1.3-行列式的性质

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1、 第一章 行列式和线性方程组的求解 1.31.3 行列式的性质行列式的性质2015. 9. 24第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.2 1.2 n n阶行列式的概念阶行列式的概念阶行列式的概念阶行列式的概念 设设D = 称称DT为为D的的转置转置行列式行列式.a a11 11 a a1212 a a1 1n n a a2121 a a22 22 a a2 2n n a an n1 1 a an n2 2 a annnna a1111 a a2121 a an n1 1 a a1212 a a2222 a

2、 an n2 2 a a1 1n n a a2 2n n a annnn, DT = D. 定义定义令令DT = |bij | nn ,则则 bij = aji, 则则 DT一一. 行列式的基本性质行列式的基本性质 性质性质1. (转置转置)行列互换值不变行列互换值不变,即即 DT = D. 证证第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.2 1.2 n n阶行列式的概念阶行列式的概念阶行列式的概念阶行列式的概念 设设D = 称称DT为为D的的转置转置行列式行列式.a a11 11 a a1212 a a1 1

3、n n a a2121 a a22 22 a a2 2n n a an n1 1 a an n2 2 a annnna a1111 a a2121 a an n1 1 a a1212 a a2222 a an n2 2 a a1 1n n a a2 2n n a annnn, DT = 定义定义一一. 行列式的基本性质行列式的基本性质 性质性质1. (转置转置)行列互换值不变行列互换值不变,即即 DT = D. 注：性质注：性质1 1表明关于行的性质对列也成立表明关于行的性质对列也成立. .第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式

4、和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 性质性质2. ( (换法换法) )两行两行( (列列) )互换，行列式的值变号互换，行列式的值变号. 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 推论推论.两行两行( (列列) )相同，行列式值为零相同，行列式值为零, ,即即第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行

5、列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 性质性质3. ( (倍法倍法) )把行列式的某一行把行列式的某一行( (列列) )的所有的所有元素同乘以数元素同乘以数k, ,等于用数等于用数k乘以这个行列式乘以这个行列式, ,即即 推论推论. 如果行列式有两行如果行列式有两行( (列列) )成比例，则该成比例，则该 行列式为零行列式为零第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 性性质质4. ( (分分拆拆) )如如果果行行列列式式某某行行( (列列

6、) )的的所所有有元元素素都都是是两两数数之之和和，则则该该行行列列式式为为两两个个行行列列式式之和之和, ,即即 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 性质性质5. ( (消法消法) )将行列式的某一行将行列式的某一行( (列列) )的各元的各元素乘以常数加到另一行素乘以常数加到另一行( (列列) )的对应元素上去的对应元素上去, ,则行列式的值不变则行列式的值不变, ,即即 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程

7、组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 行列式性质小结行列式性质小结性质性质2 2 ( (换法换法) )换行换行( (列列) )变号变号. .推论推论 两行两行( (列列) )同，值为零同，值为零. .推论推论 两行两行( (列列) )成比例成比例, ,值为零值为零. .性质性质4 4 ( (分拆分拆) )D可按某行可按某行( (列列) )分拆成两行列式分拆成两行列式 之和之和. .性质性质5 5 ( (消法消法) )D的某行的某行( (列列) )乘数乘数 k 加至另行加至另行 ( (列列),),行列式值不变行

8、列式值不变. .性质性质1 1 ( (转置转置) ) DT = D.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 例例1. 计算计算解解 通过行变换将通过行变换将D化为上三角行列式化为上三角行列式第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 小小 结结 任一行列式总可以通过行（任一行列式总可以通过行（或列或列）

9、的）的 “换法换法”、“倍法倍法”、“消法消法” 化成上（化成上（或下或下）三角形行列式）三角形行列式.“三角形法三角形法”第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 例例2. 设设D = a a11 11 a a1 1mm a amm1 1 a ammmm D D1 1 = =, , 证明证明: D = D1D2. b b11 11 b b1 1n n b bn n1 1 b bnnnnD D2 2 = =, , a a11 11 a a1 1mm

10、 c c11 11 c c1 1n n , , a amm1 1 a amm mm c cmm1 1 c cmnmn 0 0 0 0 b b11 11 b b1 1n n 0 0 0 0 b bn n1 1 b bnn nn 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 a a11 11 a a1 1n n a an n1 1 a annnn D D1 1 = =, , b b11 11 b b1 1n n b bn n1 1 b bnnnnD D2

11、2 = =, , 问题问题 c c11 11 c c1 1n n c cn n1 1 c cnnnnD D3 3 = =, , d d11 11 d d1 1n n d dn n1 1 d dnnnnD D4 4 = =, , a a11 11 a a1 1n n c c11 11 c c1 1n n = = a an n1 1 a ann nn c cn n1 1 c cnnnn d d11 11 d d1 1n n b b11 11 b b1 1n n d d11 11 d dnn nn b bn n1 1 b bnn nn D1D2 D3D4 ？第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程

12、组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 讨讨论论将将n阶阶行行列列式式转转化化为为n-1-1阶阶行行列列式式计计算算的的问题问题, ,即即“降阶降阶”. .二二. 行列式按行行列式按行( (列列) )展开展开定理定理定义定义：在在n阶行列式阶行列式 D=|aij |nn 中中, 把元素把元素 aij 所所在的第在的第i 行和第行和第j 列的元素划去列的元素划去, 剩余元素构成剩余元素构成的的n 1阶行列式称为元素阶行列式称为元素aij 的的余子式余子式, 记作记作Mij .令令 Aij

13、= ( 1)i+jMij , 称称Aij 为元素为元素aij 的的代数余子式代数余子式.第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 例例3. 在行列式在行列式中中第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列

14、式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 定理定理1.2. n阶行列式阶行列式D=|aij |nn等于它的任意一行等于它的任意一行 (列列)的的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和所有元素与其对应的代数余子式乘积之和, , 即即 注注2. 可作为行列式的等价定义可作为行列式的等价定义注注1. 将行列式将行列式“降阶降阶”Laplace行列式按行行列式按行(列列)展开定理展开定理第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性

15、质行列式的性质 证证第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 推论推论. n阶行列式阶行列式D=|aij |nn中，有中，有第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 证证由由降阶法降阶法, ,将将 G 按第按第 j 行展开有行展开有第第 i 行行第第 j 行行设设第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方

16、程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 (未写出的元素都是未写出的元素都是0). 例例4. 计算计算2n阶行列式阶行列式 D2n = a b a b c dc d 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 解解解解: : D D2 2n n= = a= a. . . . . . . . . . . . .a aa a b bb b 0 0c

17、 cc c0 0d dd d 0 00 0 d d . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 a aa a b bb bc c0 0 c cc c 0 0d dd d0 0. . . .+(+( 1 1) )2 2n n+1+1b b. . . . . . . . . . . . .a a 0 00 0 a aa a b bc c d dd d 0 00 0 d d . . . .0 0 b bb b 0 00 0 c cc c 0 0. . . . . . . . . .第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的

18、求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 = a= a. . . . . . . . . . . . .a aa a b bb b 0 0c cc c0 0d dd d 0 00 0 d d . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 a aa a b bb bc c0 0 c cc c 0 0d dd d0 0. . . .+(+( 1 1) )2 2n n+1+1b b= = ad Dad D2(2(n n 1 1) ) bc Dbc D2(2(n n 1 1) )= (= (ad ad bcbc) ) D D

19、2(2(n n 1 1) ) = (= (ad ad bcbc) )2 2D D2(2(n n 2 2) ) = (= (ad ad bcbc) )3 3D D2(2(n n 3 3) ) = = (= = (ad ad bcbc) )n n 1 1 D D2 2= (= (ad ad bcbc) )n n. .小小小小 结结结结当行列式的某一行当行列式的某一行当行列式的某一行当行列式的某一行( ( ( (或列或列或列或列) ) ) )含有较多的零，可考虑使用含有较多的零，可考虑使用含有较多的零，可考虑使用含有较多的零，可考虑使用 行列式的按行行列式的按行行列式的按行行列式的按行( ( ( (

20、列列列列) ) ) )展开定理，展开定理，展开定理，展开定理， 达到达到达到达到“降阶降阶降阶降阶”的目的的目的的目的的目的. . . .第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 1. 定义法定义法利用利用n阶行列式的定义计算阶行列式的定义计算;2. 三角形法三角形法利用性质化为三角形行列式来利用性质化为三角形行列式来 计算；计算；3. 降阶法降阶法利用行列式的按行利用行列式的按行( (列列) )展开定理展开定理 对行列式进行降阶计算；对行列式进行

21、降阶计算；4. 递推公式法；递推公式法；5. 析因法；析因法；6. .归纳法；归纳法；7. .加边法加边法( (升阶法升阶法) )；n阶阶行列式的计算方法行列式的计算方法总结总结第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 例例5. 计算计算 n 阶行列式阶行列式 (行和为常数行和为常数)第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行

22、列式的性质行列式的性质 解解第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 例例6. 计算计算n阶行列式阶行列式 Dn= a1 1 1 1 1 a2 1 a3 1 an(其中其中a1a2an 0). 该条件不成该条件不成立呢？立呢？(伞形行列式伞形行列式)第一章第一章

23、第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 例例7. 计算计算n阶行列式阶行列式D Dn n = = 2 1 2 1 1 2 11 2 1 1 2 1 . 1 2 1 . 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 (三对角行列式三对角行列式)第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 证明证明n阶阶( (三对角三对角)

24、)行列式行列式课后课后练习练习其中其中第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 例例8. 计算范德蒙计算范德蒙(Vandermonde)行列式行列式此结论要记住！此结论要记住！第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 计算行列式计算行列式Challenge特别地特别地第一章第一章第一章第一章 行列式和线

25、性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 a11 a12a21 a22 = a11a22 a12a21 = =( (a a1111, , a a2121) ) = =( (a a1212, , a a2222) )=以以 , 为邻边的平行为邻边的平行 四边形的四边形的有向有向面积面积其中其中 ( , )逆时针方向为正，顺时针方向为负逆时针方向为正，顺时针方向为负u 二阶行列式二阶行列式a11 a12a21 a22 三三. 行列式的几何意义行列式的几何意义第一章第一章第一章第一章 行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解行列式和线性方程组的求解 1.3 1.3 行列式的性质行列式的性质行列式的性质行列式的性质 a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 =以以 , , 为邻边的平为邻边的平行六面体的行六面体的有向有向体积体积其中其中 , , 满足右手法则体积满足右手法则体积为正，左手法则体积为负为正，左手法则体积为负n个个n维向量构成的平行多面体的维向量构成的平行多面体的有向有向体积体积. . u 三阶行列式三阶行列式u n n阶行列式阶行列式