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1、一、平面及其方程一、平面及其方程二、直线及其方程二、直线及其方程三、小结三、小结 思考题思考题第四节第四节 平面与直线平面与直线一、平面(plane)及其方程(equation) 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有( normal vector )1 1、平面的点法式方程、平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上述方程，不在平面上平面上的点都满足上述方程，不在平面
2、上的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的方程，平面称为方程的图形方程，平面称为方程的图形其中法向量其中法向量已知点已知点解解取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量2、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类
3、似地可讨论 情形情形.设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程(intercept form)设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解化简得化简得令令代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为/三、两平面的相互关系三、两平面的相互关系相交程度的反映指标两平面的夹角两平面的夹角定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹
4、角称为两平面的夹角夹角. .两平面的夹角两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.4 4、点到平面的距离、点到平面的距离(distance)分析分析点到平面距离公式点到平面距离公式二、直线(straight line)及其方程方向向量方向向量( direction vector )的定义的定义 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于
5、一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量/1 1、直线的参数方程与对称式方程、直线的参数方程与对称式方程直线的参数方程直线的参数方程直线的对称式方程直线的对称式方程(symmetric equation)方向向量的余弦称为直线的方向向量的余弦称为直线的方向余弦方向余弦.令令直线的一组直线的一组方向数方向数(parametric equation)解解所以交点为所以交点为取取所求直线方程所求直线方程定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程2 2、直线的一般式方程、直线的一般式方程例例8 8 用
6、对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解解在直线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得点坐标点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程参数方程参数方程3 3、空间两直线的关系、空间两直线的关系 其中 与与 共面共面 与与 为异面直线为异面直线 为为为为其中其中上的点，上的点，上的点。上的点。两直线的特殊位置关系判定：两直线的特殊位置关系判定：/直线直线直线直线例如，例如，解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取所求直线的方程所求直线的方程直线直线直线直线两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向
7、向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式夹角夹角（3）两直线的）两直线的解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令代入平面方程得代入平面方程得 ,交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为4 4、直线与平面的关系、直线与平面的关系（3） 与与 相交相交于一点于一点（1） 与与 平行平行或或 含于含于 定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角(4)(4)直线与平面的夹角直线
8、与平面的夹角（1）投影直线可求吗？）投影直线可求吗？考虑考虑法向量与直线的夹角易求吗？法向量与直线的夹角易求吗？ 与所研究向量的关系是什么？与所研究向量的关系是什么？（2）直线直线投影直线投影直线两直线的夹角公式两直线的夹角公式借助投影直线求直线与平面的夹角借助投影直线求直线与平面的夹角借助法向量求直线与平面的夹角借助法向量求直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式解解为所求夹角为所求夹角设直线设直线 由方程由方程5 5、过直线的平面束、过直线的平面束平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的关系两平面的关系点到平面的距离公式点到平面的距离公式点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程.（注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）三、小结空间两直线的关系空间两直线的关系直线与平面的关系直线与平面的关系过直线的平面束过直线的平面束直线的方程直线的方程参数方程参数方程一般式方程一般式方程对称式方程对称式方程思考题思考题思考题思考题1解答解答思考题思考题思考题思考题2解答解答且有且有故当故当 时结论成立时结论成立练练 习习 题题直线直线 在平面在平面上的投影直线的方程上的投影直线的方程 . . 九、练习题答案练习题答案
