2022年第十六章多元函数的极限与连续习题课

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1、精品资料欢迎下载第十六章多元函数的极限与连续习题课一 概念叙述题1. 叙述0lim( )PPf PA，其中0,P P的坐标为00( , ),(,)x yxy0lim( )0,0,PPf PA当00(;)PUPD时，有( )f PA（方形邻域）0,0,当0xx，0yy，00( , )( ,)x yx y， 有(, )f xy A（圆形邻域）0,0,当22000()()xxyy，有( , )f x yA2. 叙述00( , )(,)lim( , )x yxyf x y，00( , )(,)lim( , )x yxyf x y，00( ,)(,)lim( , )x yxyf x y的定义000000

2、( , )(,)lim( , )0,0,( , )( ,)( , )x yx yf x yGx xyyx yx yf x yG当时，有22000,0,0( ,)Gxxyyf x yG当时，有000000( , )(,)lim( , )0,0,( , )( ,)( , )x yx yf x yGxxyyx yx yf x yG当时，有000000( , )(,)lim( , )0,0,( , )(,)( , )x yx yf x yGx xyyx yx yf x yG当时，有3. 叙述0( ,)(,)lim( , )x yyf x yA的定义00( , )(,)lim( , )0,0,0,( ,

3、 )x yyf x yAMxM yyf x yA当时，有4. 叙述0( ,)(,)lim( , )x yxf x y的定义00( , )(,)lim( , )0,0,0,( , )x yxf x yGMxxyMf x yG当时，有5. 叙述( , )(,)lim( , )x yf x y的定义( , )(,)lim( , )0,0,( , )x yf x yGMxM yMf x yG当时，有注：类似写出( , )( , )lim( , )x yf x y的定义，其中取,A，取0,x，取0,y6. 叙述f在点0P连续的定义f在点0P连续，0，只要0(;)PU PD，就有0( )()f Pf P，

4、0，当0xx，0yy，就有00( , )(,)f x yf xy，0， 当2200()()xxyy， 就有00( , )(,)f x yf xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页精品资料欢迎下载7. 叙述f在D上一致连续的定义f在D上一致连续0,P QD只要(,)P Q，就有( )( ).f Pf Q8. 叙述f在D上不一致连续的定义f在D上不一致连续00,P QD尽管(,)P Q，但有0()().f Pf Q二 疑难问题与注意事项1. 00( , ) |0,0x yxxyy表示空心邻域吗？答：不是0000( ,

5、)|,( , ) ( ,)x yx xy yx yx y只是00( , )|,x yx xyy去掉一点00(,)xy，而00( , ) |0,0x yxxyy是00( , )|,x y x xy y去掉了两条线段，000( , )|,x yxxyyy，000( , )|,x yyy xxx2.E的界点是E的聚点吗？答：不一定，E的界点还可能是E的孤立点3.E的聚点一定属于E吗？答：不一定， 例如，22(,)|14Dx yxy，满足224xy的一切点也是D的聚点，但它们都不属于D注E的内点， 孤立点一定属于E，E的聚点， 界点可能属于E，也可能不属于E，E的外点一定不属于E4. 区域上每一点都是

6、聚点吗？答 区域上每一点都是聚点，因为区域是连通的开集，既然连通，就能保证，区域上每精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页精品资料欢迎下载一点的邻域有无穷多个点5. 12xx，2212()xxyy12（-），1212xxyy之间有什么关系？答：221212121212()xxyyxxyyxxyy12或（-）6. 用方形邻域证明00( , )(,)lim( , ).x yxyf x yA的思路是什么？答：证明00( ,)(,)lim( , ).x yxyf x yA怎么证呢？ -关键也是找. （用方形邻域的思路0,0,当

7、0xx，0yy，00( , )(,)x yxy，有( , )f x yA. ）当00( ,)(,)x yxy，有00( ,)(,)x yxy，把( , )f x yA化简为下述形式: 00( ,),f x yAx yxxx yyy（注意一定要出现0xx，0yy）. 然后将,x yx y适 当 放 大 ， 有 时 先 要 限 定01xx，01yy, 估 算 得,xyMxyN,则（最综化简到00( , )f x yAM xxN yy这个形式）；0，要使( , )f x yA，只要00M xxN yyMN，即要MN， 取1min(,)MN， 于 是0,0,当0xx，0yy，00( , )(,)x y

8、x y，有( , )f x yA. 7. 证明判断二元函数,fx y在( , )(0,0)x y时二重极限不存在？答：1）当动点( ,)x y沿着直线ymx而趋于定点(0,0)时，若( , )( 0 ,0 )lim( , )x yymxf x y值与m有关，则二重极限( ,)(0,0)lim( , )x yf x y不存在2） 令cosxr，sinyr，0lim( cos , sin )rf rr与有 关 ， 则 二 重 极 限( ,)(0,0)lim( , )x yf x y不存在注意若0lim( cos , sin )rf rr与无关，则二重极限( ,)(0,0)lim( , )x yf

9、x y存在3）找自变量的两种变化趋势，使两种方式下极限不同4）证明两个累次极限存在但不相等8. 当动点( , )x y沿着直线ymx而趋于定点(0,0)时，若( , )(0,0)lim( , )x yymxf x y值与m无关，能说明二重极限( , )(0,0)lim( , )x yf x y存在吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页精品资料欢迎下载答：不能，因为所谓二元函数存在极限，是指( ,)x y以任何方式趋于(0,0)时，函数( , )f x y都无限接近于同一个常数，动点( , )x y沿着直线ymx而趋

10、于定点(0,0)这只是一种方式，还有其它方式9. 计算二元函数极限有哪些方法？1)利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小；例求22( , )(0,0)1lim()sinx yxyxy解因为(, )(0,0)lim()0x yxy，而221sin1xy，利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小，即知22( , )(0,0)1lim()sin0x yxyxy2）利用变量替换化为已知极限或化为一元函数的极限；例2222( ,)(0,0)sin()limx yxyxy解利用变量替换令22uxy，当( , )(0,0)x y时，有0u，因此2222( , )(0,0)0sin()sinlimlim1x yuxyu

11、xyu3）利用极坐标变换令cosxr，sinyr，如果( cos , sin)f rr沿径向路径关于0,2一致成立，则( ,)(0,0)0lim( , )lim( cos , sin )x yrf x yf rr；例求222( ,)(0,0)limx yx yxy解利用极坐标变换 令c o sxr，sinyr，当( , )( 0 ,0 )x y时，有0r，因此2322222( , )(0,0)00cossinlimlimlimcossin0x yrrx yrrxyr4）利用不等式，使用夹逼准则例2244( ,)(,)limx yxyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳

12、总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页精品资料欢迎下载解 因为2222442222110222xyxyxyx yyx，而22( , )(,)11lim022x yyx因此2244( ,)(,)lim0x yxyxy5）初等变形求极限，如1极限，凑1e1，0例2( , )(,0)1lim1xxyx yx解2(,)(,0)lim( , )(,0)( ,)(,0)11lim1lim1x yxxxxxyx yxyx yx yeexx10重极限与累次极限有什么关系？答： （1）重极限与累次极限没有必然的蕴含关系（除了若两个累次极限存在但不相等能推重极限存在） ；（2）若两个重极限与累次

13、极限都存在时，则三者相等；（3）若重极限和其中一个累次极限存在时则这两者相等，另一个累次极限可能存在可能不存在（4）两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等11. 二元函数,f x y在00,xy连续， 与一元函数0,fx y在0x连续， 一元函数0,f x y在0y连续有什么关系？答反例二元函数1,0,( , )0,0 xyf x yxy在原点处显然不连续但由(0,)( ,0)0,fyf x因此在原点处f对x和对y分别都连续三 典型例题1求下列平面点集的内点、边界点、聚点、孤立点形成的集合精选学习资料 - - - - - - - - - 名

14、师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页精品资料欢迎下载（ 1）22,144yEx yx；（ 2）,0,1Ex yx y都是中的有理数；（ 3）,Ex yx y都是整数；（ 4）1,sinEx yyx解： （1）E的内点集合是22,144yEx yx，边界点集合是2222,1444yyEx yxx或，聚点集合是22,144yEx yx没有孤立点（2）E没有内点，（因为E中任意一点的邻域既含有有理数，也含有无理数）；边界点集合是0,10,1聚点集合是0,10,1，没有孤立点（3）E没有内点，（因为E中任意一点的空心邻域当距离很小时，不含整数点）边界点集合是E，没有聚点，孤立

15、点集合是E（4）E没有内点，聚点是1,sinEx yyx,0, 11x yxy，没有孤立点，界点是1,sinEx yyx,0, 11x yxy2证明0000(,)(,)(),()nnnnxyxynxxyy n证： （）由于00(,)(,)()nnxyxyn，即对0，NZ，当nN时有2200()()nnxxyy，因此有22000|()()nnnxxxxyy，22000|()()nnnyyxxyy，即00,()nnxxyy n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页精品资料欢迎下载（）由于00,()nnxxyyn，即对0，N

16、Z，当nN时有0|2nxx，0|2nyy，从而有220000()()nnnnxxyyxxyy，即00(,)(,)()nnxyxyn3 （1）举出两个累次极限存在，但不相等的例子（2）举出两个累次极限存在，且相等的例子（3）举出两个累次极限一个存在一个不存在的例子（4）举出两个累次极限都不存在的例子解： （1）例如( , )xyfx yxy在(0,0)点的两个累次极限存在，但不相等000lim limlim11xyxxyxy，000lim limlim11yxyxyxy（2）例如22( , )xyfx yxy在(0,0)点的两个累次极限存在，且相等22000limlimlim00xyxxyxy，

17、2200lim lim0yxxyxy（3）例如1( , )sinfx yxy在(0,0)点只有一个累次极限存在001limlimsinxyxy不存在，001limlimsin0yxxy（4）例如11( , )sinsinfx yxyyx在(0,0)点两个累次极限都不存在注 两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等4试作函数,fx y，使当0x，0y时(1)两个累次极限存在而重极限不存在；(2)两个累次极限不存在而重极限存在；(3)重极限与累次极限都不存在；(4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在精选学习资料 - - - - - -

18、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页精品资料欢迎下载解（1）22( , )xyf x yxy，两个累次极限存在（见上题），但2222222,0 , 00limlim1x yxykxxykxkxyxk xk，因为与k有关系，因此重极限不存在（2）11( , )sinsinf x yxyyx，在(0,0)点两个累次极限都不存在，但重极限存在,0,011limsinsin=0x yxyyx（3）2211( , )f x yxy，在(0,0)点的两个累次极限，重极限都不存在（4）1( , )sinf x yxy或1( , )sinf x yyx变形： 当x，y

19、时，有10x，10y，（1）22221 1( ,)11xyx yf x yxyxy；（2）11( ,)sinsinf x yyxxy；（3）22( ,)f x yxy；（4）1( ,)sinf x yyx5. 讨论二元函数22,( ,)(0,0)( , )0,( , )(0,0),xx yf x yxyx y在(0,0)点的连续性解 令cosxr，sinyr，222( ,)(0,0)0coslimlimx yrxrxyr当2，根据无穷小量乘有界量为无穷小量知22( ,)(0,0)lim00,0x yxfxy，因此精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

20、 - -第 8 页，共 10 页精品资料欢迎下载( , )f x y在(0,0)点连续；当2，由极限值与有关，二重极限不存在，因此( , )fx y在(0,0)点不连续；当2，由20coslimrrr不存在，则二重极限不存在，因此( , )f x y在(0,0)点不连续6设( , )f x y定义在闭矩形域 , ,.Sa bc d若f对y在 ,c d上处处连续 , 对x在 , a b( 且关于y) 为一致连续 . 证明f在S上处处连续 . 分析 ：要证f在S上处处连续，只要证00,xyS，f在00,xy连续，即证，0，当0xx，0yy，就有00( , )(,)f x yf xy，因为条件中有一

21、元函数连续，因此要出现偏增量，即证，0，当0xx，0yy，0000( , )( , )( , )( , )f xyf x yf x yf x y（因为条件是f对y在 ,c d上处处连续 , 对x在 , a b( 且关于y) 为一致连续，因此插入0(, )f xy. 证明 ：因为f对y在 ,c d上处处连续，则0,fxy在0y连续，于是，0，当0yy，就有000(, )(,)2f xyf xy. 因为对x在 , a b( 且关于y) 为一致连续， 则有，0，当0xx（对任意y就有0( , )(, )2f x yf xy. 因此，0，当0xx，0yy，就有00000000( , )(, )(, )

22、(,)( , )(, )(, )(,)f x yf xyf xyf xyf x yf xyf xyf xy. 7. 设00lim( )()yyyyA，00lim( )()0xxxx，且在00(,)xy附近有,( )( )fx yyx，证明00,lim( , )x yxyf x yA. 分析： 要证00,lim( , )x yxyfx yA，只要证0,0,当0xx，0yy，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页精品资料欢迎下载00( , )( ,)x yx y，有( , )f x yA. 而,fx y与( )y有关系，因

23、此就要插入( )y，即证( , )( )( )f x yyyA. 证 由00lim( )()yyyyA得，0,0,当0yy，有( )2yA. 由00lim( )()0xxxx得，0,0,当0xx，有( )2x. 因为在00(,)xy附近有,( )( )fx yyx，于是当0xx，0yy有,( )2fx yy. 因此0,0,当0xx，0yy有( , )( )( )( , )( )( )f x yyyAf x yyyA，因此00,lim( , )x yxyf x yA. 8. f在E上 一 致 连 续 的 充 要 条 件 是 ： 对E中 的 每 一 对 点 列,kkPQ如 果li m,0kkkP

24、Q，便有lim0kkkfPfQ. 证 必要性f在E上一致连续0,P QD只要( ,)P Q，就有( )( ).f Pf Qlim,0kkkP Q对上述，,kkNkNP Q有，因此()().kkf Pf Q即lim0kkkfPfQ. 充分性反证法，设f在D上不一致连续00,P QD尽管(,)P Q，但有0()().f Pf Q则取1,1,2,kk总有相应的kkPQD、，虽然1(,)kkP Qk，但是0()().kkf Pf Q即lim,0kkkP Q，lim0kkkfPfQ，矛盾 . 因此f在E上一致连续 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页