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1、姓名李鸿铭学生姓名吴天嘉填写时间2012.11.18 学科数学年级高三教材版本人教 A版阶段观察期:第(4)周维护期本人课时统计第( 7、8)课时共()课时课题名称导数及其应用(一轮复习)课时计划2 上课时间2012.11.18 教学目标同步教学知识内容导数及其应用。个性化学习问题解决能熟练掌握函数的导数的求法,并利用导数解决实际问题。教学重点函数的导数的求法、单调区间、最值、函数在某一点的切线的方程。教学难点含有参数的函数的单调区间的求法(涉及分类讨论)教学过程教师活动一、命题走向导数是高中数学中重要的内容,是解决实际问题的强有力的数学工具,运用导数的有关知识,研究函数的性质:单调性、极值和
2、最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样,以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值,估计20XX年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化:(1)考查形式为:选择题、填空题、解答题各种题型都会考察,选择题、填空题一般难度不大,属于高考题中的中低档题,解答题有一定难度,一般与函数及解析几何结合,属于高考的中低档题;(2)13 年高考可能涉及导数综合题,以导数为数学工具考察:导数的物理意义及几何意义,复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容,主要包括定积分的概念、
3、微积分基本定理、定积分的简单应用,由于定积分在实际问题中非常广泛,定积分的应用主要是计算面积,诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。二、要点精讲1导数的概念函数 y=f(x), 如果自变量x 在 x0处有增量x,那么函数 y 相应地有增量y=f(x0+x)f (x0) ,比值xy叫做函数y=f (x)在 x0到 x0+x之间的平均变化率,即xy=xxfxxf)()(00。如果当0x时,xy有极限,我们就说函数y=f(x) 在点 x0处可导,并把这个极限叫做f( x)在点 x0处的导数,记作f (x0)或 y|0xx。即 f(x0) =0limxxy=0limxx
4、xfxxf)()(00。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页说明:(1)函数 f(x)在点 x0处可导,是指0x时,xy有极限。如果xy不存在极限,就说函数在点 x0处不可导,或说无导数。(2)x是自变量x 在 x0处的改变量,0x时,而y是函数值的改变量,可以是零。由导数的定义可知,求函数y=f (x)在点 x0处的导数的步骤(可由学生来归纳):(1)求函数的增量y=f(x0+x) f(x0) ;(2)求平均变化率xy=xxfxxf)()(00;(3)取极限,得导数f (x0)=xyx0lim。2导数的几何意义函数
5、 y=f(x)在点 x0处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点 p(x0,f( x0) )处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点 p(x0, f(x0) )处的切线的斜率是f ( x0) 。相应地,切线方程为 yy0=f/( x0) (xx0) 。3常见函数的导出公式()0)(C(C 为常数)()1)(nnxnx()xxcos)(sin()xxsin)(cos(5)xx1)(ln(6)xxee)(4两个函数的和、差、积的求导法则法则 1:两个函数的和(或差 )的导数 ,等于这两个函数的导数的和(或差 ),即:(.)vuvu法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个
6、函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:.)(uvvuuv若 C 为常数 ,则0)(CuCuCuuCCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:.)(CuCu法则3 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:vu=2vuvvu(v0) 。形如y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解求导回代。法则:y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页|X= y |Uu|X5导数的应用( 1)一般地,设函数)(xfy在某个区间可导,如果f)(x0,则)(xf为
7、增函数;如果f0)(x,则)(xf为减函数;如果在某区间内恒有f0)(x,则)(xf为常数;(2)曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;(3)一般地,在区间a,b上连续的函数f)(x在a,b上必有最大值与最小值。求函数?)(x在(a,b)内的极值;求函数?)(x在区间端点的值?(a)、?(b); 将函数?)(x的各极值与? (a)、?(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。6定积分(1)概念设函数 f(x)在区间 a,b上连续,用分点a x0x1xi1xixnb 把区间 a,b等分成
8、 n 个小区间,在每个小区间xi1,xi上取任一点 i(i1,2, n)作和式Innif1(i)x(其中 x 为小区间长度), 把 n即 x0 时,和式 In的极限叫做函数f(x)在区间 a, b上的定积分, 记作:badxxf)(,即badxxf)(ninf1lim( i)x。这里, a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式。基本的积分公式:dx0C;dxxm111mxmC(mQ, m 1) ;x1dxlnxC;dxexxeC;dxaxaaxlnC;xdxcossinxC;xdxsin cosxC (表
9、中 C 均为常数)。(2)定积分的性质babadxxfkdxxkf)()((k 为常数);bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(;bacabcdxxfdxxfdxxf)()()((其中 a cb)。(3)定积分求曲边梯形面积由三条直线xa, x b (ab) , x 轴及一条曲线yf (x) (f(x)0)围成的曲边梯的面积badxxfS)(。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页如果图形由曲线y1f1(x),y2 f2(x)(不妨设f1(x) f2(x)0) ,及直线xa,x b(ab)围成,那么所
10、求图形的面积SS曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNCbabadxxfdxxf)()(21。三、典例解析题型 1:导数的基本运算例 1 (1)求)11(32xxxxy的导数;(2)求) 11)(1(xxy的导数;(3)求2cos2sinxxxy的导数;(4)求 y=xxsin2的导数;(5)求 yxxxxx9532的导数。解析: (1)2311xxy,.2332xxy(2)先化简 ,2121111xxxxxxy.112121212321xxxxy(3)先使用三角公式进行化简. xxxxxysin212cos2sin.cos211)(sin21sin21xxxxxy(4) y =xxxxx222si
11、n)(sin*sin)(=xxxxx22sincossin2;(5)y233xx219xy *( x23) x21(x) *2321x*(21)23x1)11 (292xx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页点评:(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量。例 2写出由下列函数复合而成的函数:(1) y=
12、cosu,u=1+2X(2)y=lnu, u=lnx 解析:(1) y=cos(1+2X);(2)y=ln(lnx) 。点评:通过对y=(3x-22)展开求导及按复合关系求导,直观的得到xy=uy.xu.给出复合函数的求导法则,并指导学生阅读法则的证明。题型 2:导数的几何意义例 3 (1) (06 安徽卷)若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直,则l的方程为()A430xy B450xy C 430xy D 430xy(2) (06全国 II)过点( 1,0)作抛物线21yxx的切线,则其中一条切线为()(A)220xy(B)330xy(C)10xy(D)10xy解析: (1)与直线4
13、80xy垂直的直线l为40xym,即4yx在某一点的导数为4,而34yx,所以4yx在(1 ,1) 处导数为4,此点的切线为430xy,故选 A;(2)21yx,设切点坐标为00(,)xy,则切线的斜率为201x,且20001yxx,于是切线方程为200001(21)()yxxxxx,因为点( 1, 0)在切线上,可解得0x0 或 4,代入可验正 D 正确,选D。点评:导数值对应函数在该点处的切线斜率。例 4 (1) ( 06 湖北卷)半径为r 的圆的面积S(r)r2, 周长 C(r)=2r ,若将 r 看作 (0 , ) 上的变量,则 (r2) 2r 1,1式可以用语言叙述为:圆的面积函数的
14、导数等于圆的周长函数。对于半径为 R的球,若将 R看作 (0, ) 上的变量, 请你写出类似于1的式子: 2;2式可以用语言叙述为: 。(2) (06 湖南卷)曲线1yx和2yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是。解析: (1)V球343R,又32443RR() 故2式可填32443RR() ,用语言叙述为 “球的体积函数的导数等于球的表面积函数。” ;(2)曲线xy1和2xy在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是y=x+2 和 y=2x 1,它们与x轴所围成的三角形的面积是43。点评:导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起,对于较复杂问题有很好的效果。题型 3
15、:借助导数处理单调性、极值和最值例 5 (1) (06 江西卷)对于R 上可导的任意函数f(x) ,若满足( x1)fx( )0,则必有()Af(0) f(2) 2f(1)B. f (0) f(2) 2f(1)Cf(0) f(2)2f(1)D. f (0) f(2) 2f(1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页(2) (06 天津卷)函数)(xf的定义域为开区间),(ba,导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示,则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点()A1 个 B2 个C3 个D4 个(3) (06 全
16、国卷 I )已知函数11axxfxex。 ()设0a,讨论yfx的单调性;()若对任意0,1x恒有1fx,求a的取值范围。解析:(1)依题意,当x 1 时, f (x) 0,函数 f(x)在( 1,)上是增函数;当x 1 时, f(x) 0,f(x)在(,1)上是减函数,故f( x)当 x1 时取得最小值,即有f(0) f(1) ,f( 2)f(1) ,故选 C;(2)函数)(xf的定义域为开区间),(ba,导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示,函数)(xf在开区间),(ba内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有1 个,选 A。(3) : ()f(x)
17、的定义域为 ( ,1)(1,+).对 f(x) 求导数得f (x)= ax2+2a(1x)2eax。( )当 a=2时, f (x)= 2x2(1x)2e2x, f (x) 在( ,0), (0,1)和(1,+ )均大于 0, 所以 f(x) 在( ,1), (1,+).为增函数;( )当 0a0, f(x) 在( ,1), (1,+)为增函数 .;( )当 a2 时 , 0a2a1, 令 f (x)=0 , 解得 x1= a2a, x2= a2a;当 x 变化时 , f (x) 和 f(x) 的变化情况如下表: x ( , a2a) (a 2a,a2a) (a2a,1) (1,+) f (x
18、) f(x) f(x) 在( , a2a), (a2a,1), (1,+ )为增函数 , f(x) 在(a2a,a2a)为减函数。( )()当 0f(0)=1 ;( )当 a2 时 , 取 x0= 12a 2a(0,1),则由 ( )知 f(x0)1 且 eax1,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页得: f(x)= 1+x1xeax1+x1x1. 综上当且仅当a( ,2时,对任意 x(0,1)恒有 f(x)1 。点评:注意求函数的单调性之前,一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。例 6 (1) (06
19、 浙江卷)32( )32f xxx在区间1,1上的最大值是()(A ) 2 (B)0 (C)2 (D)4 (2) ( 06山东卷) 设函数 f(x)= 3223(1)1,1.xaxa其中()求 f(x) 的单调区间; ()讨论f(x) 的极值。解析:(1)2( )363 (2)fxxxx x,令( )0fx可得 x0 或 2(2 舍去),当 1 x 0 时,( )fx0,当 0 x 1 时,( )fx0,所以当x0 时, f(x)取得最大值为2。选 C;(2)由已知得( )6(1)fxx xa,令( )0fx,解得120,1xxa。()当1a时,2( )6fxx,( )f x在(,)上单调递增
20、;当1a时,( )61fxx xa,( ),( )fxfx随x的变化情况如下表:x(,0)0 (0,1)a1a(1,)a( )fx+ 0 0 ( )fx极大值极小值从上表可知,函数( )f x在(,0)上单调递增;在(0,1)a上单调递减;在(1,)a上单调递增。()由()知,当1a时,函数( )f x没有极值;当1a时,函数( )f x在0x处取得极大值,在1xa处取得极小值31(1)a。点评:本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力。题型 4:导数综合题例 7 (06 广东卷)设函数3( )32f xxx分别在12xx、处取得极小值、极大
21、值.xoy平面上点AB、的坐标分别为11()xf x(,)、22()xf x(,),该平面上动点P满足?4PA PB,点Q是点P关于直线2(4)yx的对称点 .求(I)求点AB、的坐标;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页(II) 求动点Q的轨迹方程 . 解析: ()令033)23()(23xxxxf解得11xx或;当1x时,0)(xf, 当11x时,0)(xf,当1x时,0)(xf。所以 ,函数在1x处取得极小值 ,在1x取得极大值 ,故1, 121xx,4)1(,0)1(ff。所以 , 点 A、B 的坐标为)4,
22、 1(),0, 1(BA。()设),(nmp,),(yxQ,4414 ,1,122nnmnmnmPBPA,21PQk,所以21mxny。又 PQ 的中点在)4(2 xy上, 所以4222nxmy, 消去nm,得92822yx。点评:该题是导数与平面向量结合的综合题。题型 5:导数实际应用题例 8 (06 江苏卷)请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时,帐篷的体积最大?本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识,以及运用数学知识解决实际问题的能力。解析:设OO1为
23、 x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为2223(1)82xxx(单位: m ) 。于是底面正六边形的面积为(单位:m2) :2222233 33(1)6( 82)(82)42xxxxx。帐篷的体积为(单位:m3) :233 313( )(82)(1) 1(16 12)232V xxxxxx求导数,得23( )(123)2Vxx;令( )0Vx解得 x=-2( 不合题意,舍去),x=2 。当 1x2 时,( )0Vx,V(x) 为增函数;当2x0。当 x=0 时, t=0;当 x=a 时,311)(batt,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
24、 -第 9 页,共 16 页又 ds=vdt,故阻力所作的功为:3277130320302727727)3(111baktkbdtbtkdtvkdtvkvdsFWtttzuzu( 2)依题设可知抛物线为凸形,它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0, x2= b/a,所以320261)(badxbxaxSab(1) 又直线 xy=4 与抛物线 y=ax2bx 相切,即它们有唯一的公共点,由方程组bxaxyyx24得 ax2(b1)x4=0,其判别式必须为0,即 (b1)216a=0于是,)1(1612ba代入( 1)式得:)0( ,)1(6128)(43bbbbS,52) 1( 3)3(128)(
25、bbbbS;令 S(b)=0;在 b0 时得唯一驻点b=3,且当0b 3 时, S(b)0;当 b3 时, S(b)0故在b=3 时, S(b)取得极大值,也是最大值,即a= 1,b=3 时, S 取得最大值,且29maxS。点评:应用好定积分处理平面区域内的面积。五思维总结1本讲内容在高考中以填空题和解答题为主主要考查:(1)函数的极限;(2)导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用;(3)计算曲边图形的面积和旋转体的体积。2我们应立足基础知识和基本方法的复习,以课本题目为主,以熟练技能,巩固概念为目标。课后作业函数与导数(高考真题)一选择题:1. (全国一1)函数(1)yx xx的定义
26、域为()A|0x xB|1x xC|10x xD|01xx 2. (全国一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页路程s看作时间t的函数,其图像可能是()3.(全国一6)若函数(1)yf x的图像与函数ln1yx的图像关于直线yx对称,则( )f x()A21xeB2xeC21xeD22xe4. (全国一7)设曲线11xyx在点(3 2),处的切线与直线10axy垂直,则a()A2 B12C12D25. (全国一9)设奇函数( )f x在(
27、0),上为增函数,且(1)0f,则不等式( )()0f xfxx的解集为()A( 1 0)(1),B(1)(01),C(1)(1),D( 1 0)(01),6. (全国二3)函数1( )f xxx的图像关于()Ay轴对称B 直线xy对称C 坐标原点对称D 直线xy对称8. (全国二4)若13(1)ln2lnlnxeaxbxcx,则()AabcBcabCbacDbc0 时( )f x是单调函数, 则满足3( )4xf xfx的所有x之和为()A3B3C8D8二填空题:1. (上海卷4)若函数f(x) 的反函数为f 1(x) x2(x0) ,则f(4) 2. (上海卷8)设函数f(x) 是定义在
28、R上的奇函数,若当x(0,+ ) 时,f(x) lg x,则满足f(x) 0 的x的取值范围是3.(上海卷11)方程x2+2x10 的解可视为函数yx+2的图像与函数y1x的图像交点的横坐标,若x4+ax40 的各个实根x1,x2,xk (k4)所对应的点 (xi ,4xi) (i 1,2, ,k)均在直线yx的同侧,则实数a的取值范围是4. ( 全 国 二14) 设 曲 线axye在 点(01),处 的 切 线 与 直 线210xy垂直,则a5. (北京卷12)如图,函数( )f x的图象是折线段ABC,其中2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 精选学习资料 - -
29、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页ABC, ,的坐标分别为(0 4) (2 0) (6 4), 则(0)ff;0(1)(1)limxfxfx(用数字作答)6.(北京卷13)已知函数2( )cosf xxx,对于 2 2,上的任意12xx,有如下条件: 12xx;2212xx; 12xx其中能使12()()fxf x恒成立的条件序号是7. (北京卷14)某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植在点()kkkP xy,处,其中11x,11y,当2k时,11121 5551255kkkkkkxxTTkky
30、yTT,( )T a表 示 非负 实 数a的 整 数部分, 例如(2.6)2T,(0.2)0T按此方案,第6 棵树种植点的坐标应为(12),;第2008 棵树种植点的坐标应为(3 402),8. (安徽卷13)函数221( )log (1)xf xx的定义域为3,)9. (江苏卷8)直线12yxb是曲线ln0yx x的一条切线,则实数b ln2 110. (江苏卷14)331fxaxx对于1,1x总有fx0 成立,则a= 4 11.(湖南卷13)设函数( )yf x存在反函数1( )yfx, 且函数( )yxf x的图象过点 (1,2),则函数1( )yfxx的图象一定过点. (-1,2) 1
31、2. (湖南卷14)已知函数3( )(1).1axf xaa(1)若a0, 则( )f x的定义域是 ;3,a(2) 若( )f x在区间0,1上是减函数,则实数a的取值范围是.,01,313. (重庆卷13) 已知1249a(a0) ,则23loga.3 14. (浙江卷15)已知 t 为常数,函数txxy22在区间 0 ,3 上的最大值为2,则 t=_ 。1 15. (辽宁卷13)函数100xxxyex,的反函数是 _11ln1.xxyxx,25. (湖北卷13)已知函数2( )2f xxxa,2()962f bxxx, 其中xR,a b为常数,则方精选学习资料 - - - - - - -
32、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页程()0f axb的解集为 . 三、解答题1、 (广东卷19) (本小题满分14 分)设kR,函数111( )11xxf xxx, ,( )( )F xf xkx,xR,试讨论函数( )F x的单调性课后记本 节 课 教 学 计 划 完 成 情 况 : 照 常 完 成 提 前 完 成 延 后 完 成 _ 学生的接受程度:完全 能接受部分能接受不能接受_ 学生 的课堂表现: 很积极比较积极一般不积极_ 学生上次作业完成情况:数量_% 完成质量 _分存在问题 _ 配合需求:家长_ 学管师 _ 备注提交时间教研组长审批家长签名精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页