2022年导数及微积分教案

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1、姓名李鸿铭学生姓名吴天嘉填写时间2012.11.18 学科数学年级高三教材版本人教 A版阶段观察期：第（4）周维护期本人课时统计第（ 7、8）课时共（）课时课题名称导数及其应用（一轮复习）课时计划2 上课时间2012.11.18 教学目标同步教学知识内容导数及其应用。个性化学习问题解决能熟练掌握函数的导数的求法，并利用导数解决实际问题。教学重点函数的导数的求法、单调区间、最值、函数在某一点的切线的方程。教学难点含有参数的函数的单调区间的求法（涉及分类讨论）教学过程教师活动一、命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和

2、最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计20XX年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）13 年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、

3、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分在实际问题中非常广泛，定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。二、要点精讲1导数的概念函数 y=f(x), 如果自变量x 在 x0处有增量x，那么函数 y 相应地有增量y=f（x0+x）f （x0） ，比值xy叫做函数y=f （x）在 x0到 x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00。如果当0x时，xy有极限，我们就说函数y=f(x) 在点 x0处可导，并把这个极限叫做f（ x）在点 x0处的导数，记作f （x0）或 y|0xx。即 f（x0） =0limxxy=0limxx

4、xfxxf)()(00。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页说明：（1）函数 f（x）在点 x0处可导，是指0x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点 x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量x 在 x0处的改变量，0x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x）在点 x0处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量y=f（x0+x） f（x0） ；（2）求平均变化率xy=xxfxxf)()(00；（3）取极限，得导数f (x0)=xyx0lim。2导数的几何意义函数

5、 y=f（x）在点 x0处的导数的几何意义是曲线y=f （x）在点 p（x0，f（ x0） ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点 p（x0， f（x0） ）处的切线的斜率是f （ x0） 。相应地，切线方程为 yy0=f/（ x0） （xx0） 。3常见函数的导出公式（）0)(C（C 为常数）（）1)(nnxnx（）xxcos)(sin（）xxsin)(cos（5）xx1)(ln（6）xxee)(4两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差 )的导数 ,等于这两个函数的导数的和(或差 )，即：(.)vuvu法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个

6、函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv若 C 为常数 ,则0)(CuCuCuuCCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(CuCu法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：vu=2vuvvu（v0） 。形如y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页|X= y |Uu|X5导数的应用（ 1）一般地，设函数)(xfy在某个区间可导，如果f)(x0，则)(xf为

7、增函数；如果f0)(x，则)(xf为减函数；如果在某区间内恒有f0)(x，则)(xf为常数；（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（3）一般地，在区间a，b上连续的函数f)(x在a，b上必有最大值与最小值。求函数?)(x在(a，b)内的极值；求函数?)(x在区间端点的值?(a)、?(b)； 将函数?)(x的各极值与? (a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6定积分（1）概念设函数 f(x)在区间 a，b上连续，用分点a x0x1xi1xixnb 把区间 a，b等分成

8、 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点 i（i1，2， n）作和式Innif1(i)x（其中 x 为小区间长度）， 把 n即 x0 时，和式 In的极限叫做函数f(x)在区间 a， b上的定积分， 记作：badxxf)(，即badxxf)(ninf1lim( i)x。这里， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。基本的积分公式：dx0C；dxxm111mxmC（mQ， m 1） ；x1dxlnxC；dxexxeC；dxaxaaxlnC；xdxcossinxC；xdxsin cosxC （表

9、中 C 均为常数）。（2）定积分的性质babadxxfkdxxkf)()(（k 为常数）；bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(（其中 a cb)。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线xa， x b （ab） ， x 轴及一条曲线yf （x） (f(x)0)围成的曲边梯的面积badxxfS)(。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页如果图形由曲线y1f1(x)，y2 f2(x)（不妨设f1(x) f2(x)0） ，及直线xa，x b（ab）围成，那么所

10、求图形的面积SS曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNCbabadxxfdxxf)()(21。三、典例解析题型 1：导数的基本运算例 1 （1）求)11(32xxxxy的导数；（2）求) 11)(1(xxy的导数；（3）求2cos2sinxxxy的导数；（4）求 y=xxsin2的导数；（5）求 yxxxxx9532的导数。解析： （1）2311xxy,.2332xxy（2）先化简 ,2121111xxxxxxy.112121212321xxxxy（3）先使用三角公式进行化简. xxxxxysin212cos2sin.cos211)(sin21sin21xxxxxy（4） y =xxxxx222si

11、n)(sin*sin)(=xxxxx22sincossin2；（5）y233xx219xy *（ x23） x21(x） *2321x*（21）23x1)11 (292xx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。例 2写出由下列函数复合而成的函数：（1） y=

12、cosu,u=1+2X（2）y=lnu, u=lnx 解析：（1） y=cos(1+2X)；（2）y=ln(lnx) 。点评：通过对y=（3x-22)展开求导及按复合关系求导，直观的得到xy=uy.xu.给出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。题型 2：导数的几何意义例 3 （1） （06 安徽卷）若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为（）A430xy B450xy C 430xy D 430xy（2） （06全国 II）过点（ 1，0）作抛物线21yxx的切线，则其中一条切线为（）（A）220xy（B）330xy（C）10xy（D）10xy解析： （1）与直线4

13、80xy垂直的直线l为40xym，即4yx在某一点的导数为4，而34yx，所以4yx在(1 ，1) 处导数为4，此点的切线为430xy，故选 A；（2）21yx，设切点坐标为00(,)xy，则切线的斜率为201x，且20001yxx，于是切线方程为200001(21)()yxxxxx，因为点（ 1， 0）在切线上，可解得0x0 或 4，代入可验正 D 正确，选D。点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。例 4 （1） （ 06 湖北卷）半径为r 的圆的面积S(r)r2, 周长 C(r)=2r ，若将 r 看作 (0 ， ) 上的变量，则 (r2) 2r 1，1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的

14、导数等于圆的周长函数。对于半径为 R的球，若将 R看作 (0， ) 上的变量， 请你写出类似于1的式子： 2；2式可以用语言叙述为： 。（2） （06 湖南卷）曲线1yx和2yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是。解析： （1）V球343R，又32443RR（） 故2式可填32443RR（） ，用语言叙述为 “球的体积函数的导数等于球的表面积函数。” ；（2）曲线xy1和2xy在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2 和 y=2x 1，它们与x轴所围成的三角形的面积是43。点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。题型 3

15、：借助导数处理单调性、极值和最值例 5 （1） （06 江西卷）对于R 上可导的任意函数f（x） ，若满足（ x1）fx（ ）0，则必有（）Af（0） f（2） 2f（1）B. f （0） f（2） 2f（1）Cf（0） f（2）2f（1）D. f （0） f（2） 2f（1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页（2） （06 天津卷）函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）A1 个 B2 个C3 个D4 个（3） （06 全

16、国卷 I ）已知函数11axxfxex。 （）设0a，讨论yfx的单调性；（）若对任意0,1x恒有1fx，求a的取值范围。解析：（1）依题意，当x 1 时， f （x） 0，函数 f（x）在（ 1，）上是增函数；当x 1 时， f（x） 0，f（x）在（，1）上是减函数，故f（ x）当 x1 时取得最小值，即有f（0） f（1） ，f（ 2）f（1） ，故选 C；（2）函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，函数)(xf在开区间),(ba内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1 个，选 A。（3） ： ()f(x)

17、的定义域为 ( ,1)(1,+).对 f(x) 求导数得f (x)= ax2+2a(1x)2eax。( )当 a=2时, f (x)= 2x2(1x)2e2x, f (x) 在( ,0), (0,1)和(1,+ )均大于 0, 所以 f(x) 在( ,1), (1,+).为增函数；( )当 0a0, f(x) 在( ,1), (1,+)为增函数 .；( )当 a2 时 , 0a2a1, 令 f (x)=0 , 解得 x1= a2a, x2= a2a；当 x 变化时 , f (x) 和 f(x) 的变化情况如下表: x ( , a2a) (a 2a,a2a) (a2a,1) (1,+) f (x

18、) f(x) f(x) 在( , a2a), (a2a,1), (1,+ )为增函数 , f(x) 在(a2a,a2a)为减函数。( )()当 0f(0)=1 ；( )当 a2 时 , 取 x0= 12a 2a(0,1),则由 ( )知 f(x0)1 且 eax1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页得： f(x)= 1+x1xeax1+x1x1. 综上当且仅当a( ,2时,对任意 x(0,1)恒有 f(x)1 。点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。例 6 （1） （06

19、 浙江卷）32( )32f xxx在区间1,1上的最大值是（）(A ) 2 (B)0 (C)2 (D)4 （2） （ 06山东卷） 设函数 f(x)= 3223(1)1,1.xaxa其中（）求 f(x) 的单调区间； （）讨论f(x) 的极值。解析：（1）2( )363 (2)fxxxx x，令( )0fx可得 x0 或 2（2 舍去），当 1 x 0 时，( )fx0，当 0 x 1 时，( )fx0，所以当x0 时， f（x）取得最大值为2。选 C；（2）由已知得( )6(1)fxx xa，令( )0fx，解得120,1xxa。（）当1a时，2( )6fxx，( )f x在(,)上单调递增

20、；当1a时，( )61fxx xa，( ),( )fxfx随x的变化情况如下表：x(,0)0 (0,1)a1a(1,)a( )fx+ 0 0 ( )fx极大值极小值从上表可知，函数( )f x在(,0)上单调递增；在(0,1)a上单调递减；在(1,)a上单调递增。（）由（）知，当1a时，函数( )f x没有极值；当1a时，函数( )f x在0x处取得极大值，在1xa处取得极小值31(1)a。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。题型 4：导数综合题例 7 （06 广东卷）设函数3( )32f xxx分别在12xx、处取得极小值、极大

21、值.xoy平面上点AB、的坐标分别为11()xf x（,）、22()xf x（,），该平面上动点P满足?4PA PB,点Q是点P关于直线2(4)yx的对称点 .求(I)求点AB、的坐标；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页(II) 求动点Q的轨迹方程 . 解析： ()令033)23()(23xxxxf解得11xx或；当1x时,0)(xf， 当11x时,0)(xf，当1x时，0)(xf。所以 ,函数在1x处取得极小值 ,在1x取得极大值 ,故1, 121xx,4)1(,0)1(ff。所以 , 点 A、B 的坐标为)4,

22、 1(),0, 1(BA。（）设),(nmp，),(yxQ，4414 ,1,122nnmnmnmPBPA，21PQk，所以21mxny。又 PQ 的中点在)4(2 xy上， 所以4222nxmy， 消去nm,得92822yx。点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。题型 5：导数实际应用题例 8 （06 江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解析：设OO1为

23、 x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为2223(1)82xxx（单位： m ） 。于是底面正六边形的面积为（单位：m2） ：2222233 33(1)6( 82)(82)42xxxxx。帐篷的体积为（单位：m3） ：233 313( )(82)(1) 1(16 12)232V xxxxxx求导数，得23( )(123)2Vxx；令( )0Vx解得 x=-2( 不合题意，舍去),x=2 。当 1x2 时，( )0Vx,V(x) 为增函数；当2x0。当 x=0 时， t=0；当 x=a 时，311)(batt，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

24、 -第 9 页，共 16 页又 ds=vdt，故阻力所作的功为：3277130320302727727)3(111baktkbdtbtkdtvkdtvkvdsFWtttzuzu（ 2）依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0， x2= b/a，所以320261)(badxbxaxSab(1) 又直线 xy=4 与抛物线 y=ax2bx 相切，即它们有唯一的公共点，由方程组bxaxyyx24得 ax2(b1)x4=0，其判别式必须为0，即 (b1)216a=0于是,)1(1612ba代入（ 1）式得：)0( ,)1(6128)(43bbbbS，52) 1( 3)3(128)(

25、bbbbS；令 S(b)=0；在 b0 时得唯一驻点b=3，且当0b 3 时， S(b)0；当 b3 时， S(b)0故在b=3 时， S(b)取得极大值，也是最大值，即a= 1，b=3 时， S 取得最大值，且29maxS。点评：应用好定积分处理平面区域内的面积。五思维总结1本讲内容在高考中以填空题和解答题为主主要考查：（1）函数的极限；（2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用；（3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积。2我们应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标。课后作业函数与导数（高考真题）一选择题：1. （全国一1）函数(1)yx xx的定义

26、域为（）A|0x xB|1x xC|10x xD|01xx 2. （全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页路程s看作时间t的函数，其图像可能是（）3.（全国一6）若函数(1)yf x的图像与函数ln1yx的图像关于直线yx对称，则( )f x（）A21xeB2xeC21xeD22xe4. （全国一7）设曲线11xyx在点(3 2)，处的切线与直线10axy垂直，则a（）A2 B12C12D25. （全国一9）设奇函数( )f x在(

27、0)，上为增函数，且(1)0f，则不等式( )()0f xfxx的解集为（）A( 1 0)(1)，B(1)(01)，C(1)(1)，D( 1 0)(01)，6. （全国二3）函数1( )f xxx的图像关于（）Ay轴对称B 直线xy对称C 坐标原点对称D 直线xy对称8. （全国二4）若13(1)ln2lnlnxeaxbxcx，则（）AabcBcabCbacDbc0 时( )f x是单调函数， 则满足3( )4xf xfx的所有x之和为（）A3B3C8D8二填空题：1. （上海卷4）若函数f(x) 的反函数为f 1(x) x2（x0） ，则f(4) 2. （上海卷8）设函数f(x) 是定义在

28、R上的奇函数，若当x(0,+ ) 时，f(x) lg x，则满足f(x) 0 的x的取值范围是3.（上海卷11）方程x2+2x10 的解可视为函数yx+2的图像与函数y1x的图像交点的横坐标，若x4+ax40 的各个实根x1，x2，xk (k4)所对应的点 (xi ,4xi) （i 1,2, ,k）均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是4. （ 全 国 二14） 设 曲 线axye在 点(01)，处 的 切 线 与 直 线210xy垂直，则a5. （北京卷12）如图，函数( )f x的图象是折线段ABC，其中2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 精选学习资料 - -

29、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页ABC， ，的坐标分别为(0 4) (2 0) (6 4)， 则(0)ff；0(1)(1)limxfxfx（用数字作答）6.（北京卷13）已知函数2( )cosf xxx，对于 2 2，上的任意12xx，有如下条件： 12xx；2212xx； 12xx其中能使12()()fxf x恒成立的条件序号是7. （北京卷14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点()kkkP xy，处，其中11x，11y，当2k时，11121 5551255kkkkkkxxTTkky

30、yTT，( )T a表 示 非负 实 数a的 整 数部分， 例如(2.6)2T，(0.2)0T按此方案，第6 棵树种植点的坐标应为(12)，；第2008 棵树种植点的坐标应为(3 402)，8. （安徽卷13）函数221( )log (1)xf xx的定义域为3,)9. （江苏卷8）直线12yxb是曲线ln0yx x的一条切线，则实数b ln2 110. （江苏卷14）331fxaxx对于1,1x总有fx0 成立，则a= 4 11.（湖南卷13）设函数( )yf x存在反函数1( )yfx, 且函数( )yxf x的图象过点 (1,2),则函数1( )yfxx的图象一定过点. (-1,2) 1

31、2. （湖南卷14）已知函数3( )(1).1axf xaa（1）若a0, 则( )f x的定义域是 ;3,a(2) 若( )f x在区间0,1上是减函数，则实数a的取值范围是.,01,313. （重庆卷13) 已知1249a(a0) ，则23loga.3 14. （浙江卷15）已知 t 为常数，函数txxy22在区间 0 ，3 上的最大值为2，则 t=_ 。1 15. （辽宁卷13）函数100xxxyex，的反函数是 _11ln1.xxyxx，25. （湖北卷13）已知函数2( )2f xxxa,2()962f bxxx, 其中xR,a b为常数，则方精选学习资料 - - - - - - -

32、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页程()0f axb的解集为 . 三、解答题1、 （广东卷19） （本小题满分14 分）设kR，函数111( )11xxf xxx， ，( )( )F xf xkx，xR，试讨论函数( )F x的单调性课后记本 节 课 教 学 计 划 完 成 情 况 ： 照 常 完 成 提 前 完 成 延 后 完 成 _ 学生的接受程度：完全 能接受部分能接受不能接受_ 学生 的课堂表现： 很积极比较积极一般不积极_ 学生上次作业完成情况：数量_% 完成质量 _分存在问题 _ 配合需求：家长_ 学管师 _ 备注提交时间教研组长审批家长签名精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页