数的概念与公式

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1、1、数 的 概 念（一）1、自然数：我们在数物体时，用来表示物体个数的 1，2，3，叫做自然数。( 0 表示一个物体也没有。0 也是自然数，是最小的自然数。自然数都是整数。自然数的基本单位是1 ，十、百、千、万是自然数的辅助单位。 ）2、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。（表示其中一份的数是这个分数的分数单位。 ）13（1）最简分数：分子与分母是互质数的分数，叫做最简分数。如：、。25a（2）分数与除法的关系：ab（b0） 。b3、小数：分母是 10、100、1000的分数改写成不带分母形式的数叫做小数。（1）有限小数：一个小数，它的小数部分的位数是有限的叫有

2、限小数。如：0.125、37.235169。（2）无限小数：一个小数，它的小数部分的位数是无限的叫无限小数。如：3.1415926、0.33、3.1666（3）循环小数：一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这个数叫做循环小数。（4）循环节：一个循环小数的小数部分中依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。如：3.241241中的241是循环节。（5）纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的小数叫做纯循环小数。如：0.333、9.413413（6）混循环小数：循环节不从小数部分第一位开始的小数叫做混循环小数。如：0.833、2.71312312（7）纯小数：

3、整数部分是零的小数叫纯小数。纯小数都小于 1。如：0.3、0.075。（8）带小数：整数部分不是零的小数叫带小数。带小数都大于 1。如：2.3、9.07。4、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分比或百分率。*分数与百分数的联系与区别：联系：都表示两数间的倍比关系，即求一个数是另一个数的几（或百）分之几；区别：分数既可表示两数间的倍比关系，又可表示一个具体的数量（可带单位）；而百分数只表示两数间的倍比关系，不能表示具体的数量（不带单位）。2、数 的 概 念（二）1、整除、除尽与除不尽*整除：整数a 除以整数 b（b0） ，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说数 a

4、能被数 b 整除（或说 b 能整除 a） 。如：632(注意：被除数、除数和商都必须是整数，而没有余数）*除尽：数 a 除以数 b（b0） ，除得整数商后，还有余数，继续除，如果除得的商是一个有限小数，我们就说数 a 能被数 b 除尽（或说 b 能除尽 a） 。如：186335.557.1（注意：被除数、除数不一定是整数，商一定是整数或有限小数）*除不尽：数a 除以数 b（b0） ，如果除得的结果是一个无限小数，我们就说除不尽。如：1033.333（整除的式子一定是除尽的，而除尽的式子不一定是整除的）2、约数与倍数*如果数 a 能被数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。

5、如：3575 ，35 是 5 的倍数，5 是 35 的约数。*一个数的约数是有限的，一个数最小的约数是 1，最大的约数是它的本身。*一个数的倍数是无限的，一个数最小的倍数是它的本身，没有最大的倍数。*1 是所有自然数的约数。3、能被 2、5、3（或 9）整除的数的特征*能被 2 整除的数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数都能被 2 整除。（ *能被 2 整除的数叫做偶数。*不能被 2 整除的数叫做奇数。 ）*能被 5 整除的数的特征：个位上是 0 或 5 的数都能被 5 整除。*能被 3（或 9）整除的数的特征：一个数的各个数位上的数字之和能被 3（或 9）整除，这个数就能被 3（或

6、9）整除。4、质数与合数*质数：一个数只有 1 和它本身两个约数的，这样的数叫做质数（也叫素数） 。如： 2、3、5、7、11、13（注意：2 是最小的质数，也是唯一的一个偶数中的质数）*合数： 一个数除了 1 和它本身， 还有别的约数的数， 叫做合数。（4 是最小的合数） 。*1 既不是质数也不是合数。5、分解质因数*分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。如：162222362233*质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数。如：30235 中的 2、3 和 5 都是 30 的质因数。6、公约数与最大公约数*公约数：几个数公有

7、的约数，叫做这几个数的 公约数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。（最小的公约数是 1）*互质数：公约数只有 1 的两个数，叫做互质数。（两个相邻的自然数一定是互质数；两个不同的质数一定是互质数； 1 与任何自然数都是互质数）*在两个数中，如果小数是大数的约数，那么小数就是这两个数的最大公约数。*如果两个数是互质数，那么它们的最大公约数是 1。7、公倍数与最小公倍数*公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。（因为公倍数是无限的，所以没有最大公倍数）*在两个数中，如果大数是小数的倍数，那么大数就是这两个数的最小公倍数。*如果两个数是互质数，那

8、么它们的最小公倍数是它们的乘积。3、数的性质1、分数的基本性质*分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外） ，分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。（应用分数的基本性质可以进行通分和约分）*约分：把一个分数化成同它相等但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。*通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。（通常用这几个分母的最小公倍数作公分母）2、小数的基本性质*小数的末尾添上“0” ，或者去掉“ 0” ，小数的大小不变，这叫 小数的基本性质。*小数点位置的移动，引起小数大小变化的规律是：小数点向右（或左）移动一位、二位、三位，小数就扩大（或缩小）10 倍、100 倍

9、、1000 倍。4、数的运算法则1、整数乘法的运算法则：*先用乘数个位上的数去乘被乘数，得数的末位与乘数的个位对齐；再用乘数十位上的数去乘被乘数，得数的末位与乘数的十位对齐，这样依次算下去，然后把每次乘得的积加起来。2、小数乘法的运算法则：*先按照整数乘法的运算法则去乘，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起向左边数出几位数，点上小数点。3、整数除法的运算法则：*除数是几位数，先除被除数的前几位，不够除时，要看比除数多一位，除到被除数哪一位，商就写在那一位上；如果除到哪一位，不够商 1，就在那一位上写 0；每次除得的余数，必须比除数小。4、小数除法的运算法则：*如果除数是整数，就按照整数除法

10、的运算法则算出商，商里的小数点和被除数的小数点对齐；如果除数是小数，必须先把除数扩大成整数，被除数也要同时扩大相同的倍数，然后按照整数除法的运算法则算出商，商的小数点必须要与被除数扩大后的小数点对齐。5、分数乘法的运算法则：*分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。（注意：整数可化成分母是 1 的分数去乘。*能约分的先约分再相乘。 ）6、分数除法的运算法则：*甲数除以乙数（0 除外） ，等于甲数乘以乙数的倒数。*倒数：乘积是 1 的两个数叫做互为倒数。7、带分数乘、除法的运算法则：*先把带分数化成假分数，然后再相乘或相除。8、整数、小数和分数的加、减法运算法则：（法则虽有所不同，

11、 但有一共同点： 就是要把相同计数单位上的数相加或相减。 ）*整数加、减时，要注意相同数位的数对齐；*小数加、减时，要注意把小数点对齐；*分数加、减时，要注意当分母相同时，才能直接相加、减。5、方程与比和比例1、方程与等式*方程：含有未知数的等式叫做方程。 如：x37*等式：左右两边相等的式子叫做等式。 如：358x69（注意：方程一定是等式，而等式不一定是方程。 ）2、方程的解与解方程*方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。*解方程：求方程的解的过程叫做解方程。（注意：方程的解是一个数值，而解方程是一个运算过程。 ） 3、比和比例23*比例： 表示两个比相等的式子叫做比例。

12、如：562024*比：两个数相除又叫做两个数的比。 如：2323（注意：比是一个除式，表示两数间的倍比关系，只有两项；而比例是一个等式，表示两个比的相等关系，有四项。 ）*比的基本性质：比的前项和后项都同时扩大或缩小相同的倍数，比值不变。这叫做比的基本性质。（用于化简比）*比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积 。（用于解比例）*解比例：求比例中的未知项叫做解比例。4、求比值与化简比*求比值：用前项除以后项，所得的商叫做比值。（结果是一个数值）*化简比：把一个比化成和它相等的最简整数比的过程，叫做化简比。（结果仍是一个比）*最简比：比的前项和后项是互质数的比叫做最简比。*求比值

13、与化简比的方法可以相同，但是结果一定要注意分清。方法可归纳为：如果是整数或小数比，可以写成分数形式，然后进行约分。 如：3633648（化简比和求比值都可以这样做）48444020240.6（化简比到此为止， 而求比值还要再做一步： =6）6330.6如果是分数比，可以看作除法形式，然后用前项乘以后项的倒数。 如：23248（化简比和求比值都可以这样做）343396、平面图形的周长和面积公式名称长方形图形周长周长=（长+宽）2面积面积=长宽C=(a+b)2长=宽=周长=边长4S长方形=ab长=宽=面积=边长边长正方形C=4a边长=S正方形=a22S正方形=对角线2面积=底高平行四边形S平行四边

14、形=ah底=高=面积=底高2三角形S三角形=ah2底=高=面积=(上底+下底)高2梯形S梯形=（a+b）h2上底=高=面积= 半径21S圆=r2=d24面积环形=面积大圆面积小圆圆形周长= 直径周长= 半径2直径=半径=环形S环形= R2r2= (R2r2)扇形周长=弧长+半径2n弧长=圆周长360面积=圆面积n360n2扇形=r360S7、立体图形的表面积和体积公式名称图形表面积体积长方体体积= 长宽高长=表面积= （长宽+长高宽=+宽高）2高=S=（ab+ah+bh）2V长=abhV长=S底h体积= 棱长棱长棱长正方体表面积= 棱长棱长6V正=a3V正=S底hS= a26侧面积= 底面周长

15、高S侧= C底h体积= 底面积高圆柱体表面积=侧面积+底面积2底面积=S表= S侧+ S底2=2r( r+h )高=V柱=S底h1体积=底面积高3底面积=高=底面周长（半径+高）圆锥体1V锥= S底h38、简单应用题的类型类型总数求总数与部分求部分数数（或求剩余）总数、份数与每份数大数、小数与相差数一倍数、倍数与几倍数求相同加数的和（求总数）把一个数平均分成几份，求每一份是多少（求每份数）求一个数包含几个另一个数（求份数）求两数相差多少（求相差数）求比一个数多几的数（求大数）求比一个数少几的数（求小数）求一个数的几倍是多少（求几倍数）求一个数是另一个数的几倍（求倍数）已知一个数的几倍数多少，

16、这个数（求一倍数）数量关系例题*某工厂有男工 364 人，女工 91 人。部分数+部分数=总数这工厂一共有职工多少人？*某工厂共有职工 455 人， 女工 91 人。这工厂有男工多少人？每份数份数=总数*某工厂有 5 个车间， 每个车间有职工91 人。这工厂一共有职工多少人？*某工厂有 5 个车间，一共有职工 455人。平均每个车间有职工多少人？*某工厂共有职工 455 人， 平均每个车间有 91 人。这工厂有多少个车间？大数-小数=相差数*某工厂有男工 364 人，女工 91 人。这个工厂的男工比女工多多少人？*某工厂有女工 91 人，男工比女工多273 人。这个工厂的男工有多少人？*某工厂

17、有男工 364 人， 女工比男工少273 人。这个工厂的女工有多少人？*某工厂有女工 91 人，男工人数是女一倍数倍数=几倍数工的 4 倍。这个工厂有男工多少人？*某工厂有女工 91 人，男工 364 人。这个工厂男工人数是女工的多少倍？*某工厂有男工 364 人，是女工的 4倍。这个工厂有女工多少人？9、常见的数量关系式数量名称收入支出结余数量关系式=收入收入-支出=结余=支出单价数量总价=单价单价数量=总价=数量单产量数量总产量=单产量单产量数量=总产量=数量速度时间路程=速度速度时间=路程=时间工效时间工作总量=工效工效时间=工作总量=时间本金利率时间利息=本金本金利率时间=利息=利率1

18、0、分数、小数与百分数的互化 及有关的计算1=0.5=50%21=0.25=25%43=0.75=75%41=0.2=20%52=0.4=40%53=0.6=60%54=0.8=80%51=0.125=12.5%83=0.375=37.5%85=0.625=62.5%87=0.875=87.5%81=0.1=10%103=0.3=30%107=0.7=70%109=0.9=90%101=0.05=5%203=0.15=15%207=0.35=35%209=0.45=45%2011=0.55=55%2013=0.65=65%2017=0.85=85%2019=0.95=95%201=0.04=4%252=0.08=8%253=0.12=12%257=0.28=28%259=0.36=36%2511=0.44=44%2513=0.52=52%251=3.142=6.283=9.424=12.565=15.76=18.847=21.988=25.129=28.2610=31.411=34.5412=37.6813=40.8214=43.9615=47.116=50.2417=53.3818=56.5219=59.6620=62.8d=2rr=d2C=dd=CC=2rr=C2弧长=2rn3601S圆=r2= d24nS扇=r2360S环=R2r2