《2022年2022年可逆矩阵矩阵乘积的行列式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年2022年可逆矩阵矩阵乘积的行列式（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、5.2 可逆矩阵矩阵乘积的行列式5.2.1 教学目的5.2.1.1 掌握矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. 5.2.1.2 掌握矩阵可逆的充要条件及求逆矩阵的两种方法. 5.2.1.3 掌握矩阵乘积的行列式和秩的性质. 5.2.2 教学重点矩阵可逆的定义，充要条件及求逆矩阵的方法. 5.2.3 教学难点用初等变换法求逆矩阵的理论. 5.2.4 教学过程一、矩阵可逆，逆矩阵的定义和简单性质. （一）矩阵可逆，逆矩阵的定义Def 1 令 A 是数域 F 上一个 n 矩阵，若存在 F 上 n 阶矩阵 B，使得AB=BA=I 那么 A 叫可逆矩阵（或非奇异矩阵） ，而 B 叫作 A 的逆矩阵 . （二
2、）逆矩阵的简单性质1、若是矩阵 A 可逆，则 A 的逆矩阵唯一 . 把 A 的唯一的逆矩阵记作. 2、可逆矩阵 A 的逆矩阵也可逆，并且. 1、1、1、两个可逆矩阵 A 和 B 的乘积也可逆，并且. 一般， m个可逆矩阵 A1，A2， Am的乘积 A1A2Am也可逆 . 并且（A1A2， Am）-1=4、可逆矩阵 A 的转置也可逆，并且二、矩阵可逆的充要条件（一）判断矩阵可逆的思路. 判断一般的 n 阶矩阵 A 是否可逆很复杂， 但判断形如，矩阵的可逆1A1AAA11)(111)(ABAB11121AAAmA)()(11AA000rI名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
3、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 性十分简单，即当r=n 时，可逆；当 rn 时，不可逆 .如何将一般的矩阵 A 的可逆性与的可逆性挂勾？（二）判断矩阵，可逆的予备知识1、初等矩阵的概念对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵：i j i i j 都叫做初等矩阵 . 2、初等矩阵和初等变换的联系000rI000rI000rI1101111011ijpjiikkDi1111)(jikkTji11111)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
4、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 左乘一个初等矩阵相当于对矩阵施行一次相应的行的初等变换；右乘一个初等矩阵相当于对矩阵施行一次相应的列的初等变换. 3、初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵仍是初等矩阵：4、初等变换不改变矩阵的可逆性. La5.2.1 设对矩阵 A 施行一个初等变换后，得到矩阵，则 A 可逆的充要条件是可逆. 5、矩阵在初等变换下的标准形La5.2.2 一个 mn矩阵 A 总可以通过初等变换化为以下形式的矩阵. （三）矩阵可逆的充要条件Th5.2.3 n阶矩阵 A 可逆的充要条
5、件是它可通过初等变换化为单位阵. Th5.2.4 n阶矩阵 A 可逆的充要条件是它可写成初等矩阵的乘积. Th5.2.5 n阶矩阵 A 可逆当且仅当 A 的秩等于 n. Th5.2.6 n阶矩阵 A 可逆，当且仅它的的行列式detA0. 三、逆矩阵的求法（一）初矩阵的求法一个可逆矩阵 A 可以通过行初等变换化为单位矩阵I 即存在初等矩阵 E1,E2,Es，使用 A-1右乘这个等式的两端，得法则：在通过行初等变换把可逆矩阵A 化为单位矩阵 I 时，对单位矩阵 I 施行同样的初等变换，就得到A 的逆矩阵 A-1. 例 1：求矩阵的逆矩阵 . 解：)()(),1()(,111kTkTkDkDppij
6、ijiiijijAA000rIAIAEEEs12112AIEEEs201013121A100201010013001121101320013350001121名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - （二）行列式法设 n阶矩阵则有以下等式成立：若令, 则把 A*叫矩阵 A 的伴随矩阵 . 当 A 可递时，即例：设，求 A-1解：因为=20，所以 A 可逆. 又因 A11=2，A12=2，A13=-4，A21=-1，A22=
7、-1，A23=3，153515900051535310052515101959291100513132010919492001nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211jijiAAaAaAajninjiji若若02211jijiAAaAaAanjnijiji若若02211nnnnnnAAAAAAAAAA211221212111*AAAAAAA001000*IAAAAAA*11*11AAA011213112A011213112A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
8、第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 利用这个公式去求逆矩阵，计算量一般很大，公式（8）的意义主要在理论方面.例如，可应用它来给出克莱姆规律的另一种推导法a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 an1x1+an2x2+annxn=bn利用矩阵的乘法令(aij)=A，以 A-1左乘端得由此得四、矩阵乘积的行列式（一）矩阵乘积的行列式引理：一个 n 阶矩阵 A 总可以通过第三种行和列的初等变换在成一个对角矩阵（10）证：如果 A 的第一行和第一列的元素不都是零，那么必要时总可以通过第134112112211Annnnnnnnbbbx
9、xxaaaaaaaaa2121212222111211nnnnnnnnbbbAAAAAAAAAAxxx21212221212111211)(1),(122112121niniinniiiiAbAbAbAbbbAAAAxndddA0021名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 三种初等变换使左上角的元素不为零，于是再通过适当的第三种初等变换可以把A 化为如果 A 的第一行和第一列都是零，那么A 已经具有（ 10）的形式 .
10、 对 A 进行同样的考虑，易见可用第三种初等变换逐步把A 化为对角矩阵 . 根据行列式的性质，我们有定理：设 A、B 是任意两个 n 阶矩阵，那么证：先看一个特殊情况，即A 是一个对角矩阵的情形，设现在看一般情形，由引理，可以通过第三种初等变换把A 化成一个对角矩阵， 并且|A|=|， 矩阵 A 也可以反过来通过对施行第三种初等变换而得出，即存在 Tij(k)型矩阵， T1、T2、Tg，使A=T1TpTp+1Tg于是， AB= T1TpTp+1Tg，B=（T1Tp） （Tp+1TgB）而由行列式的性质知道， 任意一个 n阶矩阵的行列式不因对它施行第三种行或列初等变换而求所改变. |AB|= |
11、T1TpTp+1TgB| =| Tp+1TgB | =|B|=|A|B| 由这个定理显然可以得出000011AdndddAA21BAABndddA0021nnnnnnijbbbbbbbbbbB212222111211)(ABnnnnnnnnnbdbdbdbdbdbdbdbdbd212222221211121111BABdddABn21AAAAAAAAA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - |A1A2Am|=|A1|A2
12、|Am| （二）矩阵乘积的秩定理：两个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩，特别当有一个因子是可逆矩阵时，乘积的秩等于另一因子的秩. 证： 设 A 是一个 mn 矩阵， B 是一个 np 矩阵， 并且秩 A=r， 由定理 5.2.2，可以对 A 施行行初等变换将A 化为换句话说，存在m阶初等矩阵 E1，Ep和 n阶初等矩阵 Ep+1，Eq，使 E1EpAEp+1Eq=. 于是E1EpABEp+1=E1EpAEp+1EqEq-1Ep+1-1B =Eq-1Ep+1-1B=，显然除前 r 行外，其余各元行的元素都是零，所以秩r；另一方面， E1Ep+1AB 是由 AB 通过行初等变换而得到的所以它与 AB 有相同的秩，这样就证明了秩AB秩 A.同理可证秩 AB 秩 B.如果 A、B 中有一个，例如A 是可逆矩阵，一方面AB秩 B，另一方面，B=A-1(AB)，所以秩 B秩 AB ，因此秩 AB= 秩 B.这个定理也很容易推广到任意m 个矩阵的乘积的情形，任意m 个矩阵乘积的秩不大于每一因子的秩. 000rIAAABABABA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -
