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1、1 新定义运算解题技巧我们已经学习过加、减、乘、除运算,这些运算,即四则运算是数学中最基本的运算,它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外,还会有什么别的运算吗?现在我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号,在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号,但学习讨论这些新运算,对于开拓思路及今后的学习都大有益处。一、定义1、 定义新运算 是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。注意: (1)解决此类问题,关键是要正确理解新定义的算式含义,严格按照新定义的计算顺序,将数值代入算式中,再把它转化为一般的四则运算,然后进行计算。(2)我们还要知道,这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算
2、符号,如:*、?、等来表示的一种运算。(3)新定义的算式中,有括号的,要先算括号里面的。2、一般的解题步骤是: 一是认真审题,深刻理解新定义的内容;二是排除干扰,按新定义关系去掉新运算符号;三是化新为旧,转化成已有知识做旧运算。二、初步例题诠释例 1、 对于任意数a,b,定义运算“ * ”:a*b=a b-a-b 。求 12*4 的值。分析与解 :根据题目定义的运算要求,直接代入后用四则运算即可。12*4=124-12-4=48-12-4=32 例 2、假设 a b = ( a + b ) b 。求 8 5 。分析与解 :该题的新运算被定义为: a b 等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算
3、括号里面的和,再算后面的商。这里a 代表数字8, b 代表数字 5。8 5 = ( 8 + 5 ) 5 = 2.6 例 3、如果 ab=ab-(a+b) 。求 6( 92)。分析与解 :根据定义,要先算括号里面的。这里的符号“”就是一种新的运算符号。6(92)=69 2-( 9+2) =67=67- ( 6+7)=42-13=29 例 4、如果 13=1+11+111;2 5=2+22+222+2222+22222;8 2=8+88。求 65。分析与解 :仔细观察发现“ ”前面的数字是加数每个数位上的数字,而加数分别是一位数,二位数,三位数,,“”后面的数字是几,就有几个加数。因此可以按照这个
4、规律进行解答。65=6+66+666+6666+66666=74070 例 5、如果规定2=123,3=234,4=345,, 计算(21-31)32。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - 2 分析与解 :该题看上去比较复杂,但仔细观察,我们可以发现,该题被定义为X= (X-1) X( X+1 )。由于把数代入算式中计算比较麻烦,我们可以先化简算式后,再计算。(21-31)32 = 2132-3132 =31-3132
5、 =31( 1-32) = 4321( 1-432321) =4321( 1-41) =432143 =321例 6、规定 ab=5a+21ab-3b 。求( 85) X=264中的未知数。分析与解 :根据新定义,应该先计算括号里面的,再计算括号外面的,然后解方程即可。(85) X=264 (58 + 2185-3 5) X=264 45X=264 545+2145 X-3X=264 225+245X-26X=264 225+239X=264 239X=39 X=2 三、边学边试【例 1】A,B 表示两个数,定义AB 表示 (A+B) 2,求(1)(317) 29;(2)(1 9) 9 6。【
6、分析与解 】 定义新运算符号 “”表示 AB=(A+B) 2, 即两个数做“” 运算就是求这两个数的平均值.如:317=(3+17)2=10,再用 10 与 29 做运算, 1029=(10+29) 2=19.5 (1)原式 =(3+17) 2 29 (2)原式 =(1+9) 2 96 =202 29 =59 6 =10 29 =(5+9) 2 6 =(10+29) 2 =76 =39 2 =(7+6) 2 =19.5 =6.5 【试一试 】1、A,B 表示两个数,定义A*B=2 A-B. 试求 : (1)(8.56.9)*5 (2)(119.8-29.8)*(13.65+12.35) 2、设
7、 ab=ab+a-2b,按此规定计算:(1)81.25 (2)(4 2.5) 7 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - 3 【例 2】已知 2*3=2+22+222=246 ,3*4=3+33+333+3333=3702. 求:(1)3*3 ;(2)4*5 ;(3)若 1*x=123 ,求 x. 【分析与解 】观察两个已知等式可以发现,“*”定义的是连加运算,第一个加数是“*”前边的数,且后一个加数都比前一个加数多一位
8、,但数字相同,而“*”后边的数恰好是加数的个数。(1)3*3=3+33+333=369 (2)4*5=4+44+444+4444+44444=49380 (3)提示:因为1* x=1+11+111+ , =123 所以倒着算:123-1=122 122-11=111 111-111=0 即: 1+11+111=1*3=123 从而可知x=3 【试一试 】已知 53=567,36=345678,按此规定计算:(1) (43)+( 62)(2) (32)( 43)【例 3】设 AB=2( A+B )-2( AB) ,计算: (1) (124) 13;(2)70( 18 4) 。【分析与解 】观察已
9、知等式可知: “”定义表示的是两个数和的2 倍与商的2 倍的差。如: 124=2( 12+4)-2(124)=26 (1)原式 =2( 12+4)-2( 124) 13 =216-23 13 =2613 =2( 26+13)-2( 2613)=239-22 =78-4 =74 (2)原式 =702( 18+4)-2( 184) =70222-24.5 =7035 =2(70+35)-2(70 35) =206 【试一试 】1、规定 a b=(a+b)(a-b),按此规定计算: (1)215 (2)(189) 2 2、设 a#b=5a-2b,计算:(12.5#8)#19.72 名师资料总结 -
10、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - 4 【例 4】小辉用电脑设计了A,B,C,D 四种装置,将一个数输入一种装置后,会输出另一个数.装置 A: 将输入的数加上 5;装置 B:将输入的数除以2;装置 C:将输入的数减去4;装置 D:将输入的数乘3.这些装置可以连接,如果装置A后面连接装置B,就写成AB,输入 1 后,经过 A B 输出了 3.那么,输入9,经过 ABCD 输出几 ? 【分析与解 】ABCD=(9+5) 2-43=9 所以
11、输出的是9 【试一试 】同学们在做这样一个数字游戏:一张带有数字的卡片在A,B,C,D 四位同学间传递,当传递给A 时,A 将该数字乘 5 传出,当传递给B 时, B 将该数字除以2 传出,当传递给C 时, C 将该数字加18 传出,当传递给D 时, D 将该数字减去9 后交给主持人,如果一张卡片经过A 传递给 B 记为 A B,那么一张带有18 的数字卡片,经过AB CD 的传递后交给主持人时卡片上的数字是多少? 【理一理 】新定义运算注意的问题: (1)新定义运算一般不满足运算定律如:a bba a(bc) (ab) c (a*b) c(ac)*(b c) (2)“+” “-” “”“”仍
12、然是通常的运算符号,完全符合四则运算顺序. 四、练一练1、规定 a*b=4a-3b ,计算:(1.5*0.8 ) *0.5 2、设 a,b 都表示自然数,规定ab=3a+b2,计算:(1)56 (2)6 5 (3)2( 35)(4) (23) 5 3、规定 3*5=3+4+5+6+7 ,5*4=5+6+7+8 , , 按此规定计算:11*5 4、如果 1=1! ,12=2! ,123=3! ,, 1234 , 99100=100!那么 1!+2!+3!+4! +, +100!的个位数字是几? 5、狼和羊在一起时,狼要吃掉羊,所以关于羊及狼,我们规定一种运算,用符号“”表示:羊羊=羊;羊狼 =狼
13、;狼狼 =狼。以上运算的意思是羊与羊在一起还是羊,狼与狼在一起还是狼,但是狼与羊在一起便只剩下狼了,小朋友总是希望羊能战胜狼。所以我们规定另一种运算,用符号“”表示:羊羊=羊,羊狼 =羊,狼羊 =羊,狼狼 =狼。这个运算的意思是羊和羊在一起还是羊,狼和狼在一起还是狼,但由于羊能战胜狼,当狼和羊在一起时,它便被羊赶走而剩下羊了。对羊和狼,可以用上面规定的运算做混合运算,混合运算的法则是从左到右,先算括号内的,运算的结果或是羊,或是狼。求下列结果:羊(狼羊)羊(狼狼)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - -