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1、名师总结优秀知识点圆章节知识点及其练习题一、圆的概念集合形式的概念: 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;(补充 )2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨
2、迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点C在圆内;2、点在圆上dr点B在圆上;3、点在圆外dr点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点 ;2、直线与圆相切dr有一个交点;3、直线与圆相交dr有两个交点;drd=rrd四、圆与圆的位置关系rddCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页名师总结优秀知识点外离(图1)无交点dRr;外切(图2)有一个交点dRr;相交(图3)有两个交点RrdRr;内切(图4)有一个交点dRr;内含(图5)无交点dRr
3、;图1rRd图 3rRd五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称2 推 3 定理:此定理中共5 个结论中,只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论,即:AB是直径ABCDCEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他3 个结论。推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即:在O中,ABCD弧AC弧BD六、圆心角定理图 2rRd图4rRd图 5r
4、RdOEDCBAOCDAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页名师总结优秀知识点圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等, 弦心距相等。此定理也称1 推 3 定理,即上述四个结论中,只要知道其中的1 个相等,则可以推出其它的3个结论,即:AOBDOE;ABDE;OCOF;弧BA弧BD七、圆周角定理1、 圆周角定理: 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即:AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角2AOBACB2、圆周角定理的推论:推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中, 相
5、等的圆周角所对的弧是等弧;即:在O中,C、D都是所对的圆周角CD推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即:在O中,AB是直径或90C90CAB是直径推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。即:在ABC中,OCOAOBABC是直角三角形或90C注:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。FEDCBAOCBAODCBAOCBAOCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
6、 - - - - - - -第 3 页,共 9 页名师总结优秀知识点即:在O中,四边形ABCD是内接四边形180CBAD180BDDAEC九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即:MNOA且MN过半径OA外端MN是O的切线(2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图)推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理:即:过圆心;过切点;垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线
7、,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即:PA、PB是的两条切线PAPBPO平分BPA十一、圆幂定理(1)相交弦定理 :圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。EDCBANMAOPBAOPODCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页名师总结优秀知识点即:在O中,弦AB、CD相交于点P,PA PBPC PD(2)推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即:在O中,直径ABCD,2CEAE BE( 3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆
8、交点的两条线段长的比例中项。即:在O中,PA是切线,PB是割线2PAPC PB(4)割线定理 :从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图) 。即:在O中,PB、PE是割线PC PBPD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图:12O O垂直平分AB。即:1O、2O相交于A、B两点12OO垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:(1)公切线长:12RtO O C中,22221122ABCOOOCO;(2)外公切线长:2CO是半径之差;内公切线长:2CO是半径之和。十四、 圆内正多边形的计算(1)
9、正三角形OEDCBADECBPAOBAO1O2CO2O1BADCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页名师总结优秀知识点在O中ABC是正三角形,有关计算在Rt BOD中进行::1:3 :2ODBD OB;(2)正四边形同理,四边形的有关计算在Rt OAE中进行,:1:1:2OEAE OA:(3)正六边形同理,六边形的有关计算在Rt OAB中进行,:1:3 :2AB OB OA.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形:(1)弧长公式:180n Rl;(2)扇形面积公式:213602n RSlRn: 圆心角R:扇
10、形多对应的圆的半径l:扇形弧长S:扇形面积2、圆柱:(1)圆柱侧面展开图2SSS侧表底=222rhr(2)圆柱的体积:2Vr h(2)圆锥侧面展开图(1)SSS侧表底=2Rrr(2)圆锥的体积:213Vr hECBADOBAOSlBAO母线长底面圆周长C1D1DCBAB1RrCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页名师总结优秀知识点二、选择题:13. 若两圆相切,且两圆的半径分别是2,3,则这两个圆的圆心距是()A. 5 B. 1 C. 1 或 5 D. 1 或 4 14. O1和 O2的半径分别为1 和 4,圆心
11、距O1O25,那么两圆的位置关系是()A. 外离B. 内含C. 外切D. 外离或内含15如果半径分别为1cm 和 2cm 的两圆外切,那么与这两个圆都相切,且半径为3cm 的圆的个数有()A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个16若两圆半径分别为R 和 r(Rr) ,圆心距为d,且 R2 d2r22Rd,则两圆的位置关系是()A. 内切B. 外切C. 内切或外切D. 相交17. 如图, O 的直径为 10 厘米,弦AB 的长为 6cm,M 是弦 AB 上的一动点,则线段OM 的长的取值范围是()A. 3OM5 B. 4OM 5 C. 3 OM 5 D. 4OM5 18. 已知: O1
12、和 O2的半径是方程x25x60 的两个根,且两圆的圆心距等于5 则O1和 O2的位置关系是()A. 相交B. 外离C. 外切D. 内切19. 如图, ABC 为等腰直角三角形,A90, ABAC 2, A 与 BC 相切 ,则图中阴影部分的面积为()A. 12B. 13C. 14D. 15 20. 如图,点B 在圆锥母线VA 上,且 VB13VA,过点 B 作平行于底面的平面截得一个小圆锥,若小圆锥的侧面积为S1,原圆锥的侧面积为S,则下列判断中正确的是()A. S113SB. S114SC. S116SD. S119S三、填空题21. 若半径分别为6 和 4 的两圆相切,则两圆的圆心距d
13、的值是 _ 。22. O1和 O2的半径分别为20 和 15,它们相交于A,B 两点,线段AB24,则两圆的圆心距 O1O2 _。23. O1和 O2相切,O1的半径为4cm,圆心距为6cm,则 O2的半径为 _; O1和 O2相切, O1的半径为6cm,圆心距为4cm,则 O2的半径为 _A B M O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页名师总结优秀知识点24.O1、 O2和 O3是三个半径为1 的等圆,且圆心在同一直线上,若O2分别与 O1,O3相交, O1与 O3不相交,则 O1与 O3圆心距d的取值范围是_。
14、25. 在 ABC, C90, AC3,BC 4,点 O 是 ABC 的外心,现在以O 为圆心,分别以 2、 2.5、 3、 为半径作 O, 则点 C 与 O 的位置关系分别是_26.如图在 O 中,直径AB弦 CD,垂足为P, BAD 30,则 AOC 的度数是_度27.在 RtABC,斜边 AB13cm,BC12cm,以 AB 的中点 O 为圆心, 2.5cm为半径画圆,则直线 BC 和 O 的位置关系是_28. 把一个半径为12 厘米的圆片, 剪去一个圆心角为120的扇形后, 用剩下的部分做成一个圆锥侧面,那么这个圆锥的侧面积是_ 29.已知圆锥的母线与高的夹角为30, 母线长为 4cm
15、,则它的侧面积为 _ cm2(结果保留 ) 。30. 一个扇形的弧长为4 ,用它做一个圆锥的侧面,则该圆锥的底面半径为。四、解答题:31. 已知:如图,O1和 O2相交于点A、B,过点A 的直线分别交两圆于点C,D 点 M是 CD 的中点直线,BM 分别交两圆于点E、F。 求证: CE/DF 求证: ME MF 32. ABC 的三边长分别为6、8、10,并且以A、 B、C 三点为圆心作两两相切的圆,求这三个圆的半径33. 如图所示, O1和 O2相切于 P 点,过 P 的直线交 O1于 A,交 O2于 B,求证:O1AO2B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
16、- - - - - -第 8 页,共 9 页名师总结优秀知识点34. 如图, A 为 O 上一点,以A 为圆心的 A 交 O 于 B、C 两点, O 的弦 AD 交公共弦 BC 于 E 点。(1)求证: AD 平分 BDC(2)求证: AC2AEAD35. 如图, O 的半径 OC 与直径 AB 垂直,点P 在 OB 上, CP 的延长线交O 于点 D,在 OB 的延长线上取点E,使 ED EP(1)求证: ED 是 O 的切线;(2)当 OC 2,ED2 时,求 E 的正切值tanE 和图中阴影部分的面积*36. 两圆相交于A、B,过点 A 的直线交一个圆于点C,交另一个圆于点D,过 CD 的中点P 和点 B 作直线交一个圆于点E,交另一个圆于点F,求证: PE=PFA B D O E C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页