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1、 (Calculus)基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数第一章第一章第一章第一章 函数函数函数函数第二节第二节 初等函数初等函数(function)第一章第一章 函数函数2(basic elementary function)函数函数一、基本初等函数一、基本初等函数1. 常值函数常值函数 32. 幂函数幂函数(power function) 定义域与定义域与 的取值有关的取值有关.函数函数43. 指数函数指数函数(exponential function)定义域为定义域为值域为值域为函数函数54. 对数函数对数函数(logarithm function)定义域为定义域为值
2、域为值域为函数函数65. 三角函数三角函数(trigonometric function)正弦函数正弦函数定义域为定义域为值域为值域为函数函数7余弦函数余弦函数定义域为定义域为值域为值域为函数函数8正切函数正切函数余切函数余切函数定义域定义域值域值域定义域定义域值域值域函数函数9正割函数正割函数函数函数10余割函数余割函数函数函数116. 反三角函数反三角函数(inverse trigonometric function)三角函数是否存在反函数？三角函数是否存在反函数？ 不存在不存在.解决办法解决办法:限制定义区间限制定义区间12定义域定义域值域值域 主值主值函数函数反正弦函数反正弦函数13定
3、义域定义域值域值域 主值主值函数函数反余弦函数反余弦函数14 主值主值定义域定义域值域值域函数函数反正切函数反正切函数反余切函数反余切函数 主值主值定义域定义域值域值域 常函数、幂函数、指数函数、对数函数、常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为三角函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.15中间变量中间变量函数函数二、复合函数二、复合函数(compound function ) 定义定义 设函数设函数为由函数为由函数构成的构成的复合函数复合函数. .则称则称16(1) 并非任何两个函数都能复合成为复合函数并非任何两个函数都能复合成为复合函数;(2) 复合函数可以
4、由两个以上的函数经过复合复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成构成.注注不能构成复合函数不能构成复合函数.函数函数(3) 反过来反过来,一个复杂的函数根据需要也可以一个复杂的函数根据需要也可以分解为若干简单函数的复合分解为若干简单函数的复合.17 复合函数的分解复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数复合函数拆成几个简单函数), 由由函数的最外层运算一层层剥到最函数的最外层运算一层层剥到最里边里边, 切不可漏层切不可漏层.函数函数如如都是中间变量都是中间变量. 复合函数的定义域是复合函数的定义域是即即而不是而不是的定义域的定义域剥皮法剥皮法18例例分析以下复合函数复合的层次分析以下复合函数复
5、合的层次.解解是由是由和和以及以及三个简单函数复合而成三个简单函数复合而成.函数函数19是由是由和和以及以及复合而成复合而成.函数函数20例例解解故故定义域为定义域为函数函数求复合函数的定义域求复合函数的定义域,的值要落在外边函数的定义域内的值要落在外边函数的定义域内.注意保证套在里边的函数注意保证套在里边的函数21 将将两个两个或两个以上函数进行复合是本节的或两个以上函数进行复合是本节的难点难点,根据函数的特点分别讲几种复合的方法根据函数的特点分别讲几种复合的方法.(1) 代入法代入法 将一个函数中的自变量用将一个函数中的自变量用另一个函数另一个函数的表的表达式来替代达式来替代,这种构成复合
6、函数的方法这种构成复合函数的方法,法法,称为代入称为代入该法适用于初等函数的复合该法适用于初等函数的复合.例例 设设求求解解函数函数22函数函数进一步推测进一步推测:（可由数学归纳法证明）（可由数学归纳法证明）23(2) 分析法分析法及中间变量的定义域进行及中间变量的定义域进行抓住最外层函数定义域的各区间段抓住最外层函数定义域的各区间段, 结合结合该法适用于初等函数与分段函数或分段函该法适用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合数之间的复合.函数函数中间变量的表达式中间变量的表达式分析分析.(不讲不讲)24三、三、 初等函数初等函数(elementary function)初等函数初等函数.
7、 .如如都是初等函数都是初等函数.不是初等函数不是初等函数.函数函数 由基本初等函数经过有限次四则运算由基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构和有限次的函数复合步骤所构成并可用成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数, 称为称为27注注一般分段函数不叫初等函数一般分段函数不叫初等函数, 可看作分段函数可看作分段函数,是否又可看作是初等函数是否又可看作是初等函数?答答:故又可看作是初等函数故又可看作是初等函数.是是!由于由于函数函数不是用不是用一个式子一个式子表达出来的表达出来的.因为它因为它28四、小结四、小结函数函数初等函数初等函数基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数常、幂、指、对、三、反常、幂、指、对、三、反29作作 业业习题习题1.2 (181.2 (18页页) )函数函数1.(1)(3)(5) 2. (1)(3)(5) 3. 4. 5. (1)(3) 6. 7. (1)(3) 8.30
