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1、优秀学习资料欢迎下载奥狐杯竞赛三角函数第二讲:和差化积、积化和差、三倍角、万能公式等练习1.和差化积、积化和差公式(高考需要掌握)1) 和差化积公式sinsin2sincos22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin222)积化和差公式1sincossinsin21cossinsinsin21coscoscoscos21sinsincoscos22.三倍角公式(自招竞赛要求)3sin33sin4sin4sinsin 60sin 603cos34cos3cos4coscos 60cos 60323tantantan3tantan 60tan 601
2、3tan例(北约 2013)对于任意的,求2cos154cos66coscos326的值3.万能公式( 高考要求 )22tan2tan1tan2,22tan2sin1tan2,221 tan2cos1tan24.等差角正余弦求和(自招竞赛要求 )1cossin22coscoscos2cossin2nnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载1sinsin22sinsinsin2sin2nnn5.“点鞭炮”公式(自招竞赛要求)1sin 2coscos2 cos4cos22 sinnnn二经典例题例 1
3、. 求值sincossincossinsin71587158分析一: 要求非特殊角的三角函数值,必然是向特殊角的三角函数转化或相互抵消非特殊角的三角函数。注意到7158与和的关系,本题采用积化和差与和差化积公式求解。解法一: 原式 =sin(sinsin)cos(coscos)712237712237sinsincoscossincoscoscostantan()tantantantan23723721582158154530453014530133133313123分析二: 利用7158这一特点,用两角差的正弦、余弦公式求解解法二: 原式 =sin()cossincos()sinsin158
4、158158158sincoscossincossincoscossinsinsinsinsincoscoscostancossin15815815815815815815815815130301321223评述: 解法一属常规方法,只要公式记忆准确就可以完成。解法二,简洁明快,它的巧妙之处在于拆角上。因此,观察是前提,交换是关键,全面的观察和透彻的分析可避免盲目精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载推演,本题解法二抓住7158这一等角变换不仅避免了和积互化,而且也能更好地考查推理运算能力。例 2.
5、 化简:coscos ()cos ()2222343AAA分析:先利用二倍角公式降次,再和差化积, 最后用诱导公式将此三角函数式化到最简。解: 原式=1221432218322coscos()cos()AAA)22cos(2cos212332cos)22cos(22cos2123)238cos()234cos(2cos2123AAAAAAA232cos2cos2123AA评述: 本题求解过程中要注意倍角降次的作用,以及和差化积的使用,最后能求出值的一定要求出值来。例 3. 证明:tantansincoscos32222xxxxx分析: 本题可以采用从左向右证,即切化弦,也可以从右向左证,把弦的
6、问题转化成切的问题,还可以左右同时向第三个式子证(此方法对本题而言略显繁琐),下面给出前两种证法,证明过程中所用公式有相同的,也有不同的,各有各的特点。证法一: 左边 =tantansincossincos322323222xxxxxxsincoscossincoscossin()coscossin(coscos )sincoscos32232232232232212222xxxxxxxxxxxxxxxx右边等式成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载证法二: 右边 =2222322sincosc
7、ossincoscosxxxxxxsin()coscossincoscossincoscossincossincostantan322322322322322323222322xxxxxxxxxxxxxxxx左边评述: 证法一是将“切化弦” ,是常用方法。证法二是变角,分项,具有逆向思维的特点,这也是一种重要的思维方法。例 4. 求值:(cottancottan) tan1818363636分析: 从结构看:既有正切,又有余切,不统一,为此,可全部化为正切原式 =(tantantantan) tan7218543636注意到:721890543690,可利用正切的和差化积公式:tantansi
8、ncossincossin()coscos化简解: 原式(tantantantan) tan721854363636cos36sin18cos36sin18cos54sin436tan72sin36sin)36sin72(sin236tan)72sin236sin2(36tan)36cos36sin118cos18sin1(36tan)36cos54cos)3654sin(18cos72cos)1872sin(36tan)36cos36sin54cos54sin18cos18sin72cos72sin(436cos54sin4评述: 要注意观察式中角的关系与函数名称的关系,选择恰当三角公式解题
9、。从不同角度观察问题,探索多种解法, 从中总结出一般的解题规律和常见的解题技巧。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载例 5. 在 ABC中,求证coscoscossinsinsin22222222222ABCABC。分析: 这是有附加条件的三角恒等证明ABCABCABCABCC222sin()sin()sincos()cos()cossinsin()cosABCCABCC2222等在证明时, 左边先用倍角降次,再利用和差化积以及上面附加条件中的结论,就可将其化简,整理合并后即等于右边。证明: 左边
10、 =121212coscoscosABC3212(coscoscos )ABC3212(coscos)cos()ABAB右边2Bsin2Asin2Csin22212Bsin2Asin22BAcos23 1)2BAcos2BA(cos2BAcos22123 12BAcos22BAcos2BAcos221232评述: 本题是在ABC的条件下,考查运用倍角公式、和差化积、诱导公式对三角函数式进行变形化简的能力,这类题目在证明过程中,常用到:sin()sincos()cossincoscossinsin()sincos()cosABCABCABCABCABCABC,2222222222失误分析: 不能
11、正确的使用在ABC中,这个附加条件。三角公式不熟练,致使思路受阻。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载二、随堂练习一. 选择题: 1. sincossinsin20701050值是()A. 14B. 32C. 12D. 34 2. 积coscos()cos()2323化成和差为()A. cos3B. 143cosC. 183cosD. cos31 3. sin()cos()44化成和差为()A. 1212sin()cos()B. 1212cos()sin()C. 1212sin()sin()D.
12、1212cos()cos() 4. cotcos70470的值为()A. 33B. 3C. 2 3D. 32 *5. 已知,则()(sinsin)coscos03()A. 23B. 3C. 3D. 23 6. sinsinsinsin6933933的值等于()A. 23B. 23C. 624D. 624 7. (coscoscos)(coscoscos)73757274767的值为()A. 12B. 12C. 14D. 1 8. 若04,sincossincosab,则()A. ab C. ab2 二. 填空题: 9. 求值:sincossincos10708020_ 10. 求值:cscco
13、t4080_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载 11. 化简:1221232sincoscos_ *12. 求值:34812482182tansecsin_ 三. 解答题: 13. 已知sinsincoscostan()1413,求的值。 14. 化简cossincos ()cossincos()222。 *15. 已知cos()coscos(),的倒数成等差数列,(2kkZ),求证:coscos2222。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
14、-第 7 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载综合测试答案一. 选择题 1. A 解法一:原式129050126040sinsin()coscos()12125012121240141250125014sincossinsin故选 A 解法二: 原式 =cossinsin27050101140212604012124014124014cos(coscos)coscos 2. B 解: 原式cos(coscos)1243214122141431414314143coscoscoscos(coscos)coscoscoscos故选 B 3. B 解: 原式122sin()sin()1212cos(
15、)sin()故选 B 4. B 解析:cotcos7047070sin70cos70sin470cos70cos470sin70cos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载20cos50cos10cos20cos50cos10cos60cos270sin50cos50cos70cos70sin140sin270cos23020203coscoscos故选 B *5. D 分析: 由3(sinsin)coscos2 32222232232223sincossinsincossincossintan即,
16、得,故()()02222323故选 D 6. C 解析: 原式 =236332363cossincossin236333436181541818361815236361815721815624cos(sinsin)cossincossincoscoscoscossincoscoscossincoscos故选 C 7. C 解析:(coscoscos)(coscoscos)73757274767精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载72sin76cos72sin74cos72sin72cos72sin
17、7sin75cos7sin73cos7sin7cos7sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin2747276747274767278747227121214()故选 C 8. A 分析: 本题解法很多,下面只介绍“和差化积”的解法。其它方法请同学们自己去做。解:04820024,ab(sinsin)(coscos )2222222222cossinsinsinsin(cossin)sincossin202200上式,故ab故选 A 二. 填空题: 9. 23解: 原式=sinsincoscossincoscoscostan10201020215521551
18、523 10. 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载解析: 原式 =14080802408080sincossincoscossincoscoscossincoscoscoscoscoscos40260208040201023010102323 11. sin12解析:122123211211212122121221212sincoscossincoscoscossincossincoscossin *12. 12解析: 原式 =348481248136sincoscoscos34848213
19、6483013618361723612541812181836181sincoscossin()cossincoscoscossinsinsincoscoscossincoscossincoscoscos363618172218118218112112三. 解答题: 13. 解: 由已知得:sinsinsincos22214coscoscoscos22213两式相除得tan234精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载tan()tantan( )221223413424722 14. 分析: 利用降
20、幂公式,和差化积、积化和差公式逐步化简。解: 原式=121212122(cos)(cos)cos ()cossincos()122222(coscos)cos ()cossincos()cos() cos()cos ()cossincos()cos()cos()cos()cossincos()22coscoscossincot说明: 把一个复杂的三角函数式逐步变形,使之越来越接近目标,或化为最简式, 在三角函数的恒等变形连续化简的过程中,合理准确地选取三角公式,会帮你节省精力走近路。一看角,二看三角函数,三看式子特征是三角变形的总的策略和方向。 *15. 证明: cos()coscos(),的
21、倒数成等差数列2112coscos()cos()coscos()cos()cos() cos()2212222222212122222121222222222coscos cos(coscos)coscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscoscos(cos)(cos)即:210122222222kcoscoscoscoscoscos即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页优秀学习资料欢迎下载三、思考题1.1sinsin3xy,1coscos5xy,求sin()xy与cos()xy的值 .(华约自招 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页