2022年2022年工程力学-应力状态与应力状态分析

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1、8应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。（ 1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力, 主应力排列规定按代数值由大到小为 : 321最大切应力为132max（2）任斜截面上的应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx（3) 主应力的大小22minmax)2(2xyyxyx主平面的方位yxxytg2204、 主应变122122xyxyxyxyxy()()tg5、 广义胡克定律)(1zyxxE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

2、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - - )(1xzyyE)(1yxzzEGzxzxGyzyz，Gxyxy6、 应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。”8.1试画出下图8.1(a) 所示简支梁A点处的原始单元体。图 8.1 解（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A 点偏上和偏下的一对

3、与xz 平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d) 所示。(2) 分析单元体各面上的应力: A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b) 、(c) 所示，将A点的坐标x、y 代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为：zMyIbIQSzz*由切应力互等定律知, 单元体的上下面有切应力；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d) 。8.2图 8.2(a) 所示的单元体 , 试求（ 1）图示斜截面上的应力; （2）主方向和主应力，画出主单元体 ; （3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。解题范例名师资料总结 - - -精品

4、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - - 解 （1）求斜截面上的正应力30和切应力30图 8.2 由公式MPa5.64)60sin()60()60cos(21005021005030MPa95.34)60cos()60()60sin(21005030（2）求主方向及主应力8 .01005012022tanyxx66.38267.7033.1921最大主应力在第一象限中，对应的角度为070.67，主应力的大小为15010050100cos(270.6

5、7 )( 60)sin(270.67 )121.0MPa22由yx21可解出21( 50)100(121.0)71.0MPaxy因有一个为零的主应力，因此)33.19(MPa0 .7133第三主方向画出主单元体如图8.2(b) 。（3）主切应力作用面的法线方向25.1120100502tan34.51267.11567.2521主切应力为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 20 页 - - - - - - - - - 21MPa04.96)34.51cos()

6、60()34.51sin(210050此两截面上的正应力为MPa0 .25)34.51sin()60()34.51cos(2100502100501MPa0 .25)34.231sin()60()34.231cos(2100502100502主切应力单元体如图8.2 （c）所示。由yxMPa500 .250.2521，可以验证上述结果的正确性。8.3 试用图形解析法，重解例8.2 。 解 （ 1）画应力圆建立比例尺，画坐标轴、。对图8.2(a) 所示单元体，在平面上画出代表xx、的点A(-50,-60)和代表yy、的点 B(100,60) 。连接 A、B ，与水平轴交于 C点，以 C点为圆心，

7、CB（或CA）为半径，作应力圆如图8.3 所示 . 图 8.3(2) 斜截面上的应力在应力圆上自A点顺时针转过60，到达 G点。G点在、坐标系内的坐标即为该斜截面上的应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G点的水平和垂直坐标值：64.5MPa =34.95MPa (3) 主方向、主应力及主单元体名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - - 图 8.3 所示应力圆图上H点横坐标OH为第一主应力，即1121.04MPaOH

8、K点的横坐标OK为第三主应力，即371.04MPaOK由应力圆图上可以看出，由B点顺时针转过02为第一主方向，在单元体上则为由y轴顺时针转0，且00238.66 ,19.33应力圆图上由A顺时针转到K点(66.38ACK) ，则在单元体上由x 轴顺时针转过33.19为第三主方向 , 画出主单元体仍如图8.2(b) 所示。（4）主切应力作用面的位置及其上的应力图 8.3 所示应力圆上N、P点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。在应力圆上由B到 N，逆时针转过34.51，单元体上max作用面的外法线方向为由y轴逆时针转过67.25，且MPa04.96minmaxCBminmax和作用面上

9、的正应力均为25MPa,主切应力作用面的单元体仍如图8.2(c) 所示。8.4 如图 8.4 所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p 和外力矩m的作用。在圆筒表面 a 点用应变仪测出与x 轴分别成正负45 方向两个微小线段ab 和 ac 的的应变45629.4106，45 66.9 106，试求压强P和外力矩m 。已知薄壁筒的平均直径d200mm ，厚度 t 10mm ， E200GPa ，泊松比0.25 。图 8.4 解 （1）a 点为平面应力状态, 在 a 点取出如图8.4(c) 所示的原始单元体，其上应力：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

10、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - - 22,42xyxpdpdmttd t（2）求图 8.4(c)斜单元体 efgh 各面上的正应力：24524532283228xyxxyxpdmtd tpdmtd t（3）利用胡克定律，列出应变45、 45表达式2454545245454511321181132118pdmEEtd tpdmEEtd t-将给定数据代入上式663213200210629.4 100.751.25200 1081020010pm66321320021066.9 100.751.252

11、00 1081020010pm得内压强和外力矩p 10MPa ， m 35kNm 8.5 矩形截面简支梁如图8.5 所示，已知梁的横截面面积为A，截面惯性矩为I ，材料的弹性模量为E，泊松比为 , 梁外表面中性层上A点 45方向的线应变为450。请选择荷载 F. 图 8.5 (A) AE145（B）AE145 (C) AE)1(4945（D）AE)1(9445答案 :(A) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - - 8.

12、1单元体最大正应力面上的切应力恒等于零吗? 解 正确。因为在主平面上的正应力1是单元体内各截面上正应力的极值（可以为最大值），而主平面上切应力为零。8.2 单元体最大切应力面上的正应力恒等于零, 对吗 ? 解 不正确。三向应力状态下单元体有3个主应力，而最大切应力由31决定，即：231max8.3 若一单元体中两个面上切应力数值相等 , 符号相反 , 则该两平面必定相互垂直 , 这种说法对吗 ? 解正确。由切应力双生互等定理知, 若切应力数值上21，符号相反时，该两平面必定相互垂直。图 8.6 8.4 直径 d=20mm 、L=2m 的 圆截面杆 , 受力如图 8.7 。试绘杆件中 A 点和

13、B 点的单元体受力图 , 算出单元体上的应力的数值, 并确定这些点是否为危险点。1212xxyy习题解析名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - - 解 以下图 8.8 为图 8.7 各单元体受力图：图 8.8 应力计算 : 图（ a）的 A点 : aN63.69MPA（c）图 8.7 (a) （b）（d）点A点A点A)( a)(c)(b点B)(d点B点A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

14、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - - 图（ b）的 A点: a38050.96MPd16图（ c）的 A点: aN127.38MPAB点: aN127.38MPA , a38050.96MPd16图（ d）中 A点( 压应力 ): 3a33zM20 1025.48MP1W3.14 (20 10 )32 B点: *zazQS4Q0.17MPI b3A(b ）中的 A为危险点，（c）中的 A、B为危险点，（d）中的 A ，B 点均为危险点 , 相比之下 A 点的应力较大。8.5 已知应力状

15、态如图 8.9 所示 ( 应力单位 :MPa)。试用图解法求: (1)(a)、(b) 中指定斜截面上的应力; 并用解析法校核之; (2) (c) 、(d) 、(e) 上主应力的大小与方向, 在单元体上画出主平面的位置 , 求最大切应力。(a)300斜截面单元本 ;(b)450斜截面单元体 ;(c) 纯切应力单元体;(d) 压拉切单元体(e) 拉压切单元体。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - - 图 8.9 解 (a)

16、按比例画出应力圆如下图, 可得 =300的斜截面的正应力和切应力为E点的坐标为30a45MP30a8.5MP解析法校核：xyxyxaxyxa30505030cos2sin2cos6045MP222250303sin2cos25 38.5MP222(b)用比例画出应力圆,E 点的坐标为45a5MP45a25MP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - - 解析法校核：xyxyxaxyxa5050cos2sin 2cos902

17、0sin 905MP222250sin 2cos2sin 9025MP22(c ）应力圆如下图 ,与 轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：11a232aOA50MP ,0,OA50MP主平面的方位可由应力圆上量得, 因112D OA90最大主应力作用面与x 平面之夹角为 ( 从 D1到 A1是顺时针转的): 4513maxa50MP2最大切力；(d ） 应力圆与 轴的交点即为主应力得应点，从应力图上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：yCEXOY2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

18、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - - 11a22a3OA70MPOA30MP,0最大主应力作用面与x 平面之夹角为 ( 可由应力圆上得): 12FCA9045maxaCF20MP最大切力(e ）应力圆与 轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为11a32aOA44.7MPOA44.7MP主平面的方位，可由应力圆上量得：226.513.2（对应于主应力1所在主平面）maxa40MP最大切力8.6图 8.10 示单元体 ( 单位为 MPa), 问分别属于什么应力状态。名师资料总结 - -

19、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - - 图 8.10 解 (1)(a)属于单向拉应力状态; (2)(b)属于双向拉应力状态( 平面应力状态 ); (3)(c) 属于双向拉剪应力状态; (4)(d) 属于纯剪应力状态; (5)(e) 属于双向拉应力状态( 平面应力状态 ). 8.7用直角应变花测得构件表面上一点处三个方向的线应变分别为00=70010-6, 450=35010-6, 900=-500 10-6, 试作应变圆 , 求该点处的主

20、应变数值和方向。 解选比例尺如图8.11 （b）所示，绘出纵坐标轴，并根据已知的uyx,值分别作出平行于该轴的直线LcLLba和,，过 Lb 线上任一点B，作与 Lb 线成顺时针方向45角的BA线，交 La 线于 A点, 作与 Lb 线成逆时针转向45角的 BC线交 Lc 线于 C点。作 BA与BC两线的垂直的平分线，相交于o1点，过o点作横坐标轴即轴，并以AO1为半径作圆，按上述比例尺量取些二者的交点D1，D2横坐标，即得：62361110600.,.10800ODOD再从应变圆上量得：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

21、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - - 所示的方向如图（，主应变故)11,2221a图 8.11 8.8用直角应变花测得构件表面上某点处0=+40010-6, 450=+26010-6, 900=-8010-6, 试求该点处三个应变的数值和方向。 解因60400 10x69080 10y利用公式得2211204545902xy226666661400 1080 102400 10260 10260 1080 10266132010520 1026420102220454590122xy66132010520102 /2

22、C D2 yx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 20 页 - - - - - - - - - 6100100666645090222601040080 1020010xy8.9 用直角应变花测得受力构件表面上某点处的应变值为0=-267 10-6 , 450=-57010-6及900=7910-6, 构件材料为 Q235 钢,E=2.1 105MPa, =0.3 。试利用应变圆求主应变 , 再求出该点处主应力的数值和方向。图 8.12 解 选比例尺和纵坐标

23、轴如图8.12 所示 , 已知x0xyu9045,先做 La 、Lb、Lc，过上的任一点作与Lb 线成顺时针转向45 度角的 BA线 ,交 La 线于A点; 作与 Lb 线成逆时针转向45 度角的 BC线交 Lc 线于 C点, 作 BA与 BC线 交线于 C点.作 BA与 BC两线的垂直等分线, 相交于 O1点作横坐标轴即轴. 并以为半径作圆, 按上述比例11.9666662260 10400 1080 10220.416400 1080 10uxyxyarctgarctg2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

24、心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - - 尺即此二者的交点的横坐标, 即得61141010od63260010od根据虎克定律得: 111 2xxyE5662.1 1010.3267100.379 1010.3120.3=-66MPa 111 2yyxE5662.1 1010.379 100.32671010.312 0.3=-10MPa 根据主应变求主应力: 1131E61351410 100.32.1 102311E63151600100.32.1 10可解得 : MPaMPa1105331根据 : 221322xyx名师资料总结

25、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - - 可解得 : MPax5.7622 76.522.736610xxytg035从 X轴到主应力1所在平面外法线, 其角是沿顺时针转向量取的。8.10图 8.13 示矩形截面简支梁在集中载荷P作用下。(1) 在 A、B、C、D、E 五点取单元体 , 定性分析这五点的应力情况, 并指出单元体属于哪种应力状态。(2) 若测得图示梁上 D 点在 x 及 y 方向上的正应变为x=4.0 10-4及y=1

26、.2 10-4, 已知 E=200GN/m2, =0.3, 试求 D 点 x 及 y 方向上的正应力。图 8.13 解 （1）A 、 B 、 C 、 D 、 E 五点的应力状态如图8.14 所示，其中 、均为压应力， 、E均为拉应力。 A 、 B 、 D 、 E 为平面应力状态，C为纯剪切应力状态。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - - 图 8.14 (2) 根据广义虎克定律得=24.6MPa =78.5MPa 8.

27、11 图 8.15 示一钢质圆杆 , 直径 D=20mm, 已知 A 点与水平线成 60 度 方向上的正应变 600=4.1 10-4, 试求载荷 P。已知 E=210GN/m2, =0.28 。图 8.15 解 过 A点取单元体 , 根据题意有0x0xy542.0 1010.7 4.00.3 1.2101121 0.310.6xxyE112 10DEE B D C AAABBCDE542.0 1010.7 1.20.3 0.4101121 0.310.6yyxE11210名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心

28、整理 - - - - - - - 第 18 页，共 20 页 - - - - - - - - - 6033cos120sin1202244xyxyxy1501cos150sin150224xyxyx3144460601500.2814.1 10EEEP126.6MPaAPA39.8kN8.12 如图 8.16所示 , 外力矩 Mn=2.5 103N m, 作用在直径 D=60mm 的钢轴上 , 若E=210GN/m2, =0.28.试求圆轴表面上任一点在与母线成=300方向上的正应变。图 8.16 解 过表面 A点取单元体 , 根据题意有0xyzxmax3maxa3Pxyxyx30120411

29、3030120M2.5 1059MP1W3.14(0.06)16cos2sin 251MPa22358.951MPa211()(510.28 51)3.11 10E2.1 108.13 己知油压缸 ( 薄壁 ) 的平均直径为 d, 壁厚t, 内壁受到油压强户的作用, 其弹性模量 E 及泊松比 均为已知。试求其直径的增量为多少? 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 20 页 - - - - - - - - - 解 薄壁圆筒承受内压后, 外表面各点将产生周向应力和轴向应力x, 22xpdt根据广义虎克定律x1pd()(1)E2Et2环向线应变为2 d/ 22 d/ 2(d d)d2 d/ 2dd直径的增量为2pdd(1)2Et2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 20 页 - - - - - - - - -