经济数学第3章中值定理导数应用

《经济数学第3章中值定理导数应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《经济数学第3章中值定理导数应用（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、3.1 3.1 中值定理中值定理3.2 3.2 洛必达法则洛必达法则3.3 3.3 函数的单调性与极值函数的单调性与极值3.4 3.4 函数图形的描绘函数图形的描绘3.6 3.6 导数在经济中的应用导数在经济中的应用结束第第3章章 中值定理、导数应用中值定理、导数应用 前页前页结束结束后页后页定理定理1 1 设函数设函数 满足下列条件满足下列条件(3) (3) (1) (1) 在闭区间在闭区间 上连续；上连续；(2) (2) 在开区间在开区间 内可导内可导; ;则在内至少存在一点则在内至少存在一点 ，3.1.1 3.1.1 罗尔定理罗尔定理 ab使得使得前页前页结束结束后页后页几何解释如图几何

2、解释如图在直角坐标系在直角坐标系Oxy中中曲线曲线 两端点的连线两端点的连线 平行平行于于 轴轴, ,其斜率为零其斜率为零故在曲线弧上定有一点故在曲线弧上定有一点 使曲线在该点的切线平行使曲线在该点的切线平行于弦于弦 ，即平行于，即平行于 轴。轴。即即前页前页结束结束后页后页则在区间则在区间 内至少存在内至少存在(1) (1) 在闭区间在闭区间 上连续；上连续；(2) (2) 在开区间在开区间 内可导；内可导；定理定理2 2 设函数设函数 满足下列条件满足下列条件一点一点 ，使得使得3.1.2 3.1.2 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理前页前页结束结束后页后页曲线曲线 处处有不垂直处处有不垂

3、直于于 轴的切线轴的切线如图如图 在直角坐标系在直角坐标系Oxy端点连线端点连线ABAB的斜率为的斜率为所以定理实际是说存在点所以定理实际是说存在点 ，使曲线在该点的切线，使曲线在该点的切线T平行于弦平行于弦ABAB。即即前页前页结束结束后页后页2.2.在开区间在开区间 内可导，内可导，1.1.在闭区间在闭区间 上连续；上连续；定理定理3 Cauchy3 Cauchy中值定理中值定理则在区间则在区间 内定有点内定有点使得使得3.1.3 3.1.3 柯西中值定理柯西中值定理设函数设函数 与与 满足如下条件：满足如下条件：前页前页结束结束后页后页RolleRolle定理是定理是LagrangeLa

4、grange定理的特例定理的特例: : 在在LagrangeLagrange中值定理中如果中值定理中如果 则则LagrangeLagrange中值定理变成中值定理变成RolleRolle定理；定理；CauchyCauchy定量是定量是LagrangeLagrange定理的推广定理的推广 在在CauchyCauchy中值定理中如果中值定理中如果 ， 则则CauchyCauchy化为化为LagrangeLagrange中值定理。中值定理。三个中值定理的关系前页前页结束结束后页后页 如果在某极限过程下如果在某极限过程下, ,函数函数f ( x)与与g(x)同时趋于零或同时趋于零或者同时趋于无穷大，通

5、常把者同时趋于无穷大，通常把 的极限称为未定式的极的极限称为未定式的极限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。限，洛必达法则就是解决这类极限的工具。一般分为三种类型讨论：一般分为三种类型讨论：3.2 洛必达法则1 1 型不定式型不定式2 2型不定式型不定式3 3其它型不定式其它型不定式前页前页结束结束后页后页定定理理1 1 设设函函数数与与在在的的某某空空心心邻邻域域内内有有定定义义，且且满足如下条件：满足如下条件：存在存在或为或为1 1 型未定式型未定式前页前页结束结束后页后页（ 为任意实数）为任意实数） 例例1 1 求求解解例例2 2 求求解解前页前页结束结束后页后页例例3求求解解 此定理的

6、结论对于此定理的结论对于 时时 型未定式同样适用。型未定式同样适用。 例例4 求求解解 前页前页结束结束后页后页2型不定式型不定式的某空心邻域内有定义，且满足如下条件的某空心邻域内有定义，且满足如下条件与与在该邻域内都存在，且在该邻域内都存在，且则则 定理定理2 2 设函数设函数与在点在点前页前页结束结束后页后页例例5 求求解解: 定理定理2 2的结论对于的结论对于 时的时的 型未定式的型未定式的极限问题同样适用。极限问题同样适用。前页前页结束结束后页后页例例6 6求求解解 则可继续使用洛必达法则。即有则可继续使用洛必达法则。即有能满足定理中能满足定理中与与应满足的条件，应满足的条件，与与还是

7、还是 型未定式，且型未定式，且如果如果前页前页结束结束后页后页如果反复使用洛必达法则也无法确定如果反复使用洛必达法则也无法确定则洛必达法则失效则洛必达法则失效. . 此时需用别的办法判断未定式此时需用别的办法判断未定式的极限。的极限。 或能断定或能断定的极限，的极限，无极限，无极限，前页前页结束结束后页后页例例7 7 求求解解 这个问题是属于这个问题是属于型未定式，型未定式，但分子分母分别但分子分母分别求导后得求导后得此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。此式振荡无极限，故洛必达法则失效，不能使用。但原极限是存在的，可用下法求得但原极限是存在的，可用下法求得前页前页结束结束后页后页3 3

8、其它型不定式其它型不定式未定式除未定式除和和型外，还有型外，还有 型型、 、 型型、 、等五种类型。等五种类型。 型型、 型型、 、 型型、 、前页前页结束结束后页后页型或者型或者 型型型：型：变为变为例例8 8 求求解解前页前页结束结束后页后页型型:通分相减变为通分相减变为 型型例例9 9 求求（ 型）型）解解 前页前页结束结束后页后页型未定式型未定式: :由于它们是来源于幂指函数由于它们是来源于幂指函数 的极限的极限因此通常可用取对数的方法或利用因此通常可用取对数的方法或利用即可化为即可化为 型未定式，再化为型未定式，再化为 型或型或 型求解。型求解。例例10 10 求求解解所以所以前页前

9、页结束结束后页后页例例11 11 求求解解 设设所以所以（ 型）型）前页前页结束结束后页后页例例12 12 求求（ 型型）所以所以 解解前页前页结束结束后页后页3.33.3 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 定理定理1 1 设函数设函数f ( (x) )在闭区间在闭区间 a, ,b 上连续，在开区上连续，在开区间间(a,b)内可导，则：内可导，则：1.若在若在(a,b)内内 ,则则f (x)在区间在区间(a,b)内单调增内单调增加加2.若在若在(a,b)内内 ,则则f (x)在区间在区间(a,b)内单调减少。内单调减少。abab3.3.1 函数的单调性及判别法函数的单调性及判别法前页前页结

10、束结束后页后页例例2 2 确定函数确定函数 的单调区间的单调区间.可导，可导， 且等号只在且等号只在 x= =0 成立成立. . 解解 因为所给函数在区间因为所给函数在区间 上连续，在上连续，在 内内例例1 1 判定函数判定函数 在区间在区间 上的单调性上的单调性. .所以所以函数函数 在区间在区间 上单调增加上单调增加. .解解 所以当所以当 x = -1, x = 1时时 x (-,-1) -1(-1,1) 1(1,+)f(x) + 0 - 0 +f(x)前页前页结束结束后页后页 解解 函数的定义域函数的定义域 且在定义域内连续且在定义域内连续例例3 3 确定函数确定函数的单调区间。的单调

11、区间。其导数为其导数为当当 时时 不存在，且不存在使不存在，且不存在使 的点的点用用 把定义域分成两个区间，见下表：把定义域分成两个区间，见下表： x(- -,0)(0,+ +) f(x) - - + + f (x) 单增单增 单减单减前页前页结束结束后页后页 反之，如果对此邻域内任一点反之，如果对此邻域内任一点 ，恒有，恒有 则称则称 为函数为函数 的一个极小值，的一个极小值， 称为极小值点。称为极小值点。 3.3.2 3.3.2 函数的极值函数的极值定义定义 设函数设函数 在点在点 的某邻域内有定义，若对此的某邻域内有定义，若对此邻域内每一点邻域内每一点 ，恒有，恒有 ，则称，则称 是函数

12、是函数 的一个极大值，的一个极大值， 称为函数称为函数 的一个极的一个极大值点；大值点； 函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极函数的极大值极小值统称为极值，极大值点极小值点统称为极值点。小值点统称为极值点。前页前页结束结束后页后页 ABCDE极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整极值是局部的，只是与邻近点相比较而言。并非在整个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯个区间上的最大最小。极大值点与极小值点也不是唯一的。如下图中一的。如下图中A、B、C、D、E都是极值点。都是极值点。从图中可看出从图中可看出,极小值极小值不一定小于极大值，如不一定小于极大值，如图中图中D点是极小值，

13、点是极小值，A点是极大值。点是极大值。前页前页结束结束后页后页定理定理3（极值第一判别法）：（极值第一判别法）： 设函数设函数 在点在点 的某邻域内连续，且在此邻的某邻域内连续，且在此邻域内（域内（ 可除外）可导可除外）可导（1）如果当）如果当 时时 ，而当，而当 时，时， 则则 在在 取得极大值。取得极大值。（）如图所示：如图所示：在在 ，在在 ，在在 取得极大值。取得极大值。前页前页结束结束后页后页 （2）如果当）如果当 时时 ，而当，而当 时，时， 则则 在在 取得极小值。取得极小值。（）如图所示：如图所示：在在 ，在在 ，在在 取得极小值。取得极小值。（3）如果在）如果在 两侧两侧 的

14、符号不变，则的符号不变，则 不是不是 的极值点，如图示的极值点，如图示（）前页前页结束结束后页后页(4)利用定理利用定理3,判断判断(2)中的点是否为极值点中的点是否为极值点,如果如果是是 求极值点的步骤：求极值点的步骤：(1)求函数的定义域求函数的定义域(有时是给定的区间有时是给定的区间);(3)用用(2)中的点将定义域中的点将定义域(或区间或区间)分成若干个子区间分成若干个子区间,进一步判定是极大值点还是极小值点进一步判定是极大值点还是极小值点.(2)求出求出 ,求出使求出使 的点及的点及 不存在的点不存在的点;讨论在每个区间讨论在每个区间 的符号的符号;(5)求出各极值点处的函数值求出各

15、极值点处的函数值,得函数的全部极值得函数的全部极值.前页前页结束结束后页后页 例例4 求函数求函数 的单调区间和极值的单调区间和极值.解解 函数的定义域为函数的定义域为令令,得驻点得驻点这三个点将定义域这三个点将定义域分成四个部分区间，列表如下分成四个部分区间，列表如下极大值极大值极小值极小值前页前页结束结束后页后页 令令 得得由于由于定理定理4(极值的第二判别法极值的第二判别法) 设函数设函数 在点在点 处具有处具有 二阶导数，且二阶导数，且 ， ；（1）若若 ，则，则 是函数是函数 的极小值点；的极小值点；（2）若）若 ，则，则 是函数是函数 的极大值点；的极大值点；例例5 求函数求函数

16、的极值的极值. 解解 函数的定义域为函数的定义域为所以所以 为极大值为极大值, 为极小值为极小值.前页前页结束结束后页后页 3.3.3 3.3.3 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者是函数在所考察的区间上全部函数值中最大者和最小者 最小的就是函数在区间最小的就是函数在区间上的最小值。上的最小值。连续函数在区间连续函数在区间上的最大值与最小值可通过比较上的最大值与最小值可通过比较端点处的函数值端点处的函数值 和和 ; ;1.1.区间区间2.2.区间区间内使的点处的函数值；内使的点处的函数值；内使内使 不存在的点处的函数值。不存在的点处的函数值

17、。3.3.区间区间这些值中最大的就是函数在这些值中最大的就是函数在上的最大值上的最大值,上的最大值与最小值是全局性的概念上的最大值与最小值是全局性的概念, ,函数在区间函数在区间如下几类点的函数值得到：如下几类点的函数值得到：前页前页结束结束后页后页 上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。在驻点处函数值分别为在驻点处函数值分别为在端点的函数值为在端点的函数值为最大值为最大值为最小值为最小值为解解令令，得驻点，得驻点例例6 6 求函数求函数 在区间在区间比较上述比较上述5 5个点的函数值，即可得个点的函数值，即可得 在区间在区间上的上的前页前页结束结束后页后页M1xyoM2M1xyoM23.4

18、.1 3.4.1 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定义定义1 1：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上：如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线的上方，则称曲线在这个区间上是凹的。方，则称曲线在这个区间上是凹的。如图所示如图所示3.4 3.4 函数图形的描绘函数图形的描绘前页前页结束结束后页后页如如果果曲曲线线弧弧总总是是位位于于其其切切线线的的下下方方，则则称称曲曲线线在在这个区间上是凸的。如下图：这个区间上是凸的。如下图：当曲线为凹时，曲线当曲线为凹时，曲线 的切线斜率的切线斜率 随着随着 的增加而增加，即的增加而增加，即 是增函数；反之，当曲是增函数；反之，当曲线为凸时，曲线线为凸时，曲

19、线 的切线斜率的切线斜率 随着随着 的增加而减少，即的增加而减少，即 是减函数。是减函数。M1xM2yoM1xyoM2前页前页结束结束后页后页定理定理1 1 设函数设函数 在区间在区间 内具有二阶导数内具有二阶导数 （1 1）如果）如果 时，恒有时，恒有 ，则曲线，则曲线 在在 内为凹的；内为凹的； （2 2）如果）如果 时，恒有时，恒有 ，则曲线，则曲线 在在 内为凸的。内为凸的。定定义义2 2 曲曲线线上上凹凹与与凸凸的的部部分分的的分分界界点点称称为为曲曲线线的的拐拐点点。 拐拐点点既既然然是是凹凹与与凸凸的的分分界界点点，所所以以在在拐拐点点的的某某邻邻域域内内 必然异号，因而在拐点处

20、必然异号，因而在拐点处 或或 不存在。不存在。 前页前页结束结束后页后页例例1 1 求曲线求曲线 的凹凸区间与拐点。的凹凸区间与拐点。解解 令令 ，得，得 ， 列表如下列表如下有拐点有拐点有拐点有拐点前页前页结束结束后页后页 可见可见, ,曲线在区间曲线在区间 内为凹的，在区内为凹的，在区间间 内为凸的，曲线的拐点是内为凸的，曲线的拐点是 和和 . . 如果函数如果函数 在在 的某邻域内连续，当在点的某邻域内连续，当在点 的二的二阶导数不存在时，如果在点阶导数不存在时，如果在点 某空心邻域内二阶导数存在某空心邻域内二阶导数存在且在且在 的两侧符号相反，则点的两侧符号相反，则点 是拐点；如果两是

21、拐点；如果两侧二阶导数符号相同，则点侧二阶导数符号相同，则点 不是拐点不是拐点. .综上所述，判定曲线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下：综上所述，判定曲线的凹凸与拐点的步骤可归纳如下：（1 1）求一阶及二阶导数）求一阶及二阶导数 ， ；（2 2）求出）求出 及及 不存在的点；不存在的点；前页前页结束结束后页后页（3 3）以以（2 2）中中找找出出的的全全部部点点，把把函函数数的的定定义义域域分分成成若若干干部部分分区区间间，列列表表考考察察 在在各各区区间间的的符符号号，从从而而可判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点。可判定曲线在各部分区间的凹凸与拐点。 例例2 2 求曲线求曲线 的凹凸区间与拐点。的

22、凹凸区间与拐点。 解解 函数的定义域为函数的定义域为 当当 时，时， ，故以，故以 将定将定义域分成三个区间，列表如下：义域分成三个区间，列表如下： 前页前页结束结束后页后页 +0 0 +有有 拐拐 点点有有拐拐点点 在在 处，曲线上对应的点处，曲线上对应的点 与与 为拐点。为拐点。 前页前页结束结束后页后页3.4.2 3.4.2 曲线的渐近线曲线的渐近线 有有些些函函数数的的定定义义域域或或值值域域是是无无穷穷区区间间，此此时时函函数数的的图图形形向向无无限限远远处处延延伸伸，如如双双曲曲线线、抛抛物物线线等等。有有些些向向无无穷穷远远延延伸伸的的曲曲线线，越越来来越越接接近近某某一一直直线

23、线的的趋趋势势，这这种种直直线线就就是是曲线的渐近线。曲线的渐近线。 定定义义3 3 如如果果曲曲线线上上一一点点沿沿着着曲曲线线趋趋于于无无穷穷远远时时，该该点与某直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线。点与某直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线。1 1水平渐近线水平渐近线如果曲线如果曲线 的定义域是无穷区间，且有的定义域是无穷区间，且有 或或 , ,则直线则直线 为曲线为曲线 的渐近线，称的渐近线，称为水平渐近线为水平渐近线. .如下图如下图 前页前页结束结束后页后页xyoxyo例例3 3 求曲线求曲线 的水平渐近线。的水平渐近线。解解 因为因为所以所以 是曲线的一是曲线的一条水

24、平渐近线，如图示条水平渐近线，如图示前页前页结束结束后页后页2、铅直渐近线、铅直渐近线如果曲线如果曲线 满足满足 或或 则称直线则称直线 为曲线为曲线 的铅的铅直渐近线（或垂直渐近线），如图直渐近线（或垂直渐近线），如图例例求曲线求曲线 的铅直渐近线。的铅直渐近线。解解 因为因为所以所以 是曲线的一条铅直渐近线。是曲线的一条铅直渐近线。如前页图所示如前页图所示前页前页结束结束后页后页3.4.3 3.4.3 函数图形的作法函数图形的作法 函函数数的的图图形形有有助助于于直直观观了了解解函函数数的的性性质质，所所以以研研究究函函数数图图形形的的描描绘绘方方法法很很有有必必要要，现现在在综综合合上上

25、面面对对函函数数性性态态的的研究，可以得出描绘函数图形的一般步骤如下：研究，可以得出描绘函数图形的一般步骤如下： （1 1）确定函数的定义域；）确定函数的定义域； （2 2）确定函数的奇偶性（曲线的对称性）和周期性；）确定函数的奇偶性（曲线的对称性）和周期性； （3 3）确定函数的单调区间和极值）确定函数的单调区间和极值; ; （4 4）确定曲线的凹凸区间和拐点；）确定曲线的凹凸区间和拐点；（5 5）考察曲线的渐近线；）考察曲线的渐近线；（6 6）算出一些点，特别是曲线与坐标轴的交点坐标。）算出一些点，特别是曲线与坐标轴的交点坐标。（7 7）用平滑的曲线连接各点。）用平滑的曲线连接各点。前页前

26、页结束结束后页后页例例5 5 作函数作函数 的图形。的图形。 解解 （1 1）定义域为）定义域为: :（2 2）求函数的增减区间、极值、凹凸区间及拐点；）求函数的增减区间、极值、凹凸区间及拐点；因为因为 ，令令 得得 ；令令 得得 列表如下列表如下: :3200+0+前页前页结束结束后页后页（3 3）渐近线：因为）渐近线：因为 所以所以 为水平渐近线；为水平渐近线； 又因为又因为 ， 所以所以 为铅直渐近线。为铅直渐近线。 （4 4） 描出几个点：描出几个点：xyo如图所示如图所示作出函数图形作出函数图形前页前页结束结束后页后页 例例6 6 在经济学中，会经常遇到函数在经济学中，会经常遇到函数

27、试作出函数的图形。试作出函数的图形。 解解 （1 1）定义域：（）定义域：（，+ +）；）； （2 2）奇偶性：由于）奇偶性：由于 ，故，故 为偶函数，为偶函数，其图形关于其图形关于 轴对称；轴对称； （3 3）增减、极值、凹凸及拐点：）增减、极值、凹凸及拐点： 因为因为令令 ，得，得 ；令令 ，得，得 ， ，前页前页结束结束后页后页（4 4）渐近线）渐近线 所以所以 是水平渐近线。是水平渐近线。 先作出函数在先作出函数在 内的图形，然后利用对称性作内的图形，然后利用对称性作出区间出区间 内内的图形，如图的图形，如图 o前页前页结束结束后页后页 0(0，1)1（1，+）00+列表讨论如下列表讨

28、论如下其中其中 ， ； 前页前页结束结束后页后页 3.5 3.5 导数在经济中的应用导数在经济中的应用 3.5.1 函数的变化率函数的变化率边际函数边际函数定义定义1 1 设函数设函数在点在点处可导，处可导，边际函数值。其含义为边际函数值。其含义为: :当当 时时, ,x改变一个单位，相改变一个单位，相在点在点处的导数处的导数称为称为在点在点处的处的相应地相应地 y 约改变约改变 个单位个单位为为的边际函数的边际函数。称导函数称导函数当当 时时,实际上，实际上， 解解 , ,所以所以, ,在在时的边际函数值。时的边际函数值。,试求试求例例1 1 设函数设函数前页前页结束结束后页后页 边际成本是

29、总成本的变化率。边际成本是总成本的变化率。设设C C为总成本，为总成本，下面介绍几个常见的边际函数下面介绍几个常见的边际函数:1 1边际成本边际成本 为固定成本，为固定成本，则有则有为可变成本，为可变成本，为平均成本，为平均成本， 为边际成本，为边际成本，为产量，为产量，总成本函数总成本函数 平均成本函数平均成本函数 边际成本函数边际成本函数 例例2 2 已知某商品的成本函数为已知某商品的成本函数为, ,求当求当时的总成本，平均成本及边际成本。时的总成本，平均成本及边际成本。解解 由由前页前页结束结束后页后页令令 得得边际成本边际成本于是当于是当 时时总成本总成本 平均成本平均成本 Q 为多少

30、时，平均成本最小为多少时，平均成本最小? ?例例3 3 在例在例1 1中，当产量中，当产量解解所以所以,当当Q = 20= 20时平均成本最小。时平均成本最小。前页前页结束结束后页后页2 2收益收益 平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到平均收益是生产者平均每售出一个单位产品所得到的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化的收入，即单位商品的售价。边际收益为总收益的变化率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。率。总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数。 设设P P为商品价格，为商品价格，Q 为商品量，为商品量，R R 为总收益，为总收益， 为平为平均收益，均收益， 为边际收

31、益，则有为边际收益，则有 需求函数需求函数 总收益函数总收益函数 平均收益函数平均收益函数 边际收益函数边际收益函数 前页前页结束结束后页后页需求与收益有如下关系需求与收益有如下关系: :总收益总收益 平均收益平均收益 边际收益边际收益总收益与平均收益及边际收益的关系为总收益与平均收益及边际收益的关系为前页前页结束结束后页后页求销售量为求销售量为3030时的总收益，平均收益与边际收益。时的总收益，平均收益与边际收益。 例例4 4 设某产品的价格和销售量的关系为设某产品的价格和销售量的关系为解解 总收益总收益 平均收益平均收益 边际收益边际收益 前页前页结束结束后页后页 3 3利润利润 在经济学

32、中，总收益、总成本都可以表示为产量在经济学中，总收益、总成本都可以表示为产量的函数，分别记为的函数，分别记为和和，则总利润，则总利润可表可表 示为示为最大利润原则最大利润原则:取得最大值的必要条件为取得最大值的必要条件为 即即所以取得最大利润的必要条件是所以取得最大利润的必要条件是: :边际收益等于边际成本边际收益等于边际成本 前页前页结束结束后页后页 例例5 5 已知某产品的需求函数为已知某产品的需求函数为 成本函数为成本函数为 问产量为多少时总利润问产量为多少时总利润 L L 最大最大? ?解解 已知已知 ,于是有于是有令令 得得所以当所以当Q=20=20时总利润最大时总利润最大前页前页结

33、束结束后页后页例例6 6某工厂生产某种产品，固定成本某工厂生产某种产品，固定成本2000020000元，每生产元，每生产一单位产品，成本增加一单位产品，成本增加100100元。已知收益元。已知收益 解解 根据题意，总成本函数为根据题意，总成本函数为是年产量是年产量的函数的函数问每年生产多少产品时总利润最大问每年生产多少产品时总利润最大?此时总利润是多少此时总利润是多少?从而可得总利润函数为从而可得总利润函数为前页前页结束结束后页后页 令令 得得由于由于 ,故故 时利润最大时利润最大此时此时 即当生产量为即当生产量为300个单位时个单位时, 总利润最大总利润最大,其最大其最大利润为利润为2500

34、0元元.前页前页结束结束后页后页 设某企业某种产品的生产量为设某企业某种产品的生产量为 个单位个单位, , 代表总成代表总成本本, 代表边际成本代表边际成本,每单位产品的平均成本为每单位产品的平均成本为 在生产实践中在生产实践中, ,经常遇到这样的问题经常遇到这样的问题, ,即在既定的生产规即在既定的生产规模条件下模条件下, ,如何合理安排生产能使成本最低如何合理安排生产能使成本最低, ,利润最大利润最大? ? 4 4成本最低的生产量问题成本最低的生产量问题于是于是由极值存在的必要条件知，使平均成本为极小的生产量由极值存在的必要条件知，使平均成本为极小的生产量应满足应满足 , ,于是得到一个经

35、济学中的重要结论于是得到一个经济学中的重要结论: : 使平均成本为最小的生产水平（生产量使平均成本为最小的生产水平（生产量 ），正是使），正是使边际成本等于平均成本的生产水平（生产量）。边际成本等于平均成本的生产水平（生产量）。前页前页结束结束后页后页 例例7 设某产品的成本函数为设某产品的成本函数为 试求使平均成本最小的产量水平。试求使平均成本最小的产量水平。 解解 平均成本平均成本 令令 解得解得,由于由于所以所以 是平均成本是平均成本 的最小值点也就是的最小值点也就是平均成本最小的产量水平平均成本最小的产量水平 此时此时 即即 时时,边际成本等于平均成本也使平均成本达到最小边际成本等于平

36、均成本也使平均成本达到最小. 前页前页结束结束后页后页 5 5库存管理问题库存管理问题 在总需求一定的条件下，企业所需原材料的订购费用与在总需求一定的条件下，企业所需原材料的订购费用与保管费用是成反比的。保管费用是成反比的。 订购批量大订购批量大,次数少次数少,费用就小费用就小,保管费用就相应增加；保管费用就相应增加； 订购批量小订购批量小,次数多次数多,费用就大费用就大,保管费用就相对较少。保管费用就相对较少。 因此就有一个如何确定订购批量使总费用最少的问题。因此就有一个如何确定订购批量使总费用最少的问题。下面我们只研究等批量等间隔进货的情况，它是指某种下面我们只研究等批量等间隔进货的情况，

37、它是指某种物资的库存量下降到零时，随即到货，库存量由零恢复物资的库存量下降到零时，随即到货，库存量由零恢复到最高库存到最高库存，每天保证等量供应生产需要，使之不发生，每天保证等量供应生产需要，使之不发生缺货。缺货。前页前页结束结束后页后页 假设某企业某种物资的年需用量为假设某企业某种物资的年需用量为R,单价为单价为P,平均一次平均一次因此因此订货费用为订货费用为2 2）保管费用）保管费用 在在进货周期内都是初始最大，最终为零，进货周期内都是初始最大，最终为零，订货费用为订货费用为C1 ，年保管费用率（即保管费用与库存商品价年保管费用率（即保管费用与库存商品价值之比）为值之比）为，订货批量为，订

38、货批量为 ， ，进货周期（两次进货进货周期（两次进货间隔间隔)，进货周期进货周期，则年总费用由两部分组成：则年总费用由两部分组成：) )订货费用每次订货费用为订货费用每次订货费用为1，年订货次数为，年订货次数为所以全年每天平均库存量为，故保管费用为所以全年每天平均库存量为，故保管费用为 于是总费用于是总费用故可用求最值法求得最优订购批量故可用求最值法求得最优订购批量 ， 最优订购次数最优订购次数以及最优进货周期以及最优进货周期，此时总费用最小。，此时总费用最小。前页前页结束结束后页后页解解 设最优订购批量为设最优订购批量为则订购次数为则订购次数为 例例8 8 某种物资一年需用量为某种物资一年需

39、用量为2400024000件，每件价格为件，每件价格为4040元，元，年保管费率年保管费率12%,12%,为，每次订购费用为为，每次订购费用为6464元，试求最优订购元，试求最优订购批量批量最优订购次数，最优进货周期和最小总费用（假设产最优订购次数，最优进货周期和最小总费用（假设产品的销售是均匀的）品的销售是均匀的）于是订货费用为于是订货费用为，保管费用为，保管费用为 从而总费用从而总费用 前页前页结束结束后页后页 又因为又因为于是当于是当件时总费用最低，从而件时总费用最低，从而最优订货批量最优订货批量 ( (件件/ /批批) ) 最优订货批次最优订货批次 ( (批批/ /年年) ) 最优进货

40、周期最优进货周期 ( (天天)()(全年按全年按360360天计天计) ) 最小进货总费用最小进货总费用 ( (元元) ) 令令 得得 (件件/批批) 前页前页结束结束后页后页3.5.2 3.5.2 函数的相对变化率函数的相对变化率函数的弹性函数的弹性1 1、弹性、弹性定义定义2 2 设函数设函数在点在点与自变量的相对改变量与自变量的相对改变量之比之比称为函数从称为函数从到到当当时，时，的极限称为的极限称为在在导数，也就是相对变化率，或称弹性。导数，也就是相对变化率，或称弹性。两点间的相对变化率，两点间的相对变化率， 或称两点间的弹性或称两点间的弹性处的相对处的相对记作记作 处可导处可导,函数

41、的相对改变量函数的相对改变量前页前页结束结束后页后页是是 的函数的函数,若若 可导可导 即即为定值。为定值。对一般的对一般的的弹性函数。的弹性函数。函数函数 在点在点 的弹性的弹性 反映了随着反映了随着 的变化的变化 变化幅度的大小变化幅度的大小,也就是也就是 随随 变化反映的强烈变化反映的强烈列程度或灵敏度列程度或灵敏度.表示在表示在 ,当当 产生产生1%的变化时的变化时, 近似的近似的称为称为当当为定值时为定值时则有则有改变改变前页前页结束结束后页后页( ( 为常数）的弹性函数。为常数）的弹性函数。 例例9 9 求函数求函数 在在 处的弹性处的弹性. . 解解例例10 求幂函数求幂函数 解

42、解 可以看到，幂函数的弹性函数为常数，即在任意点可以看到，幂函数的弹性函数为常数，即在任意点处弹性不变，所以称为不变弹性函数处弹性不变，所以称为不变弹性函数 前页前页结束结束后页后页为商品在价格为时的需求价格弹性记为即为商品在价格为时的需求价格弹性记为即2 2需求弹性与供给弹性需求弹性与供给弹性(1)需求弹性需求弹性“需求需求”是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有能力购买的商品量。通常需求是价格的函数，能力购买的商品量。通常需求是价格的函数，P P 表示商品表示商品的价格的价格, ,Q 表示需求量，表示需求量， 称为需求函数。称为需求函数。 定义

43、定义3 设某商品的需求函数在设某商品的需求函数在P处可导处可导,称称 前页前页结束结束后页后页解解 需求函数为需求函数为例例11 已知某商品的需求函数已知某商品的需求函数 求求 时的需求弹性并说明其意义时的需求弹性并说明其意义 说明说明P=5时，价格上涨时，价格上涨1%，需求量减少，需求量减少0.5说明说明P=10时，价格与需求的变动幅度相同时，价格与需求的变动幅度相同说明说明P=15时，价格上涨时，价格上涨1%，需求量减少，需求量减少1.5前页前页结束结束后页后页 （2 2）供给弹性）供给弹性 “供给供给”是指在一定价格条件下，生产者愿意出售并且有是指在一定价格条件下，生产者愿意出售并且有可

44、供出售的商品量。通常供给是价格的函数，可供出售的商品量。通常供给是价格的函数，P P表示商品的价格，表示商品的价格， Q表示供给量，表示供给量，称为供给函数称为供给函数我们用我们用D表示需求曲线，用表示需求曲线，用表示供给曲线，如图示表示供给曲线，如图示定义定义4 设某商品的供给函数设某商品的供给函数在处可导，称在处可导，称 为商品在价格为商品在价格即即为时的供给弹性，记为时的供给弹性，记前页前页结束结束后页后页当时，需求量当时，需求量 大于供给量大于供给量 ，供不应求，供不应求，会形成抢购黑市等，将导致价格上涨，增加；会形成抢购黑市等，将导致价格上涨，增加；（3 3）均衡价格）均衡价格 均衡

45、价格是市场上需求量与供给量相等时的价格。在图均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格。在图中是在需求曲线中是在需求曲线与供给曲线与供给曲线的交点处的处的横坐的交点处的处的横坐标标，此时需求量与供给量均为此时需求量与供给量均为 ,称均衡商品量称均衡商品量当时，需求量当时，需求量 小于供给量小于供给量 ，供大于求；，供大于求；商品滞销。这种状况也不会持久，必然导致价格下跌，商品滞销。这种状况也不会持久，必然导致价格下跌，P减小减小 。总之，市场上商品价格将围绕均衡价格摆动总之，市场上商品价格将围绕均衡价格摆动 前页前页结束结束后页后页而将而将 的商品称为富有弹性商品的商品称为富有弹性商品由于，而边际收益由于，而边际收益当时，取得最大值当时，取得最大值 3.3.边际收益与需求弹性的关系边际收益与需求弹性的关系由此可知，当由此可知，当 时，递增，即价格时，递增，即价格上涨会使总收益增加；价格下跌会使总收益减少上涨会使总收益增加；价格下跌会使总收益减少当当 时，递增，即价格上涨会使总时，递增，即价格上涨会使总收益减少；价格下跌会使总收益增加收益减少；价格下跌会使总收益增加在经济学中，将在经济学中，将 的商品称为缺乏弹性商品，的商品称为缺乏弹性商品，将将 的商品称为单位弹性商品，的商品称为单位弹性商品，