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1、导数知识点一、导数的概念导数xyxfx00lim)( =xxfxxfx)()(lim000。二、导数的几何意义函数y=f(x)在点0x处的导数,就是曲线y=(x) 在点),(00yxP处的切线的斜率由此,可以利用导数求曲线的切线方程具体求法分两步: (1)求出函数y=f(x)在点0x处的导数, 即曲线 y=f(x)在点),(00yxP处的切线的斜率; (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为)( 000xxxfyy三、常见函数的导数及运算法则 (1) 八个基本求导公式)(C;)(nx; (n Q) )(sin x,)(cosx)(xe,)(xa)(ln x ,)(logxa(2)
2、 导数的四则运算)(vu )(xCf)(uv,)(vu)0(v(3) 复合函数的导数设)(xu在点 x 处可导,)(ufy在点)(xu处可导, 则复合函数)(xf在点 x 处可导,且)(xf,即xuxuyy四、 导数的应用(要求:明白解题步骤)1 函数的单调性(1)设函数y=f(x)在某个区间内可导,若)(/xf0,则f(x)为增函数;若)(/xf0,则 f(x)为减函数。(2)求可导函数单调区间的一般步骤和方法。分析)(xfy的定义域;求导数)(xfy解不等式0)(xf,解集在定义域内的部分为区间解不等式0)(xf,解集在定义域内的部分为区间精选学习资料 - - - - - - - - -
3、名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页例如:求函数xxy1的减区间2 可导函数的极值(采用表格或画函数图象)(1)极值的概念设函数f(x)在点x0附近有定义,且若对x0附近所有的点都有f(x)f(x0) (或f(x)f(x0)) ,则称 f(x0) 为函数的一个极大(小)值,称x0为极大(小)值点。(2)求可导函数f(x) 极值的步骤 求导数)(xf; 求方程)(xf0 的; 检验)(xf在方程)(xf0 的根左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负( 先增后减 ) ,那么函数 y)(xf在这个根处取得;如果在根的左侧附近为负,右侧为正( 先减后增 ) ,那么
4、函数y)( xf在这个根处取得. 3 函数的最大值与最小值 设 y)(xf是定义在区间a ,b 上的函数, y)( xf在(a ,b ) 内有导数,则函数y)(xf在a ,b 上必有最大值与最小值;但在开区间内未必有最大值与最小值(2) 求最值可分两步进行: 求 y)( xf在 (a ,b )内的值; 将 y)( xf的各值与)(af、)(bf比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. (3) 若函数 y)(xf在a ,b 上单调递增, 则)(af为函数的,)(bf为函数的; 若函数 y)(xf在a ,b 上单调递减,则)(af为函数的,)(bf为函数的 . 4. 求过函数上一点的切线
5、的斜率或方程例题 1:分析函数xxy33(单调性,极值,最值,图象)例题 2:函数axxy33在)1,(上为增函数,在) 1 , 1(上为减函数,求实数a例题 3: 求证方程1lg xx在区间)3,2(内有且仅有一个实根. ( 分析解本题要用的知识点)一求值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页1( )fx是31( )213f xxx的导函数,则( 1)f的值是2.)(xf=ax3+3x2+2 ,4)1(f,则 a= 3. 已知函数f(x)的导函数为)( xf, 且满足 f(x)=3x2+2x)2(f,则)5(f=.4
6、. 设f(x) 、g(x) 分别是定义在R上的奇函数和偶函数, 当x0且 g(3)=0, 则不等式f(x)g(x)0 的解集是 _. 5(2008 海南、宁夏文) 设( )lnf xxx,若0()2fx,则0x()A. 2e B. e C. ln 22D. ln 2二切线1(1) 曲线31yxx在点 (1,3) 处的切线方程是;(2) 已知函数xxxf3)(3,过点)6,2(P作曲线)(xfy的切线的方程变式(1)曲线yx33x1 在点( 1, 1)处的切线方程为(2)已知3:( )2Cf xxx,则经过(1,2)P的曲线C的切线方程为(3)曲线 f(x)=x33x,过点 A(0,16) 作曲
7、线 f (x)的切线,则曲线的切线方程为。2 (1)曲线3)(xxf在点 A处的切线的斜率为3,则该曲线在A点处的切线方程为。(2)过曲线xxxf4)(上点 P处的切线平行于直线03yx,则点 P的坐标为(3) 若直线yx是曲线323yxxax的切线,则a。3. 垂直于直线2x-6y+1=0 ,且与曲线5323xxy相切的直线的方程是_4已知直线1kxy与曲线baxxy3切于点( 1,3) ,则 b 的值为()A3 B 3 C5 D 5 5若点P 在曲线23xxy上移动,经过点P 的切线的倾斜角为,则的取值范围为() A.2,0 B.,432,0 C.,43 D.43,22,06. (08 全
8、国 ) 设曲线2axy在点 (1,a) 处的切线与直线062yx平行 ,则a( ) A1 B12C 12D17 ( 09 宁夏)曲线21xyxex在点( 0,1 )处的切线方程为。8(09 全国卷理)曲线21xyx在点1,1处的切线方程为A. 20xy B. 20xy C.450xy D. 450xy9 若曲线2fxaxInx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页10 (08 海南理)曲线12exy在点2(4e ),处的切线与坐标轴所围三角形的面积为三单调性1. ( 1)
9、设 f(x)=x2(2-x),则 f(x)的单调增区间是()A.(0,)34 B.(,34+) C.(-,0) D.(-,0) (34,+ )(2)函数 y=(x+1)(x21) 的单调递增区间为() A.(-, 1) B.( 1,+ )C. (-, 1) 与( 1,+ ) D. (-, 1) ( 1,+ )(3) 函数13)(23xxxf是减函数的区间为()A),2( B)2,( C )0,( D (0,2)2. ( 1)若函数f(x)=x3-ax2+1 在( 0,2)内单调递减,则实数a 的取值范围为(2)设axxxfa3)(, 0 函数在),1 上是单调函数. 则实数a的取值范围为;(3
10、)函数y=ax3x在( ,+ ) 上是减函数,则实数a的取值范围为;3 ( 1)若函数f(x)=ax3x2+x5 在 R上单调递增,则a的范围是(2)已知函数13)(23xxaxxf在 R上是减函数,则a的取值范围是: 4.若32( )(0)f xaxbxcxd a在 R 上是增函数,则()(A)240bac(B)0,0bc(C)0,0bc(D)230bac5、函数3yxaxb在( 1,1)上为减函数,在(1,)上为增函数,则()(A)1,1ab(B)1,abR(C)3,3ab(D)3,abR四极值1、函数331xxy的极大值,极小值分别是A. 极小值 -1 ,极大值1 B. 极小值 -2 ,
11、极大值3 C. 极小值 -2 ,极大值2 D. 极小值 -1 ,极大值3 2函数93)(23xaxxxf,已知)(xf在3x时取得极值,则a=()(A)2 (B)3 (C) 4 (D)5 3. 函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2, 在 x=1 时有极值 10,则 a、b 的值为()A.a=3,b=-3 ,或 a=-4,b=11 B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3 D.以上都不正确4、已知函数)(xf的导数为xxxf44)(3,且图象过点(0,-5) ,当函数)(xf取得极大值 -5 时,x的值应为A. 1 B. 0 C. 1 D. 1 5. 若函数 f(x)=x3-3bx+3b
12、在( 0,1)内有极小值,则()A.0b1 B.b0 D.b216. 若 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 没有极值,则a 的取值范围为.7. 已知函数y=2x3+ax2+36x24 在 x=24 处有极值,则该函数的一个递增区间是()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页A.(2,3) B.(3, +) C.(2, + ) D. ( ,3) 8. ( 2009 辽宁卷文)若函数2( )1xaf xx在1x处取极值,则a五最值1函数5123223xxxy在0 ,3 上的最大值、最小值分别是()A5, 15
13、B5, 4 C 4, 15 D5, 16 2. ( 06 浙江文)32( )32f xxx在区间1,1上的最大值是()(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4 3 函数y=x3+x3在 (0 ,+ ) 上的最小值为A.4B.5C.3D.1 4 ( 07 湖南理)函数3( )12f xxx在区间 3 3,上的最小值是5(07 江苏)已知函数3( )128f xxx在区间 3,3上的最大值与最小值分别为,M m,则Mm_ 变式、函数3( )3f xxxa在区间0,3上的最大值、最小值分别为M,N,则 MN 的值为。6. ( 2008 安徽文)设函数1( )21(0),f xxxx则( )fx()A
14、有最大值 B 有最小值 C 是增函数D是减函数六综合1 ( 07 福建理、文)已知对任意实数x,有()( )()( )fxf xgxg x,且0x时,( )0( )0fxg x,则0x时()A( )0( )0fxgx,B ( )0( )0fxgx,C( )0( )0fxgx,D ( )0( )0fxgx,2对于R上可导的任意函数( )f x,若满足(1)( )0xfx,则必有()A(0)(2)2(1)fff B. (0)(2)2(1)fff C. (0)(2)2(1)fff D.(0)(2)2(1)fff3.( 2009 陕西卷文)设曲线1*()nyxnN在点( 1,1)处的切线与x 轴的交点
15、的横坐标为nx, 则12nxxx的值为(A) 1n(B) 11n (C) 1nn (D)1 4 设函数)(xf在定义域内可导,)(xfy的图象如右图1 所示,则导函数y=f(x)可能为()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页5 (浙江卷11)设f (x) 是函数f(x)的导函数,y=f (x) 的图象如右图所示,则y=f(x) 的图象最有可能的是(A)(B)(C)(D) 6. ( 2009 湖南卷文)若函数( )yf x的导函数在区间 , a b上是增函数,则函数( )yf x在区间 , a b上的图象可能是【】A
16、B C D7、已知函数32( )(6)1f xxmxmx既有极大值又存在最小值,则实数m 的取值范围是。8、若函数( )f x的定义域为0,,且/( )0,( )0f xfx,那么函数( )yxf x()(A)存在极大值(B)存在最小值(C)是增函数(D)是减函数9、当0,2x时,函数2( )4(1)3f xaxax在 x=2 时取得最大值,则a 的取值范围是 。x y y x y x y x O12O12O1212x y O 12a b a b a o x o x y b a o x y o x y b y x y O (A)x y O (B)x y O x y O (D)(C)精选学习资料
17、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页七解答题(重点)题型一:利用导数研究函数的单调性、极值、最值。1. 已 知 函 数)1 (, 1 ()(,)(23fPxfycbxaxxxf上的点过曲线的 切 线 方 程 为y=3x+1 ()若函数2)(xxf在处有极值,求)(xf的表达式;()在()的条件下,求函数)(xfy在 3,1 上的最大值;()若函数)(xfy在区间 2,1 上单调递增,求实数b 的取值范围2:已知三次函数32( )f xxaxbxc在1x和1x时取极值,且( 2)4f(1) 求函数( )yf x 的表达式;(2)
18、求函数( )yf x 的单调区间和极值;(3) 若函数( )()4(0)g xf xmm m在区间 3, mn 上的值域为 4,16 ,试求m、n应满足的条件3 (海南文本小题满分12 分)设函数2( )ln(23)f xxx()讨论( )f x的单调性;()求( )f x在区间3 14 4,的最大值和最小值4、已知32( )(0)f xaxbxcx a在1x取得极值,且(1)1f。(1)试求常数, ,a b c的值;(2)试判断1x是函数的极大值还是极小值,并说明理由。5已知函数f(x)= x33x2 axb 在 x(1 ,f(1)处的切线与直线12xy1 0 平行(1)求实数a 的值;(2
19、)求 f(x) 的单调递减区间;(3)若 f(x) 在区间 2,2 上的最大值为20,求它在该区间上的最小值题型二:利用导数研究不等式恒成立。1. 已知两个函数xxxf287)(2,cxxxxg4042)(23. (),)()(图像关于原点对称图像与xfxF解不等式3)()(xxfxF()若对任意x 3,3 ,都有)(xf)(xg成立,求实数c的取值范围;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页2. 已知函数f(x)=x3-21x2+bx+c.(1) 若 f(x)在( - ,+)上是增函数,求b 的取值范围 ;(2) 若
20、 f(x)在 x=1 处取得极值,且x -1,2 时, f(x)0)有极大值9. ()求m的值;()若斜率为-5 的直线是曲线( )yf x的切线,求此直线方程. 7 已知函数1)(3axxxf()若)(xf在实数集 R上单调递增,求a的范围;()是否存在实数a 使)(xf在) 1 , 1(上单调递减若存在求出a 的范围,若不存在说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页09 福建理科14. 若曲线3( )lnf xaxx存在垂直于y轴的切线,则实数a取值范围是 _. 20、 (本小题满分14 分)已知函数321(
21、 )3f xxaxbx,且( 1)0f(1) 试用含a的代数式表示b, 并求( )f x的单调区间;( 2)令1a, 设 函 数( )f x在1212,()x xxx处 取得 极 值, 记点M (1x,1()f x) ,N(2x,2()f x) ,P(,()m f m), 12xmx, 请仔细观察曲线( )f x在点 P处的切线与线段MP的位置变化趋势,并解释以下问题:(I )若对任意的m(1x, x2) ,线段 MP与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点,试确定t 的最小值,并证明你的结论;(II )若存在点Q(n ,f(n), xn m, 使得线段PQ与曲线f(x)有异于 P、Q的公共点,
22、请直接写出m的取值范围(不必给出求解过程)09 福建文科15. 若曲线2fxaxInx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是 . 21 (本小题满分12 分)已知函数321( ),3f xxaxbx且( 1)0f(I )试用含a的代数式表示b;()求( )f x的单调区间;( ) 令1a, 设 函 数( )f x在1212,()x xxx处 取 得 极 值 , 记 点1122(,(),(,()M xf xN xf x,证明:线段MN与曲线( )f x存在异于M、N的公共点;08 福建理科( 11)如果函数y=f(x) 的图象如右图,那么导函数y=f(x) 的图象可能是精选学习资料 - -
23、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页(19) (本小题满分12 分)已知函数321( )23f xxx. ()设 an 是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a1=3. 若点211(,2)nnnaaa(n N*) 在函数y=f(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在y=f(x) 的图象上;()求函数f(x) 在区间(a-1,a)内的极值 . 文科(21) (本小题满分12 分)已知函数32( )2f xxmxnx的图象过点 (-1 ,-6 ) ,且函数( )( )6g xfxx的图象关于y轴对称 . ( ) 求m、n的值及函数y=f(x)
24、 的单调区间;( ) 若a0,求函数y=f(x) 在区间(a-1,a+1)内的极值 . 07 福建11 已 知 对 任 意 实 数x, 有()()()(fxfxgxgx, 且0x时 ,()0()fxgx,则0x时()A( )0( )0fxgx,B ( )0( )0fxgx,C( )0( )0fxgx,D ( )0( )0fxgx,22 (本小题满分14 分)已知函数( )exf xkxxR,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页()若ek,试确定函数( )f x的单调区间;()若0k,且对于任意xR,()0fx恒成立
25、,试确定实数k的取值范围;()设函数( )( )()F xf xfx,求证:12(1) (2)( )(e2) ()nnFFF nnN(全国一文 20 )设函数32( )2338f xxaxbxc在1x及2x时取得极值()求a、b的值;()若对于任意的0 3x,都有2( )f xc成立,求c的取值范围( 陕西文 21) 已知cxbxaxxf23)(在区间 0,1上是增函数 , 在区间),1 (),0 ,(上是减函数 , 又.23)21(f( ) 求)(xf的解析式 ; ( ) 若在区间,0m(m0)上恒有)(xfx成立 , 求m的取值范围 . 12已知函数3211( )(1)32f xxbxcx, 若( )f x在1,3xx处取得极值,试求常数,b c的值;若( )fx在12,xx上都是单调递增,在12,xx上单调递减,且满足211xx,求证:22(2 )bbc14设0t,点 P(t,0)是函数cbxxgaxxxf23)()(与的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线. ()用t表示 a,b,c;()若函数)()(xgxfy在( 1,3)上单调递减,求t的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页