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1、一、教学目标1、知识与技能(1) 认识递归现象。(2) 使用递归算法解决问题往往能使算法的描述乘法而易于表达(3) 理解递归三要素： 每次递归调用都要缩小规模； 前次递归调用为后次作准备：递归调用必须有条件进行。(4) 认识递归算法往往不是高效的算法。(5) 了解递归现象的规律。(6) 能够设计递归程序解决适用于递归解决的问题。(7) 能够根据算法写出递归程序。(8) 了解生活中的递归现象，领悟递归现象的既有重复，又有变化的特点，并且从中学习解决问题的一种方法。2、方法与过程本节让同学们玩汉诺塔的游戏，导入递归问题，从用普通程序解决斐波那契的兔子问题 入手，引导学生用 自定义了一个以递归方式解
2、决的函数过程解决问题，同时让同学们做三个递归练习， 巩固提高。然后让学生做练习 (2)和练习 (3) 这两道题目的形式相差很远，但方法和答案却是完全相同的练习，体会其中的奥妙，加深对递归算法的了解。最后用子过程解决汉诺塔的经典问题。3、情感态度和价值观结合高中生想象具有较强的随意性、更富于现实性的身心发展特点，综合反映出递归算法的特点，以及递归算法解答某些实践问题通常得很简洁，从而激发学生对程序设计的追求和向往。二、重点难点1、教学重点（1）了解递归现象和递归算法的特点。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
3、理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - （2）能够根据问题设计出恰当的递归程序。2、教学难点(1) 递归过程思路的建立。(2) 判断问题是否适于递归解法。(3) 正确写出递归程序。三、教学环境1、教材处理教材选自广东省普通高中信息技术选修一：算法与程序设计第四章第五节，原教材的编排是以本节以斐波那契的兔子问题引人，导出递归算法，从而自定义了一个以递归方式解决的函数过程。然后利用子过程解决汉诺塔的经典问题。教材经处理后，让同学们玩汉诺塔的游戏，导入递归问题，从用普通程序解决 斐波那契的兔子问题 入手，引导学生用 自定义了一个以递归方式解决的函
4、数过程 解决问题，同时让同学们做三个递归练习，巩固提高。然后让学生做练习 (2) 和练习 (3) 这两道题目的形式相差很远，但方法和答案却都是完全相同的练习，体会其中的奥妙，加深对递归算法的了解。最后用子过程解决汉诺塔的经典问题。教学方法采用讲解、探究、任务驱动和学生自主学习相结合2、预备知识学生已掌握了用计算机解决问题的过程，掌握了程序设计基础，掌握了解析法、穷举法、查找法、排序法设计程序的技巧。3、硬件要求建议本节课在多媒体电脑教室中完成，最好有广播教学系统或投影仪，为拓展学习，学生机应允许上互联网。4、所需软件学生机要安装 VB6.0 或以上版本。5、所需课时2 课时（ 90 分钟）名师
5、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 四、教学过程导入：大家玩汉诺塔游戏：图 4-5(1)汉诺塔游戏的部分界面这个游戏盘子在A、B、C 三根柱子上不停运动，有没有规律，和你在照过镜子时遇到的情况相同吗？当你往镜子前面一站，镜子里面就有一个你的像。但你试过两面镜子一起照吗?如果甲、乙两面镜子相互面对面放着，你往中间一站，嘿，两面镜子里都有你的千百个“ 化身 ”!为什么会有这么奇妙的现象呢?原来，甲镜子里有乙镜子的像，乙镜子
6、里也有甲镜子的像，而且这样反反复复，就会产生一连串的“ 像中像 ” 。这是一种递归现象。由同学们总结出递归算法的概念递归算法： 是一种直接或者间接地调用自身的算法。在计算机编写程序中，递归算法对解决一大类问题是十分有效的，它往往使算法的描述简洁而且易于理解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 问题4-16：著名的意大利数学家斐波那契(Fibonacci)在他的著作算盘书中提出了一个“ 兔子问题 ” ：假定小兔子一个
7、月就可以长成大兔子，而大兔子每个月都会生出一对小兔子。如果年初养了一对小兔子，问到年底时将有多少对兔子? (当然得假设兔子没有死亡而且严格按照上述规律长大与繁殖) 我们不难用以前学过的知识设计出如下算法：输入计算兔子的月份数：n If n 3 Then c = 1 Else a = 1: b = 1 i = 3 c = a + b：a = b：b = c i=i+1, 如果 i n 则返回结束参考程序如下：Private Sub Command1_Click() n = Val(Text1.Text) If n 3 Then c = 1 Else a = 1: b = 1 For i = 3
8、To n c = a + b a = b b = c Next i Text2.Text = 第 & n & 月的兔子数目是： & c End Sub 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 图 4-5(2)斐波那契兔子程序运行结果图开动脑筋： 我们有没有更简单的方法解决该问题呢？4.5.1 从斐波那契的兔子问题看递归算法1斐波那契的兔子问题子(1)分析问题。我们可以根据题意列出表4-3 来解决这个问题：表 43 兔子
9、问题分析表1 月2 月3 月4 月5 月6 月7 月8 月9 月10 月11 月12月小兔111235813213455大兔1123581321345589合计1123581321345589144这个表格虽然解决了斐波那契的兔子问题(年底时兔子的总数是144 只)，但仔细观察一下这个表格，你会发现兔子的数目增长得越来越快，如果时间再长，只用列表的方法就会有困难。(例如，你愿意用列表的方法求出 5 年后兔子的数目吗？)我们需要研究表中的规律，找出一般的方法，去解决这个问题。交流名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师
10、精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 仔细研究表 4-8，你有些什么发现？每一个月份的大兔数、小兔数与上一个月的数字有什么联系，能肯定这个规律吗？恭喜你，你快成功了？(2)设计算法。“ 兔子问题 ” 很容易列出一条递推式而得到解决。假设第N 个月的兔子数目是F(N)，我们有：这是因为每月的大兔子数目一定等于上月的兔子总数，而每个月的小兔子数目一定等于上月的大兔子数目(即前一个月的兔子的数目)。由上述的递推式我们可以设计出递归程序。递归程序的特点是独立写出一个函数(或子过程 )，而这个函数只对极简单的几种情况直接给出解答，而在其余情况
11、下通过反复的调用自身而把问题归结到最简单的情况而得到解答。空中加油站：自定义函数的定义格式: Function procedurename(arguments) As type Statements End Function 其中的 procedurename 是函数名， arguments是函数中的参数表，type 是函数返回值的数据类型， 表示可有可无的部分， statements是过程中的代码调用函数的格式：procedurename(arguments) (3)编写程序。窗体中开设一个文本框Textl 用于填人月数N，设置命令框Commandl，点击它即执行程序求出第N 月的兔子数。然
12、后用文本框Text2 输出答案。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 根据递推式可以写出递归程序如下：Function Fib(ByVal N As Integer) As Long If N 3 Th
13、en Fib = 1 Else Fib = Fib(N - 1) + Fib(N - 2) End Function Private Sub Command1_Click() N = Val(Text1.Text) Text2.Text = 第 & N & 月的兔子数目是： & Fib(N) End Sub (4)调试程序因为这个算法的效率不高，建议在调试程序时月份数不要大于40。图 4-5(4)斐波那契兔子程序运行结果图文本框 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8
14、 页，共 18 页 - - - - - - - - - (5)检测结果挑战自我：（以下部分由学生自己完成）(1)利用递归方法编写一求N 的阶乘。分析：根据 N!=N*(N-1)*(N-2)*(N-3)* *3*2*1可以推出下列式子：这是一个典型的递归算法，参考程序如下：Function F(ByVal n As Integer) As Long If n = 1 Then F = 1 Else F = n * F(n - 1) End Function Private Sub Form_Click() Dim n As Integer n = Val(InputBox( 请输入正整数N：,
15、求 N 的阶乘 ) Print 输入的正整数是 ; n; Print ，阶乘是 ; F(n) End Sub 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 图 4-5(5)求阶乘程序的运行结果图(2)对一正整数N，用数字 l 和 2 组成一条加法算式，使其和为N，共可以列出多少条不同的式子？( “l+2 ”和“2+1” 看作是不同的式子)。算法设计：假设和为 N 时可列式子的方法数是F(N)，那么第一个加数可选择1 或 2。
16、当第一个加数为1 时剩下加数的和为 N 一 1，故方法数为F(N 一 1)；当第一个加数为2 时，剩下加数的和为N-2，故方法数为F(N-2) 。于是可以得到如下式子：这是一个典型的递归算法，参考程序如下：参考程序如下：Function F(ByVal n As Integer) As Long If n = 2 Then F = n Else F = F(n - 1) + F(n - 2) End Function Private Sub Form_Click() 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理
17、- - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - Dim n As Integer n = Val(InputBox( 请输入正整数N：, 输入式子的总和) Print 当总和是 ; n; 时 Print 可以列出不同的由1 和 2 组成的加法式子; F(n); 条 End Sub 图 4-5(6)书上 P137 练习 2 程序运行结果图(3)罗光明在上楼梯时，有时一步一级楼梯，有时一步两级。如果楼梯有N 级，他上完这 N 级楼梯有多少种不同的方法？设计算法假设楼梯级数为N 时的方法数是F(N)，那么第一步可选择1 或 2 级楼梯。 当第一步为1 级时
18、剩下楼梯的级数为 N-1，故方法数为F(N-1) ；当第一步为2 级时，剩下楼梯的级数为N-2，故方法数为F(N-2)。于是可以得到如下式子：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 这是一个典型的递归算法，参考程序如下：程序如下：Function F(ByVal n As Integer)As Long If n=2 Then F=n Else F=F(n-1)+F(n-2) End Functi 0n Privat
19、e Sub Form_Click() Dim n As Integer n=Val(InputBox( 请输入楼梯级数N：，输人楼梯级数 ) Print 当楼梯级数 ；n；时， Print 可以有 ；F(n)；种不同的上楼梯方法。 End Sub 同学们比较一下你们所做的练习(2)和(3)的程序代码， 不知同学们有没有发现一个有趣的现象？为什么会这样？本节小结：递归算法的特点递归过程一般通过函数或子过程来实现。递归算法：在函数或子过程的内部，直接或者间接地调用自己的算法。递归算法的 实质： 是把问题转化为规模缩小了的同类问题的子问题。然后递归调用函数(或过程 )来表示问题的解。递归算法解决问题
20、的特点：(1)递归就是在过程或函数里调用自身。(2)在使用递增归策略时，必须有一个明确的递归结束条件，称为递归出口。(3)递归算法解题通常显得很简洁，但递归算法解题的运行效率较低。所以一般不提倡用递归算法设计程序。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - (4)在递归调用的过程当中系统为每一层的返回点、局部量等开辟了栈来存储。递归次数过多容易造成栈溢出等。所以一般不提倡用递归算法设计程序。递归算法所体现的“ 重复 ”
21、一般有三个要求：一是每次调用在规模上都有所缩小(通常是减半 )；二是相邻两次重复之间有紧密的联系，前一次要为后一次做准备(通常前一次的输出就作为后一次的输入)；三是在问题的规模极小时必须用直接给出解答而不再进行递归调用，因而每次递归调用都是有条件的(以规模未达到直接解答的大小为条件)，无条件递归调用将会成为死循环而不能正常结束。第二课时：导入：大家玩汉诺塔游戏：图 4-5(7)汉诺塔程序运行界面图4.5.2一个应用递归算法解决的问题经典例子问题4-17：传说在古代印度的贝拿勒斯神庙，有一块黄铜板上插了3 根宝石柱，在其中一根宝石柱自上而下由小到大地叠放着64 个大小不等的金盘。 一名僧人把这些
22、金盘从一根宝石柱移到另外一根上。僧人在移动金盘时遵守下面3 条规则：第一，一次只能移动一个金盘。第二，每个金盘只能由一根宝石柱移到另外一根宝石柱。第三，任何时候都不能把大的金盘放在小的金盘上。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 神话说，如果僧人把64 个金盘完全地从一根宝石移到了另外一根上，世界的末日就要到了。当然，神话只能当故事来听，世界不可以因为个别人的活动而导致末日。不过，从僧人搬完64 个金盘所需时间的角
23、度来说，即使僧人每秒都能移动一个金盘，那也得要几千亿年！试设计程序，模拟移动金盘的过程。(1)分析问题。我们把 3 根宝石柱分别命名为A、B、C。最初有 N 个金盘放在A，需要把它们全部按规则移动到B。当 N=1 时，直接把金盘从A 搬到 B 就可以了， 1 次成功。当 N 2 ，那么需要利用C 柱来过渡。 我们假设已经找到一种把N1 个金盘从一根柱搬到另外一根柱的方法，那么，我们只要把N1 个金盘从 A 搬到 C，然后把最大的金盘从A 搬到 B，最后把 C 上的 N 一1 个金盘搬到B 就可以了。靠递归的思想，我们轻而易举地完成了整个搬动。(2)设计算法。我们定义一个过程Hanoi(N ，A
24、，B，C)，表示有 N 个金盘需要从A 柱搬到 B 柱(以 C 柱为过渡 )。那么完成它只需 3 步：Hanoi(N 一 1，A，C，B)它的意思是把A 柱上的 N 一 1 个金盘搬到C 柱；A B它的意思是把一个(最大的 )金盘从 A 柱搬到 B 柱；Hanoi(N1，C，B，A)它的意思是把c 柱上的 N 一 1 个金盘搬到B 柱。空中加油站：过程定义的格式：Private Sub procedurename(arguments) statements End Sub 其中的 procedurename 是函数名， arguments是函数中的参数表，statements是过程中的代码调用
25、过程的格式：Call procedurename(arguments) Function 函数与 Sub 过程的几点区别：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - Function 函数可以返回一个值到调用程序。一般来说，让较大的语句或表达式的右边包含函数过程名和参数（returnvalue=function ），这就调用了函数。与变量完全一样，函数过程有数据类型，这就决定了返回值的类型。（如果没有AS 子句，缺省的数
26、据类型为Variant 。）。给 procedurename自身赋一个值， 就可返回这个值。 Function 函数返回一个值可成为较大表达式的一部分。(3)编写程序（引导学生编写程序）。根据所设计的算法，我们安排窗体如图4-23：Private Sub Hanoi(n As Integer, ByVal A As String, ByVal B As String, ByVal C As String, t As Long) If n = 1 Then Text3.Text = Text3.Text + A + + B + vbCrLft = t + 1 增加变量 t 用来统计移动次数。名师
27、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - Else Call Hanoi(n - 1, A, C, B, t) Text3.Text = Text3.Text + A + + B + vbCrLft = t + 1 Call Hanoi(n - 1, C, B, A, t) End If End Sub Private Sub Command1_Click() Dim t As Long, n As Integer t =
28、 0 n = Val(Text1.Text) A = A B = B C = C Call Hanoi(n, A, B, C, t) Text2.Text = t End Sub (4)测试程序在“ 金叶数目 ” 的文本框中输入4。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 图 4-5(9)Hanoi 结果示意图(5)检测结果挑战自我：（以下部分由学生自己完成）如来不用递归，可不可以用其它的解决方案？把 A、B、C 三柱
29、看作是顺时排列的。C 之后又是A，那么搬动过程可以描述为：当搬动次数是奇数时，把最小的金盘移到顺时钟方向的下一根柱子上。当搬动的次数是偶数时则保持最小的金盘不动。而在其他两柱之间把较小的金盘从一根柱子移到另外一根拄子上。不断重复这个过程，即可以完成全部金盘的正确践移动。请同学们设计好该程序。本节小结：1、应用递归算法一般都需要调用子过程。2、子过程的参数，不能安排失当。3、在子过程中需要包含自我调用(或者几个子过程的相互调用)。4、对于调用的条件必须清楚，在最初始的简单情形，由人力来获得解答，让递归能够正常结束。递归三要素：每次递归调用都要缩小规模；前次递归调用为后次作准备：递归调用必须有条件进行。拓展名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 针对 4 根柱子， N 片金叶片，研究汉诺塔问题的解决方案？相关资源：1）网络课程资料：http:/ VB的网络课件：http:/ - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -
