《2022年利用向量法求空间角经典教案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年利用向量法求空间角经典教案(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、名师精编优秀教案利用空间向量求空间角目标: 会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法;一、复习回顾向量的有关知识:(1)两向量数量积的定义:bababa,cos|( 2)两向量夹角公式:|,cosbababa二、知识讲解与典例分析知识点 1:两直线所成的角(范围:2,0()( 1)定义:过空间任意一点o 分别作异面直线a 与 b 的平行线a 与 b ,那么直线a 与 b所成的锐角或直角,叫做异面直线a 与 b 所成的角 . ( 2)用向量法求异面直线所成角,设两异面直线a、b 的方向向量分别为a和b,问题 1: 当a与b的夹角不大于90 时,异面直线 a、b 所成的角与a和
2、b的夹角的关系?问题2:a与b的夹角大于90时,异面直线a、b 所成的角与a和b的夹角的关系?结论:异面直线a、b 所成的角的余弦值为|,cos|cosnmnmnm例 1 如图,正三棱柱111CBAABC的底面边长为a,侧棱长为a2,求1AC和1CB所成的角 . 解法步骤: 1.写出异面直线的方向向量的坐标。2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解: 如图建立空间直角坐标系xyzA, 则)2,0(),0,21,23(),2,21,23(),0 ,0,0(11aaBaaCaaaCA)2,21,23(1aaaAC,)2,21,23(1aaaCB即21323|,cos22111111aaCBACC
3、BACCBAC1AC和1CB所成的角为3总结 :( 1)11,cosBEDF与BEDF11,cos相等吗?(2)空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别?a b O ObaObaba,ba,x y Z AyxCB1AD1B1C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页名师精编优秀教案x y Z AyxCB1AD1B1C知识点 2、直线与平面所成的角(范围:2,0)思考:设平面的法向量为n,则BAn,与的关系?据图分析可得:结论:例 2、如图, 正三棱柱111CBAABC的底面边长为a,侧棱长为a2,求1AC和BBAA11面所
4、成角的正弦值. 分析: 直线与平面所成的角步骤:1. 求出平面的法向量2. 求出直线的方向向量3. 求以上两个向量的夹角, (锐角 )其余角为所求角解:如图建立空间直角坐标系xyzA,则),0,0(),2,0 ,0(1aABaAA)2,21,23(1aaaAC设平面BBAA11的法向量为),(zyxn由00002001zyayazABnAAn取1x,)0, 0, 1(n设1AC和BBAA11面所成角为213|23|,cos|sin22111aaNACnACnAC1AC和BBAA11面所成角的正弦值21. 知识点 3:二面角 (范围:,0)方向向量法:将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量(在
5、二面角的面内且垂直于二面角的棱)的夹角。如图,设二面角l的大小为,其中CDlCDABlAB,. 结论:ABOBAn,2ABOn2, BAnABOn(图 1)(图 2)|,cos|sinABnABnABnD C B A l |,coscosCDABCDABCDAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页名师精编优秀教案法向量法结论:或归纳: 法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角;同进同出,二面角等于法向量夹角的补角. 例 3、如图,ABCD是一直角梯形,90ABC,SA面ABCD,1BCABSA,21AD,求面SCD
6、与面SBA所成二面角的余弦值. 解:如图建立空间直角坐标系xyzA,则)1 ,0,0(),0,21,0(),0, 1 , 1(),0 ,0 ,0(SDCA易知面SBA的法向量为)0,21,0(1ADn,)1,21, 0(),0,21, 1(SDCD设面SCD的法向量为),(2zyxn,则有0202zyyx,取1z,得2, 1 yx,)1 ,21,1 (2n36|,cos212121nnnnnn即所求二面角的余弦值为36.练习1: 如图,正三棱柱1 11ABC ABC的所有棱长都为2,D为1CC中点求二面角11CBAA的余弦值;解:取11BC中点1O, 以O为原点,OB,1OO,OA的方向为xy
7、z, ,轴的正方向建立空间直角坐标系设平面BAA1的法向量为()xyz, ,n)3,0 , 1 (AB,1(0 2 0)AA, ,1,AAnABn030211zxABnyAAn令1z,得平面1A AD的一个法向量) 1 ,0 ,3(n设平面11BCA的法向量为),(cbav)3, 2, 1(1BA,)0, 2,2(1BC11,BCvBAv02203211baBCncbaBAn1nl 2n21,nn|,coscos212121nnnnnn|,coscos212121nnnnnn1nl 2n21,nn21,nn21,nnABCDxzySx z A B C D 1A1C1BO F y 精选学习资料
8、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页名师精编优秀教案令1a,得平面11BCA的一个法向量)3, 1, 1 (v5155232,cosvnvnvn, 所求的二面角11CBAA的余弦值为515。练习 2: 如图 2,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD 中, AD/BC , ABC=900,SA面 ABCD,SA=21,AB=BC=1 , AD=21。 求侧面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的余弦值。解:以 A 为原点如图建立空间直角坐标系,则S(0,0,21) , A(0, 0,0) ,B(0,1,0) ,C(1,1, 0) ,D(
9、21,0,0) ,)21, 1, 0(),21,0,0(SBSA)21, 1, 1(),21,0,21(SCSD,显然平面SBA 的一个法向量为1n=(1,0,0),设平面 SCD 的一个法向量为2n=(x,y,z),则2n平面 SCD )212(,2022000222,nzzyxzxSCnSDn则取则323121| |,cos212121nnnnnn,所以面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的余弦值为32。三、小结: 1 异面直线所成的角:|,cos|cosnmnmnm2直线和平面所成的角:3二面角: . 或A z y x D C B S 图 2 |,cos|sinABnABnABn|,coscos212121nnnnnn|,coscos212121nnnnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页