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1、指数式、对数式的运算一、基础知识1.指数与指数运算(1)根式的性质(na)na(a使na有意义 )当 n 是奇数时,nana;当 n 是偶数时,nan|a|a,a0, a,a0,m,nN*,且 n1)amn1amn1nam(a0,m, nN*, 且 n1)0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义(3)有理数指数幂的运算性质ar asars(a0,r,sQ);arasars(a0,r,sQ);(ar)sars(a0,r,s Q);(ab)rarbr(a0,b0,rQ)(1)有理数指数幂的运算性质中,要求指数的底数都大于0,否则不能用性质来运算(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数
2、指数幂2对数的概念及运算性质一般地,如果a(a0,且 a1)的 b 次幂等于 N,就是 ab N,那么,数b 就叫做以a 为底 N 的对数,记作:logaNb. 指数、对数之间的关系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 17 页 - - - - - - - - - (1)对数的性质负数和零没有对数;1 的对数是 零;底数的对数等于1. (2)对数的运算性质如果 a0,且 a1,M 0,N0,那么loga(MN)logaMlogaN;logaMNlogaMloga
3、N;loga(Nn)nlogaN(nR)二、常用结论1换底公式的变形(1)logab logba1,即 logab1logba(a, b均大于 0 且不等于1);(2)logambnnmlogab(a,b 均大于 0 且不等于 1,m0, nR);(3)logNMlogaMlogaNlogbMlogbN(a,b, N 均大于 0 且不等于1,M 0)2换底公式的推广logab logbc logcdlogad(a,b,c 均大于 0 且不等于1,d0)3对数恒等式alogaNN(a0 且 a1,N0)考点一指数幂的化简与求值典例 化简下列各式:(1) 2 350222 1412(0.01)0.
4、5;(2)56a13 b23a12b1 (4a23 b3)12. 解(1)原式 1144912110012114231101161101615. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 17 页 - - - - - - - - - (2)原式52a16b3 (4a23 b3)1254a16b3 (a13b32)54a12 b32541ab35ab4ab2. 解题技法 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里面的,没有括号的先做指数运算(2)先乘除后加减,负指数
5、幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数题组训练 1若实数 a0,则下列等式成立的是() A(2)24B2a312a3C(2)0 1 D(a14)41a解析: 选 D对于 A,(2)214,故 A 错误;对于B,2a32a3,故 B 错误;对于C,(2)01,故 C 错误;对于D,(a14)41a,故 D 正确2化简 4a23 b13 23a13b23的结果为 () A2a3bB8a
6、bC6abD 6ab解析: 选 C原式 6a2133b1233 6ab16ab. 3计算:322 27823(0.002)12_. 解析: 原式23232323150012名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 17 页 - - - - - - - - - 4949105105. 答案 :105 考点二对数式的化简与求值典例 计算下列各式:(1)lg 2lg 5lg 8lg 50lg 40; (2)log23 log38(3)log34. 解(1)原式lg258l
7、g5040lg54lg541. (2)原式lg 3lg 23lg 2lg 33log431233log32325. 题组训练 1(log29) (log34)() A14B12C2 D4 解析: 选 D法一 :原式lg 9lg 2lg 4lg 32lg 32lg 2lg 2 lg 3 4. 法二 :原式 2log23log24log23224. 2计算:lg 14lg 25 10012_. 解析: 原式 lg1412510012lg 10210 210 20. 答案: 20 3(2018 全国卷 )已知函数f(x)log2(x2a)若 f(3) 1,则 a_. 解析: f(x)log2(x2a
8、)且 f(3)1,1log2(9a),9a2, a 7. 答案: 7 4计算: log5421log 102(33)23 77log 2_. 解析: 原式 log522log 10(332)232 log5(1032)log55 1. 答案 :1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 17 页 - - - - - - - - - 课时跟踪检测 1设1xlog23,则 3x3x的值为 () A.83B.32C.52D.73解析: 选 B由1xlog23,得 3x2
9、, 3x3x21232. 2化简2a23b12(6a12b13) 3a16b56的结果为 () A 4aB4aC11aD4ab解析: 选 B原式 2 (6) (3)a211326b115236 4ab04a. 3(log29)(log32)loga54loga45a (a0,且 a1)的值为 () A2 B3 C4 D5 解析: 选 B原式 (2log23)(log32)loga5445a 2 1logaa3. 4设 a0,将a2a3a2表示成分数指数幂的形式,其结果是() Aa12Ba56Ca76Da32解析: 选 Ca2a3a2a2a a23a2a53a2a56a52-6a76. 5如果
10、2loga(P 2Q) logaPlogaQ(a0,且 a 1),那么PQ的值为 () A.14B4 C1 D4 或 1 解析: 选 B由 2loga(P2Q)logaPlogaQ,得 loga(P2Q)2loga(PQ)由对数运算性质得 (P2Q)2PQ,即 P25PQ4Q20,所以 PQ(舍去 )或 P 4Q,解得PQ4. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 17 页 - - - - - - - - - 6若 lg 2,lg(2x1),lg(2x5)成等差
11、数列,则x 的值等于 () A1 B0 或18C.18Dlog23 解析: 选 D由题意知lg2lg(2x5) 2lg(2x1),由对数的运算性质得2(2x5)(2x1)2,即(2x)290,2x3,xlog23. 7已知函数f(x)log2x,x0,3x1,x0,则 f(f(1)f log312的值是 () A2 B3 C4 D5 解析:选 Dlog3120,且 a1),g(x)logbx(b0,且 b1),h(x)xc,则 f12a12 2,g12 logb12 logb22,h1212c2, a 4,b22, c 1, f(x1)4x14? x11,同理, x214,x314.x1x2x
12、332. 答案:3213化简下列各式:(1)2790.50.12 210272-3303748;(2) 3a72 a33a3 a1;(3)lg 325lg 935lg27lg3lg 81lg 27. 解: (1)原式2591210.12642723 337485310091633748 100. (2)原式3a72 a323a32 a123a723a12a76 a16a86a43. (3)法一: 原式lg 345lg 3910lg 312lg 34lg 33lg 314591012lg 343 lg 3115. 法二: 原式lg 3925271325312lg8127lg 3115lg 311
13、5. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 17 页 - - - - - - - - - 第九节指数函数一、基础知识1指数函数的概念函数 yax(a0,且 a1)叫做指数函数,其中指数x 是自变量,函数的定义域是R,a是底数形如 ykax, yaxk(kR 且 k0,a0 且 a1)的函数叫做指数型函数,不是指数函数2指数函数yax(a0,且 a1)的图象与性质底数a10a0 时,恒有 y1;当 x0 时,恒有 0y0 时,恒有0y1;当 x1 在定义域 R 上
14、为增函数在定义域R 上为减函数注意指数函数y=ax(a0,且 a1)的图象和性质与a 的取值有关,应分a1 与 0a0,且 a1)的图象关于y 轴对称(3)底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图象的“升降”:当a1 时,指数函数的图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 17 页 - - - - - - - - - 象“上升”;当0a1 时,指数函数的图象“下降”考点一指数函数的图象及应用典例 (1)函数 f(x)21x的大致图象为 () (2)若函数 y|
15、3x 1|在 (, k上单调递减,则k的取值范围为_解析 (1)函数 f(x)21x212x, 单调递减且过点(0,2), 选项 A 中的图象符合要求(2)函数 y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后,再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的,函数图象如图所示由图象知,其在(,0上单调递减,所以 k 的取值范围为 ( ,0答案 (1)A(2)(, 0 变透练清 1.变条件 本例 (1)中的函数 f(x)变为: f(x)2|x1|,则 f(x)的大致图象为 () 解析: 选 Bf(x)2|x1|的图象是由y2|x|的图象向右平移一个单位得到,结合选项知B正确2.变
16、条件 本例 (2)变为: 若函数 f(x) |3x1|k 有一个零点,则 k 的取值范围为_解析: 函数 f(x)有一个零点, 即 y|3x1|与 yk 有一个交点, 由典例 (2)得 y|3x1|的图象如图所示,故当 k0 或 k1 时,直线 yk 与函数 y|3x1|的图象有唯一的交点,所以函数f(x)有一个零点答案 :0 1, ) 3若函数y21xm 的图象不经过第一象限,求m 的取值范围解: y21x m12x1 m,函数 y12x1的图象如图所示,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
17、 - - - - 第 9 页,共 17 页 - - - - - - - - - 则要使其图象不经过第一象限,则 m2. 故 m 的取值范围为 ( , 2考点二指数函数的性质及应用考法 (一)比较指数式的大小典例 (2016 全国卷 )已知 a243,b 425,c2513,则 () AbacBabcCbcaDcab解析 因为 a243,b 425245,由函数 y2x在 R 上为增函数知,ba;又因为 a243423,c2513523,由函数 yx23在(0, )上为增函数知,ac. 综上得 ba0 的解集为 _解析 f(x)为偶函数,当 x0 时, x0,则 f(x)f(x)2x4. f(x
18、)2x4,x 0,2x 4,x0,当 f(x2)0 时,有x20,2x240或x20,2x240,解得 x4 或 x0. 不等式的解集为x|x4 或 x4 或 xag(x),当 a1 时,等价于f(x)g(x);当 0a1 时,等价于f(x)0,g2a3a4a 1,解得 a1,即当 f(x)有最大值 3 时, a 的值等于1. 解题技法 与指数函数有关的复合函数的单调性形如函数 yaf(x)的单调性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关:(1)若 a1,函数 f(x)的单调增 (减 )区间即函数yaf(x)的单调增 (减)区间;(2)若 0a1,函数 f(x)的单调增 (减)区间即函数yaf(
19、x)的单调减 (增)区间即“同增异减”题组训练 1函数 y12221xx的值域是 () A(, 4) B(0, ) C(0,4 D4, ) 解析: 选 C设 tx22x 1,则 y12t. 因为 0121,所以 y12t为关于 t 的减函数因为 t()x1222,所以 0y12t1224,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页,共 17 页 - - - - - - - - - 故所求函数的值域为(0,42设 a0.60.6,b0.61.5,c1.50.6,则 a,b
20、,c 的大小关系是() AabcBacbCbacDbca解析: 选 C因为函数 y0.6x在 R 上单调递减, 所以 b0.61.5a 0.60.61,所以 ba1 且 a2)在区间 (0,)上具有不同的单调性,则M(a1)0.2与 N1a0.1的大小关系是() AM NBMNCMN解析:选 D因为 f(x) x2a与 g(x)ax(a1 且 a 2)在区间 (0,)上具有不同的单调性,所以 a2,所以 M(a1)0.21,N1a0.1N. 4 已知实数 a1, 函数 f(x)4x,x0,2ax,x0,若 f(1a)f(a 1), 则 a 的值为 _解析: 当 a1 时,代入可知不成立所以a
21、的值为12. 答案 :12 课时跟踪检测 A 级1函数 f(x) 1e|x|的图象大致是 () 解析: 选 A因为函数f(x)1e|x|是偶函数,且值域是(,0,只有 A 满足上述两个性质2(2019 贵阳监测 )已知函数f(x)4 2ax1的图象恒过定点P,则点 P 的坐标是 () A(1,6)B(1,5) C(0,5) D(5,0) 解析:选 A由于函数 yax的图象过定点 (0,1),当 x1 时,f(x)426,故函数 f(x)42ax1的图象恒过定点P(1,6)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
22、理 - - - - - - - 第 12 页,共 17 页 - - - - - - - - - 3已知 a 20.2,b0.40.2, c0.40.6,则 a,b, c 的大小关系是() AabcBacbCcabDbca解析: 选 A由 0.2 0.6,0.41,并结合指数函数的图象可知0.40.20.40.6,即 bc;因为 a 20.21,b0.40.21,所以 ab.综上, abc. 4(2019 南宁调研 )函数 f(x)122xx的单调递增区间是() A.,12B. 0,12C.12,D.12,1解析: 选 D令 x x20,得 0x1,所以函数f(x)的定义域为 0,1,因为 y1
23、2t是减函数,所以函数f(x)的增区间就是函数y x2x 在 0,1上的减区间12,1 ,故选 D. 5.函数 f(x)axb的图象如图所示,其中a,b 为常数,则下列结论正确的是() Aa1, b1,b0 C0a0 D0a1,b0 解析: 选 D由 f(x) axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减,所以0a1,函数 f(x)axb的图象是在y ax的图象的基础上向左平移得到的,所以b0. 6已知函数f(x)12x,x0,2x1,x0 时, f(x)12x, f(x)2x 1,此时 x0,则f(x)2x1 f(x);当 x0,则 f(x)12(x)12x f(x)即函数 f
24、(x)是奇函数,且单调递增,故选C. 7(2018 深圳摸底 )已知 a133.3,b133.9,则 a_b(填“”)解析: 因为函数y13x为减函数,所以133.3133.9,即 ab. 答案 : 8函数 y14x12x1 在3,2上的值域是 _名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页,共 17 页 - - - - - - - - - 解析: 令 t12x,由 x 3,2,得 t14,8 . 则 yt2 t1 t12234t14,8. 当 t12时, ymin34;
25、当 t8 时, ymax57. 故所求函数的值域是34,57 . 答案 :34,579已知函数 f(x)axb(a0,且 a1)的定义域和值域都是1,0,则 ab_. 解析: 当 a1 时,函数 f(x)axb 在1, 0 上为增函数,由题意得a1b 1,a0 b0无解当0a0,t2t20,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页,共 17 页 - - - - - - - - - 即(t 2)(t1) 0,又 t0,故 t 2,即12x 2,解得 x 1,故满足条件的
26、x 的值为 1. 12已知函数f(x)23|x|a. (1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)的最大值是94,求 a 的值解:(1)令 t|x|a,则 f(x)23t,不论 a 取何值, t 在(, 0上单调递减,在0,)上单调递增,又 y23t在 R 上单调递减,所以 f(x)的单调递增区间是( ,0,单调递减区间是0, )(2)由于 f(x)的最大值是94,且94232,所以 g(x)|x|a 应该有最小值2,从而 a2. B 级1(2019 郴州质检 )已知函数f(x)ex1ex,其中 e是自然对数的底数,则关于x 的不等式 f(2x1)f( x1)0 的解集为 () A.,43
27、(2, ) B(2, ) C.,43(2, ) D(, 2) 解析: 选 B函数 f(x)ex1ex的定义域为R,f(x) ex1ex1exex f(x),f(x)是奇函数,那么不等式f(2x1)f(x1)0等价于 f(2x1)f( x1)f(1x),易证 f(x)是 R 上的单调递增函数,2x1x1,解得 x2,不等式f(2x1) f(x1)0 的解集为 (2, )2已知 a0,且 a1,若函数 y|ax2|与 y3a 的图象有两个交点,则实数a 的取值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -
28、- - - - 第 15 页,共 17 页 - - - - - - - - - 范围是 _解析: 当 0a1 时,作出函数y|ax2|的图象如图 (1)若直线y 3a 与函数 y |ax2|(0a1)的图象有两个交点,则由图象可知03a2,所以 0a1 时,作出函数y|ax2|的图象如图 (2),若直线y3a 与函数 y|ax2|(a1)的图象有两个交点,则由图象可知03a2,此时无解所以实数 a 的取值范围是0,23. 答案:0,233已知函数f(x)1ax 112x3(a0,且 a1)(1)讨论 f(x)的奇偶性;(2)求 a 的取值范围,使f(x)0 在定义域上恒成立解: (1)由于 a
29、x10,则 ax1,得 x 0,所以函数 f(x)的定义域为 x|x0对于定义域内任意x,有f(x)1ax 112(x)3ax1 ax12(x)311ax112(x)31ax112x3f(x),函数 f(x)为偶函数(2)由(1)知 f(x)为偶函数,只需讨论x0 时的情况当x0 时,要使 f(x)0,则1ax112x30,即1ax1120,即ax12 ax10,则 ax1. 又 x0, a1. 当 a(1, )时, f(x)0. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页,共 17 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页,共 17 页 - - - - - - - - -