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1、第二章第二章 波函数与薛定波函数与薛定谔方程方程2.1波函数的统计解释2.2 态迭加原理2.3 薛定谔方程2.4 定态薛定谔方程2.5 一维无限深势阱2.6 线性谐振子2.7 势垒贯穿隧道效应一、波函数一、波函数1、平面波是描画具有确定能量、平面波是描画具有确定能量和和动量量的粒子的波函数：的粒子的波函数： 2、普通F0,在外力场中，势能 , 满足薛定谔方程和边境条件称为波函数2.1波函数的波函数的统计解解释二、波函数的物理意二、波函数的物理意义统计解解释1、经典波表示 2、量子力学的波函数 不表示任何详细物理量3、 表示在时辰t位置 附近单位体积内发现粒子的几率probalitily),及t
2、时辰在 附近发现粒子的几率密度 4、波函数表示微观体系的量子态形状、态， 不仅可以通知我们在 位置丈量出粒子的几率，还可以描写体系的各种性质，丈量其他物理量的能够值，及取这些值的几率三、波函数的归一化1、以波函数 描写粒子的形状，t时辰x,y,z位置波函数强度 以dw(x,y,z,t)表示在x x+dx,y y+dy,z dz )位置找到粒子的几率 T时辰在(x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率密度由波函数的统计解释：2、波函数的归一化：成：成为归一化常数，一化常数，将其归一化解:令以归一化波函数为归一化：3、恣意相因子4，自在粒子波函数不可归一化 例：2.2 态迭加原理波函数的统计解释
3、态迭加原理一、量子力学的根本原理之一 态迭加原理1、实验规律：由于丈量时会扰动，微观态各种能够值以一定几率出现，如 x 2-2.5 3-3.5 4-4.5 5-5.5 w 10% 20% 40% 20%波粒二象性2、丈量物理量x及其几率可以由波函数求出如 3、为什么会有许多能够值，并以确定几率出现? 源于波的迭加性。回想经典波的惠更斯原理：在空间某点p处，t时辰的波的振幅有前一时辰波上各点传出的光波的相关迭加决议。经典波的干涉，假设 为一列波， 为一列波，那么 也是一个能够的动摇形状4、态迭加原理假设 和 是体系的能够形状，那么它们的线性迭加 也是这个体系的一个能够形状，而且当粒子处于 和 的
4、线性迭加态时，粒子是既处于 态，也处于 态 5、形状迭加、形状迭加干涉干涉项6、态迭加原理的普通方式当 为体系的能够形状时，他们的线性迭加 也是体系的一个能够形状。当体系处于 态时，体系部分的处于 态之中 经典力学：知力典力学：知力 F 及及 x0、v0，质点的形状点的形状变化由牛化由牛顿运运动方程求出方程求出 当微观粒子在某一时辰的形状为知时，以后时辰粒子所处的形状也要薛定谔方程来决议。 所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必需是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。 量子力学：微观粒子的运动形状由波函数来描写，状 态随时间的变化遵照着一定的规律1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠
5、加原理的根底上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个根本假设来描画微观粒子的运动规律。2.3 薛定薛定谔方程方程一、薛定一、薛定谔方程的引入方程的引入下面用一个简单的方法来引进这个方程。应强调的是：薛定谔方程是量子力学最根本的方程，其位置与牛顿方程在经典力学中的位置相当。实践上应该以为它是量子力学的一个根本假定，并不能从什么更根本的假定来证明它。它的正确性，归根结底，只能靠实验来检验下面，首先讨论自在粒子，其能量与动量的关系是 (1)和波矢 ，由下式给出 是粒子质量，按照德布罗意关系，与粒子运动相联络的波的角频率 ， (2) 或者说，与具有一定能量E和动量 的粒子相联系的是平面单色波。 (3)
6、 由(3)式可得利用(1)式，可以得出即： (4) 是一个单色平面波 。留意：方程(4)中 而描画自在粒子的普通形状的波函数，具有波包的方式，即为许多单色平面波的叠加。 (5) 式中： ，不难证明 0可见，假设 是波包，仍满足方程(4)，所以方程(4)是自在粒子波函数满足的方程。值得留意的是：假设在经典的能量动量关系(1)中，作如下交换： ， (6)然后作用于波函数上，就可得到方程(4). 其次，我们进一步思索在势场 中运动的粒子，按照经典粒子的能量关系式 (7) 对于上式作交换(6)，然后作用于波函数上，即得：(8) 这就是薛定谔动摇方程。它提示了微观世界中物质运动的根本规律，是量子力学的根
7、本假设之一。二、薛定二、薛定谔方程的方程的讨论 1、要求、对粒子的一切形状成立，动摇方程系数不能含有状态参量，如 x, p, L 2、定域的几率守恒、定域的几率守恒薛定谔方程是非相对论量子力学的根本方程。在非相对论低能情况下，实物粒子 没有产生和湮 湮灭的景象，所以在随时间演化的过程中，粒子数目保持不变即粒子数守恒。 对于一个粒子来说，在全空间中找到它的几率之总和应 不随时间改动，即 (9) 下面我们就利用薛定谔方程来证明这个结论。对(8)式取复共轭，留意到 得 (10) (11) (12) 令： (13) (14) (15) 上式左边代表：在闭区域 中找到粒子的总几率或粒 子数在单位时间内的
8、增量。 而右边留意负号表示：单位时间内经过 的封锁表 公式(12)或(15)是几率粒子数守恒的积分表示式。而由(11)式可得其微分表达式： (16) 这种方式与流膂力学中的延续性方程一样。 应该强调：这里的几率守恒具有定域的性质。当粒子在空间某地的几率减小了，必然在另外一些地方的几率增加了使总几率不变，并且伴随着有什么东西在流动来实现这种变化。延续性就意味着某种流的存在。3、波函数必需是薛定、波函数必需是薛定谔方程的解，但并非一切解都有方程的解，但并非一切解都有物理意物理意义2.4 2.4 定定态薛定薛定谔方程方程 一、不含时间的薛定谔方程以下讨论一个极为重要的特殊情况：假设势能U不显含时间t
9、经典力学中，在这种势场中的粒子的机械能是守恒量此时，薛定谔方程(8)可以用分别变量法求其解，令特解为 (17) 代入薛定谔方程中，可得：(18) 上式右边E是即不依赖与t，也不依赖与 的常数，于是 (19) (20) (21)(22)方式如(21)式的波函数所描画的态，称为定态。方程(22)称为不含时间的薛定谔方程或定态薛定谔方程。 为能量本征函数。薛定谔方程更普遍的表达式为(23)其中 是体系的哈密顿算符。当不显含t时，薛定谔方程为(24)(1).粒子的几率密度 及几率流 ，显然不随时间改动。 (2).任何力学量不显含t的平均值，不随时间变化。 (3).任何力学量不显含t取各种能够丈量值本征
10、值的几率分别也不随时间改动。 二、定二、定态薛定薛定谔方程方程1、定态的特征：2.5 2.5 一一维无限深无限深势阱阱 设势能一、一维定态问题中粒子感受沿一个方向(x)变化的势场U(x),它也是由三维问题分别变量出来的问题。由于势能U(x)不显含时间t，于是可得系统的定态薛定谔方程： (1)对本问题有：(2)(3)根据波函数应满足延续性和有限性的条件(4)(6)(7)(5)(8)(9)(10)由上两式得留意：A，B不能同时为零(11)量子化的能量公式(a)解(12)(b)解(13)(14)(15)二、束二、束缚态三、一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度对于不同的量子数，在阱内某一特定
11、的点，粒子出现的几率是不同的。 经典实际中，处于无限深方势阱中粒子的能量为延续值，粒子在阱内运动不受限制，各处概率相等。 随着能级的升高，几率密度的峰值增多，当 时，粒子在势阱内各处出现的概率相等，量子力学的结果过滤到经典力学的情况。 从以上分析可知：对于无限深势阱来说，粒子只能在势阱U=0的区域能运动。四、讨论：补充：解题技巧2.6 线性性谐振子振子线性谐振子是许多实践问题的一级近似，简谐振动是许多复杂运动的成分，可以分解为一系列简谐振动的合成一、求解一维线性谐振子的薛定谔方程1、其薛定、其薛定谔方程方程为：(1)整理得：(2)(2)式变为：(3)作变量代换，使自变量无量纲化(5)(4)(6
12、)(6)为一复系数常微分方程2、方程、方程(6)的的渐进解解(9)(8)(7)渐进解可设普通解将(9)代入(6)得厄密方程(9)3、解厄密方程、解厄密方程(11)(10)(12)递推关系(13)(14)线性谐振子能级公式(15)厄密函数(16)(17)(19)(20)(18)(21)二、物理意二、物理意义2、几率密度3、能级讨论：4、基态波函数2.7 势垒贯穿隧道效穿隧道效应一、方势垒的穿透 粒子从无限远处来，受势垒散射后又到无限远处去，粒子能量事先知道。波函数在不远处不为零，体系能量可取恣意值，构成延续谱散射态，不是束缚态。(1)方势垒1、方势垒(2)(3)这是入射粒子流密度为：入射波：(4)(5)(6)(7)变换为：(8)(9)(11)(10)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19) 隧道效应是经典力学所无法解释的，由于按经典力学计算结果，在势垒区，粒子的动能小于零，动量是虚数。由于微观粒子的动摇性，微观粒子遵守“不确定关系，粒子的坐标x和动量P不能够同时具有确定的值，自然作为坐标函数的势能和作为动量函数的动能当然也不能同时具有确定的值。因此，对微观粒子而言，“总能量等于势能和动能之和这一概念不再具有明确的意义。(20)(21)
