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1、十五讲格林公式及其应用-一连通区域 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD一、连通区域一、连通区域二、格林公式二、格林公式边界曲线边界曲线 L L 的正向的正向: : 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时, ,区域区域 总在观察者的左边总在观察者的左边. .证明证明: :yxO abDcdCE同理可证同理可证yxO abDcdCED两式相加得两式相加得DGDFCEAB由由(2)知知GDFCEAB格林公式的实
2、质格林公式的实质 ：沟通了沿闭曲线的曲线积分与沟通了沿闭曲线的曲线积分与二重积分之间的联系二重积分之间的联系 .格林公式也可以写成格林公式也可以写成xyOLAB 解解（取正向的边界曲线取正向的边界曲线）引入辅助曲线：引入辅助曲线：解解则则应用格林公式应用格林公式, 有有 xyO解解xyOLyxo由格林公式知由格林公式知应用格林公式应用格林公式,得得xyo(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)( 其中其中 l 的方向的方向取逆时针方向取逆时针方向 )利用格林公式计算平面图形的面积利用格林公式计算平面图形的面积解解GyxOBA三、曲线积分与路径无关的条件三、曲线积分与路径无关的条件证明证明 充分
3、性由格林公式直接得证充分性由格林公式直接得证 . 下面证明条件下面证明条件(1)是必要的是必要的 . 用反证法用反证法 . 由格林公式及二重积分的性质有由格林公式及二重积分的性质有这与假设相矛盾，即条件这与假设相矛盾，即条件(1)是必要的是必要的.所以所以四、二元函数的全微分求积四、二元函数的全微分求积证明证明 则必有则必有从而有从而有由定理的条件，有由定理的条件，有即条件即条件(2)是必要的是必要的 .先证必要性先证必要性.再证充分性再证充分性.下面证明下面证明由偏导数的定义，有由偏导数的定义，有由由(3)式，得式，得所以所以由定积分中值定理，得由定积分中值定理，得因此得到因此得到同理可证同理可证即条件即条件(2)是充分的是充分的 .解解所以原积分与路径无关，所以原积分与路径无关，原式原式=解解由积分与路径无关可知由积分与路径无关可知 故故
