即勾2股2=弦2（2）勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，因此是直角三角形的性质定理，它为我们利用计算的方法研究几何图形的性质提供了新的途径（3）勾股定理的证明常用面积法证明，读者可根据下图的几种拼图方式，用面积证明勾股定理（4）勾股定理只适用于直角三角形，对于一般非直角三角形就不存在这种关系勾股定理的作用是：已知直角三角形的两边求第三边；在直角三角形中，已知其中的一边，求另两边的关系；用于证明平方关系；利用勾股定
26、理，作出长为的线段2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长为a，b，c，且满足a2b2=c2，那么这个三角形是直角三角形勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“ 算”出来的实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的这里体现了数学中的重要思想 数形结合思想，打破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边关系判定直角的新方法它将数形之间的联系体现得淋漓尽致，因此也有人称勾股定理的逆定理为 “ 数形结合的第一定理” ！二、重点、难点、疑点突破1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥斯定理，它有着悠久的历史，蕴涵着丰
27、富的文化价值勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“ 千古第一定理 ” 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 31 页学习必备欢迎下载勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a，b，c，其中 c 为斜边）的三边关系，即c2=a2b2它的变形为c2a2=b2或 c2b2=a2运用它可以由直角三角形中的两条边长求第三边例如：已知一个直角三角形两边长分别为3cm，4cm，求第三边长因为该题没有说明哪条边是直角三角形的斜边，所以要进行分类讨论当两直角边分别为3cm，4cm 时，由勾股定理有斜边为=5cm
28、；当斜边为 4cm，一直角边为3cm 时，则另一直角边为故第三边为5cm 或cm2、直角三角形的几个性质（1）两锐角互余；（2）三边长满足勾股定理；（3）如果有一个锐角等于30 ，那么所对的直角边（设此边长为a）等于斜边的一半，三边长的关系为a，2a；（4）等腰直角三角形（直角边边长为a）三边长的关系为a，a，；（5）面积等于两直角边乘积的一半3、勾股数组能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组不难验证 (3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，(9,40,41)，(11,60,61)，均为基本勾股数组显然，若 (a,b,c)为基本勾股数组，则(ka,kb,kc) 也
29、为勾股数组，其中k 为正整数例如 (6,8,10)，(9,12,15)，(10,24,26) ，为勾股数组若能掌握前几个基本勾股数组，会给解题带来方便和快捷4、数形结合思想数形结合是中学数学中一种重要思想方法，它把代数的精确描述与几何图形的直观结合起来，从而使几何问题代数化，代数问题几何化，也将抽象思维与形象思维有机地结合在一起，实现了数与形的统一正如华罗庚所说：“ 数缺形时少直觉，形缺数时难入微”例如对于勾股定理的证明，教材中就是以几何直观形式呈现的，清晰易懂又由下图，我们不难得出下面的结论：对于正数 a，b，c，d，如果 ab=cd，那么，结合图形，如何证明，同学们不妨一试，亲身体验数形结
30、合的神奇！三、典型例题剖析1、运用勾股定理求值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 31 页学习必备欢迎下载例 1、如图所示，在RtABC 中， C=90 ，AM 是中线， MN AB ，垂足为 N，试说明： AN2BN2=AC2例 2、如图所示，将长方形ABCD 沿直线 BD 折叠，使点C 落到点 C 处， BC 交 AD 于 E，AD=8，AB=4 ，求 BED 的面积例 3、如图，已知，A=60 ， B= D=90 ，AB=2 ， CD=1求 BC 和 AD 的长例 4、 ABC 中， a=m2n2，b=2mn，c=m
31、2n2，其中 m，n 是正整数，且mn，试判断 ABC 是否是直角三角形例 5、如图，四边形ABCD 为正方形 (四角为直角、四边相等的四边形)，点 E 为 AB 中点，点 F 在 AD 边上，且求证： EFCE例 6、如图所示，在四边形ABCD 中， AB=3 ，BC=4，CD=12，AD=13 ， B=90 ，求四边形ABCD 的面积8 勾股定理的应用一、一周知识概述勾股定理可以解决直角三角形的许多问题，在现实生活和数学中有着广泛的应用（1）理解方向角等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解决航海中距离问题；（2）判定实际问题中两线段是否垂直的问题。以已知线段为边构造三角形，根据三边的
32、长度，利用勾股定理的逆定理解题；（3）解决折叠问题。正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程的思想，用代数方法解题；（4）圆柱侧面上两点问题。转化为将侧面展开成平面长方形，构造直角三角形，利用勾股定理解决；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 31 页学习必备欢迎下载（5）其它涉及直角三角形的问题。二、重、难点知识应用勾股定理及其逆定理对具体问题具体分析，灵活运用定理是重点也是难点。三、典型例题讲解例 1、有一圆柱形油罐，底面周长是12 米，高是 5 米，现从油罐底部A 点环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方B 点，问梯
33、子最短需多少米 ? 例 2、小明想知道旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了2 米，当他把绳子的下端拉开距旗杆底部 8 米时，发现绳子的末端刚好接触地面，求旗杆的高度例 3、在一棵树的10 m 高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m 的池塘 A 处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A 处，如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高? 例 4、如图所示，公路MN 和公路 PQ 在点 P处交汇，且 QPN=30 ，点 A 处有一所中学，AP=160 米，假设一拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶，周围100 米以内会受到噪声的影响，那么学校是否会受到噪声的影响?说明理由，若受影
34、响，已知拖拉机的速度为18 千米/时，则学校受影响的时间有多长? 例 5、如图所示，南北线PQ为我国的领海线，PQ 以东为我国的领海，以西为公海，晚上11 时 28 分，我边防反偷渡巡逻艇112 号在 A处发现其正西方向有可疑船只C 向我国领海靠近，便立刻通知正在PQ 上 B 处巡逻的 113 号艇注意其动向，经观察发现，A 艇与可疑船只 C 之间的距离为10 海里，A，B 两艇之间的距离为6 海里，B 艇与可疑船只C 之间的距离为8 海里，若该可疑船只航行的速度为12.8海里 /时问该可疑船只最早在何时进入我国领海?112号巡逻艇以怎样的速度向西行驶能在可疑船只进入我领海之前截住可疑船只?
35、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 31 页学习必备欢迎下载平移和旋转一、一周内容概述1、平移：在平面内，将一个图形沿一定的方向平行移动，这种图形的平行移动称为平移2、平移的特征平移是沿着某个方向移到一定距离.注意平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应线段，对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等 .在平移过程中，对应点所连的线段可能在一条直线上. 3、图形的多次平移一个图形经过多次平移后所得的图形之间都是平移关系，反过来，属于平移关系的两个图形之间可以通过一次或多次平移彼此得到对方。4、旋转在平面内， 将一个图形绕
36、一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 5、旋转的特征（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应线段相等，对应角相等；（4）图形的形状与大小都没有发生变化；（5）对应线段所在直线所成的角都等于旋转角. 6、旋转对称图形如果某一图形绕着某一定点转动一定的角度（小于周角）后能与自身重合，那么这种图形叫做旋转对称图形. 二、重难点知识归纳1、根据平移的概念能分析复杂图形的形成过程，并且能熟练地进行平移作图. 注意：平移作图除需要原来的位置，还需要其它的条件比如：一对对应点，一对对应边
37、，一对对应角，或平移的距离. 2、能运用旋转的基础知识分析复杂图形的形成过程. （1）旋转是绕一个定点沿某个方向转动一个角度，其中旋转角是转动的角，也可以理解为任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角. （2）旋转作图除需要原来的位置外，还需要一对对应角，一对对应边，旋转的角度等等. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 31 页学习必备欢迎下载三、典型例题讲解例 1、如图所示 ABC 沿射线 xy 方向平移一定距离后成为A B C ，找出图中存在的平行且相等的线段及相等的角. 例 2、如图所示， ABC ，请将 ABC 沿着
38、北偏东60 方向平移2 厘米，画出平移后的A B C 例 3、有两个村庄A 和 B 被一条河隔开，现在要架设一座桥MN ，使由 A 到 B 的路程最短，请你设计桥应架在什么地方（河岸是平行的，桥垂直于两岸）. 例 4、如图 ABC 绕顶点 C 旋转某一个角度后得到A B C ，请问：旋转中心是什么？旋转角是什么？经过旋转，点A、B 分别移动到什么位置. 找出图中所有相等的角和相等的线段. 例 5、观察如图所示的图案.它可以看作是什么“ 基本图案 ” 通过怎样的旋转而得的？把其中一个 “ 菱形 ” 看作基本图形，顺时针或逆时针经过两次旋转120 ，240 可得到 . 例 6、如图， P 是等边三
39、角形， ABC 内的一点， APB、 BPC、CPA 的大小之比为567，求以 PA、PB、PC 的长为边长的三角形的三个内角的比.（40 60 80 =234.）10 中心对称图形的全等一、一周内容概述精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 31 页学习必备欢迎下载1、中心对称把一个图形绕着某个点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点，叫做关于对称中心的对称点. 2、中心对称的特征在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分
40、. 3、识别中心对称的方法如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称. 4、中心对称图形如果一个图形绕着它的中心点旋转180 后能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心. 5、中心对称的特征及识别方法(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；(2)关于中心对称的两个图形是全等形；(3)如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被该点平分，那么这两个图形关于这点成中心对称。(4)中心对称的特征揭示了其图形的特征如上图所示，如果ABC 与 A B C 关于点 O
41、成中心对称，则：A，O，A ；B，O，B ；C，O，C 均三点共线，且OA=OA ，OB=OB ，OC=OC ； ABC ABC；(5)如果已知 ABC 与 A B C 关于某点成中心对称，则点O 必为 AA 、BB 、CC 的中心，且它们是同一点，故也可以连结AA 、BB ，则其交点即为对称中心。6、图形的全等能够完全重合的两个图形叫做全等图形，两个多边形是全等图形，也称为全等多边形两个全等的多边形经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角一个图形经过翻折、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定
42、能够互相重合7、全等多边形的性质全等多边形的对应边相等，对应角相等。特别地，全等三角形的对应边、对应角分别相等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 31 页学习必备欢迎下载8、全等多边形的识别方法边、角分别对应相等的两个多边形全等。特别地，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等二、重难点剖析重点：正确地认识中心对称和中心对称图形的特征。难点：能快速识别中心对称和中心对称图形，并能进行有关作图。而要正确地掌握好本节知识，突破重、难点关键在于处理好以下两个关系. 1、中心对称图形和旋转对称图形的关系中心对称图
43、形是特殊的旋转对称图形，因此中心对称图形都属于旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形. 2、中心对称与中心对称图形之间的关系(1) 由中心 对称图 形的 定义可知，中心 对称图 形是 特殊的旋转对称 图形，它旋 转的角度是180 ， 它们之 间的关系是：；(2)中心对称与中心对称图形是两个不同的概念，中心对称图形是对一个图形来说的，它指的是某一个图形所具有的性质，即这个图形绕它本身的中心旋转180 后能与自身重合；而中心对称则是对两个图形而言的，它描述的是两个图形的一种位置关系，即将一个图形绕某一点旋转180 后，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称。如果把成中心对称的
44、两个图形看成一个整体，那么这个整体也就是中心对称图形。3、全等三角形的基本图形大致有如下几种图形：(1)平移形：如图，它们是由对应相等的边在同一直线上移动所构成的，对应边的相等关系一般由同一直线的线段和(差)而证得(2)对称形：如图，它们的特点是对应相等的边或角重合，可沿某条直线对折，直线两旁的部分能完全重合(3)旋转形：如图，它们的特点是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角、某些角的和 (差)中掌握上述几种类型对解决有关问题大有益处，它会帮助我们在具体证题时找到证题的途径和方法三、例题讲解例 1、判断下列图形是否为中心对称图形，如果是，请指出它们的对
45、称中心. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 31 页学习必备欢迎下载（1）线段；（2）等腰三角形； （3）平行四边形；（4）长方形；（5）圆； （6）角例 2、仔细观察下列图案，然后回答下列问题：（填序号）（1）是轴对称图形的有_. （2）是旋转对称图形的有_. （3）是中心对称图形的有_. （4）既是轴对称又是中心对称图形的有_. 例 3、如图所示，请在网格中画出四边形A B C D ，使它与原四边形ABCD 关于点 O 成中心对称。例 4、如图，四边形ABCD 中， ADBC，DF=CF，连结 AF 并延长交 BC
46、延长线于点E. （1）图中哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？（2）四边形 ABCD 的面积与图中哪个三角形的面积相等？（3）若 AB=AD BC， B=70 ，试求 DAF 的度数 . 例 5、已知 ABC EFG，且 B=68 ， G E=56 ，求 EFG 各内角的度数例 6、 如图， ABE 和 ADC 是 ABC 分别沿着 AB 、AC 边翻折 180 形成的若 1 2 3=2853，则 的度数为 _11 平行四边形的性质一、一周知识概述本周学习平行四边形的性质。平行四边形是人们日常生活和生产实践中应用比较广泛的一种几种图形，它是在学过的平行线和三角形、四边形等知识的基础上来学
47、习的，是已学知识的应用和深化，同时也是学习相似形和圆的基础，它起到承上启下的作用，同时本章渗透了多种数学思想方法，如：类比、分类、转化、方程、对称变换、旋转变换、平移变换等思想方法。二、重难点知识的归纳与剖析（一）本节知识归纳精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 31 页学习必备欢迎下载1、平行四边形的定义（1）两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。这个定义包含两层意义：四边形；两组对边分别平行，二者缺一不可。（2）平行四边形的表示：平行四边形用符号“ ” 表示，平行四边形ABCD 记作 ABCD 。2、平行四边形的特征（
48、1）从边看：平行四边形的对边平行且相等。（2）从角看：平行四边形的对角相等，邻角互补。（3）从对角线看：平行四边形的对角线互相平分。互相平分指两条线段有公共的中点。（4）平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心平行四边形的特征为我们提供了证明线段平行，相等以及角相等的新思路。注意：对边、对角、邻边、邻角的说明。对边、对角与三角形中所说的对边、对角不同，在三角形中对边是指一角的对边，对角是指一边的对角，而四边形中对边是指不相邻的边，也就是没有公共顶点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指四边形中有公共顶点的边，邻角是指四边形中有一条公共边的两个角。3、两条平行线之间的距离（1）两条平行线中，
49、一条直线上任意一点到另一直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。如图所示， L1L2，AB L2，垂足为 B，则线段AB 的长即是 L1与 L2之间的距离。理解这个概念时应该注意：可以从任一条平行线中选取一点作另一条平行线的垂线段。因为CD 既不与 L1垂直，也不与L2垂直，所以CD 的长不是 L1与L2之间的距离。垂线段的长度才叫两条平行线间的距离，不能说垂线段AB 叫两条平行线间的距离，因为距离是数量，而垂线段是图形，两条平行线间的距离实际上是点到直线的距离。（2）平行线之间的距离处处相等。（3）推广：夹在两平行线间的平行线段相等。如图所示，L1L2，AB CD，则 AB=CD 。精选学习资
50、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 31 页学习必备欢迎下载4、平行四边形的面积（1）平行四边形的面积等于它的一边与这一边上的高的积。如图：S ABCD=BC AE=AB CF，它的证明可以用S ABCD=SABCSADC，利用面积关系可以建立多条线段之间的数量关系。（2）同底（等底）同高（等高）的三角形面积相等。（3）如图所示， 若 P 点为 ABCD 的边上 AD 上任意一点， 则 SABPSDCPSPBCS ABCD，当 P 为 AD 的中点时， SABP=SDCP。（二）重难点及考点重点：平行四边形的特征，平行四边形是整个四
51、边形这一章的重点，也是全章的基础，掌握好这一节的内容对于学好全章知识起着至关重要的作用。难点：灵活运用平行四边形的特征进行证明或计算。考点：利用平行四边形的特征解决有关的证明或计算问题，是中考重点内容，出现频率较高，考题形式也是多种多样，如以选择、填空、计算、证明题的形式出现。易错点和易忽略点： 本节的易错点和易忽略点在于不能灵活运用平行四边形特征，有时在不具备条件时也应用了平行四边形的特征。要避免这些错误，做到认真审题，分清条件，灵活运用平行四边形的各个特征。（三）学法用法研究1、有平行线时常作平行线构造平行四边形。2、有以平行四边形一边中点为端点的线段时，常延长此线段。3、两条平行线间的距
52、离是用点到直线的距离来反映的，而点到直线的距离实质上是两点间的距离，注意弄清三者之间的关系。例 1、已知，如图，P 是以 a 为边长的等边ABC 内的一点， PDAB ，PEBC，PFAC，求证： PDPEPF=a. 例 2、如图，在 ABCD 中， CE 是 DCB 的平分线， F 是 AB 的中点， AB=6 ，BC=4，则 AEEFFB 为多少 ? 例 3、如图， ABC 中， AB=AC ，点 P是 BC 上任一点， PEAC ，PFAB ，分别交 AB 、AC 于 E、F，试问线段PE、PF、AB 之间有什么关系，试证明你的结论. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名
53、师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 31 页学习必备欢迎下载例 4、现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45 角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并说明你的方案正确的理由例 5、已知，如图点E 是 ABCD 的对角线 AC 上任意一点，求证：SBEC=SCDE。12 矩形、菱形、正方形和梯形的性质一、一周知识概述本周主要学习、讨论了几种特殊的平行四边形，矩形、菱形、正方形和梯形，并探索了它们各自独有的基本特征与性质它们是最为常见的平行四边形，矩形、菱形、正方形既是轴对称图，又是中心对称图形通过学习我们必须掌握好它们所具有的性质与其判定方法1、矩形有一个
54、角是直角的平行四边形是矩形2、矩形的性质定理及推论性质定理：矩形的四个角都是直角性质定理：矩形的对角线相等推论：直角三角形斜对上的中线等于斜边的一半3、矩形的判定方法判定方法：有三个角是直角的四边形是矩形判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形4、菱形的性质定理（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直平分，一条对角线平分一组对角5、菱形的判定方法（1）四条边都相等的四边形是菱形；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 31 页学习必备欢迎下载（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形6、正方形的定义及性质有一组邻边相等并且
55、有一个角是直角的平行四边形叫正方形从定义可知，正方形既是一种特殊的矩形（有一组邻边相等的矩形），又是一种特殊的菱形（有一个角是直角的菱形），因此它具有矩形和菱形的所有性质正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形判定：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。7、梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底。梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。梯形的高：梯形两底的距离叫做梯形的高。8、等腰梯形的性质定理（1）等腰梯形的两腰相等，两底互相平行；（2）等腰梯形在同一底上的两个角相等；（3）等腰梯形的对角线相等. 9、等腰梯形的判定方法（1）两腰相等的梯形是
56、等腰梯形；（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 31 页学习必备欢迎下载10、矩形的对角线相等，那么对角线相等的四边形一定是矩形吗？不一定，例如：四边形 ABCD 中， AB=CD ， BAD= ADC，ADBC ，可证： ABD DCA ，即得 CA=BD ，但四边形ABCD 不是矩形11、四边形的分类及它们的关系二、重点知识归纳及讲解1、矩形的性质定理例 1、在矩形 ABCD 中， AEBD， BAE EAD=2 3，求 CAE 的度数2、矩
57、形的判定方法例 2、证明：平行四边形各内角平分线若围成一个四边形，则这个四边形一定是矩形解析： 这是一道文字命题证明题，首先要分析题设和结论，再画出图形，写出已知、求证，最后作出证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 31 页学习必备欢迎下载已知：如图所示， AF、CH、BE、DF 分别为平行四边形ABCD 的四个内角的角平分线，AF 分别交 BE、DF 于 E、F，CH 分别交 BE，DG 于 H、G求证： 四边形 EFGH 为矩形3、菱形的性质定理菱形具有平行四边形的一切性质，它还具有一般的平行四边形所不具有的性质，可
58、分别从边和对角线的两个角度来记例 3、在菱形 ABCD 中， AB=AC ，求 ADO 的度数4、正方形是一种更为特殊的平行四边形，它既具有平行四边形的一般性质，又具有矩形与菱形的独特性质。在学习中要注意理解平行四边形、矩形、菱形和正方形各种图形之间的关系。例 4、在正方形ABCD 中， AEBD ，BD=BE ，求 DBE 的度数 . 例 5、已知在 ABC 中， C=90 ，CD 是角平分线， DEBC，DFAC.求证：四边形CFDE 为正方形 . 5、在解与梯形相关的问题时，常将梯形转化为三角形和四边形. 梯形经常通过划分成一个平行四边形与一个三角形来解决有关问题，通过练习，我们要深刻理解和掌握这一化归思想。通过学习要认识等腰梯形的轴对称特征及其他性质。例 6、已知等腰梯形的锐角等于60 ，它的两底分别为15cm，49cm，求它的腰长 . 例 7、在梯形 ABCD 中， AD BC，E、F 分别为 AD 、BC 的中点，且 B C=90 ，求： EF（ BCAD ）的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 31 页
