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1、第一单元第一单元图形的变换图形的变换（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 沿着的那条对折直线叫做对称轴（2）轴对称图形的性质：在轴对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴两侧的距离相等（3）平移：沿着直线移动，这样的现象叫做平移（4）旋转：物体都绕着一个固定的点或一个固定的轴移动，这样的现象叫做旋转 （旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角）（5）等腰三角形有 1 条对称轴，等边三角形有3 条对称轴，长方形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，正五边形有 5 条对称轴，正六边形有 6 条对称轴，圆形有无数条对称轴（6）第二单元第二单元
2、因数和倍数因数和倍数注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括 0）1、整除整除：被除数、除数和商都是非 0 的自然数，并且没有余数如果 a 能被 b 整除，那么 b 是 a 的因数，a 是 b 的倍数一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身 1 是所有自然数的因数一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身 没有最大的倍数2、自然数按能不能被 2 整除来分：奇数奇数偶数偶数奇数：不能被 2 整除的数，最小的奇数是最小的奇数是 1 1偶数： 能被 2 整除的数，最小的偶数是最小的偶数是 0 0连续的奇数，如 1、3、5 等，连续偶数
3、如、12、14、16、等，连续的奇数或连续的偶数前后相差前后相差 2 2 用字母表示连续的奇数或偶数（a-2）、a、（a+2）3、2 2、3 3、5 5 倍数的特征倍数的特征个位上是 0，2，4，6，8 的数都是 2 2 的倍数的倍数个位上是 0 或 5 的数，是 5 5 的倍数的倍数同时是同时是 2 2 和和 5 5 的倍数个位必须是的倍数个位必须是 0 0一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 3 的倍数的倍数能同时被 2、3、5 整除的最大的两位数是 90，最小的两位数是 30，最小的三位数是 1204、自然数按因数的个数来分：质数、合数、质数、合数、1 1质数：有且只有有且
4、只有两个因数，1 和它本身 最小的质数是最小的质数是 2 2合数：至少有至少有三个因数，1、它本身、别的因数，最小的合数是最小的合数是 4 41： 只有 1 个因数 “1 1”既不是质数，也不是合数”既不是质数，也不是合数每个合数都可以由几个质数相乘得到在自然数中，既是偶数又是质数的只有既是偶数又是质数的只有 2 2 20 以内即是奇数又是合数的如 9、15 等）100100 以内的质数：以内的质数：2 2、3 3、5 5、7 7、1111、1313、1717、1919、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97第三单元第三单元长方体和
5、正方体长方体和正方体（1）我们周围许多物体的形状都是长方体或正方体（正方体也叫立方体）（2）棱长是 1cm 的正方体，体积是 1cm3（大约是一个手指尖的体积）棱长是 1dm 的正方体，体积是 1dm3（大约是粉笔盒的体积）棱长是 1m 的正方体，体积是 1m3，也叫 1 1 方，方，1 1 方方=1m=1m3 3相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方形的长、宽、高长、宽、高（3）长方体或正方体 6 个面的总面积总面积，叫做它的表面积表面积（4）物体所占空间的大小空间的大小叫做物体的体积体积（5）长方体和正方体的面、棱和顶点的数目都一样，只是正方体的棱长都相等，正方体可以说是长、宽、高都相等
6、的长方体，它是一种特殊的长方体特殊的长方体（6）单位进率单位名称相邻两个单位间的进率长度米、分米、厘米10面积平方米、平方分米、平方厘米100体积立方米、立方分米、 立方厘米（升、 毫升） 1000（7）箱子、油桶、仓库等所能够容纳物体的体积，通常叫做它们的容积（7）长方体和正方体特征及公式：(一般用 C 字母代表长，用 S 代表面积，用 V 代表体积)名称长方体正方体（特殊的长方形）图形面特征棱有 6 个面， 每个面是长方形（或有两个相对有 6 个面，6 个面都是正方形，的面是正方形） ，相对的面面积相等6 个面的面积相等有 12 条棱，相对的 4 条棱的长度相等有 12 条棱， 12 条棱
7、的长度都相等，叫做棱长顶点有 8 个顶点棱长长方体棱长总和=（长+宽+高）4总和反之反之 高=棱长总和4-长-宽计算公式有 8 个顶点正方体棱长总和=棱长12反之 棱长=棱长总和12长方体表面积=长宽2+长高2+宽高2正方体表面积=棱长棱长6表面上或下上或下前或后前或后左或右左或右S=6a2积长方体体积=长宽高V=abc体积正方体的体积=棱长棱长棱长V=aaa=a3长方体和正方体统一的体积公式：体积体积= =底面积高底面积高V=shV=sh单 位1 立方米（m3）=1000 立方分米(dm3) =1000 升(L)进率1 立方分米(dm3)=1000 立方厘米(cm3)=1000 毫升(lm)
8、相邻的两个体积单位间的进率是 10009、a a3 3读作“a 的立方”表示 3 个 a 相乘，（即 aaa）例如 0.10.13=0.10.10.1=0.001【体积单位换算】高级单位低级单位低级单位高级单位进率进率10、长方体的长、宽、高同时扩大a 倍，表面积扩大 a 的平方倍，体积扩大 a 的立方倍 正方体的棱长扩大 a，表面积扩大 a 的平方倍，体积扩大 a 的立方倍如、一个长方体长宽高都扩大 3 倍，表面积扩大 9 倍，体积扩大 27 倍11、两个小正方体拼成拼成一个长方体，表面积减少减少 2 个面（棱长棱长2），体积不变一个大长方体切成切成两个小正方体，表面积增加增加 2 个面（棱
9、长棱长2），体积不变12、不规则物体的体积：体积=总体积-水的体积或体积=长宽上升的高知道上升的高用第 2 个公式，反之用第 1 个第四单元第四单元 分数的意义和性质分数的意义和性质（1）产生：在进行测量时、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示（2）意义：把单位“1”平均分平均分成若干份，表示这样的一份或几份都可以用数叫做分数 单位单位“1 1”可以是一个物体、一些物体或一个图形1（3）把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份一份的数叫做分数单位分数单位 都写作（n0）n（4）分数表示两个含义：具体的数（带单位） ：总数份数两个数之间的关系（通常不带任何单位） ：即一个
10、数是（或占）另一个数的几分之几前一个数后一个数，再写成分数16例如：把 6 米长的绳子平均分成 7 段，每段是这根绳子的（） ，每段长（）米771把 10 克糖溶解在 100 克水中，糖占糖水的几分之几 10（10+100）=11（5）分数与除法区别：分数可以看成两个数相除，除法只是一个算式被除数相当于分子，除数相当于分母，商相当于分数值被除数除数=被除数aab=（b 不为 0）除数b（6）分数的分类真分数：真分数：分子比分母小的分数 真分数真分数1 1假分数：假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数 假分数假分数1 1带分数：带分数：整数带着一个真分数假分数和带分数的互换假分数和带分数的互
11、换：把假分数化成整数或带分数，要用分子除以分母，能整除就是整数，不能整除的，商是带分数的整数部分，余数就是分数部分的分子， 分母不变分母不变 带分数化成假分数，用整数部分乘以分母，再加上分子，作为新分子，分母不变分母不变（7 7）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 0 除外）除外） ，分数的大小，分数的大小不变不变（8）最大公因数：几个数公有的因数，叫做它们的公因数 其中，最大的那个公因数，叫做它们的最大公因数 最大公因数的求法：例如 8 和 12列举法列举法：分解质因数：分解质因数：8 的因数：1、8、2、4、8=22212 的
12、因数：1、12、2、6、3、4、12=223公有的质因数相乘 22=4短除法短除法：公有独有4812最大公因数是除数：423（9）一个分数的分子和分母只有公因数分子和分母只有公因数 1 1，像这样的分数叫做最简分数最简分数 最简分数的分子和分母是互质关系（10）把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分约分公因数只有 1 的两个数，叫做互质数互质数 两数互质的特殊情况：1 和任何自然数互质；相邻两个自然数互质；两个质数一定互质； 2 和所有奇数互质；质数与比它小的合数互质；（11）把一个分数化成最简分数，分子和分母同时除以分子和分母的最大公因数（12）最小公倍数：几个数公有的
13、倍数，叫做它们的公倍数公倍数 其中，最小的那个公倍数，叫做它们的最小公倍数最小公倍数 求法：例如 8 和 12列举法列举法：分解质因数：分解质因数：8 的倍数：8、16、24、328=22212 的倍数： 12、 24、 3612=223公有的质因数独有的： 2223=24短除法短除法：公有独有4812最大公因数是除数商：423=2423（13）分数比较大小：分母相同的两个分数分子越大，分数就越大分子相同的两个分数分母越小，反而分数越大（14）像这样，把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分（15）小数表示的就是十分之几、百分之几、千分之几-的数，所以可以直接写成分母是10、1
14、00、1000，-的分数，在化简分母是 2、4、5、8、25、125 的数很好化成是分母是 10、100、1000、-的分数25=10425=1001258=1000（16）分母不是 10、100、1000、-或者不能化成分母是 10、100、1000-的分数，那么用分数的分子除以分母，除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位（17）当两个数是倍数关系倍数关系时，这两个数的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数（18）当两个数是互质关系互质关系时，这两个数的最大公因数是 1，最小公倍数是他们的乘积（19）常见的分数与小数的互换：1131234= =0.5= =0.25= =0.75= =0
15、.2= =0.4= =0.6= =0.85524455135711= =0.125= =0.375= =0.625= =0.875= =0.05= =0.0488820258第五单元分数的加减法第五单元分数的加减法（1）同分母分数加减法：同分母分数相加、减，分母不不变，只把分子相加、减（2）异分母分数加减法：先通分，然后按同分母分数加减法进行计算（3）分数加减混合运算顺序：在没有括号的算式里，只有加、减法，从左到右进行计算在有括号的算式里，先算括号里面的，再算括号外面的（4）交换两个分数的位置，和不变，这叫做分数加法交换律（5）三个分数相加，先算前两个分数，再加上第三个分数；或者先算后两个分数
16、，再加上第一个分数，这叫做分数的结合律（6）一个数连续减去几个数，就等于减去这几个数的和第六单元第六单元统统计计（1）在一组数据中出现次数最多的数，叫做这组数据的众数 众数能够反映一组数据的集中情况（2）当一组数据相差不是很大数据相差不是很大时，可以用平均数来表示；（3）如果有偏大偏小数据出现偏大偏小数据出现，而中间的数比较集中，可以用中位数来表示；（4） 如果有一个数据出现的次数超过一半或一半以上超过一半或一半以上的时候，用众数来表示这组数据的总体情况比较好（5）平均数、中位数、众数比较统计量平均数中位数众数相同点都是数据的代表， 从不同侧面反映了数据的集中程度优点反映平均水平反映一般水平反
17、映出现最多的数据缺点易受极端值的影响不 能 全 面反映数据有 多 个 众数 时 没 多大意义求法公式：平均数=总数总份数先排序，找最中间的数或中间两数之和的平均数出现次数最多个数唯一唯一不唯一（6）复式折线统计图折线统计图直观、有效地表示数据，并对数据进行简单分析和预测特点：很容易地看出数量的增减变化的情况单式折线统计图与复式折线统计图有什么不同：复式折线统计图可以比较容易地比较出两组数据的变化趋势在制作复式折线统计图时，要注意画出图例，先描点，再连线，最后标数据先描点，再连线，最后标数据（7）打电话： （方法：逐个法，分组法逐个法，分组法，时间通知人数137153163第七单元数学广角第七单元数学广角物品的个数物品的个数至少称几次保证找出次品至少称几次保证找出次品2323494910272881822431 12 2345方法：尽量平均分成 3 份，使份数之间最多相差 1.（例如：8（3，3，2） ）如 10 个物品，其中有一个是次品，次品重一点平衡 2（1,1） 共 3 次平衡，4（1，1，2）不平衡共 2 次10（3，3，4）不平衡 3（1，1，1）共 2 次
