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1、名师总结优秀知识点一、相关概念1. 导数的概念:f (x0)=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。注意:(1)函数f (x)在点x0处可导,是指0x时,xy有极限。如果xy不存在极限,就说函数在点x0处不可导,或说无导数。(2)x是自变量x 在 x0处的改变量,0x时,而y是函数值的改变量,可以是零。2导数的几何意义函数 y=f (x)在点 x0处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p(x0,f (x0) )处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f ( x)在点p(x0,f (x0) )处的切线的斜率是f ( x0) 。相应地,切线方程为y y0=f/( x0) ( xx0)
2、。3. 导数的物理意义若物体运动的规律是s=s(t ) ,那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s(t ) 。若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v(t ) ,则该物体在时刻t 的加速度a=v( t ) 。二、导数的运算1基本函数的导数公式: 0;C(C为常数)1;nnxnx(sin)cosxx; (cos )sinxx; ();xxee()lnxxaaa; ; 1lglogaaoxex. 2导数的运算法则法则 1:两个函数的和( 或差 ) 的导数 , 等于这两个函数的导数的和( 或差 ),即: (.)vuvu法则 2:两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个函数
3、乘以第二个函数的导数,即:.)(uvvuuv法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,1ln xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页名师总结优秀知识点再除以分母的平方:vu2vuvvu(v0) 。3. 复合函数的导数形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解 求导 回代。法则: y|X= y |Uu|X或者( )()*( )fxfx. 三、导数的应用1. 函数的单调性与导数(1)设函数)(xfy在某个区间(a,b)可导, 如果f)(x0,则)(xf在此区间上为增
4、函数;如果f0)(x,则)(xf在此区间上为减函数。(2)如果在某区间内恒有f0)(x,则)(xf为常数 。2极点与极值:曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;3最值:在区间 a ,b 上连续的函数f)(x在a ,b 上必有最大值与最小值。但在开区间(a,b)内连续函数f (x)不一定有最大值,例如3( ),( 1,1)fxxx。(1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念,最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值,最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。(2)函数的最大值、最小值是比较整
5、个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值。四、定积分1.概念设函数f(x)在区间 a ,b 上连续,用分点ax0x1xi 1xi xnb 把区间 a , b等分成 n 个小区间,在每个小区间xi 1,xi 上取任一点 i ( i 1,2, n)作和式In( i) x(其中 x 为小区间长度) ,把 n即 x0 时,和式In 的极限叫做函数 f(x)在区间 a ,b 上的定积分,记作:,即badx
6、xf)(ninf1lim( i) x。这里, a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间a ,b 叫做积分区间,函数f(x) 叫做被nif1badxxf)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页名师总结优秀知识点积函数, x 叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式:dx0C;C(m Q, m 1) ;dxlnC;xeC;dxaxaaxlnC;xdxcossinx C;xdxsin cosx C(表中 C均为常数)。2. 定积分的性质babadxxfkdxxkf)()((k 为常数);(其中 acb。3.
7、定积分求曲边梯形面积由三条直线xa,x b(ab) ,x 轴及一条曲线yf (x)(f(x)0) 围成的曲边梯的面积badxxfS)(。如果图形由曲线y1f1(x),y2f2(x)(不妨设f1(x) f2(x)0) ,及直线xa,xb( ab) 围 成 , 那 么 所 求 图 形 的 面 积S S 曲 边 梯 形AMNB S 曲 边 梯 形DMNC babadxxfdxxf)()(21。4. 牛顿布莱尼茨公式如果 f(x) 是区间 a,b 上的连续函数, 并且 F(x)=f(x),则【练习题】题型 1:导数的基本运算dxxm111mxmx1xdxexbababadxxgdxxfdxxgxf)(
8、)()()(bacabcdxxfdxxfdxxf)()()()bafx dxF bF a()()()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页名师总结优秀知识点【例 1】 (1)求)11(32xxxxy的导数;(2)求)11)(1(xxy的导数;(3)求2cos2sinxxxy的导数;(4)求 y=xxsin2的导数;(5)求 yxxxxx9532的导数。解析: (1)2311xxy,.2332xxy(2)先化简 ,2121111xxxxxxy.112121212321xxxxy(3)先使用三角公式进行化简. xxxxxys
9、in212cos2sin.cos211)(sin21sin21xxxxxy(4)y =xxxxx222sin)(sin*sin)(=xxxxx22sincossin2;(5)y233x x219xy * ( x23) x21(x) *2321x* (21)23x1)11(292xx。题型 2:导数的几何意义【例 2】 已经曲线C:y=x3x+2 和点 A(1,2) 。 (1)求在点A 处的切线方程?(2)求过点A 的切线方程?(3)若曲线上一点Q 处的切线恰好平行于直线 y=11x 1,则 Q点坐标为 _,切线方程为 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
10、- - - - -第 4 页,共 7 页名师总结优秀知识点思考:导数不存在时,切线方程为什么?【例 3】 ( 06 安徽卷)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为()A430xy B450xy C 430xy D 430xy【例 4】 (06 全国 II )过点( 1,0)作抛物线21yxx的切线,则其中一条切线为()(A)220xy(B)330xy(C)10xy(D)10xy解析:(1)与直线480xy垂直的直线l为40xym,即4yx在某一点的导数为 4,而34yx,所以4yx在(1 ,1) 处导数为4,此点的切线为430xy,故选 A;(2)21yx,设切点坐标为00(,)xy,则切线的
11、斜率为201x,且20001yxx,于是切线方程为200001(21)()yxxxxx,因为点(1, 0)在切线上,可解得0x0 或 4,代入可验正D 正确,选D。题型 3:借助导数处理单调性、极值和最值【例 5】 (06 江西卷)对于R 上可导的任意函数f(x) ,若满足( x 1)fx( )0,则必有()Af(0) f(2) 2f(1) B. f (0) f( 2) 2f(1)Cf(0) f(2) 2f(1) D. f (0) f( 2) 2f(1)【例 6】 (06 天津卷)函数)(xf的定义域为开区间),(ba,导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示,则函数)(xf在开区间),(b
12、a内有极小值点()A1个 B2 个 C3 个 D 4个【例 7】 ( 06 全国卷I )已知函数11axxfxex。 ()设0a,讨论yfx的单调性;()若对任意0,1x恒有1fx,求a的取值范围。解析: ( 1)依题意,当x 1时, f ( x) 0,函数 f(x)在( 1,)上是增函数;当x 1 时, f (x) 0, f(x)在(,1)上是减函数,故f(x)当 x1 时取得最小值,即4yxl480xyl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页名师总结优秀知识点有 f(0)f(1) ,f(2) f(1) ,故选 C;(
13、2)函数)(xf的定义域为开区间),(ba,导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示,函数)(xf在开区间),(ba内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点,其导数值为由负到正的点,只有1 个,选 A。(3) :()f(x) 的定义域为 ( ,1)(1,+).对 f(x) 求导数得 f (x)= ax2+2a(1x)2 eax。()当 a=2 时, f (x)= 2x2(1x)2 e2x, f (x)在( ,0), (0,1)和(1,+ )均大于 0, 所以 f(x) 在( ,1), (1,+).为增函数;()当 0a0, f(x) 在( ,1), (1,+)为增函数 .;()当 a2 时
14、, 0a2a1, 令 f (x)=0 , 解得 x1= a2a, x2= a2a;当 x 变化时 , f (x) 和 f(x) 的变化情况如下表: x ( , a2a) (a2a,a2a) (a2a,1) (1,+) f (x) f(x) f(x) 在( , a2a), (a2a,1), (1,+ )为增函数 , f(x) 在(a2a,a2a)为减函数。()()当 0f(0)=1 ;()当 a2 时, 取 x0= 12a2a(0,1),则由 ()知 f(x0)1 且 eax1,得: f(x)= 1+x1xeax1+x1 x 1. 综上当且仅当a ( ,2时 ,对任意x(0,1)恒有f(x)1
15、。【例 8】 (06 浙江卷)32( )32fxxx在区间1,1上的最大值是()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页名师总结优秀知识点(A ) 2 (B)0 (C)2 (D)4 【例 9】 (06 山东卷) 设函数 f(x)= 3223(1)1,1.xaxa其中()求f(x) 的单调区间; ()讨论f(x)的极值。解析: ( 1)2( )363 (2)fxxxx x,令( )0fx可得 x0 或 2(2 舍去) ,当1 x 0 时,( )fx0,当 0 x 1 时,( )fx0,所以当x 0时, f(x)取得最大值为2
16、。选 C;(2)由已知得( )6(1)fxx xa,令( )0fx,解得120,1xxa。()当1a时,2( )6fxx,( )f x在(,)上单调递增;当1a时,( )61fxx xa,( ),( )fxf x随x的变化情况如下表:x(,0)0 (0,1)a1a(1,)a( )fx+ 0 0 ( )f x极大值极小值从 上 表 可 知 , 函 数( )f x在(,0)上 单 调 递 增 ; 在(0,1)a上 单 调 递 减 ; 在(1,)a上单调递增。()由()知,当1a时,函数( )f x没有极值;当1a时,函数( )f x在0x处取得极大值,在1xa处取得极小值31(1)a。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页