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1、名师总结优秀知识点一、相关概念1. 导数的概念：f （x0）=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。注意：（1）函数f （x）在点x0处可导，是指0x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量x 在 x0处的改变量，0x时，而y是函数值的改变量，可以是零。2导数的几何意义函数 y=f （x）在点 x0处的导数的几何意义是曲线y=f （x）在点p（x0，f （x0） ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （ x）在点p（x0，f （x0） ）处的切线的斜率是f （ x0） 。相应地，切线方程为y y0=f/（ x0） （ xx0）
2、。3. 导数的物理意义若物体运动的规律是s=s（t ） ，那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s（t ） 。若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t ） ，则该物体在时刻t 的加速度a=v（ t ） 。二、导数的运算1基本函数的导数公式: 0;C（C为常数）1;nnxnx(sin)cosxx; (cos )sinxx; ();xxee()lnxxaaa; ; 1lglogaaoxex. 2导数的运算法则法则 1：两个函数的和( 或差 ) 的导数 , 等于这两个函数的导数的和( 或差 )，即： (.)vuvu法则 2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个函数
3、乘以第二个函数的导数，即：.)(uvvuuv法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，1ln xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页名师总结优秀知识点再除以分母的平方：vu2vuvvu（v0） 。3. 复合函数的导数形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解 求导 回代。法则： y|X= y |Uu|X或者( )()*( )fxfx. 三、导数的应用1. 函数的单调性与导数（1）设函数)(xfy在某个区间（a，b）可导， 如果f)(x0，则)(xf在此区间上为增
4、函数；如果f0)(x，则)(xf在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有f0)(x，则)(xf为常数 。2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3最值：在区间 a ，b 上连续的函数f)(x在a ，b 上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f （x）不一定有最大值，例如3( ),( 1,1)fxxx。（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。（2）函数的最大值、最小值是比较整
5、个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。四、定积分1.概念设函数f(x)在区间 a ，b 上连续，用分点ax0x1xi 1xi xnb 把区间 a ， b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi 1，xi 上取任一点 i （ i 1，2， n）作和式In( i) x（其中 x 为小区间长度） ，把 n即 x0 时，和式In 的极限叫做函数 f(x)在区间 a ，b 上的定积分，记作：，即badx
6、xf)(ninf1lim( i) x。这里， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间a ，b 叫做积分区间，函数f(x) 叫做被nif1badxxf)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页名师总结优秀知识点积函数， x 叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：dx0C；C（m Q， m 1） ；dxlnC；xeC；dxaxaaxlnC；xdxcossinx C；xdxsin cosx C（表中 C均为常数）。2. 定积分的性质babadxxfkdxxkf)()(（k 为常数）；（其中 acb。3.
7、定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，x b（ab） ，x 轴及一条曲线yf （x）(f(x)0) 围成的曲边梯的面积badxxfS)(。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x) f2(x)0） ，及直线xa，xb（ ab） 围 成 ， 那 么 所 求 图 形 的 面 积S S 曲 边 梯 形AMNB S 曲 边 梯 形DMNC babadxxfdxxf)()(21。4. 牛顿布莱尼茨公式如果 f(x) 是区间 a,b 上的连续函数, 并且 F(x)=f(x),则【练习题】题型 1：导数的基本运算dxxm111mxmx1xdxexbababadxxgdxxfdxxgxf)(
8、)()()(bacabcdxxfdxxfdxxf)()()()bafx dxF bF a()()()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页名师总结优秀知识点【例 1】 （1）求)11(32xxxxy的导数；（2）求)11)(1(xxy的导数；（3）求2cos2sinxxxy的导数；（4）求 y=xxsin2的导数；（5）求 yxxxxx9532的导数。解析： （1）2311xxy,.2332xxy（2）先化简 ,2121111xxxxxxy.112121212321xxxxy（3）先使用三角公式进行化简. xxxxxys
9、in212cos2sin.cos211)(sin21sin21xxxxxy（4）y =xxxxx222sin)(sin*sin)(=xxxxx22sincossin2；（5）y233x x219xy * （ x23） x21(x） *2321x* （21）23x1)11(292xx。题型 2：导数的几何意义【例 2】 已经曲线C：y=x3x+2 和点 A(1,2) 。 （1）求在点A 处的切线方程？（2）求过点A 的切线方程？（3）若曲线上一点Q 处的切线恰好平行于直线 y=11x 1，则 Q点坐标为 _,切线方程为 _ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
10、- - - - -第 4 页，共 7 页名师总结优秀知识点思考：导数不存在时，切线方程为什么？【例 3】 （ 06 安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A430xy B450xy C 430xy D 430xy【例 4】 （06 全国 II ）过点（ 1，0）作抛物线21yxx的切线，则其中一条切线为（）（A）220xy（B）330xy（C）10xy（D）10xy解析：（1）与直线480xy垂直的直线l为40xym，即4yx在某一点的导数为 4，而34yx，所以4yx在(1 ，1) 处导数为4，此点的切线为430xy，故选 A；（2）21yx，设切点坐标为00(,)xy，则切线的
11、斜率为201x，且20001yxx，于是切线方程为200001(21)()yxxxxx，因为点（1， 0）在切线上，可解得0x0 或 4，代入可验正D 正确，选D。题型 3：借助导数处理单调性、极值和最值【例 5】 （06 江西卷）对于R 上可导的任意函数f（x） ，若满足（ x 1）fx（ ）0，则必有（）Af（0） f（2） 2f（1） B. f （0） f（ 2） 2f（1）Cf（0） f（2） 2f（1） D. f （0） f（ 2） 2f（1）【例 6】 （06 天津卷）函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(b
12、a内有极小值点（）A1个 B2 个 C3 个 D 4个【例 7】 （ 06 全国卷I ）已知函数11axxfxex。 （）设0a，讨论yfx的单调性；（）若对任意0,1x恒有1fx，求a的取值范围。解析： （ 1）依题意，当x 1时， f （ x） 0，函数 f（x）在（ 1，）上是增函数；当x 1 时， f （x） 0， f（x）在（，1）上是减函数，故f（x）当 x1 时取得最小值，即4yxl480xyl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页名师总结优秀知识点有 f（0）f（1） ，f（2） f（1） ，故选 C；（
13、2）函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，函数)(xf在开区间),(ba内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1 个，选 A。（3） ：()f(x) 的定义域为 ( ,1)(1,+).对 f(x) 求导数得 f (x)= ax2+2a(1x)2 eax。()当 a=2 时, f (x)= 2x2(1x)2 e2x, f (x)在( ,0), (0,1)和(1,+ )均大于 0, 所以 f(x) 在( ,1), (1,+).为增函数；()当 0a0, f(x) 在( ,1), (1,+)为增函数 .；()当 a2 时
14、, 0a2a1, 令 f (x)=0 , 解得 x1= a2a, x2= a2a；当 x 变化时 , f (x) 和 f(x) 的变化情况如下表: x ( , a2a) (a2a,a2a) (a2a,1) (1,+) f (x) f(x) f(x) 在( , a2a), (a2a,1), (1,+ )为增函数 , f(x) 在(a2a,a2a)为减函数。()()当 0f(0)=1 ；()当 a2 时, 取 x0= 12a2a(0,1),则由 ()知 f(x0)1 且 eax1，得： f(x)= 1+x1xeax1+x1 x 1. 综上当且仅当a ( ,2时 ,对任意x(0,1)恒有f(x)1
15、。【例 8】 （06 浙江卷）32( )32fxxx在区间1,1上的最大值是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页名师总结优秀知识点(A ) 2 (B)0 (C)2 (D)4 【例 9】 （06 山东卷） 设函数 f(x)= 3223(1)1,1.xaxa其中（）求f(x) 的单调区间； （）讨论f(x)的极值。解析： （ 1）2( )363 (2)fxxxx x，令( )0fx可得 x0 或 2（2 舍去） ，当1 x 0 时，( )fx0，当 0 x 1 时，( )fx0，所以当x 0时， f（x）取得最大值为2
16、。选 C；（2）由已知得( )6(1)fxx xa，令( )0fx，解得120,1xxa。（）当1a时，2( )6fxx，( )f x在(,)上单调递增；当1a时，( )61fxx xa，( ),( )fxf x随x的变化情况如下表：x(,0)0 (0,1)a1a(1,)a( )fx+ 0 0 ( )f x极大值极小值从 上 表 可 知 ， 函 数( )f x在(,0)上 单 调 递 增 ； 在(0,1)a上 单 调 递 减 ； 在(1,)a上单调递增。（）由（）知，当1a时，函数( )f x没有极值；当1a时，函数( )f x在0x处取得极大值，在1xa处取得极小值31(1)a。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
