《2022年第十六章多元函数的极限与连续习题课》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年第十六章多元函数的极限与连续习题课(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、精品资料欢迎下载第十六章多元函数的极限与连续习题课一 概念叙述题1. 叙述0lim( )PPf PA,其中0,P P的坐标为00( , ),(,)x yxy0lim( )0,0,PPf PA当00(;)PUPD时,有( )f PA(方形邻域)0,0,当0xx,0yy,00( , )( ,)x yx y, 有(, )f xy A(圆形邻域)0,0,当22000()()xxyy,有( , )f x yA2. 叙述00( , )(,)lim( , )x yxyf x y,00( , )(,)lim( , )x yxyf x y,00( ,)(,)lim( , )x yxyf x y的定义000000
2、( , )(,)lim( , )0,0,( , )( ,)( , )x yx yf x yGx xyyx yx yf x yG当时,有22000,0,0( ,)Gxxyyf x yG当时,有000000( , )(,)lim( , )0,0,( , )( ,)( , )x yx yf x yGxxyyx yx yf x yG当时,有000000( , )(,)lim( , )0,0,( , )(,)( , )x yx yf x yGx xyyx yx yf x yG当时,有3. 叙述0( ,)(,)lim( , )x yyf x yA的定义00( , )(,)lim( , )0,0,0,( ,
3、 )x yyf x yAMxM yyf x yA当时,有4. 叙述0( ,)(,)lim( , )x yxf x y的定义00( , )(,)lim( , )0,0,0,( , )x yxf x yGMxxyMf x yG当时,有5. 叙述( , )(,)lim( , )x yf x y的定义( , )(,)lim( , )0,0,( , )x yf x yGMxM yMf x yG当时,有注:类似写出( , )( , )lim( , )x yf x y的定义,其中取,A,取0,x,取0,y6. 叙述f在点0P连续的定义f在点0P连续,0,只要0(;)PU PD,就有0( )()f Pf P,
4、0,当0xx,0yy,就有00( , )(,)f x yf xy,0, 当2200()()xxyy, 就有00( , )(,)f x yf xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精品资料欢迎下载7. 叙述f在D上一致连续的定义f在D上一致连续0,P QD只要(,)P Q,就有( )( ).f Pf Q8. 叙述f在D上不一致连续的定义f在D上不一致连续00,P QD尽管(,)P Q,但有0()().f Pf Q二 疑难问题与注意事项1. 00( , ) |0,0x yxxyy表示空心邻域吗?答:不是0000( ,
5、)|,( , ) ( ,)x yx xy yx yx y只是00( , )|,x yx xyy去掉一点00(,)xy,而00( , ) |0,0x yxxyy是00( , )|,x y x xy y去掉了两条线段,000( , )|,x yxxyyy,000( , )|,x yyy xxx2.E的界点是E的聚点吗?答:不一定,E的界点还可能是E的孤立点3.E的聚点一定属于E吗?答:不一定, 例如,22(,)|14Dx yxy,满足224xy的一切点也是D的聚点,但它们都不属于D注E的内点, 孤立点一定属于E,E的聚点, 界点可能属于E,也可能不属于E,E的外点一定不属于E4. 区域上每一点都是
6、聚点吗?答 区域上每一点都是聚点,因为区域是连通的开集,既然连通,就能保证,区域上每精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精品资料欢迎下载一点的邻域有无穷多个点5. 12xx,2212()xxyy12(-),1212xxyy之间有什么关系?答:221212121212()xxyyxxyyxxyy12或(-)6. 用方形邻域证明00( , )(,)lim( , ).x yxyf x yA的思路是什么?答:证明00( ,)(,)lim( , ).x yxyf x yA怎么证呢? -关键也是找. (用方形邻域的思路0,0,当
7、0xx,0yy,00( , )(,)x yxy,有( , )f x yA. )当00( ,)(,)x yxy,有00( ,)(,)x yxy,把( , )f x yA化简为下述形式: 00( ,),f x yAx yxxx yyy(注意一定要出现0xx,0yy). 然后将,x yx y适 当 放 大 , 有 时 先 要 限 定01xx,01yy, 估 算 得,xyMxyN,则(最综化简到00( , )f x yAM xxN yy这个形式);0,要使( , )f x yA,只要00M xxN yyMN,即要MN, 取1min(,)MN, 于 是0,0,当0xx,0yy,00( , )(,)x y
8、x y,有( , )f x yA. 7. 证明判断二元函数,fx y在( , )(0,0)x y时二重极限不存在?答:1)当动点( ,)x y沿着直线ymx而趋于定点(0,0)时,若( , )( 0 ,0 )lim( , )x yymxf x y值与m有关,则二重极限( ,)(0,0)lim( , )x yf x y不存在2) 令cosxr,sinyr,0lim( cos , sin )rf rr与有 关 , 则 二 重 极 限( ,)(0,0)lim( , )x yf x y不存在注意若0lim( cos , sin )rf rr与无关,则二重极限( ,)(0,0)lim( , )x yf
9、x y存在3)找自变量的两种变化趋势,使两种方式下极限不同4)证明两个累次极限存在但不相等8. 当动点( , )x y沿着直线ymx而趋于定点(0,0)时,若( , )(0,0)lim( , )x yymxf x y值与m无关,能说明二重极限( , )(0,0)lim( , )x yf x y存在吗?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精品资料欢迎下载答:不能,因为所谓二元函数存在极限,是指( ,)x y以任何方式趋于(0,0)时,函数( , )f x y都无限接近于同一个常数,动点( , )x y沿着直线ymx而趋
10、于定点(0,0)这只是一种方式,还有其它方式9. 计算二元函数极限有哪些方法?1)利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小;例求22( , )(0,0)1lim()sinx yxyxy解因为(, )(0,0)lim()0x yxy,而221sin1xy,利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小,即知22( , )(0,0)1lim()sin0x yxyxy2)利用变量替换化为已知极限或化为一元函数的极限;例2222( ,)(0,0)sin()limx yxyxy解利用变量替换令22uxy,当( , )(0,0)x y时,有0u,因此2222( , )(0,0)0sin()sinlimlim1x yuxyu
11、xyu3)利用极坐标变换令cosxr,sinyr,如果( cos , sin)f rr沿径向路径关于0,2一致成立,则( ,)(0,0)0lim( , )lim( cos , sin )x yrf x yf rr;例求222( ,)(0,0)limx yx yxy解利用极坐标变换 令c o sxr,sinyr,当( , )( 0 ,0 )x y时,有0r,因此2322222( , )(0,0)00cossinlimlimlimcossin0x yrrx yrrxyr4)利用不等式,使用夹逼准则例2244( ,)(,)limx yxyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
12、总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精品资料欢迎下载解 因为2222442222110222xyxyxyx yyx,而22( , )(,)11lim022x yyx因此2244( ,)(,)lim0x yxyxy5)初等变形求极限,如1极限,凑1e1,0例2( , )(,0)1lim1xxyx yx解2(,)(,0)lim( , )(,0)( ,)(,0)11lim1lim1x yxxxxxyx yxyx yx yeexx10重极限与累次极限有什么关系?答: (1)重极限与累次极限没有必然的蕴含关系(除了若两个累次极限存在但不相等能推重极限存在) ;(2)若两个重极限与累次
13、极限都存在时,则三者相等;(3)若重极限和其中一个累次极限存在时则这两者相等,另一个累次极限可能存在可能不存在(4)两个累次极限可能都存在,可能都不存在,可能一个存在一个不存在,都存在时可能相等,也可能不相等11. 二元函数,f x y在00,xy连续, 与一元函数0,fx y在0x连续, 一元函数0,f x y在0y连续有什么关系?答反例二元函数1,0,( , )0,0 xyf x yxy在原点处显然不连续但由(0,)( ,0)0,fyf x因此在原点处f对x和对y分别都连续三 典型例题1求下列平面点集的内点、边界点、聚点、孤立点形成的集合精选学习资料 - - - - - - - - - 名
14、师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精品资料欢迎下载( 1)22,144yEx yx;( 2),0,1Ex yx y都是中的有理数;( 3),Ex yx y都是整数;( 4)1,sinEx yyx解: (1)E的内点集合是22,144yEx yx,边界点集合是2222,1444yyEx yxx或,聚点集合是22,144yEx yx没有孤立点(2)E没有内点,(因为E中任意一点的邻域既含有有理数,也含有无理数);边界点集合是0,10,1聚点集合是0,10,1,没有孤立点(3)E没有内点,(因为E中任意一点的空心邻域当距离很小时,不含整数点)边界点集合是E,没有聚点,孤立
15、点集合是E(4)E没有内点,聚点是1,sinEx yyx,0, 11x yxy,没有孤立点,界点是1,sinEx yyx,0, 11x yxy2证明0000(,)(,)(),()nnnnxyxynxxyy n证: ()由于00(,)(,)()nnxyxyn,即对0,NZ,当nN时有2200()()nnxxyy,因此有22000|()()nnnxxxxyy,22000|()()nnnyyxxyy,即00,()nnxxyy n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精品资料欢迎下载()由于00,()nnxxyyn,即对0,N
16、Z,当nN时有0|2nxx,0|2nyy,从而有220000()()nnnnxxyyxxyy,即00(,)(,)()nnxyxyn3 (1)举出两个累次极限存在,但不相等的例子(2)举出两个累次极限存在,且相等的例子(3)举出两个累次极限一个存在一个不存在的例子(4)举出两个累次极限都不存在的例子解: (1)例如( , )xyfx yxy在(0,0)点的两个累次极限存在,但不相等000lim limlim11xyxxyxy,000lim limlim11yxyxyxy(2)例如22( , )xyfx yxy在(0,0)点的两个累次极限存在,且相等22000limlimlim00xyxxyxy,
17、2200lim lim0yxxyxy(3)例如1( , )sinfx yxy在(0,0)点只有一个累次极限存在001limlimsinxyxy不存在,001limlimsin0yxxy(4)例如11( , )sinsinfx yxyyx在(0,0)点两个累次极限都不存在注 两个累次极限可能都存在,可能都不存在,可能一个存在一个不存在,都存在时可能相等,也可能不相等4试作函数,fx y,使当0x,0y时(1)两个累次极限存在而重极限不存在;(2)两个累次极限不存在而重极限存在;(3)重极限与累次极限都不存在;(4)重极限与一个累次极限存在,另一个累次极限不存在精选学习资料 - - - - - -
18、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精品资料欢迎下载解(1)22( , )xyf x yxy,两个累次极限存在(见上题),但2222222,0 , 00limlim1x yxykxxykxkxyxk xk,因为与k有关系,因此重极限不存在(2)11( , )sinsinf x yxyyx,在(0,0)点两个累次极限都不存在,但重极限存在,0,011limsinsin=0x yxyyx(3)2211( , )f x yxy,在(0,0)点的两个累次极限,重极限都不存在(4)1( , )sinf x yxy或1( , )sinf x yyx变形: 当x,y
19、时,有10x,10y,(1)22221 1( ,)11xyx yf x yxyxy;(2)11( ,)sinsinf x yyxxy;(3)22( ,)f x yxy;(4)1( ,)sinf x yyx5. 讨论二元函数22,( ,)(0,0)( , )0,( , )(0,0),xx yf x yxyx y在(0,0)点的连续性解 令cosxr,sinyr,222( ,)(0,0)0coslimlimx yrxrxyr当2,根据无穷小量乘有界量为无穷小量知22( ,)(0,0)lim00,0x yxfxy,因此精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
20、 - -第 8 页,共 10 页精品资料欢迎下载( , )f x y在(0,0)点连续;当2,由极限值与有关,二重极限不存在,因此( , )fx y在(0,0)点不连续;当2,由20coslimrrr不存在,则二重极限不存在,因此( , )f x y在(0,0)点不连续6设( , )f x y定义在闭矩形域 , ,.Sa bc d若f对y在 ,c d上处处连续 , 对x在 , a b( 且关于y) 为一致连续 . 证明f在S上处处连续 . 分析 :要证f在S上处处连续,只要证00,xyS,f在00,xy连续,即证,0,当0xx,0yy,就有00( , )(,)f x yf xy,因为条件中有一
21、元函数连续,因此要出现偏增量,即证,0,当0xx,0yy,0000( , )( , )( , )( , )f xyf x yf x yf x y(因为条件是f对y在 ,c d上处处连续 , 对x在 , a b( 且关于y) 为一致连续,因此插入0(, )f xy. 证明 :因为f对y在 ,c d上处处连续,则0,fxy在0y连续,于是,0,当0yy,就有000(, )(,)2f xyf xy. 因为对x在 , a b( 且关于y) 为一致连续, 则有,0,当0xx(对任意y就有0( , )(, )2f x yf xy. 因此,0,当0xx,0yy,就有00000000( , )(, )(, )
22、(,)( , )(, )(, )(,)f x yf xyf xyf xyf x yf xyf xyf xy. 7. 设00lim( )()yyyyA,00lim( )()0xxxx,且在00(,)xy附近有,( )( )fx yyx,证明00,lim( , )x yxyf x yA. 分析: 要证00,lim( , )x yxyfx yA,只要证0,0,当0xx,0yy,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精品资料欢迎下载00( , )( ,)x yx y,有( , )f x yA. 而,fx y与( )y有关系,因
23、此就要插入( )y,即证( , )( )( )f x yyyA. 证 由00lim( )()yyyyA得,0,0,当0yy,有( )2yA. 由00lim( )()0xxxx得,0,0,当0xx,有( )2x. 因为在00(,)xy附近有,( )( )fx yyx,于是当0xx,0yy有,( )2fx yy. 因此0,0,当0xx,0yy有( , )( )( )( , )( )( )f x yyyAf x yyyA,因此00,lim( , )x yxyf x yA. 8. f在E上 一 致 连 续 的 充 要 条 件 是 : 对E中 的 每 一 对 点 列,kkPQ如 果li m,0kkkP
24、Q,便有lim0kkkfPfQ. 证 必要性f在E上一致连续0,P QD只要( ,)P Q,就有( )( ).f Pf Qlim,0kkkP Q对上述,,kkNkNP Q有,因此()().kkf Pf Q即lim0kkkfPfQ. 充分性反证法,设f在D上不一致连续00,P QD尽管(,)P Q,但有0()().f Pf Q则取1,1,2,kk总有相应的kkPQD、,虽然1(,)kkP Qk,但是0()().kkf Pf Q即lim,0kkkP Q,lim0kkkfPfQ,矛盾 . 因此f在E上一致连续 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页