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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(1)知识梳理1分类计数原理(加法原理):完成一件事,有几类办法,在第一类中有 m1 种有不同的方法,在第2 类中有 m2 种不同的方法在第 n 类型有 m3 种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法。2分步计数原理(乘法原理):完成一件事,需要分成n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第2 步有 m2 种不同的方法,做第 n 步有 mn 种不同的方法;那么完成这件事共有种不同的方法。特别提醒: 分类计数原理与 “ 分类 ” 有关,要注意 “ 类” 与“ 类” 之间所具有的独立性和并列性;分步计数原理与 “ 分步 ” 有关,要注意“ 步”
2、与“ 步” 之间具有的相依性和连续性,应用这两个原理进行正确地分类、分步,做到不重复、不遗漏。3排列:从 n 个不同的元素中任取m(m n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 4排列数:从n 个不同元素中取出m(m n)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号表示. 5排列数公式:特别提醒:(1)规定 0! = 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
3、 第 1 页,共 14 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(2)含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S有 k 个不同元素 a1,a2, .an其中限重复数为n1、n2nk ,且 n = n1+n2+ nk , 则 S 的排列个数等于. 例如:已知数字3、2、2,求其排列个数又例如: 数字 5、5、5、求其排列个数?其排列个数. 6组合:从 n 个不同的元素中任取m(m n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. 7组合数公式:8两个公式:特别提醒:排列与组合的联系与区别. 联系:都是从n 个不
4、同元素中取出m 个元素 . 区别:前者是 “ 排成一排 ” , 后者是 “ 并成一组 ” , 前者有顺序关系,后者无顺序关系 .(2)典型例题考点一 :排列问题例 1.六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站两端;(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 14 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(4)甲、乙之间间隔两人;(5)甲、乙站在两端;(6)甲不站左端,乙
5、不站右端. 考点二 :组合问题例 2. 男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各1 人.选派5 人外出比赛 .在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3 名,女运动员2 名;(2)至少有 1 名女运动员;(3)队长中至少有1 人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员. 考点三 :综合问题例 3.4 个不同的球, 4 个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)恰有 1 个盒不放球,共有几种放法?(2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法?(3)恰有 2 个盒不放球,共有几种放法?当堂测试1.从 5 名男医生、4 名女医生中选3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有
6、,则不同的组队方案共有()A.70 种B.80 种C.100 种D.140 种名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 14 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2.亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有()A.48 种B.12 种C.18 种D.36 种3.从 0,1,2
7、,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为()A.48 B.12 C.180 D.1624.甲组有 5 名男同学, 3 名女同学;乙组有6 名男同学, 2 名女同学。若从甲、 乙两组中各选出2 名同学, 则选出的 4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有()A.150 种B.180 种C.300 种D.345 种5.甲、乙两人从4 门课程中各选修2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共有()A.6 B.12 C.30 D.366.用 0 到 9 这 10 个 数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A324 B.328 C.360
8、D.6487.从 10 名大学毕业生中选3 人担任村长助理,则甲、乙至少有1 人入选,而丙没有入选的不同选法的总数为()A.85 B.56 C.49 D.28名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 14 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生, 且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的总数为()A.18 B.24 C.30 D.309.3 位男生和 3
9、 位女生共 6 位同学站成一排, 若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是()A.360 B.288 C.216 D.96 参考答案:例 1 解:( 1)方法一:要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1 个,有种站法, 然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法:方法二:由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5 个人中选 2个人站,有种站法,然后中间4 人有种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法:方法三:若对甲没有限制条件共有种站法,甲在两端共有种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即共有站法:(2)方法一:先把甲
10、、乙作为一个“ 整体” ,看作一个人,和其余 4 人进行全排列有种站法,再把甲、乙进行全排列,有种站法,根据分步乘法计数原理,共有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 14 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思方法二:先把甲、乙以外的4 个人作全排列,有种站法,再在5 个空档中选出一个供甲、乙放入,有种方法,最后让甲、乙全排列,有种方法,共有(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“ 插空法 ” ,第一步先让甲、乙以外的
11、4 个人站队,有种站法;第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档(含两端)中,有种站法,故共有站法为也可用 “ 间接法 ” ,6 个人全排列有种站法,由( 2)知甲、乙相邻有种站法,所以不相邻的站法有. (4)方法一:先将甲、乙以外的4 个人作全排列,有种,然后将甲、 乙按条件插入站队, 有种,故共有站法. 方法二: 先从甲、 乙以外的 4 个人中任选2 人排在甲、 乙之间的两个位置上,有种,然后把甲、乙及中间2 人看作一个 “ 大” 元素与余下 2 人作全排列有种方法,最后对甲、乙进行排列,有种方法,故共有站法 . (5)方法一:首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有种,再让其他 4 人
12、在中间位置作全排列,有种,根据分步乘法计数原理,共有站法. 方法二:首先考虑两端两个特殊位置,甲、乙去站有种站法,然后考虑中间4 个位置,由剩下的4 人去站,有种站法,由分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 14 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思步乘法计数原理共有站法. (6)方法一: 甲在左端的站法有种,乙在右端的站法有种,且甲在左端而乙在右端的站法有A种,共有站法. 方法二:以元素甲分类可分为两类:甲站右端有种
13、站法,甲在中间 4 个位置之一,而乙不在右端有种,故共有站法. 例 2 解(1)第一步:选3 名男运动员,有种选法 . 第二步:选2 名女运动员,有种选法 . 共有种选法 . (2)方法一至少 1 名女运动员包括以下几种情况:1 女 4 男, 2 女 3 男, 3 女 2 男,4 女 1 男. 由分类加法计数原理可得总选法数为. 方法二“ 至少 1名女运动员 ” 的反面为 “ 全是男运动员 ” 可用间接法求解 . 从 10人中任选 5 人有种选法,其中全是男运动员的选法有种. 所以“ 至少有 1 名女运动员 ” 的选法为. (3)方法一:可分类求解:“ 只有男队长 ” 的选法为;“ 只有女队长
14、 ” 的选法为;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 14 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思“ 男、女队长都入选 ” 的选法为;所以共有种选法 . 9分方法二:间接法:从 10 人中任选 5 人有种选法 . 其中不选队长的方法有种.所以 “ 至少 1 名队长 ” 的选法为种. 9 分(4)当有女队长时,其他人任意选,共有种选法 .不选女队长时, 必选男队长,共有种选法 .其中不含女运动员的选法有种,所以不选女队长时的
15、选法共有种选法 . 所以既有队长又有女运动员的选法共有种. 例 3 解(1)为保证 “ 恰有 1 个盒不放球 ” ,先从 4 个盒子中任意取出去一个, 问题转化为 “4个球,3 个盒子, 每个盒子都要放入球,共有几种放法?” 即把 4 个球分成 2,1,1 的三组,然后再从 3 个盒子中选1 个放 2 个球,其余 2 个球放在另外 2 个盒子内,由分步乘法计数原理,共有(2)“ 恰有 1 个盒内有 2 个球 ” ,即另外 3 个盒子放 2 个球,每个盒子至多放1 个球, 也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒, 因此,“ 恰有 1 个盒内有 2 个球 ” 与“ 恰有 1 个盒不放球 ” 是同一件事
16、,所以共有 144种放法 . (3)确定 2 个空盒有种方法 . 4 个球放进 2 个盒子可分成( 3,1)、( 2,2)两类,第一类有序不均匀分组有种方法;第二类有序均匀分组有种名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 14 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思方法 . 故共有种. 当堂检测答案1.从 5 名男医生、4 名女医生中选3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有()A.70 种B
17、.80 种C.100 种D.140 种解析:分为 2 男 1 女,和 1 男 2 女两大类,共有=70种,解题策略:合理分类与准确分步的策略。2.亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有()A.48 种B.12 种C.18 种D.36 种解析:合理分类,通过分析分为(1)小张和小王恰有1 人入选,先从两人中选1 人,然后把这个人在前两项工作中安排一个,最后剩余的三人进行全排列有种选法。( 2)小张和小赵都入选,首先安排这两个人,然后再剩余的3
18、人中选 2 人排列有种方法。共有 24+12=36 种选法。解题策略: 1.特殊元素优先安排的策略。2.合理分类与准确分步的策略。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 14 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3.排列、组合混合问题先选后排的策略。3.从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为()A.48 B.12 C.180 D.162 解析:分为两大类: (1)含
19、有 0,分步 1,从另外两个偶数中选一个,种方法, 2.从 3 个奇数中选两个,有种方法; 3.给 0安排一个位置,只能在个、十、百位上选,有种方法; 4.其他的 3 个数字进行全排列, 有种排法,根据乘法原理共种方法。( 2)不含 0,分步,偶数必然是2,4 ;奇数有种不同的选法,然后把4 个元素全排列,共种排法,不含0 的排法有种。根据加法原理把两部分加一块得解题策略: 1.特殊元素优先安排的策略。2.合理分类与准确分步的策略。3.排列、组合混合问题先选后排的策略。4.甲组有 5 名男同学, 3 名女同学;乙组有6 名男同学, 2 名女同学。若从甲、 乙两组中各选出2 名同学, 则选出的
20、4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有()A.150 种B.180 种C.300 种D.345 种解析: 4 人中恰有 1 名女同学的情况分为两种,即这1 名女同学或来自甲组,或来自乙组,则所有不同的选法共有种选法。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 14 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解题策略:合理分类与准确分步的策略。5.甲、乙两人从4 门课程中各选修2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法共
21、有()A.6 B.12 C.30 D.36 解析:可以先让甲、乙任意选择两门,有种选择方法,然后再把两个人全不相同的情况去掉,两个人全不相同, 可以让甲选两门有种选法,然后乙从剩余的两门选,有种不同的选法,全不相同的选法是种方法, 所以至少有一门不相同的选法为种不同的选法。解题策略:正难则反,等价转化的策略。6.用 0 到 9 这 10 个 数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.324 B.328 C.360 D.648解析:第一类个位是零,共种不同的排法。第二类个位不是零,共种不同的解法。解题策略:合理分类与准确分步的策略. 7.从 10 名大学毕业生中选3 人担任村长助理,则
22、甲、乙至少有1 人入选,而丙没有入选的不同选法的总数为()A.85 B.56 C.49 D.28 解析:合理分类,甲乙全被选中,有种 选 法,甲乙有一个被选中,有种不同的选法,共+=49 种不同名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页,共 14 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思的选法。解题策略:(1)特殊元素优先安排的策略,(2)合理分类与准确分步的策略. 8.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学
23、生, 且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的总数为()A.18 B.24 C.30 D.30 将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组,则共有种不同的分法,然后三组进行全排列共种不同的方法;然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉,共种不同的排法。所以总的排法为种注意 : 这里有一个分组的问题, 即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。这里分为有序分组和无序分组,有兴趣的同学可以继续研究,这里不再详述。解题策略:1.正难则反、等价转化的策略2.相邻问题捆绑处理的策略3.排列、组合混合问题先选后排的策略;9.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排, 若男生甲不站两端,名师资料总结 - -
24、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页,共 14 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是()A.360 B.288 C.216 D.96 解析:分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则,先考虑女生的问题,先从3 个女生中选两位,有种方法,然后再考虑顺序,即先选后排,有种方法;这样选出两名女生后,再考虑男生的问题,先把三个男生任意排列,有中不同的排法,然后把两个女生看成一个整体,和另一个女
25、生看成两个元素插入 4 个位置中。有种不同的排法,共有种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。甲可能站左端,也可能是右端,有种不同的方法,然后其他两个男生排列有种排法,最后把女生在剩余的三个位置中排列,有种不同的排法。 共种不同的排法,故总的排法为种不同的方法。本题难度大,体现的排列组合的解题策略多:(1)特殊元素优先安排的策略:(2)合理分类与准确分步的策略;(3)排列、组合混合问题先选后排的策略;(4)正难则反、等价转化的策略;(5)相邻问题捆绑处理的策略;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心
26、整理 - - - - - - - 第 13 页,共 14 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(6)不相邻问题插空处理的策略。解排列组合的应用题要注意以下几点:仔细审题, 判断是排列还是组合问题,要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分步。深入分析,严密周详,注意分清是乘还是加, 要防止重复和遗漏,辩证思维,多角度分析,全面考虑。对限制条件较复杂的排列组合问题,要周密分析, 设计出合理的方案,把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页,共 14 页 - - - - - - - - -