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1、学习必备欢迎下载工程问题(一)顾名思义,工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实,这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题,也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时,一般常用的数量关系式是:工作量 =工作效率 工作时间,工作时间 =工作量 工作效率,工作效率 =工作量 工作时间。工作量指的是工作的多少,它可以是全部工作量,一般用数1 表示,也可工作效率指的是干工作的快慢, 其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取,根据题目需要,可以是天,也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位,表示成“ 工作量 /天” ,或“ 工作量 /时” 等。但在不引起误会的情况下,一般不写工
2、作效率的单位。例 1 单独干某项工程,甲队需100 天完成,乙队需150 天完成。甲、乙两队合干50天后,剩下的工程乙队干还需多少天?分析与解: 以全部工程量为单位1。甲队单独干需 100 天,甲的工作效精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页学习必备欢迎下载例 2 某项工程,甲单独做需36 天完成,乙单独做需45 天完成。如果开工时甲、乙两队合做,中途甲队退出转做新的工程,那么乙队又做了18 天才完成任务。问:甲队干了多少天?分析: 将题目的条件倒过来想,变为“ 乙队先干 18 天,后面的工作甲、乙两队合干需多少天? ”
3、 这样一来,问题就简单多了。答:甲队干了 12 天。例 3 单独完成某工程,甲队需10 天,乙队需 15 天,丙队需 20 天。开始三个队一起干,因工作需要甲队中途撤走了,结果一共用了6 天完成这一工程。问:甲队实际工作了几天?分析与解: 乙、丙两队自始至终工作了6 天,去掉乙、丙两队6 天的工作量,剩下的是甲队干的,所以甲队实际工作了例 4 一批零件,张师傅独做20 时完成,王师傅独做30 时完成。如果两人同时做,那么完成任务时张师傅比王师傅多做60 个零件。这批零件共有多少个?分析与解: 这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间,例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管,单开放水管
4、 5 时可将空池灌满, 单开排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池,打开放水管1 时后又打开排水管,那么再过多长时间池内将积有半池水?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页学习必备欢迎下载例 6 甲、乙二人同时从两地出发,相向而行。走完全程甲需60 分钟,乙需 40 分钟。出发后 5 分钟,甲因忘带东西而返回出发点,取东西又耽误了5 分钟。甲再出发后多长时间两人相遇?分析: 这道题看起来像行程问题,但是既没有路程又没有速度,所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发5 分钟后返回, 路上耽误 10 分钟,
5、再加上取东西的5分钟,等于比乙晚出发15 分钟。我们将题目改述一下:完成一件工作,甲需60 分钟,乙需 40 分钟,乙先干 15 分钟后,甲、乙合干还需多少时间?由此看出,这道题应该用工程问题的解法来解答。答:甲再出发后 15 分钟两人相遇。练习 5 1.某工程甲单独干 10 天完成,乙单独干15 天完成,他们合干多少天才可完成工程的一半?2.某工程甲队单独做需48 天, 乙队单独做需 36 天。甲队先干了 6 天后转交给乙队干,后来甲队重新回来与乙队一起干了10 天,将工程做完。求乙队在中间单独工作的天数。3.一条水渠,甲、乙两队合挖需30 天完工。现在合挖12 天后,剩下的乙队单独又挖了
6、24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天?则完成任务时乙比甲多植50 棵。这批树共有多少棵?5.修一段公路, 甲队独做要用 40 天,乙队独做要用 24 天。现在两队同时从两端开工,结果在距中点 750 米处相遇。这段公路长多少米?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页学习必备欢迎下载6.蓄水池有甲、乙两个进水管,单开甲管需18 时注满,单开乙管需24 时注满。如果要求 12 时注满水池,那么甲、乙两管至少要合开多长时间?7.两列火车从甲、乙两地相向而行,慢车从甲地到乙地需8 时,比快车从40 千米。求甲、乙两地的距离
7、。工程问题(二)上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的工程问题中,工作效率往往隐藏在题目条件里,这时,只要我们灵活运用基本的分析方法,问题也不难解决。例 1 一项工程,如果甲先做5 天,那么乙接着做20 天可完成;如果甲先做20 天,那么乙接着做 8 天可完成。如果甲、乙合做,那么多少天可以完成?分析与解: 本题没有直接给出工作效率, 为了求出甲、 乙的工作效率, 我们先画出示意图:从上图可直观地看出: 甲 15 天的工作量和乙12 天的工作量相等, 即甲 5 天的工作量等于乙 4 天的工作量。于是可用 “ 乙工作 4 天” 等量替换题中 “ 甲工作 5 天” 这一条件,
8、通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24 (天)甲、乙合做这一工程,需用的时间为例 2 一项工程,甲、乙两队合作需6 天完成,现在乙队先做7 天,然后精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页学习必备欢迎下载么还要几天才能完成?分析与解: 题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率,只知道他们合作们把“ 乙先做 7 天,甲再做 4 天” 的过程转化为 “ 甲、乙合做 4 天,乙再单独例 3 单独完成一件工作, 甲按规定时间可提前2 天完成,乙则要超过规定时间3 天才能完成。如果甲、乙二人合做 2 天后,剩下的继续由乙单独做
9、, 那么刚好在规定时间完成。问:甲、乙二人合做需多少天完成?分析与解: 乙单独做要超过 3 天,甲、乙合做 2 天后乙继续做,刚好按时完成,说明甲做 2 天等于乙做 3 天,即完成这件工作,乙需要的时间是甲的,乙需要 10+5=15 (天)。甲、乙合作需要例 4 放满一个水池的水,若同时打开1,2,3 号阀门,则 20 分钟可以完成;若同时打开 2,3,4 号阀门,则 21 分钟可以完成;若同时打开1,3,4 号阀门,则 28 分钟可以完成;若同时打开1,2,4 号阀门,则 30 分钟可以完成。问:如果同时打开1,2,3,4 号阀门,那么多少分钟可以完成?精选学习资料 - - - - - -
10、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页学习必备欢迎下载分析与解: 同时打开 1,2,3 号阀门 1 分钟,再同时打开 2,3,4 号阀门 1 分钟,再同时打开 1,3,4 号阀门 1 分钟,再同时打开1,2,4 号阀门 1 分钟,这时, 1,2,3,4 号阀门各打开了3 分钟,放水量等于一例 5 某工程由一、二、三小队合干,需要8 天完成;由二、三、四小队合干,需要10 天完成;由一、四小队合干,需 15 天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的顺序,每个小队干一天地轮流干,那么工程由哪个队最后完成?分析与解: 与例 4 类似,可求出一、二、三、四小
11、队的工作效率之和是例 6 甲、乙、丙三人做一件工作,原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做,恰好整天做完,并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流件工作,要用多少天才能完成?分析与解: 把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中,无论谁先谁后,完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同(见下图虚线左边),相差的就是最后一轮(见下图虚线右边)。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页学习必备欢迎下载由最后一轮完成的工作量相同,得到练习 6 1.甲、乙二人同时开始加工一批零件,每人加工零件
12、总数的一半。甲完成有多少个?需的时间相等。问:甲、乙单独做各需多少天?3.加工一批零件,王师傅先做6 时李师傅再做 12 时可完成,王师傅先做8 时李师傅再做 9 时也可完成。现在王师傅先做2 时,剩下的两人合做,还需要多少小时?独修各需几天?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页学习必备欢迎下载5.蓄水池有甲、乙、丙三个进水管,甲、乙、丙管单独灌满一池水依次需要10,12,15 时。上午 8 点三个管同时打开,中间甲管因故关闭,结果到下午2 点水池被灌满。问:甲管在何时被关闭?6.单独完成某项工作,甲需9 时,乙需 12 时。如果按照甲、乙、甲、乙、的顺序轮流工作,每次1 时,那么完成这项工作需要多长时间?7.一项工程,乙单独干要 17 天完成。如果第一天甲干, 第二天乙干, 这样交替轮流干,那么恰好用整天数完成;如果第一天乙干,第二天甲干,这样交替轮流干,那么比上次轮流的做法多用半天完工。问:甲单独干需要几天?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页