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1、 1.4 无穷级数无穷级数1.4.1 数项级数1.4.2 幂级数讨论敛散性求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。1.4.3 傅立叶级数求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。1.4.1数项级数数项级数给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数， 其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加, 简记为收敛收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和和。1.数项级数定义数项级数定义2.基本性质基本性质 性质性质1. 若级数收敛于 S ,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛 ,即其和为 c S .性质性质2. 设有两个收敛级数则级数也收敛, 其和为说明说明:(2) 若两级数中一
2、个收敛一个发散 , 则必发散 . 但若二级数都发散 ,不一定发散.(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证)性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级数的敛散性.性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级的和.推论推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.性质性质5：设收敛级数则必有可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .等比级数 (又称几何级数)( q 称为公比 ). 级数收敛 ,级数发散 .其和为3. 几个重要级数的收敛性几个重要级数的收敛性调和级
3、数发散(常数 p 0)p -级数*例例1.判断级数的敛散性:解解:该级数是下列两级数之差故原级数收敛. (比较审敛法比较审敛法)设且存在对一切有(1) 若强级数则弱级数(2) 若弱级数则强级数则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .是两个正项级数, (常数 k 0 ),4.审敛法审敛法正项级数： (比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 (3) 当 l = 设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,的敛散性. 例例3. 判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知比值审敛法 ( Dalembert 判别法)设 为正项级数, 且则(1) 当(2) 当时, 级数收敛
4、;或时, 级数发散 . 根值审敛法 ( Cauchy判别法)设 为正项级数, 且则因此级数收敛.解解:交错级数交错级数则各项符号正负相间的级数称为交错级数交错级数 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数收敛 。绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数若若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级收敛 ,数绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 . 绝对收敛的级数一定收敛 .例例5. 证明下列级数绝对收敛 :证证: 而收敛 ,收敛因此绝对收敛 .判断数项级数敛散的方法判断数项级数敛散的方法1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质2、利用必要条
5、件：主要判别发散3、求部分和数列的极限4、正项级数的审敛法1）比值审敛法（根值审敛法）2）比较审敛法（或极限形式）5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛发 散发 散收 敛收敛 发散 1.Abel定理定理 若幂级数则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 ,则对满足不等式1.4.2 幂级数幂级数*例例6.已知幂级数在处收敛，则该级数在处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：由Abel定理 ，该幂级数在处绝对收敛，故在绝对收敛。例例7. 已知
6、处条件收敛 , 问该级数收敛半径是多少 ?答答:根据Abel 定理可知, 级数在收敛 ,时发散 . 故收敛半径为若的系数满足1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,则 的收敛半径为2.求收敛半径求收敛半径对端点 x =1, 的收敛半径及收敛域.解解:对端点 x = 1, 级数为交错级数收敛; 级数为发散 . 故收敛域为例例8.8.求幂级数 3.求函数的幂级数展开式求函数的幂级数展开式1、对函数作恒等变形（如果需要的话）2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数3、写出收敛范围(P34例1-37)1.求傅立叶级数展开式2.求某个傅立叶系数3.求和函数在某些点的值1.4.3
7、 傅立叶级数的有关问题傅立叶级数的有关问题例例9.设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为(3)将 f (x) 展成傅里里叶级数. 解解:(3) 先求傅里里叶系数1.5 微分方程微分方程1.5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念1.5.2 解微分方程解微分方程1.5.3 微分方程应用微分方程应用1.5.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一阶微分方程二阶微分方程1. 判定微分方程的阶2. 判定函数是否微分方程的解，通解或特解例例1. 验证函数是微分方程的解.解解: 是方程的解 .1.5.2 解微分方程解微分方程1. 一阶微分方程可分离变量，一阶线性2. 高阶微
8、分方程二阶线性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式。*例例2. 求微分方程的通解.解解: 分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )因此可能增、减解.解解* *例例3.3.利用一阶线性方程的通解公式得：利用一阶线性方程的通解公式得：例例4. 曲线族所满足的一阶微分方程是_.解解: 对两边求导，得即为所求一阶微分方程特征方程:实根 特 征 根通 解二阶线性常系数齐次微分方程求解例例5.的通解.解解: 特征方程特征根:因此原方程的通解为例例6. 求解初值问题解解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为*例例7.的通解. 解解: 特征方程特征根:因此原
9、方程通解为例例8.解：因是一个特解，所以是特征方程的重根，故特征方程为：所对应微分方程为(2) 若 是特征方程的单根 特解形式为(3) 若 是特征方程的重根 特解形式为(1) 若 不是特征方程的根特解形式为的特解形式.解解: 本题而特征方程为不是特征方程的根 .特解形式为例例9.例例10.的特解形式.解解: 本题而特征方程为其根为特解形式为1.5.3 微分方程应用微分方程应用1. 利用导数几何意义列方程2. 利用导数物理意义列方程3. 利用牛顿第二定律求所满足的微分方程 .*例例11. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q解解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标即点 P(x, y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分, 例例12.成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量, 然后积分 :得利用初始条件, 得代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时
