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1、第四章 多元正态总体的统计推断v4.1 一元情形的回想v4.2 单个总体均值的推断v4.3 单个总体均值分量间构造关系的检验v4.4 两个总体均值的比较推断v4.5 两个总体均值分量间构造关系的检验v4.6 多个总体均值的比较检验多元方差分析 v4.7 总体相关系数的推断4.2 单个总体均值的推断v一、均值向量的检验v二、置信区域v三、结合置信区间一、均值向量的检验v设x1,x2, ,xn是取自总体xNp (, )的一个样本，这里0,np，欲检验vH0：=0，H1：0v1.知v 检验统计量为v 回绝规那么为：v假设 ，那么回绝H0v2. 未知v 检验统计量为v 称之为霍特林HotellingT
2、2 统计量。当 H0v 为真时 服从F(p,np) ，对给定的显著性程度，回绝规那么为：v 假设 ，那么回绝H0v 其中。v例4.2.1 对某地域乡村的6名2周岁男婴的身高、胸围、上半臂围进展丈量，得样本数据如表4.2.1所示。根据以往资料，该地域城市2周岁男婴的这三个目的的均值0=(90,58,16)，现欲在多元正态性假定下检验该地域乡村男婴能否与城市男婴有一样的均值。这是假设检验问题：vH0：=0，H1：0表4.2.1 某地域乡村男婴的体格丈量数据编 号身高(cm)胸围(cm)上半臂围(cm)17860.616.527658.112.539263.214.548159.014.058160
3、.815.568459.514.0v查表得F0.01(3,3)=29.5，于是v故在显著性程度=0.01下，回绝原假设H0，即以为乡村与城市的2周岁男婴上述三个目的的均值有显著差别(p=0.002)。二、置信区域v的置信度的置信度为为1的置信区域的置信区域为为v 当当p=1时时，它是一个区，它是一个区间间；当；当p=2时时，它是一个，它是一个椭椭圆圆，这时这时可将其在坐可将其在坐标标平面上画出；当平面上画出；当p=3时时，它，它是一个是一个椭椭球；当球；当p3时时，它是一个超，它是一个超椭椭球；它球；它们们均均以以 为为中心。中心。v同置信区同置信区间间与假与假设检验设检验的关系一的关系一样样
4、，置信区域与假，置信区域与假设检验设检验之之间间也有着同也有着同样样的的亲亲密关系。普通来密关系。普通来说说，0包含在上述置信区域内，当且包含在上述置信区域内，当且仅仅当原假当原假设设 H0：=0在在显显著性程度著性程度下被接受。因此，可以下被接受。因此，可以经过经过构构造的置信区域的方法来造的置信区域的方法来进进展假展假设检验设检验。三、结合置信区间v即v以1的概率对一切aRp成立，称它为一切线性组合a，aRp的置信度为1的结合置信区间simultaneous confidence intervals。v对k个线性组合ai，i=1,2,k，有v当k很小时，结合T2置信区间v的置信度普通会明显
5、地大于1，因此上述区间会显得过宽，即准确度明显偏低。这时，我们可以思索采用邦弗伦尼 Bonferroni结合置信区间：v它的置信度至少为1。v假设t/2k(n1)T ，那么邦弗伦尼区间比T2区间要窄，这时宜采用前者作为结合置信区间；反之，假设t/2k(n1)T，那么邦弗伦尼区间比T2 区间宽，宜采用后者作为结合置信区间。v当k=p时，邦弗伦尼区间要比T2 区间窄。故在求的一切p个分量1, 2, p的结合置信区间时，应采用邦弗伦尼区间。v例4.2.2 为评价某职业培训中心的教学效果，随机抽取8名受训者，进展甲和乙两个工程的测试，其数据列于表4.2.2。假定x=(x1,x2)服从二元正态分布。vn
6、=8,p=2，取1=0.90，F0.10(2,6)=3.46，于是，T0.10=2.841。表4.2.2 两个工程的测试成果编 号12345678甲项成绩x16280668475805479乙项成绩x27077758787916184的的0.90置信区域置信区域为为即即 0.0436(172.5)20.0812(172.5)(279)+0.0475(279)21.009这这是一个是一个椭圆椭圆区域。区域。1和和2的的0.90结结合合T2置信区置信区间为间为即即61.84183.16，68.80289.20这这两个区两个区间间分分别别正是正是椭圆椭圆在在1轴轴和和2轴轴上的投影。上的投影。1和2
7、的0.90邦弗伦尼结合置信区间为t0.025(7)=2.3646 即63.63181.37，70.51287.49这个结合置信区间在准确度方面要好于T2结合置信区间。由该结合置信区间可得到置信度至少为0.90的矩形置信区域见图4.2.1中的实线矩形，但其矩形面积要大于椭圆面积。图4.2.1 置信椭圆和结合置信区间利用置信区域进展假设检验v在例4.2.2中，假设在 =0.10下对假设v H0：=0，H1：0v 进展检验，其中=(1,2)，0=(01,02) ，那么我们容易利用图4.2.1中的椭圆得出检验的结果。假设被检验值0位于图4.2.1中的椭圆外，那么回绝；反之，那么接受。v图4.2.1中的
8、虚线矩形在1和2轴上的区间范围分别是1和2的0.90置信区间。当0位于椭圆外虚线矩形内的位置如图中A点时，检验结果虽回绝H0，但如在=0.10下分别检验vH01：1=01，H11：101 和 H02：2=02，H12：202v那么检验结果都将接受原假设；当0位于椭圆内虚线矩形外的位置如图中B点时，检验结果虽接受H0，但H01：1=01和H02：2=02都将会被回绝。4.3 单个总体均值分量间构造关系的检验v设x1,x2,xn是取自多元正态总体Np(,)的一个样本，0，np，欲检验vH0：C=，H1：Cv其中C为一知的kp矩阵，kp,rank(C)=k，为知的k维向量。v根据多元正态分布的性质知
9、vCxNk(C,CC)v由于故CC0。故我们可以用上一节检验假设H0：=0的方法来检验上述假设。检验统计量为当原假设H0：C=为真时，对于给定的显著性程度，回绝规那么为：假设 ，那么回绝H0其中 。特别地，假设欲检验H0：C=0，H1：C0那么T2可简化为v例4.3.1 设xNp(,)，=(1,2,p)，0，x1,x2,xn是取自该总体的一个样本，欲检验vH0：1=2=p，H1：ij,至少存在一对ijv令v那么上面的假设可表达为vH0：C=0，H1：C0v检验统计量为对于给定的显著性程度，回绝规那么为：假设 ，那么回绝H0其中由于C是行满秩的，且每行均为对比向量即有一个1和一个1，其他皆为0，
10、故称C为对比矩阵。该例中对比矩阵C的选择不是独一的，比如也可以选取对比矩阵为v例4.3.2 在例4.2.1中，假定人类有这样一个普通规律：身高、胸围和上半臂围的平均尺寸比例为6:4:1，我们希望检验表4.2.1中的数据能否符合这一规律，也就是欲检验vH0：1/6=2/4=3，H1：1/6, 2/4, 3至少有两个不等v令v那么上面假设可表达为vH0：C=0，H1：C0v经计算v从而v故v又因v所以回绝原假设H0，即以为这组数据与人类的普通规律不一致(p=0.008)。v上述的C也可以选择为v检验的结果是不变的。4.4 两个总体均值的比较推断v一、两个独立样本的情形v二、成对实验的T2统计量一、
11、两个独立样本的情形v设从两个总体Np(1,)和Np(2,)中各自独立地抽取一个样本 和 ，0，欲检验vH0：1=2，H1：12v1,2的无偏估计v的结合无偏估计v其中为两个样本协方差矩阵。霍特林T2检验统计量当原假设H0为真时，对给定的，回绝规那么为：假设 ，那么回绝H0其中v在实践运用中，一旦H0：1=2被回绝了，那么可以思索对一切的i(1ip)，在一样的显著性程度下再进一步检验H0i：1i=2i，以判别能否有分量及假设有详细是哪些分量对回绝H0：1=2起了较大作用，这样做经常是有益的。va(12)，aRp的1结合置信区间为v当k很小时，可采用邦弗伦尼不等式给出ai(12)，i=1,2,k的
12、1结合置信区间v例4.4.1(例4.2.1续) 表4.4.1给出了相应于表4.2.1的9名2周岁女婴的数据。我们欲在多元正态性假定下检验2周岁的男婴与女婴的均值向量有无显著差别。表4.4.1 某地域乡村女婴的体格丈量数据编 号身高(cm)胸围(cm)上半臂围(cm)18058.414.027559.215.037860.315.047557.413.057959.514.067858.114.577558.012.586455.511.098059.212.5从例4.2.1得从表4.4.1计算得所以因，故不能回绝原假设H0，即以为两个均值向量无显著差别(p=0.27)。二、成对实验的T2统计量
13、v设(xi,yi)，i=1,2,n(np)是成对实验的数据，令vdi=xiyi，i=1,2,nv又设d1,d2,dn独立同分布于Np(,)，其中0，=12，1和2分别是总体x和总体y的均值向量。希望检验vH0：1=2，H1：12v等价于vH0：=0，H1：0v这样，两个总体的均值比较检验问题就可以化为一个总体的情形。检验统计量为其中当原假设H0：=0为真时，统计量对给定的显著性程度，回绝规那么为：假设 ，那么回绝H0其中4.5 两个总体均值分量间构造关系的检验v设两个独立的样本 和 分别取自总体Np(1,)和总体Np(2,)，0，n1+n22p，我们希望检验vH0：C(12)=，H1：C(12
14、)v其中C为一知的kp矩阵，kp,rank(C)=k，为一知的k维向量。检验统计量为v其中Sp是的结合无偏估计。当原假设H0为真时，回绝规那么为：假设 ，那么回绝H0其中例4.5.1 某种产品有甲、乙两种品牌，从甲产品批和乙产品批中分别随机地抽取5个样品，丈量一样的5个目的，数据列于表4.5.1。在多元正态性假定下，试问甲、乙两种品牌产品的每个目的间的差别能否有显著的不同。该题就是要检验H0：C(乙甲)=0，H1：C(乙甲)0其中表4.5.1 甲、乙两种品牌产品的目的值指标12345样品甲11118151815233273121173202827231941826181895222322161
15、0均 值20.824.422.619.214.0乙1181720181823124312620314161720174252431261853628242629均 值24.821.824.623.220.4检验统计量为经计算v所以v v由于 ，所以在=0.05下回绝原假设H0(p=0.044)。4.6 多个总体均值的比较检验多元方差分析v设有k个总体1,2,k，它们的分布分别是Np(1,),Np(2,),v,Np(k,)，今从这k个总体中各自独立地抽取一个样本，取自总体i的样本为 ，i=1,2,k。现欲检验vH0：1=2=k，H1：ij,至少存在一对ijv记那么SST=SSE+SSTR称SST
16、、SSE和SSTR分别为总平方和及交叉乘积和、误差(或组内)平方和及交叉乘积和和处置(或组间)平方和及交叉乘积和，它们分别具有自在度(n1)、(nk)和(k1)。采用似然比如法可以得到威尔克斯Wilks统计量对给定的显著性程度，回绝规那么为：假设p,k1,nkp,k1,nk,，那么回绝H0其中临界值p,k1,nk,满足：当原假设H0为真时，P(p,k1,nkp,k1,nk,)=p,m,r,常经过查F分布(或卡方分布)表得到(或近似得到)。v例4.6.1 为了研讨销售方式对商品销售额的影响，选择四种商品甲、乙、丙和丁按三种不同的销售方式、和进展销售。这四种商品的销售额分别为x1,x2,x3,x4
17、,其数据见表4.6.1。表4.6.1 销售额数据编 号销售方式销售方式销售方式x1x2x3x4x1x2x3x4x1x2x3x4112560338210665445531065334802602119802333308245403210100344682953635126020365653122806563416265465514291504051477280117484682505130654032056754481293114633953806694535019038504682105530546235746605852004245351190645150732081466627325011
18、340390310110904422259875458524080555202006062440248101107750727076605071891106937726011107603642009433260280887829936012130613912006051429190736339032013804542927055403902951145549424014605044219065484811771035441631015815426028069484422251003327331216135875072601256331227014061312345175748400285120
19、56416280803628625018755252026070454683701355446834519766540325062664162241306932536020554241117069603772806057273260v该题中，我们需求检验vH0：1=2=3，H1：1,2,3中至少有两个不相等v其中1,2,3分别为销售方式、和的总体均值向量。假定这三个总体均为多元正态总体，且它们的协差阵一样。vp=4，k=3，n1=n2=n3=20，n=n1+n2+n3=60v 于是由附录43中的(43.4)式可得查F分布表得，F0.01(8,108)=2.683.039，从而在=0.01的程度
20、下回绝原假设H0，因此可以为三种销售方式的销售额有非常显著的差别(p=0.004)。为了解这三种销售方式的显著差别终究是由哪些商品引起的，我们对这四种商品分别用一元方差分析方法进展检验分析。利用SSTR和SSE这两个矩阵对角线上的元素有 查表得，F0.05(2,57)=3.16，F0.01(2,57)=5.01，故甲商品有显著差别(p=0.041)，丁商品有非常显著的差别(p=0.001),而乙和丙商品无显著差别(p=0.208和p=0.848)。假设剔除丁商品，然后再对其他三种商品用统计量进展检验，那么有 F0.05(6,110)=2.181.328，不显著，因此阐明对甲、乙、丙这三种商品，
21、销售方式、和的总体均值向量之间无显著差别(p=0.251)。4.7 总体相关系数的推断v设x1,x2,xn是取自总体Np(,)的一个样本，样本协方差矩阵S=(sij)。v一、简单相关系数的推断v二、复相关系数的推断v三、偏相关系数的推断一、简单相关系数的推断v欲检验vH0：ij=0，H1：ij0v当H0：ij=0为真时，检验统计量v服从t (n2)分布，其中 是样本相关系数。v对于给定的显著性程度，回绝规那么为：v假设 ，那么回绝H0v假设希望检验vH0：ij=ij0，H1：ijij0v那么可以运用一种近似的方法。在n很大的情况下， v近似服从 。利用这一结论可构造检验统计量为v当原假设H0：ij=ij0为真时，它近似地服从N(0,1)，对于给定的，回绝规那么为：v假设 ，那么回绝H0二、复相关系数的推断v将x,S剖分如下：v样本复相关系数的平方为v欲检验vH0：12,p=0，H1：12,p0检验统计量为当H0：12,p=0为真时，它服从F (p1,np)分布。对于给定的显著性程度，回绝规那么为：假设 ，那么回绝H0三、偏相关系数的推断v将x,S作如下剖分：v样本偏相关系数为v其中 。v欲检验vH0：ijk+1,p=0，H1：ijk+1,p0v为此构造检验统计量为v当H0：ijk+1,p=0为真时，它服从t(np+k2)分布。对于给定的，回绝规那么为：v假设 ，那么回绝H0
