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1、第2讲-映射概念1 1 映射的定映射的定义义设设 A, B 是任意是任意给给定的两个集合,若存在一个定的两个集合,若存在一个对应对应法法则则f,使得使得对对于任意于任意x A,均存在唯一的,均存在唯一的 y B与它与它对应对应, 则则称称 f 是是A到到B的一个映射,的一个映射,记为记为 f:AB,且,且y=f(x)。 一一 映射的定映射的定义义2注意:映射注意:映射 f 本本质质上定上定义为义为一个一个对应对应,这这种种对应对应有可能有解析表达式(正如我有可能有解析表达式(正如我们们通常通常见见到的一到的一样样),但也可能不存在相,但也可能不存在相应应的表达式,如的表达式,如A= a, b,
2、 c , B=0, 1规则规则f: a 对应对应于于0, b对应对应于于1, c对应对应于于1。 f 即即为为 A到到B的一个映射。的一个映射。又如又如 A 为为有理数集有理数集, B为实为实数集数集特征函数特征函数假定假定A是是论论域域U上的集合,定上的集合,定义义32 2 映射的相等映射的相等设设 f, g 是是A到到B 的两个映射,若的两个映射,若对对于任意于任意x A,均有,均有f(x) = g(x),则则称映射称映射f, g是相等的,或是同一映射。是相等的,或是同一映射。43 3 几个相关的称几个相关的称谓谓假定假定 f:AB, y=f(x),通常把,通常把 x称称为为自自变变量,自
3、量,自变变量的取量的取值值范范围围称称为为定定义义域,域,记为记为 dom f。将。将 y 称称为为因因变变量,而把由所有量,而把由所有因因变变量构成的集合称量构成的集合称为值为值域,域,记为记为 ran f。对对映射而言:映射而言: 对对映射映射 f:AB 而言而言, 必有必有 dom f = A, ran f B且如前所述,把因且如前所述,把因变变量量 y 称称为为 x 在映射在映射f下的像或函数下的像或函数值值,记记为为 y=f(x).5定定义义:设设 f:AB, 令令 X A,用,用 f(X) = f(x) | x X表示表示 X 在映射在映射f下的像。下的像。 同理令同理令Y B,用
4、,用表示表示Y在映射在映射f下的原像。下的原像。注:注:这这里的里的 是一个整体是一个整体记记号。号。6对对于集合于集合 A 和和B,用,用 (B上上A)表示表示A到到B的所有映射的所有映射组组成的集合,即有成的集合,即有【例1-5】若 求x1x2x3y1y27定理:定理:对对于集合于集合 A 和和B,若,若|A|=m, |B|=n,则则 注意注意: B上上A的的记记号与号与该结论该结论的关系的关系.证证明:明:设设 f:AB, 对对于任意的于任意的 x A,显显然然 f(x) 可取可取B中中n个元个元素中任意一个,素中任意一个, 而而 |A|=m, 根据乘法原理,根据乘法原理,结论结论成立。
5、成立。8n n元函数定元函数定义义 在函数定在函数定义义中,若中,若 ,则对则对任意任意x A,有,有 ,这时这时 称称 f 为为 到到 B 的的n n元函数元函数。9二 映射的性质1 1 单单射射 定定义义:f:Af:AB, B, 若若对对任意任意 , , A,由,由 可可推出推出 ,(或,(或 ),),则则称称 f 是是 A 到到 B的的单单射,或称射,或称 f 是是 A 到到 B 的一的一对对一映射。一映射。2 2 满满射射 定定义义:f:Af:AB, B, 若若对对任意任意y y B,均存在,均存在x A,使得,使得y=f(x),则则称称 f 是是 A 到到 B的的满满射,或称射,或称
6、 f 是是 A 到到 B 的的映上的映射。映上的映射。3 双射双射 定定义义:f:AB, 若若f既是既是单单射又是射又是满满射,射,则则称称 f 是是 A 到到 B的双射,或称的双射,或称 f 是是 A 到到 B 的一一的一一对应对应。10 115 5 置置换换 若若 A A 是有限集合,通常把是有限集合,通常把 A A 到到 A A的双射称的双射称为为 A A 上的上的置置换换。4 4 变换变换 集合集合 A A 到自身的映射到自身的映射习惯习惯上称上称为为 A A 的一个的一个变换变换。v例例1.建立一个建立一个Z到到N的一一的一一对应对应。 v例例2.建立一个建立一个(0,1)到到R的一
7、一的一一对应对应。v例例3. 写出写出A=1,2,3上的所有置上的所有置换换。12三 逆映射1 1 定定义义 设设f:Af:AB, B, 若将若将对应对应关系逆关系逆转转,能,能够够得到一个集合得到一个集合B B到集合到集合A A的映射,的映射,则该则该映射称映射称为为f f的的逆映射逆映射或或逆函数逆函数,常称常称为为反函数反函数, ,记为记为 。2 2 定理定理 设设f:Af:AB, B, 则则 f f 的逆映射存在的充要条件是:的逆映射存在的充要条件是:f f 是是双射双射。13 看下面映射是否存在逆映射?看下面映射是否存在逆映射?14四 复合映射定定义义 设设f:AB,g:BC,对对任
8、意的任意的 x A,h(x)=g(f(x) 为为 A 到到 C的映射,称的映射,称 h 为为 f 和和 g 的复合映射或复合函数,的复合映射或复合函数,记为记为 f g。 由复合函数定由复合函数定义义知,知,1516恒等映射恒等映射 设设A A是集合,令是集合,令f:Af:AA,f(x)=xA,f(x)=x,称,称f f为为集合集合A A上的恒上的恒等映射,等映射,记为记为 。定理定理 若若f:Af:AB B 是双射是双射, , 则则有有特特别别地,若地,若f:Af:AA A是双射,是双射,则则有有17定理定理 设设 f:AB, g:BC,(1)若若 f 和和 g 是是单单射,射,则则 fg
9、是是单单射;射;(2)若若 f 和和 g 是是满满射,射,则则fg是是满满射;射;(3)(3)若若 f 和和 g 是双射,是双射,则则fg是是双射双射 且有且有证证明:明:(1) 因因为为 f 是是 A到到B的的单单射函数,所以当射函数,所以当 , A, ,又因又因为为g是是B到到C单单射函数,所以射函数,所以 ;即当即当 时时,(fg)( ) (fg)( ),由此可由此可见见,复合函数,复合函数gf是是单单射函数射函数 同理可同理可证证明明(2)与与(3) 。18定理定理 设设 f:AB, g:BC,(1)若若 f g 是是单单射,射,则则 f 是是单单射但射但 g不一定;不一定;(2)若若
10、 f g 是是满满射,射,则则 g 是是满满射而射而 f 不一定。不一定。 同理可同理可证证明明(2)。19定理定理 设 f:AB,g:BC,h:CD,则由上面定理可知,当多个函数求复合由上面定理可知,当多个函数求复合时时可以不加括号,即可以不加括号,即证证明:明:对对任意任意 x A,由于,由于 (f g) h)(x) = h(f g)(x) = hg(f(x),而 (f (g h)(x) = (g h)(f(x)=hg(f(x),即有 (f g) h)(x) = (f (g h)(x)。从而有 (f g) h = f (g h)。20R是是实实数集,数集,f、g、h是是R到到R的函数的函数, 分分别别定定义为义为求求(fg)h,f(gh)。21