函数最值的一个妙用

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函数最值的一个妙用函数作为中学数学的一条主线，它几乎渗透到了高中数学的各章节，掌握好函数的性质，并加以巧妙的运用，可以帮助我们解决很多问题。本文拟通过一些具体例子，谈谈函数最值的一个运用建立不等式，其依据就是：若有最值，则必有不等式。例题 1：已知函数，将其图象按向量平移得到的图象对应的函数为，试证明，当时，。分析：考虑函数，若知其在时的最小值为 0，则有，从而结论获证。证明：设，由题意知故，又显然时，即为上的增函数，从而，于是，即。例题 2：设，若证明。分析：函数化为，若能证明在时的最小值为 0，则得，再将来替换即可。证明：对于函数其中，令，得又时，时，故在处取最小值，于是恒成立，且当即时，现用替换，显然，（注意可为 1），于是，即例题 3：已知函数，证明的图象总在的上方。分析：该题一般转化证明对任意的 x 都成立，即证恒成立，不易求证，可考虑它是否是一种特殊情况，若能证明，则结论当然成立。证明：由函数知，令得，又当时，当时故，又函数的最大值为于是故结论成立。例题 4：设函数，若，求证：。分析：要证的不等式的左边是关于的表达式，可以考虑利用的最大值为0，建立即，从而实现问题的转化。证明：由，令得又时时，故在处取得极大值，亦即最大值于是即，当时取“=”。又这里且均不为 0，故由所证不等式得，所以故-全文完 -