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1、导数知识点一、导数的概念导数xyxfx00lim)( =xxfxxfx)()(lim000。二、导数的几何意义函数y=f(x)在点0x处的导数，就是曲线y=(x) 在点),(00yxP处的切线的斜率由此，可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步： (1)求出函数y=f(x)在点0x处的导数， 即曲线 y=f(x)在点),(00yxP处的切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为)( 000xxxfyy三、常见函数的导数及运算法则 (1) 八个基本求导公式)(C；)(nx； (n Q) )(sin x，)(cosx)(xe，)(xa)(ln x ，)(logxa(2)
2、 导数的四则运算)(vu )(xCf)(uv，)(vu)0(v(3) 复合函数的导数设)(xu在点 x 处可导，)(ufy在点)(xu处可导， 则复合函数)(xf在点 x 处可导，且)(xf，即xuxuyy四、 导数的应用（要求：明白解题步骤）1 函数的单调性（1）设函数y=f(x)在某个区间内可导，若)(/xf0，则f(x)为增函数；若)(/xf0，则 f(x)为减函数。（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法。分析)(xfy的定义域；求导数)(xfy解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为区间解不等式0)(xf，解集在定义域内的部分为区间精选学习资料 - - - - - - - - -
3、名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页例如：求函数xxy1的减区间2 可导函数的极值（采用表格或画函数图象）（1）极值的概念设函数f(x)在点x0附近有定义，且若对x0附近所有的点都有f(x)f(x0) （或f(x)f(x0)） ，则称 f(x0) 为函数的一个极大（小）值，称x0为极大（小）值点。（2）求可导函数f(x) 极值的步骤 求导数)(xf； 求方程)(xf0 的； 检验)(xf在方程)(xf0 的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负( 先增后减 ) ，那么函数 y)(xf在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正( 先减后增 ) ，那么
4、函数y)( xf在这个根处取得. 3 函数的最大值与最小值 设 y)(xf是定义在区间a ,b 上的函数， y)( xf在(a ,b ) 内有导数，则函数y)(xf在a ,b 上必有最大值与最小值；但在开区间内未必有最大值与最小值(2) 求最值可分两步进行： 求 y)( xf在 (a ,b )内的值； 将 y)( xf的各值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (3) 若函数 y)(xf在a ,b 上单调递增， 则)(af为函数的，)(bf为函数的； 若函数 y)(xf在a ,b 上单调递减，则)(af为函数的，)(bf为函数的 . 4. 求过函数上一点的切线
5、的斜率或方程例题 1：分析函数xxy33（单调性，极值，最值，图象）例题 2：函数axxy33在)1,(上为增函数，在) 1 , 1(上为减函数，求实数a例题 3： 求证方程1lg xx在区间)3,2(内有且仅有一个实根. （ 分析解本题要用的知识点）一求值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页1( )fx是31( )213f xxx的导函数，则( 1)f的值是2.)(xf=ax3+3x2+2 ，4)1(f，则 a= 3. 已知函数f(x)的导函数为)( xf, 且满足 f(x)=3x2+2x)2(f,则)5(f=.4
6、. 设f(x) 、g(x) 分别是定义在R上的奇函数和偶函数, 当x0且 g(3)=0, 则不等式f(x)g(x)0 的解集是 _. 5(2008 海南、宁夏文) 设( )lnf xxx，若0()2fx，则0x（）A. 2e B. e C. ln 22D. ln 2二切线1(1) 曲线31yxx在点 (1,3) 处的切线方程是；(2) 已知函数xxxf3)(3，过点)6,2(P作曲线)(xfy的切线的方程变式（1）曲线yx33x1 在点（ 1， 1）处的切线方程为（2）已知3:( )2Cf xxx，则经过(1,2)P的曲线C的切线方程为（3）曲线 f(x)=x33x，过点 A(0，16) 作曲
7、线 f (x)的切线，则曲线的切线方程为。2 （1）曲线3)(xxf在点 A处的切线的斜率为3，则该曲线在A点处的切线方程为。（2）过曲线xxxf4)(上点 P处的切线平行于直线03yx，则点 P的坐标为(3) 若直线yx是曲线323yxxax的切线，则a。3. 垂直于直线2x-6y+1=0 ，且与曲线5323xxy相切的直线的方程是_4已知直线1kxy与曲线baxxy3切于点（ 1，3） ，则 b 的值为（）A3 B 3 C5 D 5 5若点P 在曲线23xxy上移动，经过点P 的切线的倾斜角为，则的取值范围为（） A.2,0 B.,432,0 C.,43 D.43,22,06. (08 全
8、国 ) 设曲线2axy在点 （1,a） 处的切线与直线062yx平行 ,则a( ) A1 B12C 12D17 （ 09 宁夏）曲线21xyxex在点（ 0,1 ）处的切线方程为。8（09 全国卷理）曲线21xyx在点1,1处的切线方程为A. 20xy B. 20xy C.450xy D. 450xy9 若曲线2fxaxInx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页10 （08 海南理）曲线12exy在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为三单调性1. （ 1）
9、设 f(x)=x2(2-x),则 f(x)的单调增区间是（）A.(0,)34 B.(,34+) C.(-,0) D.(-,0) (34,+ ）（2）函数 y=(x+1)(x21) 的单调递增区间为（） A.(-, 1) B.（ 1,+ ）C. (-, 1) 与（ 1,+ ） D. (-, 1) （ 1,+ ）(3) 函数13)(23xxxf是减函数的区间为（）A),2( B)2,( C )0,( D （0，2）2. （ 1）若函数f(x)=x3-ax2+1 在（ 0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为（2）设axxxfa3)(, 0 函数在),1 上是单调函数. 则实数a的取值范围为；（3
10、）函数y=ax3x在( ,+ ) 上是减函数，则实数a的取值范围为；3 （ 1）若函数f（x）=ax3x2+x5 在 R上单调递增，则a的范围是（2）已知函数13)(23xxaxxf在 R上是减函数，则a的取值范围是： 4.若32( )(0)f xaxbxcxd a在 R 上是增函数，则（）（A）240bac（B）0,0bc（C）0,0bc（D）230bac5、函数3yxaxb在( 1,1)上为减函数，在(1,)上为增函数，则（）（A）1,1ab（B）1,abR（C）3,3ab（D）3,abR四极值1、函数331xxy的极大值，极小值分别是A. 极小值 -1 ，极大值1 B. 极小值 -2 ，
11、极大值3 C. 极小值 -2 ，极大值2 D. 极小值 -1 ，极大值3 2函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a=（）（A）2 （B）3 （C） 4 （D）5 3. 函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2, 在 x=1 时有极值 10，则 a、b 的值为（）A.a=3,b=-3 ，或 a=-4,b=11 B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3 D.以上都不正确4、已知函数)(xf的导数为xxxf44)(3，且图象过点（0，-5） ，当函数)(xf取得极大值 -5 时，x的值应为A. 1 B. 0 C. 1 D. 1 5. 若函数 f(x)=x3-3bx+3b
12、在（ 0，1）内有极小值，则（）A.0b1 B.b0 D.b216. 若 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 没有极值，则a 的取值范围为.7. 已知函数y=2x3+ax2+36x24 在 x=24 处有极值，则该函数的一个递增区间是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页A.(2,3) B.(3, +) C.(2, + ) D. ( ,3) 8. （ 2009 辽宁卷文）若函数2( )1xaf xx在1x处取极值，则a五最值1函数5123223xxxy在0 ，3 上的最大值、最小值分别是（）A5， 15
13、B5， 4 C 4， 15 D5， 16 2. （ 06 浙江文）32( )32f xxx在区间1,1上的最大值是（）(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 3 函数y=x3+x3在 (0 ，+ ) 上的最小值为A.4B.5C.3D.1 4 （ 07 湖南理）函数3( )12f xxx在区间 3 3，上的最小值是5（07 江苏）已知函数3( )128f xxx在区间 3,3上的最大值与最小值分别为,M m，则Mm_ 变式、函数3( )3f xxxa在区间0,3上的最大值、最小值分别为M，N，则 MN 的值为。6. （ 2008 安徽文）设函数1( )21(0),f xxxx则( )fx（）A
14、有最大值 B 有最小值 C 是增函数D是减函数六综合1 （ 07 福建理、文）已知对任意实数x，有()( )()( )fxf xgxg x，且0x时，( )0( )0fxg x，则0x时（）A( )0( )0fxgx，B ( )0( )0fxgx，C( )0( )0fxgx，D ( )0( )0fxgx，2对于R上可导的任意函数( )f x，若满足(1)( )0xfx，则必有（）A(0)(2)2(1)fff B. (0)(2)2(1)fff C. (0)(2)2(1)fff D.(0)(2)2(1)fff3.（ 2009 陕西卷文）设曲线1*()nyxnN在点（ 1，1）处的切线与x 轴的交点
15、的横坐标为nx, 则12nxxx的值为(A) 1n(B) 11n (C) 1nn (D)1 4 设函数)(xf在定义域内可导，)(xfy的图象如右图1 所示，则导函数y=f(x)可能为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页5 （浙江卷11）设f (x) 是函数f(x)的导函数，y=f (x) 的图象如右图所示，则y=f(x) 的图象最有可能的是(A)(B)(C)(D) 6. （ 2009 湖南卷文）若函数( )yf x的导函数在区间 , a b上是增函数，则函数( )yf x在区间 , a b上的图象可能是【】A
16、B C D7、已知函数32( )(6)1f xxmxmx既有极大值又存在最小值，则实数m 的取值范围是。8、若函数( )f x的定义域为0,，且/( )0,( )0f xfx，那么函数( )yxf x（）（A）存在极大值（B）存在最小值（C）是增函数（D）是减函数9、当0,2x时，函数2( )4(1)3f xaxax在 x=2 时取得最大值，则a 的取值范围是 。x y y x y x y x O12O12O1212x y O 12a b a b a o x o x y b a o x y o x y b y x y O （A）x y O （B）x y O x y O （D）（C）精选学习资料
17、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页七解答题（重点）题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值。1. 已 知 函 数)1 (, 1 ()(,)(23fPxfycbxaxxxf上的点过曲线的 切 线 方 程 为y=3x+1 （）若函数2)(xxf在处有极值，求)(xf的表达式；（）在（）的条件下，求函数)(xfy在 3，1 上的最大值；（）若函数)(xfy在区间 2，1 上单调递增，求实数b 的取值范围2：已知三次函数32( )f xxaxbxc在1x和1x时取极值，且( 2)4f(1) 求函数( )yf x 的表达式；(2)
18、求函数( )yf x 的单调区间和极值；(3) 若函数( )()4(0)g xf xmm m在区间 3, mn 上的值域为 4,16 ，试求m、n应满足的条件3 （海南文本小题满分12 分）设函数2( )ln(23)f xxx（）讨论( )f x的单调性；（）求( )f x在区间3 14 4，的最大值和最小值4、已知32( )(0)f xaxbxcx a在1x取得极值，且(1)1f。（1）试求常数, ,a b c的值；（2）试判断1x是函数的极大值还是极小值，并说明理由。5已知函数f(x)= x33x2 axb 在 x(1 ，f(1)处的切线与直线12xy1 0 平行（1）求实数a 的值；（2
19、）求 f(x) 的单调递减区间；（3）若 f(x) 在区间 2，2 上的最大值为20，求它在该区间上的最小值题型二：利用导数研究不等式恒成立。1. 已知两个函数xxxf287)(2，cxxxxg4042)(23. （）,)()(图像关于原点对称图像与xfxF解不等式3)()(xxfxF（）若对任意x 3，3 ，都有)(xf)(xg成立，求实数c的取值范围；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页2. 已知函数f(x)=x3-21x2+bx+c.(1) 若 f(x)在（ - ，+）上是增函数，求b 的取值范围 ;(2) 若
20、 f(x)在 x=1 处取得极值，且x -1,2 时， f(x)0）有极大值9. （）求m的值；（）若斜率为-5 的直线是曲线( )yf x的切线，求此直线方程. 7 已知函数1)(3axxxf（）若)(xf在实数集 R上单调递增，求a的范围；（）是否存在实数a 使)(xf在) 1 , 1(上单调递减若存在求出a 的范围，若不存在说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页09 福建理科14. 若曲线3( )lnf xaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是 _. 20、 （本小题满分14 分）已知函数321(
21、 )3f xxaxbx,且( 1)0f(1) 试用含a的代数式表示b, 并求( )f x的单调区间；（ 2）令1a, 设 函 数( )f x在1212,()x xxx处 取得 极 值， 记点M (1x,1()f x) ，N(2x,2()f x) ，P(,()m f m), 12xmx, 请仔细观察曲线( )f x在点 P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I ）若对任意的m(1x, x2) ，线段 MP与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；（II ）若存在点Q(n ,f(n), xn m, 使得线段PQ与曲线f(x)有异于 P、Q的公共点，
22、请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）09 福建文科15. 若曲线2fxaxInx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 . 21 （本小题满分12 分）已知函数321( ),3f xxaxbx且( 1)0f（I ）试用含a的代数式表示b；（）求( )f x的单调区间；（ ） 令1a， 设 函 数( )f x在1212,()x xxx处 取 得 极 值 ， 记 点1122(,(),(,()M xf xN xf x，证明：线段MN与曲线( )f x存在异于M、N的公共点；08 福建理科（ 11）如果函数y=f(x) 的图象如右图，那么导函数y=f(x) 的图象可能是精选学习资料 - -
23、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页（19） （本小题满分12 分）已知函数321( )23f xxx. （）设 an 是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3. 若点211(,2)nnnaaa(n N*) 在函数y=f(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f(x) 的图象上；（）求函数f(x) 在区间（a-1,a）内的极值 . 文科(21) （本小题满分12 分）已知函数32( )2f xxmxnx的图象过点 （-1 ，-6 ） ，且函数( )( )6g xfxx的图象关于y轴对称 . ( ) 求m、n的值及函数y=f(x)
24、 的单调区间；( ) 若a0，求函数y=f(x) 在区间（a-1,a+1）内的极值 . 07 福建11 已 知 对 任 意 实 数x， 有()()()(fxfxgxgx， 且0x时 ，()0()fxgx，则0x时（）A( )0( )0fxgx，B ( )0( )0fxgx，C( )0( )0fxgx，D ( )0( )0fxgx，22 （本小题满分14 分）已知函数( )exf xkxxR，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页（）若ek，试确定函数( )f x的单调区间；（）若0k，且对于任意xR，()0fx恒成立
25、，试确定实数k的取值范围；（）设函数( )( )()F xf xfx，求证：12(1) (2)( )(e2) ()nnFFF nnN（全国一文 20 ）设函数32( )2338f xxaxbxc在1x及2x时取得极值（）求a、b的值；（）若对于任意的0 3x，都有2( )f xc成立，求c的取值范围( 陕西文 21) 已知cxbxaxxf23)(在区间 0,1上是增函数 , 在区间),1 (),0 ,(上是减函数 , 又.23)21(f( ) 求)(xf的解析式 ; ( ) 若在区间,0m(m0)上恒有)(xfx成立 , 求m的取值范围 . 12已知函数3211( )(1)32f xxbxcx， 若( )f x在1,3xx处取得极值，试求常数,b c的值；若( )fx在12,xx上都是单调递增，在12,xx上单调递减，且满足211xx，求证：22(2 )bbc14设0t，点 P（t，0）是函数cbxxgaxxxf23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线. （）用t表示 a，b，c；（）若函数)()(xgxfy在（ 1，3）上单调递减，求t的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
