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1、第2讲-映射概念1 1 映射的定映射的定义义设设 A, B 是任意是任意给给定的两个集合，若存在一个定的两个集合，若存在一个对应对应法法则则f，使得使得对对于任意于任意x A，均存在唯一的，均存在唯一的 y B与它与它对应对应, 则则称称 f 是是A到到B的一个映射，的一个映射，记为记为 f:AB，且，且y=f(x)。 一一 映射的定映射的定义义2注意：映射注意：映射 f 本本质质上定上定义为义为一个一个对应对应，这这种种对应对应有可能有解析表达式（正如我有可能有解析表达式（正如我们们通常通常见见到的一到的一样样），但也可能不存在相，但也可能不存在相应应的表达式，如的表达式，如A= a, b,
2、 c , B=0, 1规则规则f: a 对应对应于于0， b对应对应于于1， c对应对应于于1。 f 即即为为 A到到B的一个映射。的一个映射。又如又如 A 为为有理数集有理数集, B为实为实数集数集特征函数特征函数假定假定A是是论论域域U上的集合，定上的集合，定义义32 2 映射的相等映射的相等设设 f, g 是是A到到B 的两个映射，若的两个映射，若对对于任意于任意x A，均有，均有f(x) = g(x),则则称映射称映射f, g是相等的，或是同一映射。是相等的，或是同一映射。43 3 几个相关的称几个相关的称谓谓假定假定 f:AB, y=f(x)，通常把，通常把 x称称为为自自变变量，自
3、量，自变变量的取量的取值值范范围围称称为为定定义义域，域，记为记为 dom f。将。将 y 称称为为因因变变量，而把由所有量，而把由所有因因变变量构成的集合称量构成的集合称为值为值域，域，记为记为 ran f。对对映射而言：映射而言： 对对映射映射 f:AB 而言而言, 必有必有 dom f = A, ran f B且如前所述，把因且如前所述，把因变变量量 y 称称为为 x 在映射在映射f下的像或函数下的像或函数值值，记记为为 y=f(x).5定定义义：设设 f:AB, 令令 X A，用，用 f(X) = f(x) | x X表示表示 X 在映射在映射f下的像。下的像。 同理令同理令Y B，用
4、，用表示表示Y在映射在映射f下的原像。下的原像。注：注：这这里的里的 是一个整体是一个整体记记号。号。6对对于集合于集合 A 和和B，用，用 (B上上A)表示表示A到到B的所有映射的所有映射组组成的集合，即有成的集合，即有【例1-5】若 求x1x2x3y1y27定理：定理：对对于集合于集合 A 和和B，若，若|A|=m, |B|=n，则则 注意注意: B上上A的的记记号与号与该结论该结论的关系的关系.证证明：明：设设 f:AB, 对对于任意的于任意的 x A,显显然然 f(x) 可取可取B中中n个元个元素中任意一个，素中任意一个， 而而 |A|=m, 根据乘法原理，根据乘法原理，结论结论成立。
5、成立。8n n元函数定元函数定义义 在函数定在函数定义义中，若中，若 ，则对则对任意任意x A，有，有 ,这时这时 称称 f 为为 到到 B 的的n n元函数元函数。9二 映射的性质1 1 单单射射 定定义义：f:Af:AB, B, 若若对对任意任意 , , A，由，由 可可推出推出 ，（或，（或 ），），则则称称 f 是是 A 到到 B的的单单射，或称射，或称 f 是是 A 到到 B 的一的一对对一映射。一映射。2 2 满满射射 定定义义：f:Af:AB, B, 若若对对任意任意y y B，均存在，均存在x A，使得，使得y=f(x)，则则称称 f 是是 A 到到 B的的满满射，或称射，或称
6、 f 是是 A 到到 B 的的映上的映射。映上的映射。3 双射双射 定定义义：f:AB, 若若f既是既是单单射又是射又是满满射，射，则则称称 f 是是 A 到到 B的双射，或称的双射，或称 f 是是 A 到到 B 的一一的一一对应对应。10 115 5 置置换换 若若 A A 是有限集合，通常把是有限集合，通常把 A A 到到 A A的双射称的双射称为为 A A 上的上的置置换换。4 4 变换变换 集合集合 A A 到自身的映射到自身的映射习惯习惯上称上称为为 A A 的一个的一个变换变换。v例例1.建立一个建立一个Z到到N的一一的一一对应对应。 v例例2.建立一个建立一个(0,1)到到R的一
7、一的一一对应对应。v例例3. 写出写出A=1,2,3上的所有置上的所有置换换。12三 逆映射1 1 定定义义 设设f:Af:AB, B, 若将若将对应对应关系逆关系逆转转，能，能够够得到一个集合得到一个集合B B到集合到集合A A的映射，的映射，则该则该映射称映射称为为f f的的逆映射逆映射或或逆函数逆函数，常称常称为为反函数反函数, ,记为记为 。2 2 定理定理 设设f:Af:AB, B, 则则 f f 的逆映射存在的充要条件是：的逆映射存在的充要条件是：f f 是是双射双射。13 看下面映射是否存在逆映射？看下面映射是否存在逆映射？14四 复合映射定定义义 设设f:AB,g:BC，对对任
8、意的任意的 x A，h(x)=g(f(x) 为为 A 到到 C的映射，称的映射，称 h 为为 f 和和 g 的复合映射或复合函数，的复合映射或复合函数，记为记为 f g。 由复合函数定由复合函数定义义知，知，1516恒等映射恒等映射 设设A A是集合，令是集合，令f:Af:AA,f(x)=xA,f(x)=x，称，称f f为为集合集合A A上的恒上的恒等映射，等映射，记为记为 。定理定理 若若f:Af:AB B 是双射是双射, , 则则有有特特别别地，若地，若f:Af:AA A是双射，是双射，则则有有17定理定理 设设 f:AB, g:BC,(1)若若 f 和和 g 是是单单射，射，则则 fg
9、是是单单射；射；(2)若若 f 和和 g 是是满满射，射，则则fg是是满满射；射；(3)(3)若若 f 和和 g 是双射，是双射，则则fg是是双射双射 且有且有证证明：明：(1) 因因为为 f 是是 A到到B的的单单射函数，所以当射函数，所以当 ， A， ,又因又因为为g是是B到到C单单射函数，所以射函数，所以 ；即当即当 时时，(fg)( ) (fg)( )，由此可由此可见见，复合函数，复合函数gf是是单单射函数射函数 同理可同理可证证明明(2)与与(3) 。18定理定理 设设 f:AB, g:BC,(1)若若 f g 是是单单射，射，则则 f 是是单单射但射但 g不一定；不一定；(2)若若
10、 f g 是是满满射，射，则则 g 是是满满射而射而 f 不一定。不一定。 同理可同理可证证明明(2)。19定理定理 设 f:AB，g:BC，h:CD，则由上面定理可知，当多个函数求复合由上面定理可知，当多个函数求复合时时可以不加括号，即可以不加括号，即证证明：明：对对任意任意 x A，由于，由于 (f g) h)(x) = h(f g)(x) = hg(f(x)，而 (f (g h)(x) = (g h)(f(x)=hg(f(x)，即有 (f g) h)(x) = (f (g h)(x)。从而有 (f g) h = f (g h)。20R是是实实数集，数集，f、g、h是是R到到R的函数的函数, 分分别别定定义为义为求求(fg)h，f(gh)。21
